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高中数学 1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积课件 新人教A版必修2


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
空间几何体

第一章
1.3 空间几何体的表面积与体积

第一章
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章
第1课时 柱体、锥体、

台体的表面积

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及 它们的展开图与表面积的关系,即展开的平面图形的面积等 于其表面积,因此可以通过它们的平面展开图来求几何体的 表面积.根据柱、锥、台体的结构特征,我们也可以利用它 们的平面展开图计算它们的表面积.完成下列练习为求新知 打下基础:

1.棱长为a的正方体表面积为 6a2 . 2.长、宽、高分别为a、b、c的长方体,其面面积为2(ab
+bc+ac).

3.长方体、正方体的侧面展开图为 矩形. 4.圆柱的侧面展开图为 矩形. 5.圆锥的侧面展开图为 扇形.

新课引入 在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体,有时为 了工作,需要度量几何体的表面积和体积.如对建筑物装饰 时,需要知道建筑物的表面积,以便计算用料和工时,为了 计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积;又如在机械制造 时,为了下料需计算物体的表面积等.例如粉碎机的下料斗 是正四棱台形(如图所示),它的两底面边长分别为80cm和 440cm,高为200cm,制造这样一个下料斗需多少铁板?

自主预习 阅读教材P23-25,回答: 1.柱体的表面积 (1)侧面展开图:棱柱的侧面展开图是 平行四边形 ,一边 是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的 底面周长 ,如图a所示; 圆柱的侧面展开图是 矩形 ,其中一边是圆柱的母线,另一

边等于圆柱的底面周长,如图b所示.

(2)面积:柱体的表面积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底 面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧= 2πrl ,表面积 S表= 2πr(r+l).

[破疑点]表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面 的大小.把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体 的表面积.侧面积是指侧面的面积,与表面积不同.一般 地,表面积=侧面积+底面积.

(1)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长 和宽分别为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为________. (2)圆柱OO′的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧 面积为________,表面积为________.
[答案] (1)72 cm2 (2)24π 32π

[解析]

(1)棱柱的侧面积S侧=3×6×4=72(cm2).

(2)由已知得圆柱OO′的底面半径为2,则其侧面积S侧= 2πrl=2×π×2×6=24π,表面积S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+6) =32π.

2.锥体的表面积 (1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个 三角形 拼 成的,则侧面积为各个三角形面积的 和 ,如图a所示;圆锥 的侧面展开图是 扇形 ,扇形的半径是圆锥的 母线 ,扇形的弧 长等于圆锥的
底面周长 ,如图b所示.

(2)面积:锥体的表面积S表=S侧+S底.特别地,圆锥的底面 半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧= = πr(l+r).
πrl

,表面积S表

(1)已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S- ABC(即正四面体S-ABC),则其表面积为________. (2)一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形,则其表面积 为________.

[答案]

(1) 3a

2

3 2 (2)4πa

[解析]

(1)由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三

角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4 倍.

先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,交BC于点D,如图 所示.

因为BC=a,SD= SB2-BD2 = a2 3 a -?2? = 2 a,
2

1 1 3 3 2 所以S△SBC=2BC· SD=2a× 2 a= 4 a . 3 2 因此,四面体S-ABC的表面积S=4× a = 3a2. 4

a (2)如上图所示,圆锥的底面半径r= ,母线长l=a,则其 2 aa 3 表面积为S表=πr(r+l)=π× ( +a)= πa2. 22 4 规律总结:不要试图去总结、记忆几何体的表面积公 式,而应该理解它是通过求各个面的面积的和而获得的.

3.台体的表面积 (1)侧面展开图:棱台的侧面展开图是由若干个 梯形 拼接 而成的,则侧面积为各个梯形面积的 和 ,如图a所示;圆台 的侧面展开图是扇形,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇 形的面积而得到,如图b所示.

(2)面积:台体的表面积S表=S侧+S上底+S下底.特别地,圆台 的上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l,则侧面积S侧=
π(r+r′)l ,表面积S表= π(r2+r′2+rl+r′l).

[破疑点]圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系:

圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表 面积等于( A.72 C.67π ) B.42π D.72π

[答案] C
[解析] S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.

思路方法技巧

柱体的表面积
学法指导 求柱体表面积的方法

(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积 等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和. (2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法:一是定义法;二是 公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求,公 式法即直接用公式求解. (3)求圆柱的侧面积只需利用公式即可求解.

[例1]

在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90° ,AB=AC

=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60° ,∠BB1C1=90° ,侧棱长为b, 则其侧面积为( 3 3ab A. 4 C.( 3+ 2)ab ) 3+2 B. 2 ab 2 3+2 D. ab 2

[答案] C

[分析]

棱柱的侧面积等于各侧面面积之和.

[解析]

如图,由已知条件可知:侧面AA1B1B和侧面

AA1C1C为一般的平行四边形,侧面BB1C1C为矩形. 在△ABC中,∠BAC=90° ,AB=AC=a, ∴BC= 2a.∴S矩形BCC1B1= 2a· b= 2ab. ∵∠AA1B1=∠AA1C1=60° ,AB=AC=a, 3 ∴点B到直线AA1的距离为asin60° 2 a. = 3 3 ∴S?AA1C1C=b·2 a= 2 ab. 3 ∴S侧=2× 2 ab+ 2ab=( 3+ 2)ab.

圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形,则圆 柱的表面积为( A.6π(4π+3) B.8π(3π+1) C.6π(4π+3)或8π(3π+1) D.6π(4π+1)或8π(3π+2) )

[答案] C

[解析]

圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面

周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为 母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底= 4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为 母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底= 9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).

锥体的表面积
学法指导 (1)求棱锥侧面积的一般方法:定义法.

(2)求圆锥侧面积的一般方法:公式法:S侧=πrl.

[例2] 的表面积.

如图1,圆锥的底面半径为1,高为

3 ,求圆锥

[解析]

∵r=1,h= 3,∴母线l= 3+1=2.

∴圆锥的表面积S表=πr2+πrl=π+2π=3π.

已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底正方形为底射 影为底面正方形的中心(正四棱锥),底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为30° ,如图所示,求正四棱锥的侧面 积和表面积(单位:cm2).

[分析]

利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角

三角形求解,然后代入公式.

[解析] △POE.

正棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt

∵OE=2cm,∠OPE=30° , OE ∴PE=sin30° (cm). =4 1 1 因此S棱锥侧= ch′= ×4×4×4=32 (cm2), 2 2 S表面积=S侧+S底=32+16=48 (cm2).

台体的表面积
学法指导 (1)求棱台侧面积的一般方法:定义法.

(2)求圆台侧面积的一般方法:公式法S侧=2(r+r′)l

[例3]

一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面

的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分 别为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为 ( ) 2 A.3 B.2 3 C.2 1 D.2

[答案]

A

[分析]

如图所示,设O1、O分别为棱台上、下底面中

心,M1、M分别为B1C1、BC的中点,连接O1M1、OM,则 M1M为斜高.

过M1作M1H⊥OM于H点,则M1H=OO1, 1 S侧=4× (1+2)· 1M, M 2 S上底+S下底=5. 由已知得2(1+2)· 1M=5, M 5 ∴M1M=6. 1 在Rt△M1HM中,MH=OM-O1M1=2. ∴M1H=O1O= M1M2-MH2 = 52 12 2 ?6? -?2? =3.

规律总结:在正四棱台中有两个直角梯形值得注意:一 是O1OMM1,二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形,利 用三角形知识求解.

已知圆台的母线长3,上、下底面半径分别是2、4,求圆 台的表面积.

[解析] 18π,

S上=π·22=4π,S下=π·42=16π,S侧=π(2+4)×3=

因此,圆台的表面积S圆台表=S上+S下+S侧=4π+16π+18π= 38π.

探索延拓创新

学法指导

必须由三视图准确地还原几何体,再根据定

义或公式求出几何体的表面积.

[例4]

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1,

则其表面积等于________.

[答案] 6+2 3

[解析]

通过三视图还原三棱柱直观图如图2,通过正视

图可以得出该三棱柱底面边长为2,侧棱长为1,三个侧面为 矩形,上下底面为正三角形,∴S表=3×(2×1)+2× =6+2 3.
? ? ? ?

3 2? ? ×2 ? 4 ?

(2011· 安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示,则 该几何体的表面积为( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

[答案] C

[解析]

由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱

柱,底面等腰梯形的上底边长为2,下底边长为4,高为4,两 1 底面积和为2× ×(2+4)×4=24,四个侧面面积为4×(4+2 2 +2 17 )=24+8 17 ,所以几何体的表面积为48+8 17 .故选 C.

名师辨误做答

[例5]

如图是一个几何体的三视图,侧视图与正视图均

为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面 积为( )

A.6 C.24 [错解]

B.12 3 D.3 由三视图知,该几何体是一个三棱柱,其底面是

边长为 3 的正三角形,侧棱与底面垂直,侧棱长为4,故其侧 面积S=3× 3×4=12 3,故选B.

[错因分析] 错解没有弄清三视图对应规则,侧视图矩形 的宽 3,应是俯视图正三角形的一边上的高而不是边长.
[正解] 由三视图可知,该几何体是底面为正三角形、侧

棱与底面垂直的三棱柱,由侧视图及俯视图可知,设底面正 3 三角形边长为a,则 2 a= 3 ,∴a=2,由正视图和侧视图

知,该几何体高为4,∴其侧面积S=2×3×4=24,故选C.

基础巩固训练

1.棱长为a的正方体的表面积为( A.6a3 C.6a2
[答案] C

)

B.a3 D.4a2

[解析] 根据表面积的定义,组成正方体的表面共6个, 且每个都是边长为a的正方形.从而,其表面积为6a2.

2.棱长都是1的三棱锥的表面积为( A. 3 C.3 3 B.2 3 D.4 3

)

[答案]

A

[解析]

棱长都相等的三棱锥四个面均为等边三角形,也

叫正四面体,故三棱锥的表面积为一个等边三角形面积的4 3 倍,又边长为1的等边三角形面积为 ,即三棱锥的表面积为 4 3,故选A.

3.用长为4,宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱 的侧面面积为( 2 A.π 4 C.π
[答案] D

) 8 B.π D.8

[解析] 圆柱的侧面积即为矩形的面积.

4.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于 ( ) A.15 C.24π
[答案] B

B.15π D.30π

[解析] S侧=πrl=π×3×5=15π.

5.五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的表面积是30,侧面积等 于25,则两底面积的和等于( A.5 C.30
[答案] A

)

B.25 D.55

[解析] S表=S侧+2S底,则2S底=S表-S侧=30-25=5.

6.六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面是矩形, 侧棱长为4,则其侧面积等于( A.12 C.64
[答案]
[解析] =72.

)

B.48 D.72
D
该六棱柱的6个侧面是全等矩形,则S侧=6×(3×4)

7.(2012-2013· 广东佛山高三教学质量检测)若一个圆台 的正视图如图所示,则其侧面积等于( ... A.6 C.3 5π B.6π D.6 5π )

[答案] C

[解析]

圆台的两底面半径分别是1,2,高为2,则母线长

为 22+1= 5,则其侧面积等于π(1+2)× 5=3 5π.

8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面 积为( )

A.72 C.60

B.66 D.30

[答案]

A

[解析]

由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底

面为直角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱 1 的高为5,如图所示,所以表面积为2( 2 ×3×4)+(3+4+5)×5 =72.

[反思]

已知三视图求面积的步骤:(1)根据三视图明确几

何体的结构特征;(2)明确三视图中各数据所反映几何体的特 征;(3)代入相应的面积公式.


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