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【锁定高考】2015高考数学(文)一轮总复习训练手册:8.3 圆的方程]


,训 练 手 册

A组

基础达标 满分:50 分)

(时间:30 分钟

若时间有限,建议选讲 3,6,8 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) 若直线 l: ax+by+1=0 始终平分圆 M: x2+y2+4x+2y+1=0 的周长, 则(a-2)2+(b-2)2 的最小值为(B)

A. C. 2 5 5 B. 5 D. 10

圆 M 的圆心为(-2,-1),∵点 M 在直线 l 上,∴-2a-b+1=0.∴b =-2a+1.∴(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5. 故选 B. 已知圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心的 坐标为(D) A. (1,1) B. (1,-1) C. (-1,0) D. (0,-1) ∵r= 为(0,-1). 已知圆 x2+y2-2x+my-4=0 上两点 M,N 关于直线 2x+y=0 对称, 则圆的半径为(B) A. 9 C. 2 B. 3 3 D. 2 1 2 k2+22-4k2= 1 2 4-3k2,∴当 S 最大时,k=0. 故圆心坐标

? 1 ? ? ? 由圆上两点 M,N 关于直线 2x+y=0 对称,则有圆心?1,- m?在直 2 ? ? 线 2x + y = 0 上 , 即 有 2 - × 1 2 m=0,∴m=4,则圆的半径 r= 1 2

(-2)2+42-4×(-4)=3,故选 B. 已知某圆的一条直径的端点分别是 A(4,0),B(0,-6),则该圆的标准

方程是(D) A. (x+2)2+(y-3)2=13 B. (x+2)2+(y-3)2=52 C. (x-2)2+(y+3)2=52 D. (x-2)2+(y+3)2=13 ?4+0 0-6? ? ? , ∵A(4,0),B(0,-6),AB 为直径,∴圆心坐标为? ,即(2, 2 ? ? 2 ? -3), 半径 r= +(y+3)2=13. 二、 填空题(每小题 5 分,共 10 分) (2013·郑州质检)以 A(1, 3)和 B(3, 5)为直径两端点的圆的标准方程为__(x -2)2+(y-4)2=2__. 由题意得圆心为(2,4),半径长为 方程为(x-2)2+(y-4)2=2. (2013·广东六校联考)若圆(x-a)2+(y-3)2=9 上相异两点 P,Q 关于直 2 线 3x+2y-4=0 对称,则 a 的值为__- __. 3 圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(a, |AB| 1 = ×2 2 2 2= 2.∴所求圆的标准 (4-2)2+(0+3)2= 13, 则该圆的标准方程为是(x-2)2

2 3),由题意知,直线 3x+2y-4=0 过圆心,则 3a+2×3-4=0,解得 a=- . 3 三、 解答题(共 20 分) (10 分)(2013·济宁质检)求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1 =0 的交点,且满足下列条件之一的圆的方程. (1)过原点;(2)有最小面积. (1)设所求圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+λ (2x+y+4)=0, 即 x2+y2+2(1+λ )x+(λ -4)y+(1+4λ )=0. 1 ∵此圆过原点,∴1+4λ =0,∴λ =- . 4 3 17 故所求圆的方程为 x2+y2+ x- y=0.(5 分) 2 4 (2)当半径最小时,圆的面积最小,对方程①左边配方,得 ? [x+(1+λ )]2+ y+ ? ? ? ? λ -4? 8? ?2 5? ?2 4 4 λ - = + ≥ . 2 ? 5? 4? 5 5 ? ? ? ①

8 ∴当 λ = 时,此圆的面积最小, 5 ? ? 13? 6? ? ?2 ? ?2 4 故满足条件的圆的方程为?x+ ? +?y- ? = .(10 分) 5? 5? 5 ? ? 2 (10 分)(2013·南师大附中模拟)设点 C 为曲线 y= (x>0)上任一点,以点 x C 为圆心的圆与 x 轴交于点 E,A,与 y 轴交于点 E,B. (1)证明:多边形 EACB 的面积是定值,并求出这个定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|EM|=|EN|,求圆 C 的方 程.

? 2? ? ? (1)由题意,可设 C 的坐标为?t, ?(t>0),∵以点 C 为圆心的圆交 x 轴 ? t? 于点 E,A,交 y 轴于点 E,B, ∴点 E 即为原点 O, ∴圆的半径 R=|OC|= ? 2? 4 ? ?2 +?y- ? =t2+ 2.(2 分) t? t ? ? 4? ? ? 从而 A(2t,0),B?0, ?. t? ? 由|CE|=|CA|=|CB|知圆心 C 在 Rt△AEB 的斜边 AB 上, 1 1 4 ∴多边形 EACB 的面积 S= |EA|·|EB|= ·2t· =4 为定值.(5 分) 2 2 t (2)由|EM|=|EN|可知,点 E 在线段 MN 的垂直平分线上,即直线 EC 是线 21 2 段 MN 的垂直平分线,又 kEC= · = 2, t t t kMN=-2,∴由 kEC·kMN=-1(t>0),得 t=2.(8 分) ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(10 分) B组 提优演练 满分:50 分) 4 t2+ 2, 圆 C 的方程为(x-t)2 t

(时间:30 分钟

若时间有限,建议选讲 3,4,8

一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为圆心的圆与直线 x- 圆 O 的方程为(A) 3y-4=0 相切, 则

A. x2+y2=4 C. x2+y2=2

B. x2+y2=3 D. x2+y2=1 3y-4=0 的距离,即

依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- r= =2,得圆 O 的方程为 x2+y2=4. 1+3 4

(2013·福州质检 ) 设圆的方程是 x2 + y2 + 2ax + 2y + (a - 1)2 = 0 ,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系是(B) A. 原点在圆上 C. 原点在圆内 B. 原点在圆外 D. 不确定

将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,∵0<a<1,∴(0 +a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,即 在圆外. 已知 l1 和 l2 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为 A,异于点 A 的两动点 B,C 分别在 l1,l2 上,且|BC|=3 成的图形的面积为(D) A. 6π B. 8π C. 16π D. 18π 2,则过 A,B,C 三点的动圆所形 (0+a)2+(0+1)2> 2a,∴原点

动圆的圆心轨迹是以 A 为圆心的圆, 从而动圆所形成区域的面积是以 A 为圆心,3 2为半径的圆,故其面积为 18π.

以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,半径为 2 的圆的方程为(B) A. x2+y2-2x-1=0 B. x2+y2-2x-3=0 C. x2+y2+2x-1=0 D. x2+y2+2x-3=0 ∵抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),∴以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,

半径为 2 的圆的方程为(x-1)2+y2=4,展开得 x2+y2-2x-3=0,故选 B. 二、 填空题(每小题 5 分,共 10 分) (2013·济南调研)圆心在原点, 并与直线 3x-4y-10=0 相切的圆的方程 为__x2+y2=4__.

圆心到直线的距离 d= 方程为 x2+y2=4.

|-10|
32+42



10 =2, 即圆的半径为 2, ∴圆的标准 5

圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点, 则圆的方程为__(x-2)2+(y-1)2=2__. ∵所求圆与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,故线段 AB 的垂直平分线 x=2 过所求圆的圆心,又所求圆的圆心在直线 2x-3y-1=0 上,∴圆心坐标为 (2, 1), 根据两点间的距离公式可求得半径为 +(y-1)2=2. 三、 解答题(共 20 分) (10 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相 2, ∴所求圆的标准方程为(x-2)2

切.圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数 → ·PB → 的取值范围. 列,求PA 由题意得⊙O:x2+y2=4 与 x 轴交于点 A(-2,0),B(2,0),设 P(x, y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 则 (x+2)2+y2· (x-2)2+y2=x2+y2,得 x2-y2=2. (4 分)

→ ·PB → =(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).(7 分) PA

2 2 ? ?x +y <4, 由于点 P 在⊙O 内,故? 则 y2<1, 2 2 ? ?x -y =2,

→ ·PB → 的取值范围为[-2,0).(10 分) 故PA (10 分)已知方程 x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. (1)原方程化为(x-1)2+(y-2)2=5-m, ∴m 的取值范围为(-∞,5).(2 分) (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1=4-2y1,x2=4-2y2, 则 x1+x2=4-2y1+4-2y2=8-2(y1+y2),x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2. ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0. ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. ①(5 分)

? ?x=4-2y, 由? 得 5y2-16y+m+8=0, 2 2 ? ?x +y -2x-4y+m=0, ∴y1+y2= 16 8+m 8 ,y1y2= ,代入①得 m= .(7 分) 5 5 5

(3)根据题意,可设以 MN 为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y- y2)=0, 即 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,

故所求圆的方程为

. (10 分)


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