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河口中学高二数学竞赛试卷


河口中学高二数学竞赛试卷
第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:共 10 小题每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的,把正确的选项的代号填在答题卡上. 1.已知 M ? {x | x ? 1}, N ? {x | log 2 x ? 1} ,则 M ? N =( A. {x | x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2}

C. {x | 0 ? x ? 1} ) D. ? z

2.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图。 其中实点 代表钠原子,黑点·代表氯原子。建立空间直角 坐标系 O—xyz 后, 图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标 是 ( ) 1 1 A. ( , ,1) B. (0,0,1) 2 2 1 1 1 C. (1, ,1) D. (1, , ) 2 2 2 3. 已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直, a 等 则 于( ) A 2 B 1 C 0 D x

O

y

?1


4.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 ................ ( A.
1 1 ? a b

B. a 2 ? b 2 C. a | c |? b | c | D.

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

5. 直线 x ? y ? 1与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点, a 的取值范围是 则 ( A. (0, 2 ? 1) 6.函数 f ( x) ? ln x ? A. (1,2)
? 3 2



B. ( 2 ? 1, 2 ? 1) C. (? 2 ? 1, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1)
2 的零点所在的大致区间是 x

B. (2,3)

C. (e,3)

D. (e,+∞)

5 1 7.已知 R ? 2 , P ? ( )3 , Q ? ( )3 ,则 P 、 Q 、 R 的大小关系是 2 2

A. P ? Q ? R

B. Q ? R ? P

C. Q ? P ? R

D. R ? Q ? P ( )

8.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, | a |? 3, | a ? b |? 13 ,则 | b | 等于 A.5 B.3 C.4 D.1

9.函数 y ? A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则其解析式可以是

1

A. y ? 3sin(2 x ? ) B. y ? ?3sin(2 x ? ) 3 3
1 ? C. y ? 3sin( x ? ) 2 12 1 ? D. y ? ?3sin( x ? ) 2 12

?

?

10.等差数列 {a n } 中
a1 ? a 4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27 , 则数列

{a n } 前 9 项的和 S 9 等于(

) A.66

B.99

C.144

D.297

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题有5个小题,每小题 5 分,共 25分;将答案填在答题卡上.
?x ? y ? 5 ? 0 ? 11. 已知 x、 满足约束条件 ? x ? y ? 0 y , z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 则 ?x ? 3 ?

.

12.已知点 P,直线 a, b, c 以及平面 ? , ? ,给出下列命题:①若 a, b 与 ? 成等角, 则 a ∥ b ;②若 ? ∥ ? , c ⊥ ? ,则 c⊥ ? ③若 a ⊥ b , a ⊥ ? ,则 b ∥ ? ④若

? ⊥ ? , a ∥ ? ,则 a ⊥ ? ⑤若 a ⊥ c , b ⊥ c ,则 a ∥ b 或 a, b 异面直线。
其中错误命题的序号是 ? 5 ? 13.若 sin( ? ? ) ? , 且? ? (0, ) ,则 4 13 2 。
cos 2? cos( ? ? ) 4

?

值为

.

14. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v 与时间 t 的关系如图所示,则该汽车在前 3 小时内行驶的 路程为_________km, 假设这辆汽车的里程表在汽 车行驶这段路程前的读数为 2006km,那么在
t ? [1, 2] 时,汽车里程表读数 S 与时间 t 的函数解

析式为__________。 15. y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8 x 于 A, 两点, B 若 AB 中点的横坐标是 2,则 AB ? ________.

2

河口中学高二数学竞赛答题卷
得分 一、选择题:共 10 小题每小题 5 分,满分 50 分.
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分数

二、填空题:本大题有5个小题,每小题 5 分,共 25分。 11. 14. 12. 13. 15.

考号

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答时要求写出必要 的文字说明或推演步骤. 16. (本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、 c,若 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C ,且 AC ? AB ? 4 ,求△ABC 的面

班级

姓名

积 S.

3

17. (本小题满分 12 分)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3, BC=4, AB ? 5 , AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1;

18. (本题满分 12 分)已知等差数列{ a n }, a2 ? 9, a5 ? 21. (Ⅰ)求{ a n }的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? 2 a ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn.
n

4

19. (本题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . x ?[ ? 2, 6] (1)画出函数 f (x) 的图像 (2)求函数的单调区间 (3) 求不等式 f ( x) ? 5 的解集。

20. (本题满分 13 分)某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种

处理方案:①年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船;②总纯 收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船. 问哪种方案最合算?

5

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,离 心率为
2 ,且椭圆经过圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心 C。 2

(I)求椭圆的标准方程; ( II ) 设 直 线 l : y ? kx ? 1 与 椭 圆 交 于 A 、 B 两 点 , 点 P( 0, )且 |PA|=|PB|,求直线 l 的方程。
1 3

6

河口中学高二数学竞赛答案
一. 1.C 2.A 3.D 4.D5.A 6.B 7.B 8.C 9.B 10.B 二. 11.-6 12.①③ ④⑤ 13. 24 14.6.220; S ? 80t ? 1976(1 ? t ? 2)
13

15. 2 15 三. 16.解:由已知得 b2+c2=a2+bc…………………2′
? bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ……………………………………4′
? cos A ? 1 3 …………………………………6′ ; sin A ? 2 2

由 AC ? AB ? 4,得bc cos A ? 4,? bc ? 8 ……………10′
1 bc sin A ? 2 3 ……………………………12′ 2 17.解 : (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ?S ?

∴ AC⊥BC,又 AC⊥ c1 C,∴ AC⊥平面 BCC1; ∴ AC⊥BC1 (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴ AC1//平面 CDB1; 18. 解: (Ⅰ)设数列 {a n } 的公差为 d,依题意得方程组 解得 a1 ? 5, d ? 4.

?a1 ? d ? 9, ? ?a1 ? 4d ? 21,

所以 {a n } 的通项公式为 a n ? 4n ? 1. (Ⅱ)由 a n ? 4n ? 1得bn ? 2 4 n ?1 , 所以 {bn } 是首项 b1 ? 2 5 ,公式 q ? 2 4 的等比数列. 于是得 {bn } 的前 n 项和
Sn ? 2 5 ? (2 4 n ? 1) 32 ? (2 4 n ? 1) ? . 15 24 ? 1

7

19.[解](1) (2) f (x) 在 ( ? ?, ? 1] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减, 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增, (3)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 ? 14 , 观察图像可得 f ( x) ? 5 的 解集是 ? 2 ? 14, 0 ? ? ? 4, 2 ? 14 ? ? ? ? ? 20.答案.解:由题设知每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列。 设纯收入与年数的关系为 f(n) ,则
f (n) ? 50 n ? [12 ? 16 ? ... ? (8 ? 4n)] ? 98 ? 40n ? 2n 2 ? 98 …………………2′

(1)由 f(n)>0 得 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 又∵n∈N*,∴n=3,4,……17。即从第 3 年开始获利…………………………4′ f (n) 49 (2)①年平均收入为 ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 2 ? 14 ? 12 n n 当且仅当 n=7 时, 年平均获利最大, 总收益为 12×7+26=110 (万元) …………7′ 2 ②f(n)=-2(n-10) +102 ∵当 n=10 时, f (n) max ? 102 ,总收益为 102+8=110(万元)………………10′ 但 7<10 ∴第一种方案更合算。 21.解析: (1)由圆 C 的方程可知:圆心 C(1,-2) ——2 分

4 1 y 2 x2 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 椭圆过圆心 C,可得: 2 ? 2 ? 1 a b a b



c 2 ,且 a 2 ? b2 ? c 2 。解得: a 2 ? 6, b2 ? 3 ? a 2

即椭圆的方程为:

y 2 x2 ? ?1 6 3

————6 分

(2)将直线方程与椭圆方程联立方程组消元可得: (k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 5 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
n?
2

设 AB 中 点 M (m, n) 其 中 m ?

x1 ? x2 k ?? 2 , 2 k ?2

2 1 —8 分 若 k ? 0 ,则有: kPM ? ? ,解得: k ? ?1 —10 分 k ?2 k 若 k ? 0 ,显然满足题意。

故直线 l 的方程为: y ? 1 或 y ? x ? 1 或 分
8

y ? -x ?1

————13


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