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弧度制课件


一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形 ? 角: 射线按逆时针方向旋转形成的角 ? 正角: 射线按顺时针方向旋转形成的角 ? 负角: 射线不作旋转形成的角 ? 零角: 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的正半轴 3)终边落在第几象限就是第几象限角

? 象限角:

? 与角α终边相同的角的一般表达式
{β|β=α+ k

.360°,k∈z}

问题提出 4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同 的单位度量,物体的重量可以用千克、磅等 不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题 带来方便,以度为单位度量角的大小是一种 常用方法,为了进一步研究的需要,我们还 需建立一个度量角的单位制.

身高:2.26m 体重:125千克

1米 = 3.28043英尺

1千克 = 0.4563磅

在平面几何中研究角的度量,当时是用度做 ? 单位来度量角,1 的角是如何定义的?
将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角 . 规定周角的1/360为1°的角 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
60°

90°

在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?

弧度制 : 定义: 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角,即用弧度制度量时, 这样的圆心角等于1rad。 单位符号 :rad B
l =r O

读作弧度 C
l = 2r
2 rad O r

o

1rad r

A

A

o

?AOB=1rad

?AOC=2rad

④角?的弧度数的绝对值: (l为弧长,r为半径)

l ? = r

角度与弧度间的换算
360 = 2?rad
?

?180

?

= ?rad

把角度换成弧度

1 =
?

?
180

rad ? 0.01745 rad

把弧度换成角度

? 180? ? ? ' 1rad = ? ? ? 57.30 = 57 18 ? ? ?

?

5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角,零角既是0? 角,又是0 rad角,同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数:

平角=? rad、周角=2? rad.

③ 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是 负数,零角的弧度数是0.

l ④角?的弧度数的绝对值: ? = r
(l为弧长,r为半径)

3. 弧度制与角度制相比: (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单

位制,角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制;1弧度≠1?; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 1 心角的大小,而1度是圆周 的所对的圆心 360 角的大小;

360°=2? rad 180°= ? rad

1° =

?
180

rad
?

0.01745 rad ?

? 180 ? ? 57 .30? 1 rad= ? ? =57°18′ ? ? ?

注:(1)关键抓住 180

o

=?

(2)弧度制与角度数是不可以混合写

如: k ? 360 ?
o

?

3

×

或2k? ? 60

o

例1 把下列各角化为弧度 ? (1) 67 30?(2)30°(3?)5°(4)-45°
1? ? 解:∵ 67 30? = ? 67 ? ? 2?
?

? 1 3 rad ? 67 = ? rad ∴ 67 30? = 180 2 8
?

例2 把下列 各角化为度.
4 (1) ? rad 5
(3)2rad (精确到0.1?)

4 4 ? ? ? rad = ? 180 = 144 解: 5 5
弧度这个关键.

? 180 =? 角度制与弧度制互化时要抓住

写出一些特殊角的弧度数

角 度
弧 度

0 ? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

0

? 6

? 4

3? ? ? 2? 3? 5? ? 2 2? 3 2 3 4 6

终边相同的角
(1)用角度表示
与?终边相同的角可以表示为:? ? k ? 360 ?,k ? Z

它们构成一个集合:

? ? 2k?,k ? Z

S = ? | ? = ? ? k ? 360? , k ? Z

?

?

(2)用弧度表示
与?终边相同的角可以表示为:

它们构成一个集合: S = ?? | ? = ? ? 2k? , k ? Z ?

例2:请用弧度制表示下列角度所在区间。

锐角:{θ|0°<θ<90°}
直角: {θ|θ=90°} 钝角: {θ|90°<θ<180°} 平角: {θ|θ=180°} 0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}

? ?? ? 0,
?

? ?
? 2?

? =
? ??

?
2

?? ? ,? ? ?2 ?

? =?
? ? [0, ?
2 )

小于90°角:{θ|θ<90°}

? ? ( ?? ,

?
2

)

小结

(1) 180

?

? “角化弧”时将 n 乘以 ;, 180

= ? 弧度;

180 “弧化角”时 将 ? 乘以 ; ?

1.1.2弧度制 (2)

6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
① 弧长公式: l = r ? ?
l 由公式:? = ? l = r ? ? r n?r 比公式 l = 简单. 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

1 ② 扇形面积公式 S = lR 2

其中l是扇形弧长,R是圆的半径。

证明:设扇形所对的圆心角为n? (αrad),则

n 1 2 S =?R ? = R ?? 360 2
2

又 αR=l,所以

1 S = lR 2

例1. 扇形AOB中, ? , AB 所对的圆心角是60?
半径是50米,求 ? AB 的长l(精确到0.1 米)。
? 解:因为60? = ,所以 3
? ×50≈52.5 . 3

l=α· r=

AB 的长约为52.5米. 答: ?

例2. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的

弧长为
中心角等于

,面积为2R2的扇形的
弧度。

4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2 所以 α=4.
4 l = ?R 3

例3 已知一半径为R的扇形,它的周长等于
所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少 弧度?合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1) R


度量单 位


弧度制 弧度 角度制 角度

单位规 等于半径的长的圆 定 弧所对应的圆心角 叫1 rad 的角 π =180°
1rad= ? ?
?

1 周角的 360为1
度的角

换算关 系

180 ? ? ? 57.30? = 57°18′, ? ? ?

1°=

?

180

rad=0.01745 rad


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