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利用面积关系解决一类定值问题——一道练习的拓展延伸与应用


解题技巧与方法  殛 ● ~ , ●   。  
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利用面积关系解决一类定值问题 


道 练 习的拓 展 延伸 与应 用 
2 3 3 0 0 0 )  

◎吴晓攀 ( 安徽 省 蚌 埠 市 第 六 中 学   在 初 中平 面 几 何 中 , 利 用 图 形 面 积 求 解 相 关 问 题 是 一 种 


?



较 为 常 用 的方 法 和 手 段 , 这种 方法非面积 而求面积 , 是 利 用  面 积 关 系 求 线 段 长 度 或 线 段 之 间 关 系 问 题 等 ,常 常 化 繁 为 
简, 化难 为易 。 能 给 我们 意想 不 到 的效 果 .  
例题 如图 1 , 已知 AABC中 , AB =AC=  
‘ . ‘ ?
. .

争 日 c ? A   :   1   A B ? 朋   1   A C ? P F   1 曰 c ? 肋 .  
AB =A C =BC .  

P D +朋 +P F=h . 即 P D +朋 +P F等 于 定 值 ( 等 边 三 

角形 的 高 ) .   拓展延伸 四 若将拓展延伸 三中“ 点 P是 等 边 aA B C内  

4 , P是 B C上 任 意 一 点 , P DL A B 于 D, 甩 上   AC于 E, 若A AB C的 面积为 6 , 求P D+ P E的值.  
解析 连 接 AP, 由图 可 得 , J s △ A 船=S △ A  +  

任 意 一点 ” 改为 “ 若 点 P在 等 边 AA B C外 时 ” , 如图5 , 情 况 又 
将 如何 呢 ?  

P 



5  



6  

△A B C外 被 三 边 所 在 直 线 分 成 6个 部 分 , 当 点 P在 第 ① 
部分内时 . 如图6 , 则:   拓展延伸一 如 图 2 。 在 AAB C  
s  B c :s   +s  c P —S &  

中 , A B =A C, P为 底 边 B C上 一 点 ,  
P D_ L AB 于 D . P E 上AC 于 E  C F_ L AB 

即丁 1  BC? h=  1  AB?  
h = PF + PE — PD .  

1  AC? 雎



 

1   BC PD ,  
?

于  求 证 : P D   4 - P E=C F , 即为 定 值 .  



当 点 P在 第② 部 分 内 时 , 则:  
S   S  丑 P —S  c P —S△  

即 了 1   B C ? h =   1   A B ?  一 }A c ? 咫一 }B c ? 尸 D ,  
‘ .



h=P F一咫

一肋 .  

点 P在 其 余 四个 部 分 内 可类 似 计 算 ( 略) .  
应用一 : 拓 展 延 伸 三 的 另解 — — “ 老题 重现 ” .   如图 . 通 过 MN 在 等 边 AA B C 中构 造 符 合 “ 老题” 规 律 的 

等 边 AAMN, 化“ 新题 ” 为“ 老题 ” , 直接利用 “ 老题重 现” 的 结 
论解决问题.  

如图 7 , 过点 P 作M N / / B C , 交A B  
于  , 交 AG于 Ⅳ,交 A M 于 G, 则 
△A  Ⅳ 为 等 边 三 角形 . 由拓 展 延 伸 一 

的结论 , 得: 雎 十   = AG .  
。 ‘



f   = GM . . ‘ . PD + P E + PF =GM +  

B 

D M   图 7  

G  

AG=』 4M =h.  

应用二 : 点 P是 等 边 AA B C 内任 意 一 点 , 设 到 三 边 的 距 
( 2 ) 如 果 P点 在 C B的 延 长 线 上 , 猜想 : P E—P D =C F . 证  明略 .   拓 展 延伸 三
P D  J - 曰C 于 D .  

离分别 为 n 、 b 、 c , 且使得 以 a . b 、 c为 边 能 够 构 成 三 角 形 . 请 在  图 中画 出满 足 条 件 的点 P一切 可 能 的位 置 , 并 对 这些 位 置 加 
以 说 明.  

在 等 边 aA B C中.  
上A日 于 E。 P F上AC  

如图4 , 若 点 P是 AAB C内 任 意 一 点 .  

如 图 8 , 过 A、 B、 C 三 点 分 别 作  A D上B C 、 B E上AC 、 C F_ I _ AB, 垂 足 分 别  为 D、 E、 F, 由应 用 一 的 归 纳 , P到  曰   与 4 C 的 距 离 之 和 大 于 P点 到 B C的  
B   D M  C 

于 F, 设 h是 等 边 三 角 形 的 高. 试 说 明  P D +P E+P F等 于 定 值.   解析
‘ ‘ .

过 A 作 4M_ L B C, 连接P A,  
= S△ A   +S  c P+ . s △   ,  

距离 . 则 P一 定 在 E F的 下 方 , 同 理 一  B  

D  

C  

P B, P C. 如 图所 示 .  
S 



4  

定在 D E 的左 侧 , 在D F的 右 侧 , 据 此 

图 8  

即 可 确定 J P一 定 在 AD E F的 内 部. 则 P为 △口 E F的 内部 的点 

数 学 学 习与 研 究 2 0 1 5 . 1 0  


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