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广东实验中学2008-2009学年度高三数学上学期阶段考试试卷(文科)


广东实验中学 2008-2009 学年度高三数学上学期阶段考试试 卷(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔填涂在答题卡上;答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题

卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,只须将答题卡、答题卷交回.

第一部分

选择题(共 50 分)

一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1. 已知集合 A ? {cos0 ,sin 270 }, B ? {x | x2 ? x ? 0} 则 A A. {0, ?1}
3
3 2

B为

(

)

B. {?1,1}
2

C. {?1} )
3 2 3 2

D. {0}

2.命题“ ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 ( A. ? x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 C. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

B. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0 D.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0

3.函数 f(x)是以π 为周期的奇函数,且 f( ? A.

?
4

)=-1,那么 f( C. 1 )

9? )等于 ( 4
D. -1

)

? 4

B.

?

?
4

4.函数 y ? sin x ? cos x 的一个单调减区间是( A.

[?

? 3?
4 , 4

]

B.

[

3? 7? , ] 4 4

C. [0,

7? ] 4

D. [

7? 11? , ] 4 4

n ?1

5.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? (

?3? A. 4 ? ? ? ?2?

n

?3? B. 4 ? ? ? ?2?

n ?1

?2? C. 4 ? ? ? ?3?


n

?2? D. 4 ? ? ? ?3?

π? ? 6.函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图像 6? ?
A.关于原点成中心对称



B.关于 y 轴成轴对称

C.关于 (

?
12

,0) 成中心对称

D.关于直线 x ? (

π 成轴对称 12
) D. a ? 0 )

7、函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1 有极值的充要条件是 A. a ? 0 8.若函数 f ( x ) ? ? B. a ? 0 C. a ? 0

? f ( x ? 2) ( x ? 2) ,则 f (?3) 的值为( ?x ( x ? 2) ? 2
1 2
(C)2

(A)

1 8

(B)

(D)8 )

9.函数 y ? f (x) 的部分图像如图所示,则 y ? f (x) 的解析式为 ( A. f (x) ? x ? sin x B. f (x) ? x sin x C. f (x) ? x cos x D. f (x) ? x ? cos x 10 . 如 果 关 于
y

x 的 方 程


o

x

1 [( )| x| ? 2]2 ? a ? 2 ? 0 2
(C) ?? 2,1?

(D) ?? 1,2 ?

有实数根,则 a 的取值范围是( (A) ?? 2,??? (B) ?? 1,2?

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.化简 cos 27 cos33 ?cos63 cos57 ? .

{a n }满足:a n ? 12. 已知数列
2

1 , 则数列{a n }的前100 项的和是 ______ . 1 ? 2 ? 3 ? ......? n
3

13.已知曲线 y ? x ?1 在 x ? x0 点处的切线与曲线 y ? 1 ? x 在 x ? x0 点处的切线互相平行, 则 x0 的值为 .
x

14 .已知 a ? 0且a ? 1,函数y ?| a ? 2 | 与y ? 3a 的 图象有 两个交 点,则 a 的取值范 围 是 。

三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?
2

?
12

) ? sin 2 x .

(1)若 f (? ) ? 1, ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值; (2)求 f ( x) 的单调增区间.

16. (本小题满分 12 分)
)x ? x ?( 1 2 g ( x) ? ? 已知函数 f ( x) ? log 1 x, x ? (0,1] , ? x?2x 3 x?0 x ?0

(1)证明 g(x)是奇函数。 (2) 若 f(x)的值域为 A) , h(x)=g(x)+a g(x ? 2x ? x ? a, x ?[1, ??) 时值域为 B.当 A

B ? A 时, 求 a 的取值范围。

17. (本小题满分 14 分)
已知在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 0 ,且 an?1 ? 3an ? 6, (1)求 a2 , a3 (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ? n(an ? 3),

n? N? .

n ? N ? ,求和: S n ? c1 ? c2 ? .......? cn

(n ? N ? ) .

18、 (本小题满分 14 分)
1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值. (2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 是减函数,求 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ?

19. (本小题满分 14 分)
设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 (1)当 a=1, x ? ?? 3,3?时,求函数 f(x)的取值范围。

2 ? 2ax 2 ? 3a x 1, 0 ? a ? 1., x ??1 ? a,1 ? a? 时,恒有 ? a ? f ( x) ? a 成立,试确定 a 的取值范围. ( 2? )若

20、 (本小题满分 14 分)
已知正项数列 {a n }中,a1 ? 2,
2 an ? an an?1 ? 2nan?1 ? 4n 2 ? 0

(n ? 2, n ? N )

(1)写出 a2 、 a 3 的值(只须写结果) 。 (2)求出数列 {an } 的通项公式。 ( 3 )设 bn ?

1 1 1 ? ? ? an ?1 an ? 2 an ?3

?

1 ,若对任意的正整数 n ,当 m ?[? 1 , 1]时,不等式 a2 n

1 t 2 ? 2mt ? ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

2009 届省实高三第一次月考 数 学 试 题(文科)参考答案
一、选择题(共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 D

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题(共 5 小题,11—13 题是必做题,14—15 题是选做题.每小题 5 分,满分 20 分)

11.

1 2

12.

200 101
2 (0, ) 3

13.

x0 ? 0 或 x0 ? ?

2 3

14.

三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?
2

?
12

) ? sin 2 x .

(1)若 f (? ) ? 1, ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值; (2)求 f ( x) 的单调增区间. 15. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ? 1 ? cos( 2 x ?

?
6

) ? sin 2 x ………………………………………… 2 分 ? sin 2 x sin

? 1 ? cos 2 x cos

?
6

?
6

? sin 2 x

? 1?

3 1 cos2 x ? sin 2 x ………………………………………… 4 分 2 2

? sin( 2 x ?

?
3

) ? 1 ……………………………………………………. 6 分 ) ?1 ? 1 ? sin( 2? ?

(1) f (? ) ? sin( 2? ?

?
3

?
3

) ?0;
8分

2? ?

?
3

? k? , ? ?

k? ? ? 5? ? (k ? z ), 又 ? ? ? (0, ? ) ? ? ? 或 …………… 2 6 3 6

(2) f ( x) 单调增,故 2 x ? 即 x ? [k? ?

?
3

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

] ,…………………………… 10 分

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) , 12 12 5? ? , k? ? ]( k ? Z ) .…………………… 12 分 从而 f ( x) 的单调增区间为 [ k? ? 12 12
16. (本小题满分 12 分)
)x ? x ?( 1 2 g ( x) ? ? 已知函数 f ( x) ? log 1 x, x ? (0,1] , ? x?2x 3 x?0 x ?0

(1)证明 g(x)是奇函数。 (2) 若 f(x)的值域为 A) , h(x)=g(x)+a g(x ? 2x ? x ? a, x ?[1, ??) 时值域为 B.当 A

B ? A 时, 求 a 的取值范围。

16、(1)证明: x ? 0时, 则 ? x ? 0, f(-x) ? -x - ( ) 又 x ? 0时, 则 ? x ? 0, f(-x) ? -x ? 2
?x

1 2

?x

? ? x ? 2 x ? ?f ( x ) ……………2 分

1 ? ? x ? ( ) x ? ?f ( x ) …………………….….4 分 2

由上可知,g(x)是奇函数。……………………………………………………………….…5 分 (2)解:由函数 f ( x ) 的性质易知:A=[0,+ ?) ………………………………………7 分 又 h(x)= x ? 2 ? a 在 [1, ??) 上为增函数
x

∴ h( x) min ? h(1) ? 3 ? a

∴ B ? [3 ? a, ??) .………………………………………………………………9 分 由A

B ? A ,知 B ? A ……………………………………………………….10 分

令 3 ? a ? 0 ,∴ a ? ?3 因此, a 的取值范围是 [?3, ??) ………………………………………………12 分

17. (本小题满分 14 分) 已知在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 0 ,且 an?1 ? 3an ? 6, (1)求 a2 , a3 (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 cn ? n(an ? 3),

n? N? .

n ? N ? ,求和: S n ? c1 ? c2 ? .......? cn

(n ? N ? ) .

17.解: (1) a2 ? 6, a3 ? 24 ………………………………………2 分 (2) an?1 ? 3 ? 3(an ? 3),

n ? N ? ………………………………………4 分

? 数列 {a n ? 3}是一以 a 1 ? 3 ? 3为首项, 3为公比的等比数列 …………5 分

? an ? 3 ? 3n ,? a n ? 3n ? 3

n ? N ? ………………………………………………7 分

(3) cn ? n(an ? 3) ? n ? 3n ,

n ? N ? …………………………………………………8 分

S n ? 31 ? 2 ? 32 ? ......? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ? 3n
3S n ? 32 ? 2 ? 33 ? ......? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n ?1 …………………10 分
- 2S n ? 3 ? 3 2 ? 33 ? ......? 3 n ? n ? 3 n ?1 ? 1 n ?1 3 ? 3 ? ? n ? 3 n ?1 …………13 分 2 2

Sn ?

2n - 1 n ?1 3 ? 3 ? …………14 分 4 4 1 2 ax ? 2 x ? ln x 2

18、 (满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值.

(2)当 a ? 0 时,若 f ( x) 是减函数,求 a 的取值范围; 18、解: (1)∵ f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 1 ????????2 分 x
(

当 a=0 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 f ' ( x ) ? 2 ? ∴ x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表 x (0, -

1 ) 2

1 2
0 极小值

1 ,+∞) 2
+

f ' ( x)
f ( x)

??????????????????????5 分

1 时, f ( x) 的极小值为 1+ln2,函数无极大值. ????????7 分 2 1 2 (2)由已知,得 f ( x) ? ax ? 2 x ? ln x, 且x ? 0,则 2
∴当 x ?

f ' ( x) ? ax ? 2 ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ??????9 分 x x

∵函数 f ( x) 是减函数
2 ∴ f ' ( x) ? 0 对 x>0 恒成立,即不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立??11 分

得 ?

?a ? 0 ?? ? 4 ? 4a ? 0

??????????13 分

,即a 的取值范围是 (??,?1] 解得 a ? ?1

??????14 分

19. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 (1)当 a=1, x ? ?? 3,3?时,求函数 f(x)的取值范围。

2 ? 2ax 2 ? 3a x 1, 0 ? a ? 1., x ??1 ? a,1 ? a? 时,恒有 ? a ? f ( x) ? a 成立,试确定 a 的取值范围. ( 2? )若

解:(1)a=1 时,f(x)= ? ?x ? 2? ? 1 ????????????????1 分
2

x ? ?? 3,3?时, f max ( x) ? f (2) ? 1, f min ( x) ? f (?3) ? ?24 ????? 3 分
得此时函数 f(x)的取值范围为[-24,1] ??????????????4 分
2

f ?? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ? ? x ? 2a ? ? a 2 , (2)∵ f(x)

1 时, 1 ? a ? 2a , 3 ∴f(x)在区间 ?1 ? a,1 ? a? 内是单调递减.????????????????6 分
当0 ? a ?

f max ( x) ? f (1 ? a) ? ?8a 2 ? 6a ? 1, f min ( x) ? f (1 ? a) ? 2a ? 1 .

? ?8 a 2 ? 6 a ? 1 ? a , ∵ ? a ? f ( x) ? a ,∴ ? ? 2a ? 1 ? ? a.
此时, a ?? .????????????????????????????9 分 当

1 ? a ? 1 时, f max ( x) ? f (2a) ? a 2 . 3
2

? ?0 ? a ? 1, ? a ? a, ? 1 7? 1 7 1 ? ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 即 ?a? ? 2a ? 1 ? ? a, ?a ? , 3 16 3 ??8a 2 ? 6a ? 1 ? ?a. ? ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 ? 16
3 16

??12 分

此时, 1 ? a ? 7 ? 17 . ?????????????????????? 13 分
? ? 综上可知,实数 a 的取值范围为 ? 1 , 7 ? 17 ? .?????????????14 分 16 ? ?3 20、 (本小题满分 14 分)

已知正项数列 {a n }中,a1 ? 2,

2 an ? an an?1 ? 2nan?1 ? 4n 2 ? 0

(n ? 2, n ? N )

(1)写出 a2 、 a 3 的值(只写结果) 。 (2)求出数列 {an } 的通项公式。 ( 3 )设 bn ?

1 1 1 ? ? ? an ?1 an ? 2 an ?3

?

1 ,若对任意的正整数 n ,当 m ?[? 1 , 1]时,不等式 a2 n

1 t 2 ? 2mt ? ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6
20 解: (1) a2 ? 6 , a3 ? 12 ;……………………………………………………2 分 (2)由已知可得: (an ? 2n)(an ? 2n) ? an?1 (an ? 2n) ? 0

? (an ? 2n)(an ? an?1 ? 2n) ? 0, 又,a n ? 0,? a n ? a n ?1 ? 2n ? 0
? a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ......? (a 2 - a 1 ) ? a 1 )

(n ? 2) …4 分

? 2 ? 4 ? 6 ? ......? 2n ? n(n ? 1) …………………………………………………6 分
(Ⅲ) bn ?

1 1 1 ? ? ? an ?1 an ? 2 an ?3 ?

?

1 a2 n ? 1 2n(2n ? 1)

1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 2)(n ? 3)

?

1 1 n 1 .……………………………8 分 ? ? 2 ? 1? n ? 1 2n ? 1 2n ? 3n ? 1 ? ? 2n ? ? ? 3 n? ?

1 1 ( x ?1) ,则 f ?( x) ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,所以 f ( x) 在 [1 , ? ? ) 上是增函数, x x 1 故当 x ? 1 时, f ( x) 取得最小值 3 ,即当 n ? 1 时, (bn )max ? .………………11 分 6 1 t 2 ? 2mt ? ? bn ( ?n ? N? , ?m ?[?1,1] ) 6 1 1 ? t 2 ? 2mt ? ? (bn )max ? ,即 t 2 ? 2mt ? 0 ( ?m ?[?1,1] ) 6 6
令 f ( x) ? 2 x ?

?t 2 ? 2t ? 0 ? . ?? 2 ? ?t ? 2t ? 0
解之得,实数 t 的取值范围为 (?? , ? 2)

(2 , ? ?) .………………………………14 分

另解:

bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?( ? ) n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2n ? 1 n ? 2 2n ? 1 2n ? 3 n ? 1

?

3n ? 3 3n ? 4 1 ? 2 ? 0 ? 数列{b n }是单调递减数列, ? (b n ) max ? b1 ? 6 2n ? 5n ? 2 2n ? 5n ? 3
2


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