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2015高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系阶段质量检测 新人教A版必修2


点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列说法不正确的是( )

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 解析:选 D A 若一组对边平行就决定了共面.在同一平面内,一组对边平行且相等的 四边形一定是平行四边形,正确;B 中同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;C 中这些 直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就可知 D 不正确. 2. 下列说法正确的是( )

A.都与直线 a 相交的两条直线确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.过一条直线的平面有无数多个 D.两个相交平面的交线是一条线段 解析:选 C 当这两条直线异面时不能确定平面,A 错误.两条直线异面,则不能确定 平面,B 错误.两个相交平面的交线是一条直线,D 错误. 3.如图在四面体中,若直线 EF 和 GH 相交,则它们的交点一定 ( ) A.在直线 DB 上 B.在直线 AB 上 C.在直线 CB 上 D.都不对 解析:选 A ∵EF 与 GH 相交,设 EF∩GH=M, ∴M∈EF,M∈GH. 又∵EF? 面 ABD,GH? 面 BCD,∴M∈面 ABD,M∈面 BCD,又∵面 ABD∩面 BCD=BD,∴M ∈BD,故选 A. 4.如图所示, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( )

A.AC

B.BD

1

C.A1D

D.A1D1

解析:选 B CE? 平面 ACC1A1,而 BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面 ACC1A1,∴BD⊥CE. 5.(2013·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题: ①若两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中为真命题的是( A.①和② C.③和④ ) B.②和③ D.②和④

解析:选 D ①错,两个平面相交时,也有无数个公共点.③错,比如 a⊥α ,b? α ,

c? α ,显然有 a⊥b,a⊥c,但 b 与 c 也可能相交.故②④正确.
6. 正方体 AC1 中, E, F 分别是 DD1, BD 的中点, 则直线 AD1 与 EF 所成角的余弦值是( A. C. 1 2 6 3 B. D. 3 2 6 2 )

解析:选 C 角.∵AB⊥AD1,

连接 BD1,则 BD1∥EF,∠BD1A 是直线 AD1 与 EF 所成的

∴cos∠BD1A=

AD1 6 = . BD1 3

7.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2,其余各棱长都为 1,则二面角 A-CD-B 的余弦值为( A. C. 1 2 3 3 ) B. D. 1 3 2 3

1 2 解析:选 C 取 AC 的中点 E,取 CD 的中点 F,则 EF= ,BE= , 2 2

BF=

3 EF 3 ,∴△BEF 为直角三角形,cos θ = = . 2 BF 3

8.(2013·湖南师大附中高一检测)设 α ,β ,γ 为两两不重合的平面,l,m,n 为两 两不重合的直线,给出下列三个说法:

2

①若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β ;②若 α ∥β ,l? α ,则 l∥β ;③若 α ∩β =l, β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n.其中正确的说法个数是( A.3 C.1 B.2 D.0 )

解析:选 B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行,故①错误;由面面平行的性质知 ②正确;借助于三棱柱可知③正确. 9.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿

BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论正确的
是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析:选 D 易知:△BCD 中,∠DBC=45°,∴∠BDC=90°. 又平面 ABD⊥平面 BCD,而 CD⊥BD,∴CD⊥平面 ABD,∴AB⊥CD, 而 AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD,∴平面 ABC⊥平面 ACD. 10.已知:平面 α ⊥平面 β ,α ∩β =l,在 l 上取线段 AB=4,AC、BD 分别在平面 α 和平面 β 内,且 AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则 CD 的长度( A.13 C.12 3 解析:选 A 如图,连 AD. ∵α ⊥β ,∴AC⊥β ,DB⊥α . 在 Rt△ABD 中, B. 151 D.15 )

AD= AB2+BD2= 42+122= 160.
在 Rt△CAD 中,CD=

AC2+AD2=

3 +160=13.

2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上 的一动点, 当点 M 满足________时, 平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个你认为正确的即可).

3

答案:BM⊥PC(其他合理即可) 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,MN 在平面 BCC1B1 内,MN⊥BC 于 M,则 MN 与 AB 的位置关 系是________.

解析:由平面 BCC1B1⊥面 ABCD 知 MN⊥面 ABCD. ∴MN⊥AB. 答案:垂直 13. 在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,EF= 3,则异 面直线 AD 与 BC 所成角的大小为________. 解析:取 AC 中点 M,连接 EM,FM,F 为 DC 中点,M 为 AC 中点, 1 1 ∴FM∥AD,且 FM= AD=1,同理 EM∥BC 且 EM= BC=1. 2 2

△EMF 中作 MN⊥EF 于 N. Rt△MNE 中,EM=1,EN= ∴sin∠EMN= 3 , 2

3 ,∠EMN=60°,∴∠EMF=120°, 2

∴AD 与 BC 所成角为 60°. 答案:60° 14.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A—BD—C,有如下三个结论. ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; 说法正确的命题序号是________. 解析:如图所示,①取 BD 中点 E,连接 AE,CE,则 BD⊥AE,BD⊥CE,而 AE∩CE=E,
4

∴BD⊥平面 AEC,AC? 平面 AEC,故 AC⊥BD,故①正确.

②设正方形的边长为 a, 则 AE=CE= 2 a. 2

由①知∠AEC=90°是直二面角 A—BD—C 的平面角,且∠AEC=90°,∴AC=a, ∴△ACD 是等边三角形,故②正确. ③由题意及①知,AE⊥平面 BCD,故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角,而∠ABE=45°, 所以③不正确. 答案:①② 三、解答题(共 4 小题,共 50 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)(2012·宁德高一检测)如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB⊥BC,

AB=BC=1,PA⊥平面 ABCD,CD⊥PC,

(1)证明:CD⊥平面 PAC; (2)若 E 为 AD 的中点,求证:CE∥平面 PAB. 证明:(1)∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD.又 CD⊥PC,PA∩PC=P, ∴CD⊥平面 PAC. (2)∵AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1, ∴∠BAC=45°,∠CAD=45°,AC= 2. ∵CD⊥平面 PAC,∴CD⊥CA, ∴AD=2.又 E 为 AD 的中点,∴AE=BC=1,∴四边形 ABCE 是正方形, ∴CE∥AB.又 AB? 平面 PAB,CE?平面 PAB, ∴CE∥平面 PAB. 16.(本小题满分 12 分)(2012·江西高考)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线 段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG.

5

(1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积. 解:(1)证明:由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3,GF=4,又因为 EF=5, 所以可得 EG⊥GF.又因为 CF⊥底面 EGF,可得 CF⊥EG,即 EG⊥平面 CFG,所以平面 DEG⊥平 面 CFG. 1 (2)过点 G 作 GO 垂直于 EF, GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高, 所以所求体积为 S 长方形 DEFC·GO 3 1 12 = ×4×5× =16. 3 5 17.(本小题满分 12 分)如图所示,正方体的棱长为 1,B′C∩BC′=O,求:

(1)AO 与 A′C′所成角的度数; (2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数. 解:(1)∵A′C′∥AC, ∴AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊥OB,AB⊥平面 BC′, ∴OC⊥AB.又 AB∩BO=B, ∴OC⊥平面 ABO. 又 OA? 平面 ABO,∴OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中,OC= 2 ,AC= 2, 2

OC 1 sin∠OAC= = , AC 2
∴∠OAC=30°.即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°. (2)如图所示,

6

作 OE⊥BC 于 E,连接 AE. ∵平面 BC′⊥平面 ABCD, ∴OE⊥平面 ABCD,∠OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角. 1 在 Rt△OAE 中,OE= , 2

AE=

5 ?1?2 2 1 +? ? = , 2 2 ? ?

∴tan∠OAE= =

OE AE

5 . 5

(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O. ∴OC⊥平面 AOB. 又∵OC? 平面 AOC, ∴平面 AOB⊥平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为 90°. 18.(本小题满分 14 分)如图所示,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面

ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.

(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD. 证明:(1)∵AB=2AD,∠BAD=60°,∴BD⊥AD. 又∵D1D⊥平面 ABCD,∴D1D⊥DB. 又 AD∥D1D=D,∴BD⊥平面 A1ADD1, ∴AA1⊥BD. (2)如图,连接 AC,A1C1,AC 交 BD 于 O 点,连接 A1O.

∵AB=2AD,AD=AB1,

7

1 ∴A1B1= AB. 2 1 ∵四棱台底面 ABCD 是平行四边形,∴A1C1 綊 AC,∴A1C1 綊 OC. 2 ∴四边形 A1OCC1 为平行四边形,∴C1C∥A1O, 又 A1O? 平面 A1BD,C1C?平面 A1BD, ∴CC1∥平面 A1BD.

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