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Delta并联机构的逆向运动学分析


Equipment Manufactring Technology No.3 ,2011

Delta 并联机构的逆向运动学分析
雷改丽
(宝鸡文理学院 机电工程系机电研究所, 陕西 宝鸡 721007 )
摘 要: 对 Delta 并联机构的逆向运动学进行了全面分析, 从机构约束方程得出机构位置反解, 使得主动构件的关节变 量能

用结构参数表示; 利用影响系数理论, 建立了机构输入输出运动速度及加速度之间的传递关系; 影响系数计算过程 容易程序化, 避免了传统速度加速度分析中的求导运算, 便于采用现有的数学应用软件, 进行符号推导, 影响系数又是 构造动态性能量化指标的基础, 对机构动态性能分析和动态性能优化具有十分重要的意义 。 关键词: 并联机构; 位置反解; 影响系数; 速度加速度分析 中图分类号: TH112 文献标识码: A 文章编号: 1672-545X (2011 ) 03-0016-03

并联机构具有刚度大 、 精度高、 承载能力强等优 点, 其应用几乎涉及现代尖端技术的各个领域。然而 受到运动副约束 、 支链干涉 、 奇异位形 、 位姿耦合等 因素的影响, 并联机构普遍存在工作空间小的弱点, 尤其是各种六自由度的并联机构更为突出 。而对于 三自由度并联机构, 如果选型合理, 则可以改善以上 不足。 Delta 并联机构, 就是一个成功的例子。 这种机构 只有 3 个移动自由度,具有工作空间大 、运动学简 定位精度高 、 驱动器不随动等优点, 广泛用于激 单、 光加工 、 微电子装配 、 细胞显微操作 、 光纤对接等精 密操作领域[1 ̄2]。 运动分析是机构应用研究的基本任务,本文研 究了 Delta 并联机构的逆向运动学, 为机构运动学性 能分析、 动力学建模机器控制提供了理论基础。

其上下平台都是等边三角形,它们之间以 3 条 完全相同的支链连接,每一个支链与基础平台用转 动副连接用作机构的输入,每条支链都由一定长杆 和一个平行四边形机构组成,这 3 处转动副轴线相 互平行, 消除了运动平台的 3 个转动自由度, 而保留 了 3 个纯粹平动自由度, 动静平台外接圆半径分别 r0 为和 r。 在静平台上固连定坐标系 0- xyz, 坐标原点位于 静平台中心, x 轴过 A1 点, y 轴平行于 A3 A2, 在动平台 固连动坐标系 P- x'y'z', 坐标原点位于动平台中心 P, x' 轴过 C1 点, y' 轴平行于 C3C2。已知运动平台中心点坐 标, 求解输入构件的关节变量, 称为机构位置反解。 Ar、 Br、 Cr 的位置矢量 a = r sinψ(r) 0
r
r r r r r r r r r r r r





位置反解

r r r r r r r r r r r r

cosψ

(r )

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

Delta 型并联机构由上面的运动平台和下面的基 础平台构成, 如图 1 所示。
Z1 C3 P C1 B3 B1 A3 0 A1 Z A2 y x1 B2 C2

cosψ

(r )

b = r sinψ(r) + L1 cosθ1 sinψ (r ) 0 sinθ1 0 c = r0 sinψ(r) 0 式中,

r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r r

cosθ1 cosψ
(r )

(r )

(r )

(r )

r r r r r r r r r r r r r r r

cosψ

(r )

r r r r r r r r r r r r

x + y z

r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r

r、 r0 为基础平台和动平台外圆半径。 L1 为杆Ar Br 的长度;

x

图1

Delta 并联机构运动简图

2010-12-22 收稿日期: 作者简介: 雷改丽 (1964— ) , 女, 陕西岐山人, 讲师, 主要从事机器人工程研究。

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《装备制造技术》 2011 年第 3 期 x、 y、 z 为运动平台中心坐标; ψ(r)为 OAr 与 x 轴夹角, ψ(r) = 2 π 觶 r-1 觶 ; 3 θ 为主动杆Ar Br 与OAr 的夹角。
(r) r C 咬 +θ 觶 aC = 姨 G准 姨 θ

觶 觶

觶 觶 觶 r 觶r

觶 r觶
T C 准

觶 准 H 姨θ

觶 觶 觶 r 觶r

(3 )

式中,
r r 觶 点的速度加速度矢量; VC 、 aC 分别为 C r

觶 觶 觶 觶

上标为 r 分支序号。 按Br Cr = L2 建立机构约束方程。 c -b 即
(r ) (r )

觶 r觶 觶 r觶

觶 θ 矢量;

咬 θ 、
觶 r觶

分别为分支关节相对运动速度加速度

= L2
2 2 2

觶 = 觶 觶 θ θ1 θ2
2 C



(r)

T 觶 r 觶 (r)

觶 θ 3

咬 姨, θ咬 = 准 θ

觶 r觶

(r) 1

(r)

(r)

咬 θ 咬 θ 2 3



T

觶 x- xi 觶 y- yi 觶 z- zi 觶 +觶 +觶 - L2 = O, i= 1,2,3 (1 )
式中,
觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶

准 第 n 列为 G 姨 为分支一阶影响系数矩阵,
准 C

觶 r觶

r - r0 觶 xi =L1 cosψ cosθ + 觶 cosψ
觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶

觶 r觶

觶 r觶

觶 r觶 觶 r觶

准 G 姨= S
准 n C

(r )

(r) n

× (C(r)- Rn(r))

r - r0 觶 yi = L1 sinψ cosθ + 觶 sinψ Zi = L1 sinθ

Rn(r)为分支 r 第 n 个关节中心的位置矢量,

准 H 姨 ∈R


觶 r觶

3× 3× 3

分支 r 二阶影响系数矩阵, 其每

在已知运动平台中心坐标, 式 (1 ) 可以整理成 A sinθ+ B 式中, A = -2L1 z B = -2L1 准 r0 - r+ x cos ψ + ysinψ
觶 r觶 觶 r觶
2 2 2 2 2 2

个元素都是三维矢量

觶 r觶

觶 r觶

cosθ + C = 0

觶 r觶

觶 r觶

准 H 姨=
C 准 m,n

觶 r觶

觶 r觶

觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶 觶

Sm × 准 Sn Sn ×
觶 r觶

觶 r觶

觶 C 准 S 觶 C
m

觶 r觶 觶 r觶

- Rn

觶 r觶

觶 r觶 觶 r觶

- Rm

觶 r觶

觶 M≤n 觶 姨 觶 觶 姨 M>n 觶 觶

觶 r觶

觶 r觶

觶 r觶


觶 r觶


动平台作平动,则各点的速度加速度在任意瞬 Cr 点的速 时都相同, 因此在给出了动平台的运动后, 度加速度矢量, 并由式 (3 ) 反求出各个分支关节相对 运动速度及加速度
(r ) C 觶 = 准 θ G准 姨 νC

r- r0 觶 r- r0 觶 C = -2 觶 ysin ψ - 2 觶 x cos ψ

+觶 x + y + Z + r + L1 + r0 - 2rr0 - L2 觶 即可求得主动构件转角 θ = 2tam
觶 r觶 觶 觶觶 r觶 -1

觶 r觶

(r)-1



A ± 姨A

觶 r觶 2

+B -C 觶 r觶 觶 r觶 B -C

觶 r觶 2

觶 r觶 2



觶 r觶

(2 )

C 咬 = 准 θ G准 姨

(r)-1

觶 r a -θ
(r ) C

(r )T C

觶 准 H准 姨θ

(r )

觶 r觶

r

(4 )



机构速度加速度分析

3 应用实例
选定 Delta 并联机构结构参数: r = 0.8 m, r0 = 0.48 m, L1 = 0.95 m, L2 = 0.58 m 。 给定动平台中心圆周运动轨迹 x = 6/25 cos12 t 觶 m 觶 , y = 6 / 25sin12 t 觶 m 觶 , 觶 觶 Z = 0.955 5 m 在机构每个位置, 位置反解方程式 (2 ) 都有两组
-138 主动关节转角 θ( °) -139 -140 -141 -142 -143 -144 -145 -146 -147
分支 1 分支 2 分支 3

选取机构的一个分枝, 设 Ar、 Br 处的关节轴线方 向单位矢量为 S1 、S2 ,S1 = S2 , 关节 S2 的相对转角为 θ2 。 平行四边形结构关节轴线方向和单位矢量 S3 , S3 = P2 × S2
觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶 觶 r觶

P2 ×S2
觶 r觶

觶 r觶 觶 r觶

它垂直于平行四边形平面 σ (r), 其中 P2 (r) 为构件 BrCr 轴线方向的单位矢量, θ 3 为关节 S 3 的相对转 角。基于影响系数理论, Cr 点的运动速度加速度与关 节运动的映射关系。 觶 VC = 准 G准 姨 θ
C

觶 r觶

觶 r觶

觶 觶 觶 r 觶r

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 时间 t (s)

图2

主动关节运动特性

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Equipment Manufactring Technology No.3 ,2011

主动关节加速度 θθ(rad/s)

运动学解, 它对应于机构两种不同的装配构型。机构 连续运动时, 3 个主动构件的关节转角变化曲线, 如 图 2 所示。 按式 (4 ) 可求得主动关节转动角速度和角加速 度变化曲线, 反映了机构的速度和加速度特性, 如图 3 和 4 所示。
1.5 1 主动关节速度 θ(rad/s) 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
分支 1 分支 2 分支 3

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
分支 1 分支 2 分支 3

时间 t/s

图4

主动关节速度特性

加速度的传递关系, 所得的影响系数矩阵, 仅取决于 可以方便地 机构的结构参数和位形。引入影响系数, 以显格式表示出机构各部分的速度加速度映射关 系。影响系数计算过程容易程序化, 便于采用 MAT- LAB 等数学软件推导 。并且影响系数也是机构动态 性能的量化指标, 是基于影响系数矩阵构造的。
参考文献: [1] 张秀峰, 孙立宁. 并联机器人技术分析及展望[J]. 高技术通 讯, 2004, (6 ) : 107-110. [2] 毕树生, 宗光华. 偏置式 Delta 并联机构的运动学分析[J]. 航空学报, 2003, 24 (1 ) : 84-89.

时间 t/s

图3

主动关节加速度特性



结束语

Delta 型并联机构具有运动学简单、运动传递性 能良好的优点 。利用影响系数理论建立机构的速度

Inverse Kinematic Analysis for Delta Parallel Mechanism
LEI Gai-li ( Electromechanical Engineering Department, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji Shan xi 721007,China ) Abstract: The inverse kinematics about Delta parallel mechanism is comprehensive researched in this paper. The inverse solution is obtained from its constraint equations, the active member of the joint variables can be expressed by structural parameters. Use of impact factor theory, the relationship of input-output mechanism was established between the velocity and acceleration. Due to Impact factor calculation easy procedures these avoid the traditional analysis of the speed derivative acceleration operation, ease use of mathematical software symbolic deduction. Factor is the basis of structuring the quantitative dynamic performance indicators which is very important for performance analysis and dynamic optimization. Key words: parallel mechanism; inverse solution; impact factor; speed acceleration analysis θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

(上接第 5 页 ) Virtual Assembly and Analysis of Cross-legged Parallel Kinematics Machine Tool
PAN Zhi-xin, YU Yang-qing, ZHANG Xue-lei, WANG Tong-yue, LIU Yuan-wei ( Faculty of Mechnical Engineering, Huaiyin Institute of Technology, Huaian Jiangsu 223003,China ) Abstract: Parallel Kinematics Machine Tool (PKM) is a creative application of multi-loop mechanism in the field of machine manufacturing. It is the result of combining mechanism theory, robotic techniques and numerical control techniques. Carry out the 3D modeling and assembly of BJ-04-02 (A ) cross-legged PKM based on PRO/E software. The ADAMS software is applied to the dynamic simulation model and the dynamics curve of PKM is obtained. Key words: parallel machine tool (PKM); virtual assembly; simulation; ADAMS

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