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同角三角关系1


同角三角 关系

人物介绍
1707年,出生于瑞士 欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,
他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦 的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值 1720年,进大学学习 得人们学习的。欧拉在数学、物理、天文、 建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的 成就。在数学的各个领域,常常见到以欧 1724年,获硕士学位 来命名的公式、定理、和重要常数。课本 上常见的如π(1736年),i(1777年),e 1735年,右眼失明,但仍完成著作 (1748年),sin和cos(1748年),tg (1753年),△x(1755年),Σ(1755 《无穷小分析概论》 年),f(x)(1734年)等,都是他创立并推 广的。歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫 1766年,双目失明,以惊人毅力, 的通信中提出来的。欧拉还首先完成了月 欧拉,1707~1783,瑞士人, 球绕地球运动的精确理论,创立了分析力 口述工作近17年 学、刚体力学等力学学科,深化了望远镜、 最伟大数学家之一 显微镜的设计计算理论。 1783年,去世。共有著作七十余卷

观察讨论
如图,△ABC中,∠A=30°,

C

求 sin A, cos A, tan A, cot A.

A
B

1 3 3 , cot A ? 3. sin A ? , cos A ? , tan A ? 3 2 2 可以得到:
sin A ? tan A (3) sin 2 A ? cos2 A ? 1 (1) tan A cot A ? 1 (2) cos A

猜想: 对于任意的角α是否也具有上述性质呢?

探究规律 任意角α的三角函数定义:
y sin ? ? r x cos? ? r y tan? ? x
csc? ? r y

角α的终边
P(x,y) r

y

sec? ?

o y x x (1) tan ? ? cot ? ? ? ? 1 x y y y r sin ? (2) tan ? ? ? ? x x cos ? 2 2 r y? ? x? y 2 ? x2 r 2 ? 2 2 (3)sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 2 r r ?r? ?r?

r x x cot? ? y

基本关系

sin ①平方关系:

2

sin ? tan ②商数关系: ? ? cos? ③倒数关系:tan ? ? cot ? ? 1
思考: 注意!

? ? cos ? ? 1
2

对于公式②,因为要使得 cos? ? 0 , ?sin (1)?k 2 2? ? cos2 2? ? 1 ? ? Ζ? 所以? ? k? ? 2 对于公式③,因为要使得 cos2 (? ? ? ) sin ? ? 0 , ? ? 0 且 ? 1? (2)sin 2 (? ? ? ) ?
k? 所以 ? ? 2 ?k ? Ζ?

推广形式
1、平方关系:
sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α

2、商数关系:
sin ? ? tan ? cos ?

cos ? ? cot ? sin ?

.

3、倒数关系:
tanα· cotα=1 sinα· cscα=1 cosα· α=1 sec

例题讲解 4 例1 已知 sin ? ? ,且

5

?是第二象限角,

求cos? ,tan ?, ? 的值. cot 解:因为 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,所以 4 2 9 2 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? , 5 25 又因为α是第二象限角,所以 cos? ? 0
3 于是, cos? ? ? 5 sin ? 4 5 4 从而,tan? ? ? ? (? ) ? ? cos? 5 3 3
cot? ? 1 3 ?? tan? 4

.

练一练

8 已知cos? ? ? , ? 在第二象限,则 sin ? 等于 ( A ) 17

15 A. 17

15 B. ? 17

15 C.? 17

8 D. 15

例题讲解

5 例2 已知 cos? ? ? ,求 sin ?, tan ? 的值. 13 解:因为 cos? ? 0 ,所以α是第二或第三象限角
如果α是第二象限角,那么
sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? (? 5 2 12 ) ? 13 13 sin ? 12 13 12 tan? ? ? ? (? ) ? ? cos? 13 5 5

如果α是第三象限角,那么
12 sin ? ? ? 13

12 , tan ? ? 5

练一练
1 已知 sin ? ? ,求 cos? , tan? 的值. 2 sin 解: ? ? 0 所以α是第一或第二象限角

如果α是第一象限角,那么
1 2 3 cos? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? 2 2 sin ? 1 2 3 tan ? ? ? ?( ) ? cos? 2 3 3
2

如果α是第二象限角,那么
3 3 , tan? ? ? cos? ? ? 2 3

例题讲解

cos 例3已知 tan?为非零实数,用 tan? 表示 sin ? , ? sin ? ? tan ? 解:因为 ,所以 cos?
sin 2 ? 1 ? cos2 ? 1 tan ? ? ? ? ?1 2 2 2 cos ? cos ? cos ?
2

于是

? 1 2 ,当?为 第 一 、 第 四 象 限 角 ; ? 1? tan ? cos? ? ? 1 ? ? 1? tan 2? , 当?为 第 二 、 第 三 象 限 角 ? tan ? ,当?为 第 一 、 第 四 象 限 角 ; ? ? 1? tan 2? sin ? ? ? tan ? ? ? 1? tan 2 ? , 当?为 第 二 、 第 三 象 限 角 ?

例题讲解
例4
1 已知 sin ? ? cos? ? , ? ? (0, ? ) ,求 tan? 的值. 5

1 解: 因为 sin ? ? cos? ? ,所以 5 1 12 1 ? 2 sin ? cos? ? , 所以 sin ? cos? ? ? 25 25 1 12 2 ? 0 的两根 所以sinα,cos α是方程 x ? x ?
4 3 ? sin? ? 5 ? sin? ? ? 5 因为α∈(0, π),所以sinα>0 解得 ? 3 或? 4 cos ? ? ? cos ? ? 5 5 ? ? 4 3 故 sin ? ? , cos? ? ? ,所以 tan ? ? ? 4 5 5 3

5

25

练一练
m?3 4 ? 2m ? 若 sin ? ? , cos? ? ,? ? ( , ? ), m?5 m?5 2 则m的取值范围是 (B )

A.3 ? m ? 9
C.m ? 3

B.m ? 8
D.m ? 9

走近高考
(广东高考题)

若 ? ? [0,2? ], 且 1 ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos ? , 则β的取值范围是 A .[0,0.5π] B.[0.5π,π] (

B)

C.[π,1.5π]

D.[1.5π,2π]

课堂小结
三组关系

①平方关系 ②商数关系 ③倒数关系
.

三个注意:

(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”
(2)诸如 tan ? ?

sin ? ,tan ? ? cot ? ? 1,……它们都是 cos?

条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义. (3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角 所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.

作业布置



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