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考虑剪切变形的精化三角形板单元


第 12卷第 4期 1 9 9 7年 1 2月

大 连 水 产 学 院 学 报 JOU RN AL O F DAL IAN FISHERIES UN IV ERSIT Y

V ol. 12 N o. 4 Dec . 1 9 9 7

考虑剪切变形的精化三角形板单元*
陈荣庚
** (大连水产学院土

木工程系 )

摘  要  建立考虑剪切变形的三角形精化板单元。 该单元满足单元间
到保证 ,且具有列式简单 、计算效率和精度高的优点 。

C1 类弱连续条件 ,其收敛性得

关键词  精化元法 ; 三角形板单元 ; 剪切变形 ;不协调元 中图分类号   O 343 文献 [ 1]中提出一种精化方法 ,并用于建立 C1 类精化九参数三角形板单元 , 此方法既 保证收敛 ,又提高精度 。 文献 [ 2]和文献 [ 3 ]将其分别用于薄板振动和稳定性分析 , 得到良 好的效果。 笔者将此方法推广应用到考虑横向剪切变形的板的弯曲问题 。 C 类不协调板 单元具有列式简单 、自由度少、 精度高的特点 , 由于位移模式中引用了横向位移的一阶偏 导数 ,建立单元时不可避免地要求单元间满足 C1 类连续。 目前解决这个问题的一种办法 是增加单元的节点参数 , 以满足单元间 C1 连续条件 , 结果使该单元变得更为复杂 , 计算效 率低。 1993 年陈万吉提出了精化直接刚度法 [ 1] , 对不协调元进行精化 , 使其满足单元间 C1 类弱连续条件 ,建立了精化不协调元的方法 。 保持了不协调元的优点 ,且保证其收敛性 , 并 进一步提高了计算精度和计算效率。 本文利用精化直接刚度法建立考虑横向剪切变形的 精化不协调元 ,该单元保证收敛 , 具有简单实用 、计算效率及精度高的特点。
1

1  考虑剪切变形的三角形精化板单元列式
考虑横向剪切变形时位移模式假定为 u (x , y,z ) -z 0 0      u = v( x , y,z ) = w ( x, y ,z ) = Lu ( z ) d u ( x , y ) 0 0 - z 0 0 1 f (z ) 0 0 0 f ( z ) du ( x , y ) 0 ( 1)

其中:
0 0 0 -x ( x , y ) , V -y ( x , y ) ]T    du ( x , y ) = [w ,x ( x , y ) , w, y ( x , y ) , w ( x , y ) ,V 0 0 -0 式中 ,x ( x, y ) ,w ( x , y )为板中面横向位移 , w w , y ( x , y )为板中面横向位移的一阶偏导数 ,

-y ( x , y )分别为 Z= 0中面的法线相对于 ( X , Z )和 ( Y , Z )平面的剪切转角 ; Lu 中 x ( x , y ) ,V V
收稿日期 : 1997-01-09 *   国家自然科学基金资助项目 ** 陈荣庚 : 1960年生 , 男 , 讲师 , 博士研究生 , 大连 116023

第 4期      陈荣庚 : 考虑剪切变形的精化三角形板单元 的 f ( z )为坐标 Z 的连续函数 , f ( z ) = z ( 1-

25

4z 2 )。精化三角形板单元取三角形的三个顶点 3 h2 -y ( x , y )采用线性插值 , 单元横向位 为节点 , 每个节点有五个自由度 , 剪切转角 V x ( x , y ) ,V 0 移 w ( x , y )采用三次插值函数。 位移插值函数可以写成矩阵形式:
e e          du = N {W }= [N 1 N 2 N 3 ] {W }

( 2)

N 称为形函数矩阵 ,其中: Fx i , x F y i , x Fx i , y        N i = Fx i 0 0 F yi , y Fy i 0 0
2 i

Fi , x Fi , y Fi 0 0
2 i

0 0 0 Li 0
2 j

0 0 0    ( i= 1, 2, 3) 0 Li
2

( 3)

式 ( 3)中    Fi ( x , y ) = Li + L Lj + L Lk - L Li - Lk Li ,
2 2 1      Fx i ( x , y ) = ck Li L j - cj Li Lk+ 2 ( ck - cj ) Li L j Lk , 2      Fy i ( x , y ) = - bk L2 i L j+ b j Li Lk -

1 (bk - bj ) Li L j Lk , 2

i, j ,k按 1 →2 →3 →1 … 轮换 , Li 为三角形面积坐标 ; {W }为节点位移列向量 ,            {W }= {W 1 W 2 W 3}
e T e

( 4)

0 0 0 式 ( 4)中 W i = [w , x   w, y   wi  V x  V y ]     ( i= 1, 2, 3)。 i i i i

由应变位移关系可得 u x
x X

X y
xy =       X = X

v y u + y u + z v e e = B {W }= [B1  B2  B3 ] {W } x w x ( 5)

X xz X yz

v w + z y 式 ( 5)中的 B 即为不协调单元的应变矩阵 ,且        B= [B1  B2  B3 ] ( 6)

26
2

大 连 水 产 学 院 学 报           第 12卷 - z
2

Fx i 2 x Fx i y2

2

-z
2

F yi 2 x F yi y2

2

- z - z
2

Fi 2 x Fi y2

f ( z ) bi 2 Δ 0 f ( z ) ci 2 Δ f (z ) Li z 0

0 f ( z ) ci 2 Δ f ( z )bi    ( i= 1, 2, 3) 2 Δ 0

2

- z
2

-z
2

Bi =

- z

Fx i x y 0 0

-z

F yi x y

- z

Fx i x y

0 0

0 0

f (z ) i z L 以上建立了不保证收敛的不协调单元形函数和应变矩阵 , 为了保证收敛需修改影响 收敛的部分 , 按力学的变分原理只需修正常应变部分 , 对于板的弯曲问题只需修正对应的 弯曲部分 ,具体为         B = B+ Bd         Bd = Bc - B0 式 ( 8)中的 B0= 1 B dv , B0可由 B 代入 x = 0, y = 0 很方便地求得 ; 而 ΔV
e

*

( 7) ( 8)



1         Bc = Δ Rc H ds V
e



( 9)

式 ( 9)中 Ve 为单元的边界 , Δ 为三角形的面积 , Rc 为常弯矩产生边界力的变换矩阵 , H 为 用节点参数表示的边界位移的插值函数。Bc 可以先按 1-2 边列式 , 相应的 0 0 - nx ny nx , ny 为单元边界外法线方向数。 1-2 边上的位移为        ~ du = H 1 {W 12 } 0 0 ~ , s  w ~ 0 V ~x  V ~y ], 式 ( 10)中 ~ du = [~ w, n  w
0 0 0 0 0 0 T   {W 12 }= [w , x   w , y   w 1 V x  V y   w , x   w , y   w 2 V x  V y ] , 1 1 1 1 2 2 2 2

    Rc =

Rc



0

,   R′ c=

n2 x

n2 y nx ny

2 n x ny
2 n2 x - ny

T

( 10)

0 6L1 L2 L12 H1 = 0 0 0

- n x L1 ny L1 ( L 1- 2L2 ) 0 0 0

- n y L1

0 0

0 6L 1 L 2 L 12 0 0 0

- nx L2 ny L 2 ( L 2- 2L 1 ) 0 0 0

- ny L 2

0 0

nx L 1 ( 2L2 - L1 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

nx L 2 ( 2L 1- L2 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

L12表示 1 — 2 边的的边长 , 把 Rc 和 H1代入式 ( 9) 积分 , 可得相应的 1 — 2 边界对 Bc 的贡献 , 通过对下标按 1 →2 →3 →1 … 轮换可以得到其余边界对 Bc 的贡献 , 相加后得到 Bc 的显式 如下:            B= 其中: [Bc 1  Bc 2  Bc 3 ] ( 11)

第 4期      陈荣庚 : 考虑剪切变形的精化三角形板单元 l 1m 1 - l 3m 3    Bc1 = 1 Δ l 3m 3 - l 1m 1 2 ( m1 - m2 ) 0 0 式中 l1 = y 21 , m 1= x 12
2 12 2 21 2 12 2 2 2 l2 1 y 21+ l 3 y 13 2 2 m2 1 y 21+ m 3 y 13 2 2 l2 1 x 12+ l3 x 31 2 2 m2 1 x 12+ m 3 x 31 2

27 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

l1 x 12+ l 3 x 31 0 0

2

2

m 1 y 21+ m 3 y 13 0 0

2

2

, y 21 = y 2 - y 1 , x 12 = x 1 - x 2 , 下标按 1 →2 →3 →1 …轮 2 x + y x + y 21 * 换可以得到 Bc 2 , Bc 3 , 由此得到的精化不协调单元应变矩阵记为 B1 。 此外 , 单元边界位移还有另外的表示 , 如对 ~ w , n和 ~ w , s取线性插值 , 就可以得到另一 种 Bc阵的表达式 , 其显式如下: ′ ′           B′ c= [B′ c 1  Bc 1  Bc 3 ] y 23
′ c1

( 12) 0 0

0

0

0 x 32 0 0 0 1           B = 32 y 23 0 0 0 2 Δ x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 相应得到的精化不协调单元应变矩阵记为 B2 。 由文献 [ 1] 知式 ( 11) 和 ( 12) 都能保证 通过分片试验 , 本文参考文献 [ 1 ] 取如下组合 :         B* = B*1 + 1 ( B*1 - B*2 ) 4 * B 对应的位移函数可显式表示 , 具体可参阅文献 [ 4]。 按通常的位移法 , 用式 ( 13) 精化应变矩阵产生单元刚度矩阵         K =
e

( 13)

∫B
V
e

* T

QB dv

*

( 14)

外载荷列向量可以表示为        R e=
T T N Lu P dx d y ,    P =

[p x  py   pz ]T

外载荷列向量按形函数分配到各个节点 , x , y 方向的积分采用面积坐标 , 采用 7 点高斯数 值积分 。 由此建立的单元以下简记为 RT-15 。

2  算例
算例 1   四边简支方板受均布的横向载荷作用。 算例 2   四边简支方板受正弦分布的横向载荷作用: c x c y       p x = 0, p y = 0, p z = p0 sin si n l l x = 0, l: w 0= w 0 ,y = V y = 0; 边界条件为 0 0 y = 0, l: w = w, x = V x= 0 。 表1 列出了不同的跨厚比随网格加密时方板中点无量纲横向位移的计算结果以及相 应的弹性理论解。 表中 T-15 表示不协调三角形单元计算的结果 ; RT -15 表示精化不协调

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三角形单元计算的结果 , 有限元网格参见文献 [ 1 ]。 由表中计算结果可见 RT-15 单元不仅 收敛 ,而且在较低的网格划分下迅速逼近弹性理论解 。 由中点无量纲横向位移与三维弹性 理论解的相对误差可见 , RT-15 单元在 4 ×4 网格划分下 , 中点无量纲横向位移的相对误差 都是非常小的 , 精化单元的精度显然高于原单元的精度 。
表1   四边简支受均布和正弦分布的横向载荷 作用方板中点无量纲横向位移
受力 跨厚比 l /h 单 元 1× 1 均布 2× 2 4× 4 精确解 1× 1 正弦分布 2× 2 4× 4 精确解 100 T-15 0. 00439 0. 00416 0. 00411 0. 0040623 0. 00321 0. 00271 0. 00262 0. 00257 100 RT-15 0. 00322 0. 00388 0. 00406 0. 0040623 0. 00247 0. 00253 0. 00259 0. 00257 0. 00552 0. 00445 0. 00434 0. 00472 0. 00425 0. 00432 10 T-15 0. 00740 0. 00697 0. 00665 10 R T-15 0. 00618 0. 00651 0. 00661

3  结论
笔者把精化元法推广应用到考虑剪切变形的三角形单元 , 建立了精化三角形板单元 ( RT -15 单元 )。 由于该单元满足单元间 C1类弱连续条件 , 故具有保证收敛 、 自由度少的特 点 , 计算结果表明该单元具有较高的精度。 又由于该单元考虑了剪切变形的影响 , 故可以 直接用于复合材料层合板结构分析问题。

参 考 文 献
1   陈万吉 . 精化直接刚度法与九参数三角形薄板单元 . 大连理工大学学报 , 1993, 33( 2): 289 ~ 295 2   陈万吉 ,陈运民 . 薄板稳定和振动分析的精化九参数三角形薄板单元 . 大连理工大学学报 , 1994, 34( 3): 268 ~ 272 3   陈万吉 ,朱菊芬 ,陈荣庚 . 薄板稳定性有限元分析中 几何刚度阵的精化法 . 大连理工大学学报 , 1996, 36( 2): 141 ~ 144 4   陈万吉 . 精化直接刚度法与不协调位移模式 . 计算结构力学及其应用 , 1995, 12( 1): 127 ~ 132

Ref ined Triangular Pl ate Element of Considering Shear Deformation
Chen Rong geng
( Department of Civi l Enginn eerng, D FU )

Abstract  Refined t riang ula r pla te elem ent of co nsi deri ng shear def orma tio n is pro1 posed. The i nterelement C w eak - co nti nui t y co ndi tions ca n be sati sfi ed , so that the conv ergence i s insured . Num erical result s are show n tha t t he present element has m any adv antag es such a s hig her computati onal ef ficiency , higher accuracy adn sim ple i ndicati on etc . Key words  Refined f ini te element metheod ; t ri ang ula r plate el em ent; Shear defo rmati on ; nonco nf ormi ng elem ent


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