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东营垦利一中2015年高三12月月考数学试题


垦利一中 2015-2016 学年第一学期模块考试 理科数学试题
命制时间:2015.12
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页.考试时间 120 分 钟.满分 150 分. 答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规 定的位置.

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)

意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | A. {?1, 0,1} B. {?2, ?1, 0,1, 2}
3

1 ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? ( 2
C. {0,1} )



, 0} D. {?1

2.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 (1 ? i) z ? ?2i , 则复数 z ? ( A. i B. ? i C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

3. 若 e1 , e2 是夹角为

u r

ur

r r r u r u r r u r u r ? 的单位向量,且 a ? ?2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? b ? () 3
C. ?

A. 1

B. ?4

7 2

D.
2

7 2

4.已知各项不为 0 的等差数列 {an } ,满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b7 ? a7 ,则 b6b8 ? ()

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

2 5.已知命题 p: | x |? 1 ,命题 q: x ? x ? 6 ? 0 ,则 q 是 p 成立的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? a ? 0(a ? 3) 相交于 A、B 两点,若弦 AB 的中点为(-2,3) , 则直线 l 的方程为( ) A. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0
1
2 2

D. x ? y ? 3 ? 0

2 7.函数 y ? x ?

ln | x | 的图象大致为( ) x

8.一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为() A.π +

[来源:Zxxk.Com]

3 3

B.2π + 3

C.π + 3

D.2π +

3 3

?x ? y ? 2 ? 0 x2 ? y2 ? 9. 设实数x ,y满足 ?x ? 2y ? 5 ? 0 则 Z ? 的取值范围是( xy ? y ?2 ? 0 ?
A ? ,

)

? 1 10 ? ? ?3 3 ?

B ?

?1 5 ? , ? ?3 2 ?

C ?2, ?

? ?

5? 2?

D ?2,

? 10 ? ? ? 3?

10 . 已 知 函 数 f(x)=f(3x), 且 当 x ? ? ?1,3 时, f( x ) ? l n x 若 在 区 间 ? ?1, 9 内 , 函 数 g(x)=f(x)-ax 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A. ? )

?

?

? ln 3 1 ? , ? ? 9 3e ?

B. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

C ?

? ln 3 ln 3 ? , ? 3 ? ? 9

D?

? ln 3 e ? , ? ? 9 3?

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知两条直线 x+my+6=0 和(m-2)x+3y+2m=0 互相平行,则 a 等于_______. 12.由直线 x ? ?

π 3

,x ?

π 3

, y ? 0 与曲线

y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为.

13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若 a 2 b2

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为.
2

14.已知函数 f (x ) 范围是_______ 15.已知 f ( x) ? ?

?

1 3 ax ? ax 2 ? 3ax ? 1 的图像经过四个象限,则实数 a 的取值 3

?| lg x |, x ? 0 ?2
| x|

,x ?0

,则函数 y ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? 1 的零点的个数为_______个.
2

三、 解答题: (本大题共有 6 个小题, 共 75 分.解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程.) 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos2 ? x ? sin 2 ? x,sin ? x) , b ? ( 3, 2cos ? x) ,设函 ? ? ? 数 f ( x) ? a ? b ( x ? R) 的图象关于直线 x ? 对称,其中 ? 为常数,且 ? ? (0,1) .

?

?

2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)若将 y ? f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的

1 ? ,再将所得图象向右平移 个单位, 6 3

纵坐标不变,得到 y ? h( x) 的图象, 若关于 x 的方程 h( x) ? k ? 0 在区间 [0, 有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

? ] 上有且只 2

17(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,等比数列 ?bn ? 满足

a1 ? b1 , a2 ? b2 , a5 ? b3.
(I)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?cn ? 对任意 n ? N 均有
*

c c1 c2 ? ? ??? ? n ? an?1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . b1 b2 bn

18.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD中,AB / /CD, AB ? AD, AB ? 2, AD ? 2 ,

CD ? 1, PA ? 平面 ABCD,PA=2.
(I)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD / / m ; (II)试问线段 PB 上是否存在一点 Q,使得直线 QC 与平面 PAC 所成角的正 切值为

2 ,若存在找出点 Q 的位置,若不存在说明理由. 2

19.(本小题满分 12 分)某公司准备投入适当的广告费,对产品进行宣传,在一年内,预计
3

年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q=

3x ? 1 ( x ? 0) 已知生产此产品的 x ?1

年固定投入为 3 万元,每生产 1 万件此产品仍需后期再投入 32 万元,若每件售价为“年平 均每件投入的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和(注:投入包括“年固定投入” 与“后期再投入”) . (1)试将年利润 W 万元表示为年广告费 x 万元的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?并求出该最大值.

20.(本小题满分 13 分)
已知 a 为实数,函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? 4 x . (1)是否存在实数 a,使得 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值?若存在求出 a 的所有取值。 (2)若函数 f ( x) 在 [2,3] 上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围。
2 2 (3)设 g ( x) ? a ln x ? x ? 5 x ?

1? a , 若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实 x

数 a 的取值范围。

21.(本小题满分 14 分)如图,已知定点 F(-1,0),N(1,0) ,以线段 FN 为对角线作周长是 4 2 的平行四边形 MNEF,平面上动点 G 满足 GO ? 2 (O 为坐标原点) (Ⅰ)求点 E、M 所在曲线 C1 的方程和动点 G 的轨迹 C2 的方程。 (Ⅱ)已知过点 F 的直线 l 交曲线 C1 于点 P、Q,交轨迹 C2 于点 A,B,若|AB| 求
?

? (2 3, 15) 。

?NPQ 内切圆半径的取值范围.

理科数学试题答案
4

一、选择题 二、填空题 16

ADCDB -1;

ACADA

3;

5 1 3 ; a < - 或a > ; 5. 5 9 5

由直线 x

?

?

1 ( k ? z ) ,即 ? ? k ? ( k ? z ) . 6 3 2 1 又 ? ? (0,1) , k ? z ,所以 k ? 0 ,故 ? ? . 6
所以 ?? ?

?

2



y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 2sin(?? ?

?
3

) ? ?2 ,

? k? ?

?

? 1 ? d , a ? 1 ? 4 d , 17(Ⅰ)由题意 a 且a 2 5 1, a 2, a 5 成等比数列,
2 又 d ? 0, d ? 2, ? ( 1 ? d ) ? 14 ? d ,

? a ? 1 ? ( nd ??? 1 ) 21 n. n a 3 ,? 又b ????????????5 分 q ? 3 , b 3. 2? 2? n?
5
n ? 1

1 (Ⅱ)? ,①? 1 ? 2? ? ?n? a n ? 1

c c b 1 b 2

c b n

c ?a ? c , 2, 1 ?3 b 1



c c c ? 1 1 c ,②① ? ②得 n ?a ?2? ? ?n ? a ( n ? 2 ) , n n? 1 ?a n ?2 b b b 1 b 2 n ? 1 n

3 ,n?1 , ? n ? 1 ? c ????????????10 分 ? c ? 2 b ? 2 ? 3 ( n ? 2 ) , n ?? n n n? 1 2?3 ,n?2 . ?
当n

? 1 时, S c 3 , n? 1?
12 n ? 1 n ? 1 3 ( 1 ? 3 )n ? 3 1 ? 3

当 n ? 2 时, S ? c ? c ? ? ? c ? 3 ? 2 ? ( 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? 3 ? 2 ? n 1 2 n

所以, Sn

? 3n.
AB // CD, CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB , ? CD // 平面PCD.

18.解: (Ⅰ)证明:∵

因为 CD ? 平面 PCD,平面 PAB ? 平面 PCD=m ? CD // m ??????4 分 PQ ? ? , 因为 AB ? AD, PD ? 平面ABCD ,所以建立如图所示的空间直角坐标系 (Ⅱ)设 PB 设 Q(x,y,z) ,直线 QC 与平面 PAC 所成角为θ . 所以 PQ ? ? PB ,

所以即 Q(2 ? ,0,-2 ? +2)??????6 分 所以

CQ ? (2? ? 1,? 2,?2? ? 2) AP ? (0,0,2), AC ? (1, 2,0)
平面 PAC 的一个法向量为 n ? (

? ? ? ? ? ? ? ? 7



2 ,?1,0) .???9 分

2 ? tan? ? 2
解得

? cos? ?


n ? CQ n ? CQ

?

3 3

??
PQ PB

7 12 ∈
=

??????11 分

所以

7 12 ??????????????12 分

19( 1 ) 由 题 意 , ∵ 生 产 产 品 的 年 固 定 投 入 为 3 万 元 , 每 生 产 1 万 件 仍 需 后 期 再 投 入 32 万 元 , 若 每 件 售 价 为 “ 年 平 均 每 件 投 入 的 150%” 与 “ 年 平 均 每 件 所 占 广 告 费 的 50%” 之 和 6

∴W=0.5×(3+32Q) -0.5x=

16 (3x + 1) x+ 1

- 0.5 x + 1.5( x ? 0)( 6 分 ) t÷ ÷? 50 2 16 = 42 (3分) 2÷

( 2 ) 令 x+1=t ( t≥1 ) , 则 W=50- ? ?

骣 32 + ? 桫 t

当 且 仅 当 t=8 , 即 x=7 时 取 最 大 值 42 万 元 . ----- ( 2 分 ) 答 : 当 广 告 投 入 7 万 元 时 , 企 业 的 最 大 利 润 为 42 万 元 . ----- ( 1 分 ) 20

21 7

8


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