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2015-2016学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程练习 新人教A版选修2-1


2.3.1
基 础 梳 理 1.双曲线的定义.

双曲线及其标准方程

把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的__________等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线,这________叫做双曲线的焦点,________________叫做双曲线的焦距. 想一想:(1)双曲线的定义中,常数为什么要小于|F1F2|

?

(2)平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲 线?

2.双曲线的标准方程.

焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 ________(a>0,b>0)

焦点在 y 轴上 ________(a>0,b>0)

F1(-c,0),F2(c,0) c2=________ x2 y2 a b y2 x2 a b

F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c
的关系

想一想:如何判断方程 2- 2=1(a>0,b>0)和 2- 2=1(a>0,b>0)所表示的双曲线的焦 点的位置? 基础梳理 1.差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 想一想:解析:(1)①如果定义中常数改为等于|F1F2|,此时动点的轨迹是以 F1、F2 为端 点的两条射线(包括端点). ②如果定义中常数为 0,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. ③如果定义中常数改为大于 |F1F2|,此时动点轨迹不存在. (2)不是,是双曲线的某一支. 在双曲线的定义中,P 为动点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,则 ①|PF1|-|PF2|=2a,曲线只表示双曲线的右支. ②|PF1|-|PF2|=-2a,曲线只表示双曲线的左支. 2. 2- 2=1

x2 y2 a b

y2 x2 2 2 - =1 a +b a2 b2
2 2 2

想一想:解析:在 x ,y 的系数异号的前提下,如果 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此,
1
2

不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.

自 测 自 评 1.点 F1,F2 是两个定点,动点 P 满足||PF1|-|PF2||=2a(a 为非负常数),则动点 P 的轨迹是( )

A.两条射线 B.一条直线 C.双曲线 D.前三种情况都有可能 2.已知 A(-3,0),B(3,0) 若动点 M 满足||MA|-|MB||=4,则 M 的轨迹方程是( )

A. - =1 4 5 C. - =1 9 5 3.若方程

x2 y2 x2 y2

B. - =1 4 5 D. - =1 9 5

y2 x2 y2 x2 y2

+ =3 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值范围是( m-1 m2-4 B.m>2

x2

)

A.1<m<2

C.m<-2 D.-2<m<2 自测自评 1.D 2.解析:根据双曲线的定义知,动点 M 的轨迹是双曲线,焦点在 x 轴上,a=2,c=3, 所以 b =5.所以轨迹方程为 - =1.故选 A. 4 5 答案:A
? ?m -4>0, 3.解析:由? 得 m<-2. ?m-1<0 ?
2 2

x2 y2

答案:C 基 础 巩 固 1. 若动点 P 到 F1(-5, 0)与 P 到 F2(5, 0)的距离的差为±8, 则 P 点的轨迹方程是( A. C. + =1 25 16 + =1 16 9 )

x2 x2

y2

B. - =1 25 16 D. - =1 16 9
2

x2

y2

y2

x2

y2

1.解析:由双曲线定义知:2a=8,∴a=4,c=5,∴b=3. 答案:D 2.已知 F1(-5,0),F2(5 ,0)为定点,动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,当 a=3 和 a=5 时,P 点的轨迹分别为( A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 2.解析:∵|F1F2|=10,|PF1| -|PF2|=2a, ∴当 a=3 时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当 a=5 时,2a=10=|F1F2|,为一条 射线. 答案:D 3.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2 A.2 B.1 C. 2 D.3 )

x2 y2

x2 y2

)

3.解析:∵双曲线的标准方程为 - =1,∴a>0,焦点在 x 轴上,∴a+2=4-a , a 2 即 a +a-2=0,解得 a=1,a=-2(舍去).∴a=1. 答案:B
2

x

2

y

2 2

x2 y2 4.若曲线 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是____________. k k-1
4.解析:只要 k(k-1)<0 即 可. 答案:(0,1)

能 力 提 升 5.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段

PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是(
A. -y =1 B.x - =1 4 4 C. - =1 2 3

)

x2

2

2

y2

x2 y2

D. - =1 3 2

x2 y2

5.解析:由题意知双曲线的焦点在 x 轴,且另一焦点为 F2( 5,0),又由中点坐标公 式求得 P 点坐标为( 5,4),则|PF1|=6,|PF2|=4. ∴|PF1|-|PF2|=2a=6-4=2<2 5. 答案:B
3

6.若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x +y =k -1 所表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双 曲线 D.焦点在 x 轴上的双曲线

2

2

2

)

6.解析:将已知方程化为标准形式,根据项的系数符号进行判断.原方程可化为 -

y2

k2-1

=1.∵k>1,∴k -1>0,1+k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线. 1+k 答案: C 7.F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,M 是双曲线上一点,且|MF1|·|MF2|=32,则 9 16

x2

2

y2

x2

△F1MF2 的面积为________. 7. 解析: 由题意可得双曲线的两个焦点是 F1(0, -5)、 F2(0, 5), 由双 曲线 定义得, ||MF1| -|MF2||=6, 联立|MF1|·|MF2|=32,得|MF1| +|MF2| =100=|F1F2| , 所以△F1MF2 是直角三角形, 1 从而其面积为 S= |MF1|·|MF2|=16. 2 答案:16 8.已知双曲线的方程是 - =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦点 F1 的距离为 16 8 10,点 N 是 PF1 的中点,则|ON|的大小(O 为坐标原点)为________________. 8. 解析: 设双曲线的另一个焦点为 F2, 连接 PF2, ON 是三角形 PF1F2 的中位线, 所以|ON| 1 1 = |PF2|,因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10,所以|PF2|=2 或 18,所以|ON|= |PF2|=1 2 2 或 9. 答案:1 或 9 9.相距 1 400 m 的两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3 s,已知声速是 340 m/s, 建立直角坐标系,求出炮弹爆炸点所在的曲线方程. 9.解析:以两个哨所(设为 A、B)的连线为 x 轴,两个哨所连线的中点为原点,建立直 角坐标系,设爆炸点为 P,由已知,可 得||PA|-|PB||=3×340=1 020, 所以点 P 的轨迹是双曲线,根据已知,c=700,a=510,所以 b =c -a =229 900, 所以,所求轨迹方程为 - =1. 260 100 229 900 10.如图,圆 E:(x+2) +y =4,点 F(2, 0),动圆 P 过点 F,且与圆 E 内切于点 M,
4
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2

y2

求动圆 P 的圆心 P 的轨迹方程.

10.解析:由已知,圆 E 半径为 r=2,设圆 P 的半径为 R, 则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2, 所以|PF|-|PE|=2, 由双曲线的定义知,P 的轨迹为双曲线的左支, 因为 a=1,c=2,所以 b= 3, 所以,所求轨迹方程为 x - =1(x≤-1). 3
2

y2

5


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