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三角函数模型的简单应用ppt课件-数学高一必修4第一章1.6人教A版


第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用
①简单应用——学以致用,解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系

学习目标
? a通过对三角函数模型的简单应用的学习, 使学生初步学会由图象求解析式的方法; ? b根据解析式作出图象并研究性质; ? c体验实际问题抽象为三角函数模型问题

的 过程; ? d体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型.

观察、发现: 1、由图象求振幅A

y ? 2 sinx

y?

y ? A sinx ? b

5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x ? 3 2 1

O
5 ?1 最大值 ? 最小值 A? ?2? 2 2 b? 5 ?1 最大值 ? 最小值 ?3? 2 2

?

2?

?2

y ? A sinx ? b
最 大 值? 最 小 值 A? 2 4 ? ( ?2) ? ?3 2
b? 最 大 值? 最 小 值 2 4 ? ( ?2) ? ?1 2

y

4 3 2 1

x

O
?2

?

2?

y ? 3 sin x ? 1

2、由图象求解析式

y ? A sin( ?x ? ? )
(1) A ? 2
( 2) T ? ? ? ? 4 12 6

y 2

A

?

?
4

T ??

又T ?

2?

(3) y ? 2 sin( 2x ? ? )
A点的坐标为(
2sin(2 ?

?

??2
?
12

O
? ? 6
? 12

x

, 2)

?2

?
12

??) ? 2

sin( ? ? ) ? 1 6 ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z
6 2

?

?一般取:| ? |≤π ? ? ? 2k? , k ? Z 3 ? 当k ? 0时 ,? ?
y ? 2 sin( 2x ?

?
3

3

)

情景引入:
同学们看过海宁潮吗?…….今天我就带大家去看一看天下 奇观——海宁潮.在潮起潮落中也蕴含着数学知识. 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关 系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也 都蕴含着三角函数知识。

? 正弦型函数

y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1、物理情景—— ①简谐运动 ②星体的环绕运动 2、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 3、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ? ②股票变化 ? …………

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y

例1 如图,某地一天从6~14时的 温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b? (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.

30 20 10

6 0 10 14 x (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b的半个周期 1 1 30 ? 10 ? 10, b ? 的图象,所以,A ? ? ? ? 30 ? 10 ? ? 20 2 2 ? 3? 1 2? ? ? ? 14 ? 6 ? ? ? . 将x ? 6, y ? 10代入上式,解得?= . 8 4 2 ?

3? 综上,所求解析式为y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ? ? 6,14? 8 4

?

小结:
1 A? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? ? 2 1 b? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? ? 2

2? 利用T ? ,求得? ?

利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标 满足函数解析式可求得? , 注意通常 ? ? ?

y y ? sin x 例2.画出函数 的图象并观察其周期。

-3π

-2π



0

π





x

解:函数图象如图所示。 从图中可以看出,函数 y ? sin x 是以π为 周期的波浪形曲线。
也可以这样进行验证:

由于 sin(x ? ? ) ? ? sin x ? sin x , 所以,函数 y ? sin x 是以π为周期的函数。 小结:利用函数图象的直观性,通过观 察图象而获得对函数性质的认识,这是 研究数学问题的常用方法.

练习:
? 求下列函数的周期: ? (1)

y ? sin x ? sin x
y ? sin x ? cos x

? (2)

例3.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现
象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返 回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系 表:
时刻
水深
(米)

0.00 3.00 5.0 7.5

6.00 5.0

9.00 12.00 2.5 5.0

15.00 7.5

18.00 5.0

21.00 2.5

24.00 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数 关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)。

问题1:观察上表的数据,你发现了 什么规律? 问题2:根据数据作出散点图. 观察图形, 你认为可以用怎样的函数模型刻 画其中的规律? 问题3:能根据函数模型求整点时的水深 吗?

y

6

4 2

O

3

6

9 12

15 18 21

24

x

解:以时间为横坐标,以水深为纵坐标,在直角坐标系中 描出各点,并用平滑的曲线连接。根据图象,可以考虑用 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? h 刻画水深与时间的关系。

T

?

从数据和图象可以得出: A=2.5 ?, ? y ? 2.5sin x ? 5 h=5,T=12,
? 2

y

? ? ?

? 12 , 得

2.5 sin

?? x
6

?

? ?

?

0

? 5

6 ,

6

时刻
水深 时刻 水深

0.00

1:00

2:00

3:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:00

11:00

5.000

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

12.00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

5.000

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,
安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距 离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
y

y ? 5.5
6 4 2 9 12 24 x

O

3

6

15

18

21

? x ? 0.2 sin 化简得 6 由计算器计算可得 ? x ? 0.2014, 或? ? ? x ? 0.2014 6 6 解得 xA ? 0.3848, xB ? 5.6152
因为 x ?[0, 24],所以有函数周期性易得 xC ? 12 ? 0.3848 ? 12.3848,

(2)货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 (米),所以 当y≥5.5时就可以进港. ? x ? 5 ? 5.5 2.5sin 令 6

xD ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152. 因此,货船可以在凌晨零时30分左右进港,早晨5时 30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17 时30分左右出港,每次可以在港口停留5小时左右。

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在
2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么 该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域。
y

6 4

2

y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2)
x 2 3

O

6

9

12

15

解:(3)设在时刻x船舶的安全水深为y, 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象,可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米,此时船舶的安全水深约为 4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时船舶的安全水深约为4.1米; 7时的水深约为3.8米,而船舶的安全水深约为4米,因此为了安 全,船舶最好在6.5时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水域。 小结:三角函数应用的基本步骤: 1)根据图像建立解析式 2)根据解析式作出图像 3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型

课堂小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数 模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.
2.建立三角函数模型的一般步聚: 利用计算机 作出相应的 散点图 进行函数 拟合得出 函数模型 利用函数 模型解决 实际问题

搜集数据

课堂检测
1.作出函数 的简图(如图),求函数单调区间

解:
? π 3π? 由图象得函数的递增区间为 ?kπ+4,kπ+ 4 ? (k ∈ Z) ,递减区间为 ? ? ? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ?

? ? π?? ? ? 解析:由 y= sin x-2??=|cos x|作出图象如图: ? ? ??

? π ? 可得递增区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z), ? ? ? π? ? 递减区间为 kπ,kπ+2?(k∈Z). ? ?

π π 2. (2014 年长春模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2<φ<2, x∈R)的部分图象如图所示.

(1)求函数 y=f(x)的解析式;
? π? (2)当 x∈?-π,-6?时,求 f(x)的取值范围. ? ?

[解析]

T 2π π π (1)由图象得 A=1,4 = 3 -6=2,

?π ? 所以 T=2π,则 ω=1.将?6,1?代入得 1= ? ? ?π ? π π ? ? sin 6+φ ,而-2<φ<2, ? ? ? π? π 所以 φ= ,因此函数 f(x)=sin?x+3?. 3 ? ? ? π? 2π π π (2)由于 x∈?-π,-6?,- ≤x+ ≤ , 3 3 6 ? ? ? π? 1 所以-1≤sin?x+3?≤2, ? ? ? 1? 所以 f(x)的取值范围是?-1,2?. ? ?


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