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高考复习之立体几何


任课教师:江小谦

高考复习之立体几何(一)
【主干内容】

点 、 直 线 、 平 面 、 空 间 几 何 体

点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系

平面的 基本性 质 空间两条直 线

三个公理、三个推论 平行直 线 异面直线 相交直线 直线在平面内 直

线与平面平行 直线与平面相交 公理 4 及等角定理 异面直线的定义 异面直线的判定 概念、判定与性质 概念、判定与性质 垂直 直线在平面的射影 及三垂线定理 斜交 两个平面平行的定义 两个平面平行的判定与性质 两个平面相 交 两个平面垂直的定义 两个平面垂直的判定与性质 异面直线所成的角、 距离 直线与平面所成的角、距离

空间直 线 与平面

两个平面平行 空间两个平 面

空间的角、距离

正多面体 空 间 几 何 体 两个平面所成的角、距离 构成几何体的基本元素 直线、平面间平行与 平行投影与 垂直的直观认识 中心投影

柱、锥、台、 球的结构特 征

柱、锥、台、球的表面积和 体积

直观图和三视图的画法

1

任课教师:江小谦

基础知识
1、 柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE
AD
'

? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱
' ' ' ' '

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行 且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几
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任课教师:江小谦

何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E
' ' ' ' '

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点 到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E
' ' ' ' '

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形

③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的 几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开 图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几 何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓 形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、
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俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积
?

? ch
1 2
? 1 2 ( c1 ? c 2 ) h '

S 圆柱侧

? 2 ? rh

S 正棱锥侧面积

ch '

S 圆锥侧面积

? ? rl

S 正棱台侧面积

S 圆台侧面积

? ( r ? R )? l

S 圆柱表 ? 2 ? r ? r ? l ?
S 圆台表 ? ? r

S 圆锥表 ? ? r ? r ? l ?
2

?

2

? rl ? Rl ? R

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

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任课教师:江小谦

V柱 ? S h
V 圆锥 ?
V台 ? 1 3



V圆 柱 ? S h ? ? r h
2



V锥 ?

1 3

Sh



1 3

?r h
2
'

(S ?

S S ? S )h
'

V圆 台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h ?
'

1 3

? ( r ? rR ? R ) h
2 2

(4)球体的表面积和体积公式: V 球 = 5、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面

4 3

?R

3



S 球 面 = 4? R

2

① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ? l;

直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l ? α 。

(2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面 内。
5

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(即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A∈L B∈L A∈α B∈

=> L

α

α ·

A

L

(3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一 平面。 公理 2 及其推论作用: ①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

符号表示为: A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α ,使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。

α ·

A

·

C

·

B

(4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 α β
P

·

L

(5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
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符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b =>a∥c

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

(6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定: 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角: 直线 a、 是异面直线, b 经过空间任意一点 O, 分别引直线 a’∥a, ’ b ∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面 直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异 面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定 理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点 选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。

(8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

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三种位置关系的符号表示: a ? α

a∩α =A

a∥α

(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b

6、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面 平行。 简记为: 线线平行 ? 线面平行 符号表示: a α b β a∥b

=> a∥α

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 符号表示: a∥α a β α ∩β = b

=>a∥b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

(2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

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(线面平行→面面平行) ,

符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

=>β ∥α

(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面 平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平 行)

符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b

=>a∥b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂 直。
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②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面 垂直。 L p α

③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平 面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另 一个平面。

8、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。

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③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线

a ?, b ? , 形成两条相交直线, 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所
成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角: 规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角: 规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这 条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的 一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
?
?

(3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条 .. ... 射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平 面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

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垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角 为二面角的平面角

9、空间直角坐标系 (1)定义:如图, O B C D ? D , A , B , C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A , ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴 . y 轴 . z 轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐 标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指 向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴 间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x , y , z ) 来表示,有序实数组
( x, y, z)

叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记作 M ( x , y , z )(x 叫做点 M 的横坐标,

y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d
? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2 2

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题型分类
题型一:点、直线、平面的位置关系 〖例 1〗 (2011 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 解: B. 对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱三条侧棱 所在直线而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面. 所以选 B. 〖例 2〗 (2011 宁波二模)已知 a,β 表示两个互相垂直的平面,a,b 表示一对异面直线, 则 a⊥b 的一个充分条件是( ) A.a∥α,b⊥β B.a∥α,b∥β C.a⊥α,b∥β D.a⊥α,b⊥β

解: 〖例 3〗 (2011 浙江)若直线 l 不平行于平面 a ,且 l ? a ,则 A. a 内存在直线与异面 C. a 内存在唯一的直线与 l 平行 解:B 〖例 4〗 (2011 杭二模)设 a , b , c 是三条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,则 a ? b 的 一个充分条件为( A. a ? c , b ? c C. a ? ? , b // ? 解:C 题型二:空间几何体 〖例 1〗 (2011 浙江卷)若某几何体的三视图如图 1-1 所示,则这个几何体的直观图可以 是( ) ) B. ? ? ? , a ? ? , b ? ? D. a ? ? , b ? ? B. a 内不存在与 l 平行的直线 D. a 内的直线与 l 都相交

图 1-1 解: B. 由正视图可排除 A,C;由侧视图可判断该该几何体的直观图是 B.
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〖例 2〗 (2010 浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图 所示,则此几何体的体积是 A. B. C. D.
352 3
320 3 cm
3

cm

3

224 3 160 3

cm cm

3

3

〖例 3〗如图,E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在 该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ (要求:把可能的图的序号都填上). .

〖例 4〗(2011 北京) 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是

A.32 B.16+16 2 C.48 D.16+32 2 解: B. 由题意可知,该四棱锥是一个底面边长为 4,高为 2 的正四棱锥,所以其表面积 1 为 4×4+4× ×4×2 2=16+16 2,故选 B. 2 〖例 5〗(2011 安徽) 一个空间几何体的三视图如图 1-1 所示,则该几何体的表面积为 ( )

图 1-1 A.48 B.32+8 17
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C.48+8 17 D.80 解: C. 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示), 所 以该直四棱柱的表面积为 1 S=2× ×(2+4)×4+4×4+2×4+2× 1+16×4=48+8 17. 2 〖例 6〗(2011 杭二模)如图,已知等腰 ? A B C 的底边 B C ? 3 ,顶角为 1 2 0 ? , D 是 B C 边上 一点,且 B D ? 1 . 把 ? A D C 沿 A D 折起,使得平面 C A D ? 平面 A B D ,连接 BC 形成三棱锥 C ? ABD . (Ⅰ) ① 求证:AC⊥平面 ABD; ② 求 三 棱 锥 C -ABD 的 体 积 ; (Ⅱ) 求 AC 与 平 面 BCD 所 成 的 角 的 正 弦 值 . 解 : ( Ⅰ ) ① 由 已 知 得 , ? B ? ? C ? 30? ,
AB ? AC ? 3


3 ? c o s 3 0=1, ?

(第 20 题)

在 △ ABD 中 , 由 BD= 1 , 得 AD= 1 ? 3 ? 2 ? 1 ?
2 2 2

在 △ ACD 中 , ∵ AC + AD =4 = CD , ∴ AC⊥ A D. 平 面 ADC⊥ 平 面 ABD , ∴ AC⊥ 平 面 ABD. ② ∵ AC⊥ 平 面 ABD , ∴ VC-ABD=
1 3 ? S ?ABD ? A C = 1 3 ?( 1 2 3 ? 1 ? s in 3 0 ? ) ? 3 ? 1 4

.

(Ⅱ) 由 B D ? 1 ,得 CD = 2, 在平面内作等腰△ABC 底边上的高线 AE,点 E 为垂足,则 AE= 在 三 棱 锥 C-ABD 中 , 连 接 CE, 作 AH⊥ C E 于 点 H, ∵ BD⊥ AC, BD⊥ AE , ∴ BD⊥ 平 面 ACE, ∵ AH? 平 面 ACE, ∴ B D⊥ AH, ∴ AH⊥ 平 面 BC D, ∴ ∠ ACH 是 直 线 AC 与 平 面 BCD 所 成 的 角 . 在 Rt?ACE 中 , 得 CE ?
5 5 15 2

3 2

.

, AH ?

AC ? AE CE

=

15 5


5 5

(第 20 题)

∴ sin ? A C H ? ?

,即直线 AC 与平面 BCE 所成的角的正弦值为



〖例 7〗(2011 浙江)如图,在三棱锥 P ? A B C 中, A B ? A C , D 为 B C 的中点, P O ⊥ 平面 A B C ,垂足 O 落在线段 A D 上. (Ⅰ)证明: A P ⊥ B C ; (Ⅱ)已知 B C ? 8 , P O ? 4 , A O ? 3 , O D ? 2 . 角 B ? A P ? C 的大小. 求二面

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练习:1. (2011 湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( ) 9 9 A.9π +42 B.36π +18 C. π +12 D. π +18 2 2 【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为 3 的球, 下面是一个长、宽都为 3 高为 2 的长方体所构成的几何体,则其 4 9 ?3?3 体积为: V=V1+V2= ×π ×? ? +3×3×2= π +18,故选 D. 2? 3 2 ? 2. (2011 全国) 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图 1-2 所示,则相应的侧视图可以为( )

图 1-2 图 1-3 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的, 如图,故侧视图选 D.

3. (2011 天津)一个几何体的三视图如图 1-4 所示(单位: 则该几何体的体积为________ m), m3.

图 1-4 【解析】根据三视图还原成直观图,可以看出其是由两个形状一样的,底面长和宽都为 1, 高为 2 的长方体叠加而成,故其体积 V=2×1×1+1×1×2=4.

4.(2011 陕西)如图 1-8,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿
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AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°. (1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

图 1-8 【解答】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. 又 DB∩DC=D.∴AD⊥平面 BDC .∵AD?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,DB=DA=DC=1. ∴AB=BC=CA= 2. 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= . 2 2 1 3 S△ABC= × 2× 2×sin60°= . 2 2 1 3 3+ 3 ∴表面积 S= ×3+ = . 2 2 2

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