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吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试数学(文)试题(纯Word版,含答案)


2014 年长春市高中毕业班第二次调研测试



学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 为 120 分钟,其中第Ⅱ卷 22 题—24 题为选考题,其它题为必考题。考试结束后,将试卷 和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚

,将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的,请将正确选填涂在答题卡上). .... 1.设集合 M ? ?x | x ? 2?,集合 N ? ?x | 0 ? x ? 1?,则下列关系中正确的是 A. M ? N ? R C. N ? (?R M ) ? R 2.设 i 是虚数单位,则 1 ? i ? A. 0 B. M ? (?R N ) ? R D. M ? N ? M

2 等于 i
C. 2 D. 2

B. 4

3.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (b + ?a ) ? c ,则 ? 的值为 A. ?

3 11

B. ?

11 3

C.

1 2

D.

3 5

x ?1 1) ;命题 q :若函数 y ? f ( x) 为偶函 4.已知命题 p :函数 y ? a 的图象恒过定点 (0,

数,则函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则下列命题为真命题的是 A. p ? q B. p ? q C. ? p ? q D. p ? ? q 5.运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254 ,则①应为 A. n ≤ 5? C. n ≤ 7 ? B. n ≤ 6 ? D. n ≤ 8? 数学(文) 第 1 页(共 14 页)

第 5 题图 6.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则它们的相关系数的绝对值越接近于 1 ; ③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“ X 与 Y 有关系” 的把握越大.其中真命题的序号为 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③

7.抛物线 x2 ? my 上一点 M ? x0 , ?3? 到焦点的距离为 5 ,则实数 m 的值为 A. ? 8 B. ? 4 C. 8 8.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为 A. 2+ D. 4

1+ 5 ? 2

B. 2+

1+2 5 ? 2 2+ 5 ? 2
第 8 题图

C. 2+ 1+ 5 ?

?

?

D. 2+

9.设 a ? log2.8 3.1, b ? log? e, c ? loge ? ,则 A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

2 x 10.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? 2 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为

A 两个焦点,则 F1 , F2 在

B

C

D

11.已知直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点( A , B 不在同一支上), F1 , F2 为双曲线的 A.以 A , B 为焦点的双曲线上 C.以 A , B 为直径两端点的圆上 B.以 A , B 为焦点的椭圆上 D.以上说法均不正确

12 . 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 ? ??,0? 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 且 有

f ( x) ? xf ?( x) ? x ,则不等式 ( x ? 2014 ) f ( x ? 2014 ) ? 2 f (?2) ? 0 的解集为
A. ? ??, ?2012? C. ? ??, ?2016? B. ? ?2012, 0? D. ? ?2016, 0? 数学(文) 第 2 页(共 14 页)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、 填空题 (本大题包括 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 把正确答案填在答题卡中的横线上) . 13 . 在 △ ABC 中 , 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 若
2 sin A ? s i2n C?

s 2iB n ? 3sinAsinC ,则 B ?

. .

? x ? 2 y ? 5≤0 ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2≤0 , 则目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1 的最大值为 ?x 0 ? ≥

15.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , H 分别是棱 , 且 EH ∥ A1D1 , A1B1 ,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合) 过 EH 的平面与棱 BB1 ,CC1 相交, 交点分别为 F , G . 设

AB ? 2 AA1 ? 2a , EF ? a , B1 E ? 2B1 F .在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 内随机选取一点,则该点取自于几何
16.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2n ? n ? an , a2 n?1 ? an ? 1 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? … ?a99 = 17. (本小题满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 t an? ? . 三、 解答题 (本大题包括 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) . 体A 1 ABFE ? D 1DCGH 内的概率为 .
第 15 题图

? ? sin(2 ?? 2 ? 1 ,函数 f ( x) ? 2 x ? tan 2
1 2

?
4

),数列

?an ?

的首项 a1 ? 1 , a n ?1 ? f ( a n ) .

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 18. (本小题满分 12 分) 对某电子元件进行寿命追踪调查,所得样本数据的频率分布直方图如下. (1)求 y0 ,并根据图中的数据,用分层抽样的方法抽取 20 个元 件,元件寿命落在100 ~ 300 之间的应抽取几个? (2)从(1)中抽出的寿命落在 100 ~ 300 之间的元件中任取

2 个元件,求事件“恰好有一个元件寿命落在 1 0 0 ~ 2 0之间,一个元件寿命落在 0 200 ~ 300 之间”
的概率. 数学(文) 第 3 页(共 14 页)
第 18 题图

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是等腰梯形, 且 AB ∥ CD , O 是 AB 中点, PO ? 平面 ABCD ,

1 AB ? 4 , M 是 PA 中点. 2 (1)证明:平面 PBC // 平面 ODM ; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离. PO ? CD ? DA ?
20. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 点 A(1, 2) 是 离 心 率 为

第 19 题图

2 的 椭 圆 C : 2

y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, 斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C a2 b2 于 B , D 两点,且 A 、 B 、 D 三点互不重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:直线 AB , AD 的斜率之和为定值.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? aex ? b 在 (0, f (0)) 处切线为 x ? y ? 1 ? 0 . (1)求 f ( x) 的解析式; ( 2 )设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) , x1 ? x 2 , k 表示直线 AB 的斜率,求证:
第 20 题图

f ?( x1 ) ? k ? f ?( x2 ) . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做作,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲.

如图, AB 是圆 O 的直径, G 是 AB 延长线上的一点, GCD 是圆 O 的割线,过点G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F ,过点G 作圆 O 的切线,切点为 H . (1)求证: C , D, E , F 四点共圆; (2)若GH ? 8, GE ? 4 ,求 EF 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲.
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),以坐标原点 ? y ? 3? 1t ? ? 2
第 22 题图

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) . 6 (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若 P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ≤ 4sin(? ? ) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围. 6 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. (1)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ?x | 1 ? x ? 3? ,求 a 的值; (2)若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ? 3 ,求 a 的取值范围 . 数学(文) 第 4 页(共 14 页) 设函数 f ( x) ? x ? 2a , a ? R .

?

?

数学(文科)参考答案及评分标准
1. 【答案】 :B 【解析】 : M ? ?x | x ? 2?, ?R N ? ?x | x ? 0 或 x ? 1 ? ,则 M ? (?R N ) ? R ,故选 B 2. 【答案】 :D 【解析】 : 1? i ?

2 = 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ? 2 ,故选 D i

3. 【答案】 :A 【解析】 : b ? ?a ? (1,0) ? ? (1, 2) ? (1 ? ? , 2? ) , c ? (3, 4) ,又 (b + ?a ) ? c ,

3 ? 3 ?? 8 ?? 0 ∴ (b + ?a) ? c = 0 ,即 (1 ? ?,2 ?) ?(3,4) ?
故选 A 4. 【答案】 :D

,解得 ? ? ?

3 , 11

【解析】 :函数 y ? a x?1 的图象可看成把函数 y ? a x 的图象上每一个点的横坐标向左平 移一个单位得到,而 y ? a x 的图象恒过 (0,1) ,所以 y ? a x?1 的图象恒过 (?1,1) ,则 p 为 假命题;若函数 y ? f ( x) 为偶函数,即 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称, y ? f ( x+1) 的 图象即 y ? f ( x) 图象整体向左平移一个单位得到,所以 y ? f ( x+1) 的图象关于直线

x ? ?1 对称,则 q 为假命题;参考四个选项可知,选 D
5. 【答案】 :C
n 1 2 【解析】 :由程序框图算法可知, S ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ,由于输出 S ? 254 ,即

2(1 ? 2n ) ? 254 ,解得 n ? 7 ,故①应为“ n ? 7 ?” ,故选 C 1? 2
6. 【答案】 :D 【解析】 :①应为系统(等距)抽样;②线性相关系数 r 的绝对值越接近 1,两变量间 线性关系越强;③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越 高;④ 显然错误.故选 D 7. 【答案】 :A 数学(文) 第 5 页(共 14 页)

【解析】 :由抛物线方程 x2 ? my 及点 M ? x0 , ?3? 可知,抛物线 m ? 0 ,排除 C , D , 又 M 到焦点的距离为 5 ,且该抛物线准线方程为 y ? ?

m m ,所以 ? ? ( ?3) ? 5 ,解得 4 4

m ? ?8 ,故选 A 8. 【答案】 :A
【解析】 : 由几何体的三视图可知, 该几何体是一个沿旋转轴作截面, 截取的半个圆锥, 底面半径是 1,高是 2,所以母线长为 5 ,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面

积的一半以及截面三角形的面积的和,即

1 1 1 1? 5 ? ? ? ? 5 ? ? 2 ? 2=2 ? ? ,故选 2 2 2 2

A
9. 【答案】 :C 【解析】 :易知 0 ? b ? 1 , 1 ? a ? log2.8 3.1 ? log2.8 ? ,又 1 ? log? 2.8 ? log? e ? 0 , 所以 1 ? log 2.8 ? ? loge ? ? c ,∴ 1 ? a ? c ,∴ b ? a ? c ,故选 C 10. 【答案】 :A 【解析】 : f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? 2x ? ( x ? 1)2 ? 2x ,令 g ( x) ? ( x ? 1)2 , h (x ) ? 2x ,则

f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,在同一坐标系下作出两个函数的简图,根据函数图象的变化趋势可
以发现 g ( x) 与 h( x) 共有三个交点,横坐标从小到大依次设为 x1 , x2 , x3 ,在 (??, x1 ) 区间 上有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x ) ? 0 ;在区间 ( x1 , x2 ) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间

( x2 , x3 ) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 ;在区间 ( x3 , ??) 有 g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 0 .故
选A 11. 【答案】 :B

x2 y 2 【解析】 :不妨设双曲线焦点在 x 轴上,方程为 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0) , F1 , F2 a b
分别为双曲线的左、右焦点,且 A , B 分别在左、右支上,由双曲线定义:

AF2 ? | AF1 |? 2a , BF1 ? BF2 ? 2a ,则 AF2 ? BF2 ? AF1 ? BF1 ? AB ,由椭圆
定义可知, F1 , F2 在以 A 、 B 为焦点的椭圆上.故选 B 数学(文) 第 6 页(共 14 页)

12【答案】 :C 【解析】 :由 f ( x) ? xf ?( x) ? x , x ? 0 得: [ xf ( x)]? ? x ? 0 ,令 F ( x) ? xf ( x) ,则 当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 ( ??, 0) 是减函数, F ( x ? 2014) ? 由题意: F ( x ? 2014) > F (?2) ( x ? 2014) f ( x ? 2014) , F (?2) ? (?2) f (?2) , 又 F ( x) 在 ( ??, 0) 是减函数,∴ x ? 2014 ? ?2 ,即 x ? ?2016 ,故选 C 13.【答案】 :

? 6
2 2 2

a 2 ? c2 ? b2 3 【解析】 :由正弦定理, a ? c ? b ? 3ac ,所以 , ? 2ac 2
即 cos B ? 14.【答案】 : 10 【解析】 :作出可行域如图,令 u ? 2 x ? 3 y , 则y??

? 3 ,∴ B ? 6 2

2 u x ? ,作出目标直线,经过平移, 3 3

当经过 A 点时, u 取得最大值,联立 ?

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? x? y?2 ? 0

得 A(3,1) ,代入得 umax ? 9 ,∴ zmax ? 10 15. 【答案】 :

9 10

【解析】 :因为 EH ∥ A1D1 ,则 EH ∥ B1C1 ,所以 EH ∥ 平 面 BCC1B1 , 过 EH 的 平 面 与 平 面 BCC1B1 交 于 FG , 则

EH ∥ FG , 所 以 易 证 明 几 何 体 A1 ABFE ? D1DCGH 和

EB1F ? HC1G 是等高的五棱柱和三棱柱,由几何概型可知,长方体内任一点取自于几何
体A 1 ABFE ? D 1DCGH 内的概率为: 数学(文) 第 7 页(共 14 页)

P ? 1?

S? EB1F V三棱柱 ? 1? V S矩形ABB1 A1

1 5 2 5 ? a? a 9 2 5 5 ? 1? ? . 2 2a 10

16.【答案】 : 1275 【解析】 : an ? n ? a2n , an ? a2 n?1 ? 1 ,∴ a2n?1 ? a2n ? n ? 1 ,

a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ?? ?(a98 ? a99 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ?50=1275
17. 【解析】 : (1)由 tan 2? ?

? 2 tan? 2( 2 ? 1) , ?? 是锐角,? 2? ? ???4 分 ? ? 1 2 4 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

? sin( 2? ?

?
4

) ?1 1 2

? f ( x) ? 2 x ? 1 .

???6 分

(2)? a1 ? 1, an ?1 ? f ( an ) ,? an?1 ? an ? 1

? an?1 ? an ? 1 (常数)

???8 分 ???10 分 ???12 分

??an ? 是首项为 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 的等差数列,? an ? n ,
∴ Sn ?

n(n ? 1) . 2

18.【解析】 : (1)根据题意: 0.001?100 ? 2 y0 ?100 ? 0.002 ?100 ? 0.004 ?100 ? 1 解得 y0 ? 0.0015 ………………………………2 分

设在寿命落在 100 ~ 300 之间的应抽取 x 个,根据分层抽样有:

x ? ? 0.001 ? 0.0015 ? ?100 ………………………4 分 20 解得: x ? 5 所以寿命落在 100 ~ 300 之间的元件应抽取 5 个 ……………………………6 分 (2)记“恰好有一个寿命落在 100 ~ 200 之间,一个寿命为 200 ~ 300 之间”为事件 A ,
易知,寿命落在 100 ~ 200 之间的元件有 2 个,分别记 a1 , a2 ,落在 200 ~ 300 之间的元 件 有 3 个 , 分 别 记 为 : b1 , b2 , b3 , 从 中 任 取 2 个 元 件 , 有 如 下 基 本 事 件 : 数学(文) 第 8 页(共 14 页)

? a1, a2 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共
有 10 个基本事件. ………9 分 事件 A “恰好有一个寿命落在 100 ~ 200 之间,一个寿命为 200 ~ 300 之间”有:

? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? ,共有 6 个基本事件………10 分
? P( A) ? ∴ 6 3 ? 10 5
……………………………11 分

∴事件“恰好有一个寿命落在 100 ~ 200 之间,一个寿命为 200 ~ 300 之间”的概率 为

3 5 .

??????12 分

19.【解析】 : (1) 证明:由题意, CD ∥ BO ,

CD = BO

∴四边形 OBCD 为平行四边形,所以 BC // OD . 又∵ AO ? OB , AM ? MP ∴ OM ∥ PB ???4 分

又 OM ? 平面 PBC , PB ? 平面 PBC ∴ OM ∥平面 PBC 同理, OD ∥平面 PBC ,又 OM ? OD ? O ∴平面 PBC ∥平面 ODM . (2)设求点 A 到平面 PCD 的距离为 d . 因为 V 三棱锥 A-PCD= V 三棱锥 P-ACD 即

????6 分

1 1 1 1 ? ? 4? 2 3 ? 4 ? ? ? 4? 2 7 ? d 3 2 3 2 4 d? 21 . 7

???12 分

20.【解析】 : 由题意,可得 e ?

c 2 ? ,代入 (1, 2) a 2
数学(文) 第 9 页(共 14 页)



2 1 + ?1, a 2 b2

又a ?b ?c ,
2 2 2

???2 分

解得 a ? 2 , b ?

2 ,c ? 2 , y 2 x2 + ? 1. 所以椭圆 C 的方程 ???5 分 4 2 (2)证明:设直线 BD 的方程为 y ? 2 x ? m ,又 A, B, D 三点不重合,∴ m ? 0 ,
设 D( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由?

? ? y ? 2x ? m 2 2 得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 2 2 ? ?2x ? y ? 4
2

所以 ? ? ?8m ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? m ? 2 2

m2 ? 4 2 x1 x2 ? ② m ① 4 2 设直线 AB , AD 的斜率分别为 k AB , k AD ,

x1 ? x2 ? ?

???8 分

则 k AD ? k AB ?

y1 ? 2 y2 ? 2 2 x1 ? m ? 2 2 x2 ? m ? 2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 (*) ???10 分 ? 2 2 ? m? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1
?

将①、②式代入(*),

2 m?2 2 整理得 2 2 ? m 2 ? 2 2 ?2 2 ? 0, m ?4 2 ? m ?1 4 2 所以 k AD ? k AB ? 0 ,即直线 AB, AD 的斜率之和为定值 0 .
21.【解析】 :
x x (1) f ( x) ? ae ? b , f ?( x) ? ae ,∴由 f ?(0) ? 1 得 a ? 1

???12 分

???3 分

把 x ? 0 代入 x ? y ? 1 ? 0 得 y ? 1 ,即 f (0) ? 1 ,∴ b ? 0 ∴ f ( x) ? e .
x

???5 分

(2) 『证法 1』 : 证明:由(1) f ?( x) ? e ∴证明 f ?( x1 ) ? k ? f ?( x2 ) 即证 e 1 ?
x
x

e x1 ? e x2 ? e x2 x1 ? x2
???8 分

各项同除以 e 1 ,即证 1 ?
x

e x2 ? x1 ? 1 x2 ? x1 ?e x2 ? x1

数学(文) 第 10 页(共 14 页)

令 t ? x2 ? x1 ,则 t ? 0 ,这样只需证明 1 ? 设 g (t ) ? et ? t ?1 , g ?(t ) ? et ? 1,

et ? 1 t ? e (t ? 0) 即 t ? et ? 1 ? tet t

∵ t ? 0 ,∴ g ?(t ) ? 0 ,即 g (t ) 在 (0, ??) 上是增函数 ∴ g (t ) ? g (0) ? 0 ,即 e ? 1 ? t
t

???10 分

设 h(t ) ? (t ?1)et ? 1 , h?(t ) ? et ? (t ?1)et ? tet ? 0 ∴ h(t ) 在 (0, ??) 也是在增函数

h(t ) ? h(0) ? 0 ,即 tet ? et ? 1
t t 从而证明了 t ? e ? 1 ? te 成立,所以 f ?( x1 ) ? k ? f ?( x2 ) 成立.

???12 分

『证法 2』 : 证明: f ?( x1 ) ? k ? f ?( x2 ) 等价于 e 即 ( x2 ? x1 )e
x1
x1

?

e x2 ? e x1 ? e x2 x2 ? x1
????8 分

? e x2 ? e x1 ? ( x2 ? x1 )e x2
x1

先证 ( x2 ? x1 )e

? e x2 ? e x1 ,
x2 ? x1

问题等价于 ( x2 ? x1 ) ? e

? 1 ,即 e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0

设 g ( x) ? e x ? x ? 1( x ? 0) ,则 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ∴ g ( x) 在 (0,??) 上是增函数, g ( x) ? g (0) ? 0 ∵ x1 ? x 2 ,∴ x2 ? x1 ? 0 ,∴ g ( x2 ? x1 ) ? e 得证. 再证 e
x2 x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 ,
????10 分

? e x1 ? ( x2 ? x1 )e x2 ,
x1 ? x2

问题等价于 x2 ? x1 ? 1 ? e

,即 e

x1 ? x2

? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

设 h( x) ? e x ? x ? 1( x ? 0) ,则 h?( x) ? e x ? 1 ? 0 数学(文) 第 11 页(共 14 页)

∴ h( x) 在 (??,0) 上是减函数, h( x) ? h(0) ? 0 ∵ x1 ? x 2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 ,∴ h( x1 ? x2 ) ? e 得证. 综上, f ?( x1 ) ? k ? f ?( x2 ) . 22.【解析】 : (1)证明:连结 DB ,∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ?ADB ? 90
?

x1 ? x2

? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

????12 分

在 Rt ?ABD 和 Rt ?AFG 中, ?ABD ? ?AFE 又∵ ?ABD ? ?ACD ∴ ?ACD ? ?AFE ∴ C , D, E , F 四点共圆. ????????5 分

(2)∵ C , D, E , F 四点共圆,∴ GE ? GF ? GC ? GD ∵ GH 是圆 O 的切线,∴ GH ? GC ? GD ∴ GH ? GE ? GF
2 2

又因为 GH ? 8, GE ? 4 ∴ GF ? 16 ∴ EF ? GF ? GE ? 12 . ?????????10 分

23. 【解析】 : (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) 6 所以 ? ? 4 ? sin(? ?
2

?

?
6

) ? 4? (

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2

又 ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
2 2 2

所以 x ? y ? 2 3 y ? 2 x
2 2

所以圆 C 的直角坐标方程为: x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0 .
2 2

???????5 分

(2) 『解法 1』 : 设 z ? 3x ? y

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由圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 所以圆 C 的圆心是 (?1, 3) ,半径是 2
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 z ? 3x ? y 得 z ? ?t 将? ? y ? 3 ? 1t ? ? 2

???????8 分

又直线 l 过 C(?1, 3) ,圆 C 的半径是 2 ,由题意有: ?2 ? t ? 2 所以 ?2 ? ?t ? 2 即 3x ? y 的取值范围是 [?2, 2] . 『解法 2』 : 直线 l 的参数方程化成普通方程为: x ? 3 y ? 2 由? ????6 分 ???????10 分

? ?x ? 3 y ? 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 4
????8 分

解得 P 1 (?1 ? 3, 3 ? 1) , P 2 (?1 ? 3, 3 ? 1) ∵ P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ? 4sin(? ? ) 的公共点, 6 ∴点 P 在线段 P 1 P2 上, ∴ 3x ? y 的最大值是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? 2 , 最小值是 3(?1 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? ?2 ∴ 3x ? y 的取值范围是 [?2,2] . 24.【解析】 : 由题意可得 | x ? 2a |? 1 可化为 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1 ,

?

????10 分

? 2a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 1 . ? ?2 a ? 1 ? 3
数学(文) 第 13 页(共 14 页)

???????5 分

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ?| x ? 2a | ? x ? ?

?2 x ? 2a, x ? 2a , x ? 2a ? 2a,

所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 最小值为 2 a , 根据题意可得 2a ? 3 ,即 a ?

3 3? ? ,所以 a 的取值范围为 ? ? ?, ? .?????10 分 2 2? ?

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