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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修5双基限时练3]


双基限时练(三)
1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2+c2 -b2= 3ac,则角 B 的值为( π A.6 π 5π C.6,或 6 ) π B.3 π 2π D.3,或 3

a2+c2-b2 3ac 3 解析 由余弦定理,得 cosB= 2ac = 2ac = 2 ,又 0<B<π, π ∴B=6

. 答案 A )

2.在△ABC 中,AB= 3,A=45° ,C=75° ,则 BC=( A.3- 3 C.2 B. 2 D.3+ 3

解析

2 3× 2 BC AB ABsinA 由正弦定理,知 sinA=sinC,∴ BC= sinC = =3 6+ 2 4

- 3. 答案 A )

3.在△ABC 中,已知 a=5 2,c=10,A=30° ,则 B 等于( A.105° C.15° B.60° D.105° ,或 15°

a c csinA 解析 先用正弦定理求角 C, 由sinA=sinC, 得 sinC= a = 2 =2.

1 10×2 5 2

又 c>a,∴C=45° ,或 135° ,故 B=105° ,或 15° . 答案 D

4.已知三角形的三边之比为 a:b:c=2:3:4,则此三角形的形 状为( ) B.钝角三角形 D.等腰直角三角形

A.锐角三角形 C.直角三角形 解析 A,B,C.

设三边长为 2a,3a,4a(a>0),它们所对的三角形内角依次为

?2a?2+?3a?2-?4a?2 1 则 cosC= =-4<0, 2×2a×3a ∴C 为钝角.故该三角形为钝角三角形. 答案 B )

5.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA C.a<bsinA B.a=bsinA D.a≥bsinA

解析 在△ABC 中,由正弦定理,知 bsinA a= sinB ,∵0<sinB≤1,∴a≥bsinA. 答案 D )

6. △ABC 中, 已知 2A=B+C, 且 a2=bc, 则△ABC 的形状是( A.两直角边不等的直角三角形 B.顶角不等于 90° ,或 60° 的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析 解法 1:由 2A=B+C,知 A=60° .
2 2 b2+c2-a2 1 b +c -bc 又 cosA= 2bc ,∴2= 2bc

∴b2+c2-2bc=0.即(b-c)2=0,∴b=c. 故△ABC 为等边三角形. 解法 2:验证四个选项知 C 成立. 答案 C

7 .在△ ABC 中, AC = 3 , A = 45° , C = 75° ,则 BC 的长为 ____________. 解析 由 A+B+C=180° ,求得 B=60° . 2 3× 2 BC AC ACsinA ∴sinA=sinB?BC= sinB = = 2. 3 2 答案 2

8.△ABC 中,已知 a= 2,c=3,B=45° ,则 b=________. 解析 由 余 弦 定理 , 得 b2 = a2 + c2 - 2accosB = 2 + 9 - 2× 2

2 ×3× 2 =5,∴b= 5. 答案 5

1 9.在△ABC 中,a=2 3,cosC=3,S△ABC=4 3,则 b=________. 1 2 2 1 解析 ∵cosC=3,∴sinC= 3 .又 S△ABC=2absinC, 1 2 2 ∴4 3=2×2 3×b× 3 ,∴b=3 2. 答案 3 2 10.在△ABC 中,a+b=10,而 cosC 是方程 2x2-3x-2=0 的一 个根,求△ABC 周长的最小值. 1 解 解方程 2x2-3x-2=0,得 x1=-2,x2=2,而 cosC 为方程

1 2x2 - 3x - 2 = 0 的一个根,∴ cosC =- 2 . 由余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC,得 c2=a2+b2+ab.∴c2=(a+b)2-ab=100-ab=100-a(10 -a)=a2-10a+100=(a-5)2+75≥75,∴当 a=b=5 时,cmin=5 3. 从而三角形周长的最小值为 10+5 3. 11.在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 2,且 B 为锐角, 试判断此三角形的形状. 2 解 ∵lgsinB=-lg 2, ∴sinB= 2 .又∵B 为锐角, ∴B=45° .∵lga a 2 -lgc=-lg 2,∴c = 2 . sinA 2 由正弦定理,得sinC= 2 . 即 2sin(135° -C)= 2sinC. ∴2(sin135° cosC-cos135° sinC)= 2sinC. ∴cosC=0,∴C=90° ,∴A=B=45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形. 12.a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边,且(sinB+sinC 18 +sinA)(sinB+sinC-sinA)= 5 sinBsinC,边 b 和 c 是关于 x 的方程 x2 -9x+25cosA=0 的两根(b>c). (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 a,b,c; (3)判断△ABC 的形状. 解 18 (1)∵(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)= 5 sinBsinC,

18 由正弦定理,得(b+c+a)(b+c-a)= 5 bc,

8 整理,得 b2+c2-a2=5bc. b2+c2-a2 4 3 由余弦定理,得 cosA= 2bc =5,∴sinA=5. (2)由(1)知方程 x2-9x+25cosA=0 可化为 x2-9x+20=0, 解之得 x=5 或 x=4,∵b>c,∴b=5,c=4. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,∴a=3. (3)∵a2+c2=b2,∴△ABC 为直角三角形.


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