当前位置:首页 >> 数学 >>

【导与练】2015届高考数学一轮复习 第2篇 第9节 函数模型及其应用课件 文 新人教版


第9节

函数模型及其应用

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合
1.函数模型及其性质的比较
(1)几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型

抓主干

/>
固双基

函数解析式 f(x)=ax+b(a、b 为常数,a≠0) f(x)=

k (k≠0) x
2 x

f(x)=ax +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0) f(x)=ba +c(a、b、c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a、b、c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=ax +b(a、b、n 为常数,a≠0,n≠0)
n

(2)三种函数模型性质比较
y=a (a>1) 在(0, +∞) 上的单调 性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 单调递增 函数 单调递增 函数 单调递增 函数
x

y=logax(a>1)

y=x (n>0)

n

2.解答函数应用题的一般步骤
(1)审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选 择函数模型. (2)建模 将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符 号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. (3)求模 求解函数模型,得出数学结论.

(4)还原 将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

双基自测
1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A )

1 x (A)v= ·e (B)v=100ln x 100
(C)v=x
100

(D)v=100×2

x

1 x x 解析:只有 v= ·e 和 v=100×2 是指数函数,并且 100 1 x e>2,所以 v= ·e 的增大速度 快,选 A. 100

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实 验数据:
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律,其中最接近的一个是( (A)y=2x-2 B )

1 2 x (B)y= (x -1) (C)y=log3x (D)y=2 -2 2

解析:将各点代入到各选项函数中,

1 2 比较发现函数 y= (x -1)最接近.故选 B. 2

3.(2013 泉州模拟)某厂日产手套总成本 y(元)与 手套日产量 x(副)的函数解析式为 y=5x+4000,而 手套出厂价格为每副 10 元,则该厂为了不亏本,日 产手套至少为( D ) (A)200 副 (B)400 副 (C)600 副 (D)800 副 解析:设日产手套至少 x 副,依题意, 10x≥5x+4000,解得 x≥800, 故选 D.

4.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与 细胞数 n(单位:个)的部分数据如下: t n 0 1 分钟. 解析:由表格中所给数据可知,n 与 t 的函数关系式为 n= 2 , 令 n=1000,得 2 =1000,又 29=512,210=1024,所以 于 10,即时刻 t 最接近 200 分钟. 答案:200
t 20 t 20

20 2

60 8

140 128

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于

t 最接近 20

考点突破

剖典例 知规律

考点一 一次函数、二次函数模型
【例 1】 (2013 广州高三调研)为了保护环境,发展低碳经济,某 单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的 处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理
1 2 量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x -200x+80000, 2

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成 本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获 利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
y y y 思维导引:(1)平均处理成本即 , 最低,即求 的最小值; x x x

(2)若要获利,需利润(100x-y)为正值,否则不能获利. 解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为

1 80000 y 1 80000 = x+ -200≥2 -200=200, x? x 2 x 2 x
1 80000 当且仅当 x= , x 2

即 x=400 时,上式取等号, 即当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成 本最低,最低处理成本为 200 元.

(2)设该单位每月获利为 S,
?1 2 ? 则 S=100x-y=100x- ? x ? 200 x ? 80000 ? ?2 ?
1 2 1 2 =- x +300x-80000=- (x-300) -35000, 2 2

因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元, 才能不亏损.

即时突破 1 为了发展电信事业方便用户,电信公司
对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如 意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通 话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系如图所示.

则通话费 y1,y2 与通话时间 x 之间的函数关系式分别 为 , .

解析:依题意设 y1=k1x+b,y2=k2x, 将点 A(0,29),B(30,35)代入 y1=k1x+b 得

1 b=29,k1= , 5 1 1 ∴y1= x+29.将点 C(30,15)代入 y2=k2x 得 k2= , 2 5 1 ∴y2= x. 2 1 1 答案:y1= x+29 y2= x 2 5

考点二 函数 y=x+ a (a>0)的模型
x

【例 2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋 顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热 层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消 耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系 C(x)=
k (10≤x≤20),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 3x ? 5

万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.

(1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 思维导引:(1)x=0 时表示不建隔热层,故 C(0)=8.
a (2)将函数转化为 f(x)=x+ (a>0)模型,利用 x a f(x)=x+ (a>0)的单调性求最值. x

解:(1)由已知条件得 C(0)=8,则 k=40,
800 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ (10≤x≤20). 3x ? 5

400 ? 800 ? (2)f(x)=6x+10+ -10= 2 ? 3x ? 5 ? -10, ? 3x ? 5 3x ? 5 ? ?

由 3x+5≥20 即 x≥5,f(x)为增函数. ∴f(x)在 10≤x≤20 上为增函数,
580 ∴f(x)min=f(10)= . 7

所以当隔热层厚度为 10 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,
580 最小值为 万元. 7

a 反思归纳 y=x+ (a>0)称为“对勾”函数,其图象大 x
致如图所示,x∈(-≦,- a ]和 x∈[ a ,+≦)时,函数为 增函数.x∈[- a ,0)和 x∈(0,

a ]时函数为减函数,

函数图象无限趋近于直线 y=x,但不相交,常利用“对勾”

a 函数的单调性求 y=x+ (a>0)型 x
函数在某区间上的值域或最值.

即时突破 2 某村计划建造一个室内面积为 800 m

2

的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、 右两侧与后侧内墙 各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地, 当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大? 最大面积是多少?

800 解:设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m. x

? 800 ? ∴蔬菜种植面积 y=(x-4) ? ? 2? ? x ?

? 1600 ? =808-2 ? x ? ? (4<x<400). x ? ?
由“对勾”函数的单调性知, 当 4<x<40 时,函数为增函数, 当 40<x<400 时,函数为减函数. 即 x=40 时取等号, 2 y 最大值=648(m ). 即当矩形温室的边长各为 40 m、20 m 时,蔬菜的 种植面积最大,最大面积是 648 m .
2

考点三 指数函数模型
【例 3】 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人 按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药 量 y(微克)与时间 t(小时)之 间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后,y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微 克时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长?

思维导引:(1)依据图象写出 y=f(t);(2)令 y≥0.25 解 所得不等式即可.
? kt , ? 0 ? t ? 1? , ? 解:(1)由题意可设 y= ?? 1 ?t ? a ?? ? ? t ? 1? , ?? 2 ?

当 t=1 时,由 y=4 得,k=4.

?1? 由? ? ?2?

1? a

=4 得,a=3.

? 4t , ? 0 ? t ? 1? , ? 因此,y= ?? 1 ?t ?3 ?? ? ? t ? 1? , ?? 2 ?
? t ? 1, ? 0 ? t ? 1, ? (2)由 y≥0.25 得, ? 或 ?? 1 ?t ? 3 ?4t ? 0.25 ?? ? ? 0.25, ?? 2 ?
1 解得 ≤t≤5. 16 1 79 因此,服药一次后治疗有效的时间是 5- = 小时. 16 16

反思归纳 一般地,涉及增长率问题、存储利息问
题、 细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求 解.求解时注意指、对式的互化、指数函数的值域的影 响以及实际问题中的条件限制.

即时突破 3 一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上
升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全 法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那 么,此人至少经过 小时才能开车.(精确到 1 小时) 解析:设经过 x 小时才能开车. 由题意得 0.3(1-25%)x≤0.09, ∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5. 答案:5

备选例题
【例题】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况,在一般情况下.大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时) 是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超 过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤ x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并 求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

解:(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时, 设 v(x)=ax+b,
1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?
?60,0 ? x ? 20, ? 故函数 v(x)的表达式 v(x)= ? 1 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200. ? ?3

(2)依题意并由(1)可得
?60 x,0 ? x ? 20, ? f(x)= ? 1 x ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200. ? ?3

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20<x≤200 时,
1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 1 f(x)= x(200-x)≤ ? , ? = 3? 2 3 3 ?
2

当且仅当 x=200-x, 即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值
10000 . 3

综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值
10000 ≈3333, 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最 大值约为 3333 辆/小时.


相关文章:
...(人教,文)2015届高三数学一轮总复习题型专练:函数模...
【导与练+精炼精讲】(人教,)2015届高三数学一轮总复习题型专练:函数模型及其应用(含答案解析)]_高中教育_教育专区。【导与练+精炼精讲】(人教,)2015届高...
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应...
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用基丛点练理_数学_高中教育_教育专区。第9节【选题明细表】 函数模型及其应用题号 ...
...一轮复习配套讲义:第2篇 第9讲 函数模型及其应用
高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第9函数模型及其应用_数学_高中教育_教育专区。宜宾市优学堂培训学校 第9讲 [考纲] 函数模型及其应用 1....
【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 2-9 函数模型及...
【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 2-9 函数模型及其应用题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第9函数模型及其应用 基础...
...及其应用 第9节 函数模型及其应用应用能力提升 文
2017届高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用应用能力提升 _数学_高中教育_教育专区。第9节 函数模型及其应用 【选题...
2-9 函数模型及其应用
【导与练】 (新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 2 篇第 9 节 函数 模型及其应用课时训练 理 【选题明细表】 知识点、方法 用函数(图象)刻画实际问题中两...
【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第4...
【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第4节 指数函数课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 2...
【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第11...
【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。【导与练】 (新课标) 2016 届高三...
山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 12函数模型及其应...
山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 12函数模型及其应用限时检测 新人教A版_...【答案】 D 图 2-9-6 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为...
【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第2篇 第...
【导与练】2015届高三数学(人教,)一轮专练 :第2篇 第4节 指数函数]_高中教育_教育专区。【导与练】2015届高三数学(人教,)一轮专练 :第2篇 第4节 ...
更多相关标签: