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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题6 必考点15 定点、定值、最值探索性问题课件 文


专题复习·数学(文)

专题六 必考点十五

解析几何

定点、定值、最值、探索性问题

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

类 型

——突破曲线中的定值

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点) 类型三

/>——突破曲线中的定点

有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)
——突破“动、静”结合

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

高考·预测

运筹帷幄之中

1 利用直线与圆锥曲线的关系判断直线或曲线过定点. 2 利用直线与圆锥曲线的关系,研究某些量的最值或范围. 3 对直线与圆锥曲线的位置关系进行探索.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程, 若 Δ>0,则直线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则 直线与椭圆相离.

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必记知识 重要结论

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx +c=0(或 ay2+by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线 相切;当 Δ<0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点.

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必记知识 重要结论

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法; 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx +c=0(或 ay2+by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点.

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必记知识 重要结论

2.(1)定点问题 在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线,不论参数如何变化,其都 过某定点,这类问题称为定点问题. (2)定值问题 在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动 点坐标或动线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.

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必记知识 重要结论

(3)最值(范围)问题 在解析几何中,有些量或表达式因参数的变化或位置的变化而变化. (4)探索性问题 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型.

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必记知识 重要结论

1.圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1,F2 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上的任意一 a b 点,B 为短轴的一个端点,O 为坐标原点,则有 ①|OP|∈[ b,a] ; ②|PF1|∈[ a-c,a+c]; ③|PF1|· |PF2|∈[ b2,a2] ; ④∠F1PF2≤∠F1BF2.

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必记知识 重要结论

(2)双曲线中的最值 x2 y 2 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的 a b 任一点,O 为坐标原点,则有 ①|OP|≥a; ②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2=2px(p>0)上的任一点,F 为焦点,则有 p ①|PF|≥ ; 2 ②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.

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必记知识 重要结论

2.通径的长度 2b2 (1)椭圆、双曲线中的通径长为 ; a (2)抛物线中的通径长为 2p.

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

[ 例 1]

x2 y2 (2015· 高考全国卷Ⅱ)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2= a b

2 1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, 2)在 C 上. 2 (1)求 C 的方程;

a2-b2 2 4 2 由题意有 = , 2+ 2=1, a 2 a b 解得 a2=8,b2=4. x2 y2 所以 C 的方程为 + =1. 8 4 (3 分) (4 分)

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1, y1),B(x2,y2), M(xM, yM). (5 分) x2 y2 将 y= kx+b 代入 + =1,得 8 4 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. (7 分) x1+ x2 -2kb b 故 xM= = 2 , yM=k· xM+b= 2 . (9 分) 2 2k +1 2k +1 yM 1 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- , (10 分 ) xM 2k 1 即 kOM· k=- .(11 分 ) 2 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. (12 分)

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

得分点及踩点说明 (1)第一问中,缺少有关 a、b 的方程,直接得 a2=8,b2=4,扣 2 分 (2)第二问中,设 l:y=kx+b,缺少“k≠0,b≠0”,扣 1 分 (3)第二问中,无“结论性”语言扣 1 分 (4)第二问中用“点差法”,参考本解答给分

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可 总结为“变量?函数?定值”,具体操作程序如下: ?1?变量——选择适当的量为变量; ?2?正数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数;,?3?定值——把 得到的函数解析式化简,消去变量得到定值.

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

自我挑战

x2 y2 (2016· 洛阳市高中模拟)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 1 的离心率为 ,一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,直线 l:y=kx+m 2 与椭圆 C 相交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; c 1 由题意得 c=1,又 e= = ,所以 a=2,从而 b2=a2-c2=3, a 2
x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (4 分)

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

自我挑战

b2 (2)设 O 为坐标原点,kOA· kOB=- 2,判断△AOB 的面积是否为定值?若 a 是,求出定值,若不是,说明理由. 设点 A(x1,y1),B(x2, y2),
x y ? ? 4 + 3 =1 由? 得,(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,(5 分) ? ? y=kx+m 由 Δ= (8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0 得 m2<3+4k2. 4?m2-3? 8mk 因为 x1+x2=- ,x x = , 3+4k2 1 2 3+4k2
2 2 3 ? m - 4 k ? 2 2 所以 y1y2= (kx1+m)· (kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m = .(7 分 ) 3+4k2 2 2

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

自我挑战

b2 3 3 由 kOA· kOB=- 2=- 得 y1y2=- x1x2, a 4 4 3?m2-4k2? 3 4?m2-3? 2 2 即 2 =- · 2 ,化简得 2m -4k =3,满足 Δ>0. 4 3+4k 3+4k 由 弦 长 公 式 得 |AB| = 1+ k2 |x1 - x2| = 1+ k2 · 24?1+k2? . 3+4k2 又点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离 d= |m| 1+ k
2

(8 分)

48?4k2-m2+3? = ?3+4k2?2 (9 分)



(10 分 )

大题 规范

类型一 有关圆锥曲线的定值问题(重点、难点)

——突破曲线中的定值

自我挑战

1 1 所 以 S △ AOB = · d· |AB| = 2 2 3×2m2 = 3+4k2

24?1+k2? |m| 1 · = 2 2 3+4k2 1+ k

24m2 = 3+4k2

3×?3+4k2? = 3, 3+4k2 (12 分 )

故△AOB 的面积为定值 3.

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

[ 例 2]

(2016· 江西九江市统考)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐

标原点,右焦点为 F(1,0),A、B 分别是椭圆 C 的左、右顶点,D 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且△ADB 面积的最大值为 2.

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

(1)求椭圆 C 的方程;
x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 1 由已知可得(S△ ADB)max= · 2a· b=ab= 2,① 2 ∵ F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1,② 由①②可得 a= 2,b=1, x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

(2)是否存在一定点 E(x0,0)(0<x0< 2),使得当过点 E 的直线 l 与曲线 C 相 1 1 交于 M、N 两点时, + 为定值?若存在,求出定点和定值;若 → → 2 2 |EM| |EN| 不存在,请说明理由.
过点 E 取两条分别垂直于 x 轴和 y 轴的弦 M1N1、 M2N2, 1 1 1 1 2 1 1 则 + = + ,即 = 2+ 2, x2 → → → → 2 2 2 2 0 ? x + 2 ? ? x - 2 ? 0 0 |EM1| |EN1| |EM2| |EN2| 1- 2 ? 6 ? 6 解得 x0= ,∴E 若存在,必为? ,0?,定值为 3, (7 分) 3 ?3 ? ? 6 ? ? 可证 ,0?满足题意. ?3 ?

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

? 6 ? 6 ? ? 设过点 E ,0 的直线方程为 x=ty+ 3 ,代入椭圆 C 的方程中得: ? 3 ?

2 6 4 (t2+2)y2+ ty- =0,设 M(x1,y1)、N(x2,y2), 3 3 2 6 t 3 2 6t 4 则 y1+y2=- 2 =- 2 ,y1y2=- 2 , t +2 3?t +2? 3?t +2?

(9 分)

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

1 1 1 1 1 ?1 1 ? 1 ?y1+ y2?2-2y1y2 ? 2+ 2? = + = 2 2 2+ 2 2= 2· 2· y y y2 → → ? 1 + t ? y ? 1 + t ? y 1 + t ? ? 1 + t 2 2 1 2 1y2 1 2 |EM| |EN|
? 8 2 6t ?2 ?- 2 ?+ 2 1 ? 3?t +2?? 3?t +2? = · =3. ? 1+t2 4 ?2 ?- 2 ? ? 3?t +2?? ? 6 ? 综上得定点为 E? ,0?,定值为 3. ? 3 ?

(12 分 )

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为 y= kx+t,由 题设条件将 t 用 k 表示为 t=mk, 得 y=k(x+m), 故动直线过定点(-m,0). (2)动曲线 C 过定点问题,解法:引入参变量建立曲线 C 的方程,再根据 其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.此题又涉及存在性问 题,故先采用特值法求出定点,再让该定点适合一般情况.

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

自我挑战

x2 y2 1 (2016· 江西重点学校联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 2
? 3? ? 且过点 Q 1, ?. 2? ?

(1)求椭圆 C 的方程;
c 1 ? ?a=2, ? 9 由题意知? 1 + =1, ?a2 4b2 ? ?a2=b2+c2,

解得 a=2,b= 3,

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

自我挑战

(2)椭圆 C 长轴两端点分别为 A,B,点 P 为椭圆上异于 A,B 的动点,定 直线 x=4 与直线 PA,PB 分别交于 M,N 两点,又 E(7,0),过 E,M,N 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E 的定点?若经过,求出定点坐标;若 不经过,请说明理由.

大题 规范

类型二 有关圆锥曲线的定点问题(重点、难点)

——突破曲线中的定点

自我挑战

3 设 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2, P(x0, y0),则 k1k2=- , 4 可令 PA: y=k1(x+2),∴M(4,6k1), PB: y= k2(x-2),∴N(4,2k2), 6k1 2k2 又 kEM=- =-2k1,kEN=- , 3 3 ∴ kEMkEN=-1, 6k1 2k2 设圆过定点 F(m,0),则 · =-1,解得 m=1 或 m=7(舍 ), 4-m 4-m 故过点 E, M, N 三点的圆是以 MN 为直径的圆,过 x 轴上不同于点 E 的 定点 F(1,0).

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)

——突破“动、静”结合

[ 例 3]

(2016· 河南郑州模拟)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距 2 ,设动点 P 的轨迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与 2

离之比为

曲线 E 相交于 A、B 两点,直线 l:y=mx+n 与曲线 E 交于 C、D 两点, 与线段 AB 相交于一点(与 A、B 不重合). (1)求曲线 E 的方程;
?x- 1?2+ y2 2 设点 P(x, y),由题意可得, = , 2 |x-2| x2 2 x2 2 整理可得 +y =1.∴曲线 E 的方程是 + y =1. 2 2 (2 分) (5 分)

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)

——突破“动、静”结合

(2)当直线 l 与圆 x2+y2=1 相切时,四边形 ABCD 的面积是否有最大值? 若有,求出其最大值及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 设 C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|= 2.
当 m=0 时,不合题意. 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x2+ y2=1 相切,可得 n2. =mx+n, ? ?y2 ? 2 1? 2 2 ? ? 联立?x 消去 y 得 m + x + 2 mnx + n -1=0, 2 2? ? + y = 1 ? ?2 (8 分) |n| (6 分)
2 = 1 ,即 m + 1= 2 m +1

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)

——突破“动、静”结合

? 2 1? 2 Δ= 4m n -4?m + ?(n -1)=2m2>0, 2? ?
2 2

2mn+ Δ -2mn- Δ x1=- ,x2= , 2m2+1 2m2+1 1 2|m| 2 2 S 四边形 ACBD= |AB||x2- x1|= 2 = ≤ , 2 1 2 2 m +1 2|m|+ |m| (10 分 )

1 2 6 当且仅当 2|m|= ,即 m=± 时等号成立,此时 n=± ,经检验可知, |m| 2 2 直线 y= 2 6 2 6 x- 和直线 y=- x+ 符合题意. 2 2 2 2 (12 分 )

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)

——突破“动、静”结合

1.与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 ?1?数形结合法:根据待求值的几何意义,充分利用平面图形的几何性质 求解. ?2?构建函数法:先引入变量,构建以待求量为因变量的函数,再求其最 值,常用基本不等式或导数法求最值?注意:有时需先换元再求最值?.

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)

——突破“动、静”结合

2.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 ?1?数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求 解. ?2?构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不 等式求解.,?3?构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再 求其值域.

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)
自我挑战

——突破“动、静”结合

(2016· 山西省四校联考)已知点 A(1,0),点 P 是圆 C:(x+1)2+y2=8 上的 任意一点,线段 PA 的垂直平分线与直线 CP 交于点 E. (1)求点 E 的轨迹方程;
由题意知|EP|= |EA|, |CE|+ |EP|=2 2, ∴ |CE|+ |EA|=2 2>2= |CA|, x2 2 ∴E 的轨迹是以 C,A 为焦点的椭圆,其轨迹方程为: +y =1. 2

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)
自我挑战

——突破“动、静”结合

(2)若直线 y=kx+m 与点 E 的轨迹有两个不同的交点 F 和 G,且原点 O 总在以 FG 为直径的圆的内部,求实数 m 的取值范围.
?y=kx+m, 设 F(x1, y1),G(x2, y2),则将直线与椭圆方程联立得:? 2 2 ?x + 2y =2,

消去 y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0, 由 Δ>0,得 m2<2k2+1(*), 2m2-2 4km x1+ x2=- 2 , x1x2= 2 , 2 k +1 2 k +1

大题 规范

类型三 有关圆锥曲线的最值(范围)问题(重点、难点)
自我挑战

——突破“动、静”结合

→· → <0,即 x x + y y <0, ∵O 总在以 FG 为直径的圆的内部,∴OF OG 1 2 1 2 m2-2k2 而 y1y2= (kx1+m)(kx2+m)= 2 , 2 k +1 2m2-2 m2-2k2 由 x1x2+ y1y2= 2 + <0, 2k +1 2k2+1
2 2 k +2 2 2 得m< ,∴m2< ,且满足(*)式, 3 3

? 6 6? ∴m 的取值范围是?- , ? . 3? ? 3

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

[ 例 4]

x2 y2 2 (2015· 高考四川卷)如图, 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 , a b 2

→· → =-1. 点 P(0,1)在短轴 CD 上,且PC PD

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

(1)求椭圆 E 的方程;
由已知,点 C,D 的坐标分别为(0,-b), (0,b). →· → =-1, 又点 P 的坐标为(0,1),且PC PD

?1-b2=-1, ?c 2 于是? = , a 2 ?2 2 2 ?a -b =c .

解得 a=2,b= 2.

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

(2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存在 →· → +λPA →· → 为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请 常数 λ,使得OA OB PB 说明理由. 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分
别为(x1,y1),(x2,y2). x y ? ? 4 + 2 =1, 联立? 得 (2k2+1)x2+4kx-2=0. ? ?y=kx+1, 其判别式 Δ= (4k)2+8(2k2+1)>0, 4k 2 所以 x1+x2=- 2 , x1x2=- 2 . 2k +1 2k +1
2 2

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

→· → +λ PA →· → =x x +y y +λ[x x +(y -1)(y -1)]=(1+λ)(1+ 从而,OA OB PB 1 2 1 2 1 2 1 2 ?-2λ-4?k2+?-2λ-1? λ-1 k )x1x2+k(x1+x2)+1= =- -λ-2. 2k2+1 2k2+1
2

λ-1 所以,当 λ=1 时,- 2 -λ-2=-3. 2k + 1 →· → +λ PA →· → =-3 为定值. 此时,OA OB PB 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD. →· → +λ PA →· → =OC →· → +PC →· → =-2-1=-3. 此时,OA OB PB OD PD →· → +λ PA →· → 为定值-3. 故存在常数 λ=1,使得OA OB PB

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

存在性问题求解的思路及策略 (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若 结论不正确,则不存在. (2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论; ②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

自我挑战

x2 y2 2 (2015· 高考北京卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 点 P(0,1) a b 2 和点 A(m,n)(m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M.

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

自我挑战

(1)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示);

?b=1, ?c 2 由题意得? = , a 2 ? 2 2 2 ? a =b +c ,

解得 a2=2.

x2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 设 M(xM,0).因为 m≠0,所以-1<n<1,
? m ? n-1 m ? ,0?. 直线 PA 的方程为 y-1= x.所以 xM= ,即 M m 1-n ? 1-n ?

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

自我挑战

(2)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N.问:y 轴上是否存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点 Q 的坐标;若 不存在,说明理由.

大题 规范

类型四 有关圆锥曲线的探索性问题(难点)

——突破逆向解法

自我挑战

因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称,所以 B(m,-n). m 设 N(xN,0),则 xN= . 1+n “存在点 Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点 Q(0,yQ)使得 |OM| |OQ| = ”,即 yQ 满足 y2 Q = |xM||xN|. |OQ| |ON| m m m2 m2 2 2 因为 xM= ,x = , +n =1,所以 yQ= |xM||xN|= =2. 1-n N 1+n 2 1-n2 所以 yQ= 2或 yQ=- 2. 故在 y 轴上存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ,且点 Q 的坐标为(0, 2) 或 (0,- 2).

解题绝招 系列讲座

运筹“参数”,决胜解析几何

在数学中,为解决某一问题,往往引入一些新的未知量,来体现题目中 的各种关系,即引入参数,然后结合题目再“消参”,达到解题目的. 解析几何中含参数的问题类型: (1)当直线过定点设直线方程时,应对直线分斜率存在与不存在两种情况 进行讨论; (2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时,对参数的讨论; (3)求有关线段长度、图形面积的最值问题时,对解析式中含有的参数进 行讨论; (4)对有关二元二次方程表示曲线类型的判定等.

解题绝招 系列讲座

运筹“参数”,决胜解析几何

求解时注意的问题: (1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义,对参数的不同取值或不 同取值范围进行分类讨论,分类时应注意讨论的时机、标准、原因,做 到不重不漏. (2)对参数的分类讨论,最后仍然要分类写出答案;如果是对所求的字母 进行分类求解,最后一般要整理得出并集.

解题绝招 系列讲座

运筹“参数”,决胜解析几何

[ 例 1]

(2014· 高考山东卷)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,

x2 y2 3 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线 y=x 被椭圆 C 截得的 a b 2 4 10 线段长为 . 5

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运筹“参数”,决胜解析几何

(1)求椭圆 C 的方程;
a2-b2 3 由题意知 = ,可得 a2=4b2 a 2 椭圆 C 的方程可简化为 x2+4y2=a2. 5a 将 y=x 代入可得 x=± , 5 2 5a 4 10 因此 2× = ,可得 a=2.因此 b=1, 5 5 x2 2 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2 分) (3 分) (4 分) (1 分)

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运筹“参数”,决胜解析几何

(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. ①设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明:存在常数 λ 使得 k1=λk2, 并求出 λ 的值; ①设 A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),
则 B(-x1,-y1). y1 因为直线 AB 的斜率 kAB= , x1 x1 又 AB⊥AD,所以直线 AD 的斜率 k=- . (建立参数 k 与 y1、x1 的关系) y1 设直线 AD 的方程为 y= kx+m, (引入参数 k 及 m) (引入参数 x1 与 y1 及 x2 与 y2)

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运筹“参数”,决胜解析几何

由题意知 k≠0,m≠0. y=kx+m, ? ? 2 由? x 可得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0. 2 + y =1 ? ?4 8mk 所以 x1+x2=- , (6 分) 1+4k2 (建立参数 x1、x2 与 k、m 的关系) 2m 因此 y1+y2=k(x1+x2)+2m= . (建立参数 y1,y2 与 k,m 的关系) 1+4k2 y1+ y2 1 y1 由题意知 x1≠-x2,所以 k1= =- = . 4 k 4 x1 x1+ x2 (消参数 k 与 m,建立 k1 与 y1、x1 关系) y1 所以直线 BD 的方程为 y+y1= (x+ x1). (用参数表示 BD 方程) 4x1

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运筹“参数”,决胜解析几何

令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0), y1 可得 k2=- . 2x1

(用参数 x1 表示点 M 坐标) (8 分) (用参数 x1、y1 表示 k2)

1 1 所以 k1=- k2,即 λ=- . 2 2 1 因此存在常数 λ=- 使得结论成立. 2

(消参数 x1、y1 得结论) (10 分 )

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②求△OMN 面积的最大值. y1 ②直线 BD 的方程 y+y1= (x+ x1), 4 x1 3 ? 3 ? 令 x=0,得 y=- y1,即 N?0,- y1?. 4 4 ? ? 由①知 M(3x1,0),可得△OMN 的面积 1 3 9 S= ×3|x1|× |y1|= |x1||y1|. 2 4 8
x2 1 因为 |x1||y1|≤ + y2 1=1, 4 |x1| 2 9 当且仅当 = |y1|= 时等号成立,此时 S 取得最大值 , 2 2 8 9 所以△OMN 面积的最大值为 . 8

(12 分 ) (用参数表示面积)

(确定参数值) (14 分 )

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[ 例 2]

x2 2 (2015· 高考浙江卷)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于 2

1 直线 y=mx+ 对称. 2

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(1)求实数 m 的取值范围;
由题意知 m≠0, 1 可设直线 AB 的方程为 y=- x+b. m
2 x ? +y2=1, ?2 由? 1 ?y=-mx+b ?

?1 1 ? 2b 消去 y,得? + 2?x2- x+b2-1=0. m ?2 m ?

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1 x2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 + y =1 有两个不同的交点, m 2 4 所以 Δ=-2b +2+ 2>0. m
2



? 2mb m2b ? 1 ? ? 将线段 AB 中点 M 2 , 2 代入直线方程 y=mx+ 2 ?m +2 m +2?

m2+2 解得 b=- . 2m2 6 6 由①②得 m<- 或 m> . 3 3



6 6 m<- 或 m> 3 3

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(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).
? ? 1 ? 6 6? 令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?,则 |AB|= t2+1· m ? 2 2? ? ?

-2t4+2t2+ 1 t2+ 2

3 2



且 O 到直线 AB 的距离为 d=

1 t+ 2
2

t2+1

.
? 1? 2 -2? t2- ?2+ 2 ≤ , 2? 2 ?

1 1 设△AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AB|· d= 2 2 1 当且仅当 t2= 时,等号成立. 2 故△AOB 面积的最大值为 2 . 2

2 2


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