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2014年湖南省高考理科数学试卷小题解析版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(理工农医类)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的

z ?1 =i (i 的虚数单位)的复数 z= z 1 1 1 1 1 1 A、 ? i B、 ? i C、 ? ? i 2 2 2 2 2 2

/>1、满足

D、 ?

1 1 ? i 2 2

2、对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方 法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 、 p2 、 p3 ,则 A、 p1 ? p2 ? p3 B、 p1 ? p2 ? p3 C、 p1 ? p3 ? p2 D、 p1 ? p3 ? p2

3、已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)= x ? x ?1 ,则 f(1)+g
3 2

(1)= A、 ? 3 B、 ? 1 C、1 D、3

4、 ( x ? 2 y ) 的展开式中 x 2 y 3 的系数是
5

1 2

A、-20 【答案】A

B、-5

C、5

D、20

5? n ?1 ? 【解析】第 n ? 1 项展开式为 C ? x ? ? ?2 y ? , ?2 ? n 5 5? n 3 ?1 ? n?1 ? 2 3 则 n ? 2 时, C5 ? x ? ? ?2 y ? ? 10 ? x ? ? ?2 y ? ? ?20 x y ,故选 A. ?2 ? ?2 ? n 2

n

【考点定位】二项式定理

5、已知命题 p:若 x>y,则-x<-y :命题 q:若 x>y,在命题 ① p?q 中,真命题是 A、①③ 【答案】C
2 2 【解析】 当 x ? y 时,两边乘以 ?1 可得 ? x ? ? y ,所以命题 p 为真命题,当 x ? 1, y ? ?2 时,因为 x ? y ,所以

② p?q

③ p ? ( ?q )

④ (?p) ? q

B、①④

C、②③

D、②④

命题 q 为假命题,所以②③为真命题,故选 C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词

6、执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 属于

A、[-6,-2]

B、[-5,-1]

C、[-4,5]

D、[-3,6]

6.【答案】D 【 解 析 】 当 t ?? ?2,0? 时 , 运 行 程 序 如 下 , t ? 2t 2 ?1? ?1,9? , S ? t ? 3 ? ? ?2,6? , 当 t ??0, 2? 时 , 则

S ? ? ?2,6?

??3, ?1? ? ??3,6? ,故选 D.

【考点定位】程序框图 二次函数

7、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的 半径等于

A、1

B、2

C、3

D、 4

【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ,则

8 ? r ? 6 ? r ? 82 ? 62 ? r ? 2 ,故选 B.
【考点定位】三视图 内切圆 球

8、某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年的生产总 值的年平均增长率为 A、 C、

p?q 2

B、

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 2

pq

D、 ( p ? 1)(q ? 1) ?1

【答案】D 【解析】设两年的平均增长率为 x ,则有 ?1 ? x ? ? ?1 ? p ??1 ? q ? ? x ?
2

?1 ? p ??1 ? q ? ? 1,故选 D.

【考点定位】实际应用题

9、已知函数发 f(x)= sin(x ? ? ) ,且 A、 x=

?

2x 3 0

f ( x)dx ? 0 ,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是
C、x=

5? 6

B、x=

7? 12

? 3

D、x=

? 6

【答案】A 【解析】函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ? ?
2? 3

?
2

? k? ? x ? ? ?

?
2

? k? ,

因为

? sin ? x ? ? ?dx ? 0 ? ? cos ? ?
0

?? ? ? 2? ? ? ? ? ? cos ? ? 0 ? sin ? ? ? ? ? 0 , 3 ?3 ? ?

则x?

5? 是其中一条对称轴,故选 A. 6

【考点定位】三角函数图像 辅助角公式

10、已知函数 f(x)= x +e 取值范围是

2

x

1 (x<0)与 g(x)= x 2 +In(x+a) 的图象在存在关于 y 轴对称点,则 a 的 2

(-?, ) A、
10.【答案】B

1 e

B、 (-?,e)

(C、

1 ,e) e

(- e, ) D、

1 e

【解析】由题可得存在 x0 ? ? ??,0? 满足 x0 ? e 0 ?
2 x

1 2 ? ? ? x0 ? ? ln ? ? x0 ? a ? 2

? e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ?

1 1 ? 0 , 当 x0 取 决 于 负 无 穷 小 时 , e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ? 趋 近 于 ?? , 因 为 函 数 2 2 1 y ? e x ? ln ? ? x ? a ? ? 在定义域内是单调递增的,所以 ln a ? ln e ? a ? e ,故选 B. 2

【考点定位】指对数函数 方程

二、填空题,本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11.在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos a ? 的直线 l 与曲线 C : ? (a 为参数) 4 ? y ? 1 ? sin a

交于 A,B 两点,且 AB ? 2 .以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,则直线 l 的极坐标方程是_________。

12.如图 3,已知 AB,BC 是 BC= 2 2 ,则

O 的两条弦,AO ? BC,AB=

3,

O 的半径等于________。

13.若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x | ? a=________.

? ?

5 1? ? x ? ? ,则 3 3?

(二)必做题(14-16 题)

? y ? x, ? 14 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 且 z ? 2 x ? y 的最小值为-6,则 k ? _______。 ? y ? k, ?

15.如图 4 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b), 原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 经
2

过 C、F 两点,则

b ? _________。 a

15.【答案】 2 ? 1

? a 2 ? pa a ?a ? ?a ? ? 【解析】由题可得 C ? , ?a ? , F ? ? b, b ? ,则 ? 2 ?a ? ? ? 2 ? 1 ,故填 2 ? 1 . b ?2 ? ?2 ? ?b ? 2 p ? ? b ? ?2 ? ?
【考点定位】抛物线

16.在平面直角坐标系中,O 为原点 A(?1,0), B(0, 3), C(3 0)动点 D 满足 CD ? 1 ,则 OA ? OB ? OD 的最

大值是__________。 16.【答案】 2 3

s 【 解 析 】 动 点 D 的 轨 迹 为 以 C 为 圆 心 的 单 位 圆 , 则 设 为 ? 3 ? c o?

, s?i n? ?? ??

0 ? ? ?, ,2则

OA ? OB ? OD ?

? 3 ? cos ? ? 1?

2

? sin ? ? 3

?

?

2

, 因 为 c o? s?

3 s ?i 的 n 最大值为 2 ,所以

O A? O ? B

O的最大值为 D 12 ? 2 3 ,故填 2 3 .

【考点定位】参数方程 圆 三角函数

三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .(本小题满分 l2 分) 某企事业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

2 3 和 ,现安排甲组研发新产品 A, 3 5

乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立。 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (II)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万 元,求该企业可获利润的分布列和数学期望

18. (本小题满分 l2 分) 如 图 5 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ,

A D ?1 , C ? D 2 , A?C
(I) 求 cos ?CAD 的值 (II)若 cos ?BAD ? ? 求 BC 的长

7

17 21 ,sin ?CBA ? 14 6

19. (本小题满分 l2 分) 如图 6,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的所有棱长都相等,AC BD ? O, AC 1 1 和四边形 BDD1B1 均为矩形。 (I)证明: O1O ? 底面 ABCD; (II)若 ?CBA ? 60 ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值。

B1D1 ? O1 ,四边形 ACC1 A1

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? pn , n ? N ?. (I)若 ?an ? 是递增数列,且 a1 , 2a 2 ,3a 3 成等差数列,求 p 的值; (II)若 p ?

1 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式。 2

21、如图 7,O 为坐标原点,椭圆 C1 :

x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e1 : a 2 b2

x2 y2 3 双曲线 C2 : 2 - 2 =1 的左、右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 。已知 e1e2 = ,且 F2 F4 = 3-1 。 a b 2

(Ⅰ)求 C1 、 C2 的的方程; (Ⅱ)过 F 1 做 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边 形 APBQ 面积的最小值

22、已知常数 a>0,函数 f(x)=In(1+ax)-

2x 。 x+2

(0, +?) (Ⅰ)讨论 f(x)在区间 上的单调性;
(Ⅱ)若 f(x)存在两个极值点 x1 、 x 2 ,且 f( x1 )+f( x 2 )>0,求 a 的取值范围


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