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2014年全国高中数学联赛模拟卷5


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(8)
第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分)
一、 填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分,直接将答案写在横线上。 1. 已知集合 A ? x 5x ? a ? 0 , B ? x 6x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3,4 ? ,则整数对<

br />
?

?

?

?

?a, b ? 的个数为________________
2. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?

1 ,则 x ? y ? ___________ 3

3. 四面体 ABCD 中, CD ? BC, AB ? BC, CD ? AC, AB ? BC ? 1平面 BCD 与平面 ABC 成 450 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为 .

4. 设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C , AB ? BC ? 5 ,则 l 的方程为_______ 1 5. 已知数列 a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则∑ 的值是 a i=0 i 6. 若 a ? 0, b ? 0, 则 min{max(a, b,
n

1 1 ? 2 )} ? ___________ 2 a b

7. 平面直角坐标系中,M(-1,2),N(1,4),P 在 x 轴上移动,当∠MPN 最大时,P 坐标为____ 8. 九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,

, a9 ,若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 的值为一平方数,


a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是
9. (本题满分 16 分)数列 ?an ? 满足: a1 ?
n

二、 解答题(本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,演算过程或证明步骤)

nan 1 ;令 xk ? a1 ? a2 ? , an?1 ? 2 ? n ? 1?? nan ? 1?

? ak ,

yk ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 , k ? 1, 2, ak

;求

?x y
k ?1 k

k

10.(本题满分 20 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点为 F (2, 0) , P (m,0)(m ? 0) . (1) 过点 P 斜率为 1 的直线交 C 于 A, B 两点, 若 m ? 0, P 关于原点对称点为 Q .求 S ?QAB 的最大值.

MT ,N 与 x 轴 (2) 过点 P 斜率为 k (k ? 0) 的直线交 C 于 M , N 两点, 若 x 轴上是否存在一点 T , 使T
所成的锐角相等,求 T 坐标. 11. (本题满分 20 分) 设函数 f ( x) ? 3ax 2 ? 2(a ? b) x ? b , 其中 a ? 0 , b 为任意常数。 证明: 当0 ? x ? 1 时,有 f ( x) ? max? f (0), f (1)?
2013 年全国高中数学联赛模拟试题(8) 第 1 页 共 1 页

1.30 解: 5 x ? a ? 0 ? x ?

a b ; 6 x ? b ? 0 ? x ? 。要使 A ? B ? N ? ?2,3,4? ,则 5 6

? b 1? ? 2 ? ? 6 ? b ? 12 ? 6 1 1 ,即 ? 。所以数对 ?a, b ? 共有 C6 C5 ? 30 ? ?20 ? a ? 25 ?4 ? a ? 5 ? 5 ?
2. 2 k? ?

?
3 1 1 1 ? cos x cos y ? ? cos( x ? y) ? ,所以 3 6 2

解:由 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?

x ? y ? 2 k? ?

?
3



3.

3 3

解: DC ? AC ?

2 ,作 DE ? 平面 ABC ,垂足为 E ,连 CE ,AE ,由三垂线逆定理,EC ? BC ,
1 1 2 DC ? 1 ,VABCD ? DE ? S ABC ? ,又因 ABCE 为正方形, 3 6 2

所以 ?DCE ? 450 ,故 CE ?DE ?

AE ? 1 ,则 AD ? 2 ,因此正三角形 ACD 的面积为

3 ,设 B 到平面 ACD 的距离为 h ,由 2

1 1 3 h ? S ACD ? ,得 h ? 3 6 3
4. y ? 2 x ? 1 解:曲线关于(0,1)点对称,设直线方程为 y ? kx ? 1, A( x, y) ,则

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 2) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。 ? y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? ? x ? ( y ? 1) ? 5
5. 1 n+2 (2 -n-3). 3 1
n

n+1 2 1 1 1 2 2 n 1 2 -1 1 1 解: = + ,?令 bn= + ,得 b0= ,bn=2bn-1,?bn= ?2 .即 = ,?∑ = (2n+2-n-3). an+1 an 3 an 3 3 3 an 3 a 3 i=0 i

2013 年全国高中数学联赛模拟试题(8) 第 2 页 共 1 页

6.

3

2

解; max{a, b,

1 1 1 1 2 ? 2 } ? m ? a ? m, b ? m, 2 ? 2 ? m ? m ? 2 ? m ? 3 2 ,所以 2 a b a b m 1 1 min{max(a, b, 2 ? 2 )} ? 3 2 。 a b

7.(1,0) 解:当∠MPN 最大时,⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP 与 x 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠MP?N 更大).于是,延长 NM 交 x 轴于 K(-3,0),有 KM·KN=KP2,?KP=4.P(1,0),(- 7,0),但(1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点 P(1,0) 8. 18000

S ? 9a , 解: 设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ? 1, a, a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 , 则有, 5a ? m2 , 4a ? n3 ,
则a ?

m2 n2 ? ,得 4m2 ? 5n3 5 4



2 3 2 3 令 n ? 2n1 , m ? 5m1 ,得 100m1 ,所以 5m1 ,再取 m1 ? 2m2 , n1 ? 5n2 , ? 2n1 ? 40n1 2 2 化为 2m2 ,取 m2 ? 10, n2 ? 2 ,可使左式成立,这时 n ? 20, m ? 100 , a ? 2000 , ? 52 n2

S ? 9a ? 18000 .
9.解:改写条件式为

1 1 ? ? 1 ,则 ? n ? 1? an?1 nan
? 1 1? 1 ?? ? ?? ? 2a2 a1 ? a1

? 1 ? ? ? 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? nan ? ? nan ? n ? 1? an ?1 ? ? ? n ? 1? an ?1 ? n ? 2 ? an ? 2 ?

? ? n ?1? ? 2 ? n ?1 ,
所以 an ?
k

k k 1 k 1 ?1 1 ? ? , xk ? ? ai ? ? ? ? ; ? ? 1? i ?1 ? k ?1 k ?1 n ? n ? 1? i ?1 i ?1 ? i

yk ? ?
i ?1
n

k k k k ? k ? 1?? 2k ? 1? k ? k ? 1? k ? k ? 1?? k ? 2 ? 1 ? ? ? ? i ? i ? 1? ? ? i 2 ? ? i ? ; 6 2 3 ai i ?1 i ?1 i ?1
2

1 n 1 ? n ? n ? 1? ? 2 n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? n ? 1? ? 3n2 ? 11n ? 4? . xk yk ? ? k 2 ? k ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 k ?1 3? 2 6 36 k ?1 ? 3
2 10. 解: (1)由条件知,抛物线 C 的方程为 y ? 8x ,直线 l1 的方程为 y ? x ? m ,点 Q 的坐标为

? y ? x ? m, 2 2 (?m,0) .由 ? 2 得, x ? 2(m ? 4) x ? m ? 0 . y ? 8 x , ?



2013 年全国高中数学联赛模拟试题(8) 第 3 页 共 1 页

由① ? ? 0 ,得 m ? ?2 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 2(m ? 4), x1x2 ? m ,
2

| AB |? 1 ? 12 | x1 ? x2 |? 2 4(m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 8 m ? 2 .
又因为点 Q(?m,0) 到直线 l1 的距离 d ? 2 | m | ,所以△QAB 的面积

1 S ? ? 2 ? | m | ?8 m ? 2 ? 4 2 ? m3 ? 2m 2 ,其中 ?2 ? m ? 0 . 2
记 f (m) ? m3 ? 2m2 , 则 f ' (m) ? 3m2 ? 4m . 所 以 , 当 ?2 ? m ? ?

4 时 , f ' (m ) ? 0 , 当 3

?

4 ? m ? 0 时, f ' (m) ? 0 . 3
所以, f ( m) 在区间 [ ?2, ? ] 上为减函数.所以 m ? ?

4 3

4 32 时, f ( m) 取最大值 . 3 27

因此,△QAB 面积的最大值为

32 3 . 9
得, k 2 x2 ? 2(mk 2 ? 4) x ? k 2 m2 ? 0 .②

(2) l2 方程为 y ? k ( x ? m) ,由 ?

? y ? k ( x ? m), ? y ? 8 x,
2

设 M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ) , 则 x3 ? x4 ?

2mk 2 ? 8 , x3 x4 ? m2 . k2

| AB |? 1 ? 12 | x1 ? x2 |? 2 4(m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 8 m ? 2 .
设点 T 存在,其坐标为 (t , 0) . 由 TM、TN 与 x 轴所成的锐角相等知, kTM ? kTN ? 0 ,即

y3 y ? 4 ? 0 ,即 x3 ? t x4 ? t

k ( x3 ? m) k ( x4 ? m) ? ? 0 , 2x3 x4 ? (m ? t )( x3 ? x4 ) ? 2mt ? 0 , x3 ? t x4 ? t
所以 2m ? (m ? t ) ?
2

2mk 2 ? 8 ? 2mt ? 0 .因此,符合条件的点 T 存在,其坐标为 (?m,0) k2
2

11.证: 已知 f ( x) ? 3ax ? 2(a ? b) x ? b ,所以 x0 ?
f ( x0 ) ?

a?b 为其极小值点,此时 3a

| ab ? (a2 ? b2 ) | a2 ? b2 ? ab ,而 max | f ( x) | ? max{| f ( x0 ) |,| f (0) |,| f (1) |} . ? 0 ? x ?1 3a 3a
2013 年全国高中数学联赛模拟试题(8) 第 4 页 共 1 页

1) 0 ? x0 ? 1 ;此时有 a ? b ? 0 . 2a ? b ? 0 (i) 当 b ? 0 时, f (1) ?| a ? b |? a ? b ? f (1) ? ?b ?| f (0) | ;
f ( x0 ) ? a2 ? b2 ? ab 2 2 2 2 2 ? f (1) ? a ? b ? ab ? 3a(a ? b) ? a ? b ? 2ab ? 3a 3a

?

(5 分)

? 0 ? a ? b ? 3a (此不等式显然成立)
于是有 max | f ( x) |? max{| f ( x0 ) |,| f (0) |,| f (1) |} ? f (1) ? max{ f (0), f (1)} 。
0? x?1

(ii) 当 a ? b ? 0 时, f (1) ?| a ? b |? a ? b ? f (1),| f (0) |? b ? f (0) ; 此时同样有 f ( x0 ) ? f (1) 。 于是有 max | f ( x) |? max{| f ( x0 ) |,| f (0) |,| f (1) |} ? max{ f (0), f (1)} 。
0? x?1

(iii) 当 b ? a ? 0 时, f (1) ?| a ? b |? b ? a ?| f (0) |? b ? f (0) ,此时考虑

f ( x0 ) ? f (0) ? a 2 ? b2 ? ab ? 3ab ? (2a ? b)2 ? 3a2 ? 0 ? 2a ? b ? 3a
?( 2? 3a) ?a ?b
(10 分)

于是有 max | f ( x) |? max{| f ( x0 ) |,| f (0) |,| f (1) |} ? max{ f (0), f (1)} 。
0? x?1

2) x0 ? 0 ;此时有 a ? b ? 0 。由于 a ? 0 ,所以 b ? 0 。于是有

max | f ( x) |? max{| f (0) |,| f (1) |} ? max{?b, a ? b} ? a ? b ? f (1) ? max{ f (0), f (1)} 。
0? x?1

3) x0 ? 1 ;此时有 2 a ? b ? 0 。由于 a ? 0 ,所以 b ? 0 。于是有

m a x f| x ( ?) m | a x {f |
0? x?1

(0) f | , | ?(1) | } b ? a m ab x { , 。

}

当 a ? b 时, max{b, a ? b } ? max{b, a ? b} ? max{ f (0), f (1)} ; 当 a ? b 时, max{b, a ? b } ? max{b, b ? a} ? b ? max{ f (0), f (1)} 。 综合 1) ,2) ,3) ,有 当 0 ? x ? 1 时,有 f ( x) ? max? f (0), f (1)? 。 (20 分)

2013 年全国高中数学联赛模拟试题(8) 第 5 页 共 1 页


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