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直接证明(综合法、分析法)


直接证明

思考:在《数学 (必修)》中,我们如 5 何证明 a?b 基本不等式 ab ? (a ? 0, b ? 0) ? 2
证法1 对于正数a,b, 有
2 b) ? 0

( a?

a?b 证法2 要证 ab ? 2 只要证 2 ab ? a ? b
只要证

? a ? b ? 2 ab ? 0 ? a ? b ? 2 ab a?b ? ? 2 ab

0 ? a ? 2 ab ? b
2

只要证 0 ? ( a ? b )

因为最后一个不等式成立, 故结论成立。

直接证明(数学理论)
上述两种证法有什么异同?
相同

都是直接证明 证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、 定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论 为止 综合法 证法2 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的 条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知 条件吻合为止 分析法

不同

综合法

(顺推证法、由因导果法)

利用已知条件和某些数学定义、定理、

公理等,经过一系列的推理论证,最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。
条件 定义 定理 公理 推理论证

条件

结论


P

Q1

Q1 Q2

Q2

Q3

Qn

Q

分析法 (逆推证法、执果索因法)
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求 使它成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)。
用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: P1 P2 P2 P3 … 得到一个明显 成立的条件

Q P1

【分析法】
要证 ?? 只需证 ??

格 式

只需证 ??
??显然成立

所以 结论成立

例1 在ΔABC中, 三个内角A,B, C对应的边分别为 a, b, c, 且A,B, C成等差数列a, b, c成等比数列求证 , , ΔABC为等边三角形 .

证明 由A,B, C成等差数列有2B ? A ? C. ,
因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A ? B ? C ? π. , π 由 ① ②, 得B ? . 3 由a,b, c成等比数列有b2 ? ac. ,
③ 由余弦定理及 ,可得b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cosB ? a2 ? c 2 ? ac.

① ② ③ ④

再由④,得a ? c ? ac ? ac,即 ?a ? c ? ? 0,
2 2 2

因此a ? c.从而有A ? C.



π 由② ③ ⑤ 得, A ? B ? C ? .所以 ΔABC是等边三角形 . 3

例 2 如图 2.2 ? 1 所示 , SA ? 平面ABC, AB ? BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF ? SC.

S

E
A

F
C

B 图2.2 ? 1

证明 要证 AF ? SC 只需证 SC ? 平面 AEF,

S

只需证AE ? SC (因为 EF ? SC ), 只需证AE ? 平面SBC, 只需证AE ? BC (因为 AE ? SB ),
只需证BC ? 平面SAB,

E
A

F
C

B 图2.2 ? 1

只需证BC ? SA (因为BC ? AB ), 由SA ? 平面ABC可知,上式成立所以, AF ? SC. .

直接证明
综合法和分析法的推证过程如下: 综合法
已知条件

????? 结论

分析法
结论

?????已知条件

直接证明(练习)
1. 求证:3 ? 7 ? 2 5.
证 要证

3 ? 7 ? 2 5.

只需证明 ( 只需证明 只需证明

3 ? 7)2 ? (2 5)2 .

10 ? 2 21 ? 20
2 21 ? 10 21 ? 5
21 ? 25

只需证明
只需证明

因为21<25显然成立,所以原不等式成立.

直接证明(练习)
2. 若 tan ? ? sin ? ? a, tan ? ? sin ? ? b. 求证: - b ) ? 16ab. (a
2 2 2

证:(a - b ) ? [(a ? b)(a ? b)]
2 2 2 2 2

2 2 2

? (2sin ? ) ( 2 tan ? ) ? 16sin ? tan ? . 16ab ? 16(tan ? ? sin ? ) ? 16(tan ? ? tan ? cos ? )
2 2 2 2 2

? 16 tan ? (1 ? cos ? ) ? 16sin ? tan ? .
2 2 2 2

? (a 2 - b 2 ) 2 ? 16ab

直接证明(回顾小结)
概念
分析法 解题方向比较明确, 综 分 合 析 法 法 综合法
利于寻找解题思路; 条理清晰,易于表述。

通常以分析法寻求

思路,再用综合法有条理地
表述解题过程

小结:
1.分析法的概念; 2.分析法的基本思路:执果索因;

3.注意分析法的格式.


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