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1.1 你能证明它们吗(二)


1.1 你能证明它们吗(二)

知识要点:

结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于 顶角的一半. 结论2:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距 离之和等于一腰上的高
定理: 等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角

推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线 互相重合 (三线合一

)

公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS) 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 公理:全等三角形的对应边、对应角相等。
推论:两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)

例题欣赏

1

命题的证明

?例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线. A 求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), E D ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB(已知), B 1 2 C 2 2 ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵∠DCB=∠ EBC(已知), BC=CB(公共边), ∠1=∠2(已证), ∴△BDC≌△CEB(ASA). 驶向胜利 ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 的彼岸
● ●

我能行

1

命题的证明

?求证:等腰三角形两腰上的中线相等. A 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是 △ABC两腰上的中线. M N 求证:BM=CN. 证明:∵AB=AC(已知), B C ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵CM= 2 AC,BN= 2 AB(已知), ∴CM=BN(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB(公共边), ∠MCB=∠NBC(已知), CM=BN(已证), 驶向胜利 ∴△BMC≌△CNB(SAS). 的彼岸 ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)

我能行

2

命题的证明

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 △ABC两腰上的高. Q 求证:BP=CQ. 证明:∵AB=AC(已知), B ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB(已证), ∠PCB=∠QBC(已证), BC=CB(公共边), ∴△BPC≌△CQB(AAS). ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)

?求证:等腰三角形两腰上的高相等. A
P C

驶向胜 利的彼 岸

议一议

1

学无止境

1.已知:如图,在△ABC中, (1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能 得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么 结论? A 你能证明得到的结论吗?



这里是一个由特殊结 论归纳出一般结论的 一种数学思想方法.

E B





D C
驶向胜利 的彼岸

等腰三角形的判 议一议 2 定 前面已经证明了“等边对等角”,反过来,
“等角对等边”成立吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
A

已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C. 求证:AB=AC.


B

C

如:作BC边上的中线; 作∠A的平分线 作BC边上的高.
驶向胜利 的彼岸

议一议

3

几何的三种语言

定理: 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).



在△ABC中 ∵∠B=∠C(已知), ∴AB=AC(等角对等边).
B

A

C

这又是一个判定两条线段相等方法之一.

驶向胜利 的彼岸

1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于 点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC

(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有情形) (2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
A

E
O

D C

①③; ①④; ②③; ②④

B

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出 发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此 时的等腰三角形的顶角的度数?

36°90°108°

开启

智慧

? 路边苦李 ? 古时候有个人叫王戍,7岁那年的某一 天和小朋友在路边玩,看见一棵李子树上 的果实多得把树枝都快压断了,小朋友们 都跑去摘,只有王戍站着没动。小朋友问 他为何不去摘,他说:“树长在路边,如 果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么 多,肯定李子是苦的,不好吃。”小朋友 摘来一尝,李子果然苦的没法吃。
驶向胜利 的彼岸

证明命题的 新思路

开启

智慧

学无止境
A

?小明说,在一个三角形中, 如果两个角所对的边不相 等,那么这两个角也不相等.C




●●

B

即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C. ?你认为这个结论成立吗? ?如果成立,你能证明它吗?

开启

智慧

学无止境
A

●●

?小明是这样想的:

C

B

假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边 ” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛 盾 因此假设不成立,原命题成立 即∠B≠∠C. ?你能理解他的推理过程吗?
驶向胜 利的彼 岸

开启

智慧

反证法

假设 ?先假设命题的结论反面成立, ?然后推导出与定义,公理、已证定理或 归谬 已知条件相矛盾的结果, ?所以假设不成立,原命题成立

这种证明方法称为反证法 (reduction to absurdity) 反证法是一种重要的数学证明方法. 在解决某些问题时常常会有出人意 料的作用.
?你可要结识“反证法”这个新朋友 噢!

结论

心动

不如行动

初露锋芒

?例1.如何证明这个结论: ?如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少 有一个大于或等于1/5. 用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五 个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知 这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此 假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至 少有下个大于或等于1/5.

隋堂练习P91

成功者的摇篮

1.用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角 已知:△ABC. 求证:∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.

证明:假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角, 不妨设∠A=∠B=90°,则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°. 这与三角形内角和定理矛盾, 所以∠A=∠B=90°不成立. 所以一个三角形中不能有两个角是直角.

隋堂练习P91

成功者的摇篮

2. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内 角小于或等于60°
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角, 且都大于60°, 则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°, ∴ ∠A+∠B+∠C>180°; 这与三角形的内角和是180定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.

知识要点:

结论3:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论4:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等. 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.

?反证法认识你吗?

小结

拓展

回味无穷

? 理解证明的必要性和规范性. ? 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事 项. ? 你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有 何进步. ? 规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要 求是否内化为一种技能. ? 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高. ? 关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的 推进器. ? 你准备如何提高证明命题的能力呢?

下课了!

结束寄语

? 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. ? 证明的规范性在于:条理清晰 ,因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.


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