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平面上两点间的距离公式


?复习回顾:

判断两条直线的位置关系有以下结论:
L1:y=k1x+b1 L2:y=K2x+b2 (K1,k2均存在) L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 (A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0)

平行

K1=K2且b1≠b2

重合
相交

r />
K1=K2且b1=b2
K1≠K2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

垂直

K1k2=-1

A1 A2 ? B1B2 ? 0

?问题1:
已知点A(-1,3),O(0,0),B(3,-1) C(2,2),试问:四边形AOBC是什么四边形?
答:AO//BC,OB//AC,四边形AOBC是平行四边形。

又AB ? OC ? 四边形AOBC是菱形
或AO=AC,得四边形AOBC是菱形
A?

y

?C ? o ?B

AO的长怎样求?
AC的长怎样求?
如果把问题一般化就有如下问题:

x

?问题1:

P 已知:1 ? x1,y1 ?和 P2 ? x 2,y 2 ?试求:两点间的距离 ,
1)、y1=y2
y
P1 ? x1,y1 ? ?
P2 ? x 2,y 2 ? ?

2)、x1=x2
y

y1

?P1 ? x1,y1 ?

x1 o

x2

x

o

y2

P2 ? x 2,y 2 ? ?

x

P1P2 =|x 2 - x1 |

P1P2 =|y 2 - y1 |

?构建数学:
3)x1 ≠ x2 ,y1 ≠ y2

y

?
o

P ?x1,y1 ? 1

x
Q?x1,y2 ?

? P2 ?x2,y2 ?
两点 P1 ? x1,y1 ?
P2 ? x 2,y 2 ? 间的距离

P1P2 = (x2 - x1) +(y2 -y1)

2

2

?例1:
(1)两点 A?? 1,, B(2,5) 的距离是________. 3? (2)两点 A ? 0,10 ? ,B(a,-5)的距离是17,则a=_______.

?构建数学:
已知B(-2-1),C(4,7),如何求BC中点坐标?
? C (4,7) ? ?
C1(4,y)

M(x,y)

B(?2,?1)

B1 ( x,?1)

一般地,对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 线段P1P2的中点是M(x0,y0),则 :

? x1 + x2 ?x 0 = ? 2 ? ?y = y1 + y2 ? 0 2 ?

?问题3:
已知 ?ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1), C(4,7) (1)求BC边的长 ; (2)求BC边上的中线AM的长; (3)求BC边上的中线AM所在直线的方程。

?练习:
(1)求线段AB的长及其中点坐标:
①A(8,10), B(-4,4) ② A(- 3, 2),B(- 2, 3)

(2)已知 ?ABC 的顶点坐标为A(3,2),B(1,0), C(2 + 3, - 3) , 1 求AB边上的中线CM的长; 求直线CM的直线方程;

?问题4:
初中我们证明过这样一个问题:

直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。

你能证明此问题吗? 你能用解析几何的方法证明此问题吗?

?小结
1、两点间的距离公式

P1P2 = (x 2 - x1 ) +(y 2 - y1 )
2、中点坐标公式
? x1 + x2 ?x 0 = ? 2 ? ?y = y1 + y2 ? 0 2 ?

2

2


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