当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学专题六 数列


高中数学专题六
数列知识点总结
第一部分 等差数列 一 、 定义式:

数列

an ? an?1 ? d
? ? am ? ( n ? m ) d ? ? a1 ? (n ? 1)d

二 、 通项公式: an ?

一个数列是等差数列的等价条件: a n ? an ?

b (a,b 为常数),即 an 是关于 n 的一次函数,因 为 n ? Z ,所以 an 关于 n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 、 前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) ? na中间项 ? na1 ? n(n ? 1) d 2 2

一个数列是等差数列的另一个充要条件: S n ? an 2 ? bn (a,b 为常数,a≠0),即 S n 是关于 n 的二次函数,因为 n ? Z ,所以 S n 关于 n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 、 性质结论 1.3 或 4 个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3 个数 a-d,a,a+d; 4 个数 a-3d,a-d,a+d,a+3d 2. a 与 b 的等差中项 A ? a ? b ; 2 在等差数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则

am ? an ? a p ? aq ;若 m ? n ? 2p ,则 am ? an ? 2a p ;
3.若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶?S 奇 ? nd,

?

?

S奇 S偶

?

an ; a n ?1

若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? , S 2n ?1? 2n ? 1 a n , S 奇 ? S 偶 ?a n , 则 且

?

?

?

?

S奇 S偶

?

n n ?1

4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设 A ? a1 ? a2 ??? an , ,

B ? an?1 ? an? 2 ??? a2 n ,
C ? a2n?1 ? a2n?2 ??? a3n ,则有 2B ? A ? C ;
5. a1 ? 0 , S m ? S n ,则前 S m ? n (m+n 为偶数)或 S m? n ?1 (m+n 为奇数)最大
2 2

第二部分

等比数列

一 、 定义:

an ? q(n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an } 成等比数列。 an ?1

二 、 通项公式: a n

? a1q n?1 , an ? am q n ? m

数列{an}是等比数列的一个等价条件是:

a Sn ? a(bn ? 1), (a ? 0, b ? 0, 当 q ? 0 且 q ? 0 时, n 关于 n 的图像是指数函数图像的分点 1 )
表示形式。

(q ? 1) ? na1 ? n 三、 前 n 项和: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an ?1q ; ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
(注意对公比的讨论) 四、 性质结论: 1. a 与 b 的等比中项 G ? G ? ab ? G ? ? ab ( a, b 同号);
2

2.在等比数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? a p ;
2

3.设 A ? a1 ? a2 ??? an, , B ? an ?1 ? an ? 2 ??? a2 n ,

C ? a2n?1 ? a2n?2 ??? a3n , 则有 B2 ? A ?C

第三部分

求杂数列通项公式 an

一. 构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。 第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,

a n ?1 ? 1 ? an ? 1, 2a n ?1 ? 1 1 1 1 两 边 取 倒 数 ? ?2? ?{ } 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 a n ?1 ? 1 an ? 1 an ? 1
例如:

?

1 1 ? ? 2(n ? 1) ,从而求出 an 。 a n ? 1 a1 ? 1
第二类:

(n2 ? 1)an ? n2 an ?1 ? n(n ? 1) ?

n ?1 n ? n ?1 ? an ? 是公差为 1 的等差数列 an ? an?1 ? 1 ? ? n n ?1 ? n ? n ?1 1?1 2n ? an ? a1 ? an ? n 1 n ?1
二。递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。 例如 an ? na n ?1 ?a n ?n n ? 1a n ? ? 【注: n! ? n(n ?1)( n ?2) ? 】 1 求通项公式 an 的题,不能够利用构造等比或者构造等差求 an 的时候,一般通过递推来求 an 。 第四部分 求前 n 项和 S n 一 、 裂项相消法:
?2

? ???? n ? a! 1 a n

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 1 1 1 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n ? 1) n 1 , 2 ,3 , 4 ,?的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )、 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n ?1 (+ 2+ 3+ 4+ ? ( + + + ? ? 1 )+ ) 1 1 n 3 9 27 81 ? ? ? 1 n ?1 n ?1 二、 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
求:

Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ?(2n-1)x n (x ? 1)
Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1) ① xSn =x 2 ? 3x 3 ? 5x 4 ? ? (2n-5)x n-1 ? (2n-3)x n ? (2n-1)x n+1 (x ? 1) ② ①减②得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? ? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1 ?x? 2x 2 ?1 ? x n-1 ? ? ? 2n ? 1? x n+1

1? x 从而求出 S n 。

三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法 例:等差数列求和:

Sn =a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n Sn =a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 3 ? a 2 ? a1
2Sn = ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a1 ? a n ? ? n ? a 1 ? a n ? ? Sn
两式相加可得:

高考专题训练 等差数列、等比数列、数列
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1. an}是各项为正数的无穷数列, i 是边长为 ai, i+1 的矩形的面积(i=1,2, 设{ A a ?). 则 {An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 )

D.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列,且公比相同 答案:D 2.如果等差数列{an}中 a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 C.28 答案:C 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S9=45,则数列{an}的公差为( A.-1 C.2 答案:B 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 A.7 C.8 答案:D B. D. 15 2 17 2 B.1 D. 1 2 ) D.35 B.21 )

Sn+64 的最小值为( an

)

1 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1.令 bn= (a1+a2+?+an),则数列{bn}的前

n

10 项和 T10=( A.70 C.80 答案:B

) B.75 D.85

6.(2011·湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4 是各项不为零的等差数列且公 差 d≠0, 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列, 则 的值为( A.-4 或 1 C.4 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 7.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米. 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往 返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 答案:2000 B.1 D.4 或-1

a1 d

)

8.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 答案:10 9.设 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________. 答案:25 10. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差 数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 67 答案: 66 三、解答题: 本大题共 2 小题,共 25 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011·课标)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2 *

1 (1)an= n. 3

?1? 2n (2)数列? ?的前 n 项和为- . bn? n+1 ?

12.(13 分)(2011·安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增 的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan·tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1) an=lgTn=n+2,n≥1. tan? (2)Sn=

n+3? -tan3
tan1

-n.

22.

(2007)(本小题满分 12 分)

已知各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk= ak ak ?1 (k ? N*),其中 a1=1. (Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数 n(n≥2),数列{bk}满足 求 b1+b2+?+bn. 解: (Ⅰ) ak ? k (k ? N* ) . (Ⅱ) b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

1 2

bk ?1 k ? n (k=1,2,?,n-1),b1=1. ? bk ab ?1

1 1 0 1 2 1 ? ?Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1)n ? n ? ? . Cn ? ? n n

?

?

22. (2008) (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3an 3 , an ?1 ? , n ? 1 2, . ,? 2an ? 1 5

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? ,? ? ? x ? , n ? 1 2, ; 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?

n2 . n ?1

解(Ⅰ)? an ?

3n . 3n ? 2

22. (2010) (本小题满分 12 分) 已知数列 ? xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 { xn } 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( ) n ?1 。 证(1)数列 ? x2n ? 是递减数列,数学归纳法证明:

1 2 6 5

16.(2010)(本小题 满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1, 且a1 , a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求数列 2 an 的前 n 项和 S n .

? ?

17.(2012)(本小题满分 12 分) 设 是公比不为 1 的等比数列,其前 的公比; , 成等差数列. 项和为 ,且 成等差数列.

(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)证明:对任意


相关文章:
2015高考数学分类汇总专题六 数列
2015高考数学分类汇总专题六 数列_数学_高中教育_教育专区。2015高考数学分类汇总专题六 数列 2015 高考数学分类汇总专题六 数列 1.(15 北京理科)设 ?an ? 是...
高中数学专题六 数列
高中数学专题六数列知识点总结第一部分 等差数列 一、 定义式: 数列 an ? an?1 ? d ? ? am ? ( n ? m ) d ? ? a1 ? (n ? 1)d 二、 通项...
2015年高考数学分类汇编专题六 数列
2015年高考数学分类汇编专题六 数列_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学分类汇编 专题六 数列 1.【2015 高考重庆,理 2】在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4...
2015年高考数学真题分类汇编6 -数列
2015年高考数学真题分类汇编6 -数列_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学...专题推荐 2014年全国各地高考...专题 2014年高考语文新课标I卷... 2014年...
2015年高考数学题分类汇编(文):6.数列
2015年高考数学题分类汇编(文):6.数列_高考_高中教育_教育专区。1.【2015 ...专题推荐 2014年全国各地高考...专题 2014年高考语文新课标I卷... 2014年...
2015高考数学试题分类汇编专题6数列
2015高考数学试题分类汇编专题6数列_数学_高中教育_教育专区。2015高考数学试题分类汇编专题6数列 专题六 数列 1.(15 北京理科)设 ?an ? 是等差数列. 下列结论...
2015年高考数学试题分类汇编-----专题六(数列)
2015年高考数学试题分类汇编---专题六(数列)_高考_高中教育_教育专区。2015 年高考数学试题分类汇编---专题六(数列) 答案解析 1.(15 北京理科)设 ?an ? 是...
专题六、数列
专题六数列_数学_高中教育_教育专区。数列 数列高中代数的重要内容之一, 首先数列可以视作函数, 也就是正整数集到实数集的 映射.但数列又有不同于高中大...
2015年高考专题训练(六) 数列
2015年高考专题训练(六) 数列_数学_高中教育_教育专区。专题六 数列 1.(15 北京理科)设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,...
专题六、数列
专题六数列_数学_高中教育_教育专区。数列 数列高中代数的重要内容之一, 首先数列可以视作函数, 也就是正整数集到实数集的 映射.但数列又有不同于高中大...
更多相关标签:
高中数学数列专题 | 高中数列专题 | 高考数学数列专题 | 2016高考数学数列专题 | 高考文科数学数列专题 | 高三数学数列专题复习 | 高中数学竞赛专题讲座 | 高中数学数列视频 |