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§1.7.1 三角函数与高考试题


§1.7.1 三角函数与高考试题

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§1.7.1 三角函数与高考试题

1.弧长和扇形的面积 当圆心角为?时,它所对的弧长公式:

l ?| ? | R

弧长等于弧所对的圆心角(的弧 度数)的绝对值与半径的积.
B

扇形面积公式:
S? 1 lR 2
o

l
α rad
r
A

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§1.7.1 三角函数与高考试题

2.三角函数在各象限的符号 y y

y

+
O

+
x

O

+
x

O

+
x

-

sin ?

-

+
cos?

+

tan ?

记忆法则:第一象限全为正,二正三切四余弦.

16 如:判断正负 cos ? 5
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?? ? ? cos ?3? ? ? ? 0 5? ?

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3

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2.三角函数在各象限的符号 y y

y

+
O

+
x

O

+
x

O

+ x

sin ?

-

-

+
cos?

+

tan ?
B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

例1 (2007 北京文理)已知 cos? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( C )

解析:∵ cos ? ?tan ? ? 0 ∴ 当cosθ<0,tanθ>0时,θ∈第三象限; 当cosθ>0,tanθ<0时,θ∈第四象限.
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A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

4

§1.7.1 三角函数与高考试题

3.同角三角函数的基本关系式

①平方关系: ? ? cos ? ? 1 sin
2 2

sin ? ②商数关系: ? ? tan cos ?
12 例2(2009全国卷Ⅱ)已知△ABC中, cot A ? ? 5

则 cos A ?
(A)

D
(B)

?12 ? 5

12 13

5 13

(C) ?

5 12 (D) ? 13 13

r ? 13

12 由 cotA= ? 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 B,再由 5
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cos A 12 12 2 2 cot A ? ? ? , 和 sin A ? cos A ? 1求得 cos A ? ? sin A 5 13
5

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3.同角三角函数的基本关系式 例3 (2009辽宁卷)已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? ? D

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?
tan 2 ? ? tan ? ? 2 = tan 2 ? ? 1
4?2?2 4 = ? 4 ?1 5
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4 (A) ? 3

5 (B) 4

3 (C) ? 4

4 (D) 5

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4.诱导公式 第一象限
sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ?2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

第二象限

第三象限

奇变偶不变, 符号看象限
sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα
7

第四象限
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4.诱导公式
例4 (2009全国卷Ⅰ)sin585°的值为 A

2 (A) ? 2

2 (B) 2

3 (C) ? 2

(D)

3 2

解:sin585°= sin(6×90 ° +45°) = -sin45°

2 ?? 2

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5.三角函数的图像和性质 定义域:R
y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 ? 2

函数y ? A sin ? x ? ?) ( 2?

y 1

值域: ? ?1,1?
3? 2 ? 2 ?

的周期是T ?
7? 2

?

o -1 ??



? ? 2k? ? ,k? ? ? 最值: x ? 2k? ? ? 时,y ? 1 2 递增区间是? 当 max 2 2? ? 2 ? 3? ? ? ? 2k? ? ,k? ? ? 2 递减区间是 ? 当x ? 2k? ? 时,ymin ? ?1

2? 5? 2

3?

4?

x

奇偶性:(? x) ? sin(? x) ? ? sin x ?-f ( x)奇函数 f

?

2

2?

2

周期性: ( x ? 2? ) ? sin( x ? 2? ) ? sin x ? f ( x)最小正周期为2? f ? 对称中心是 (k? , 0) 对称轴是 x ? 2 ? k? (k ? Z )
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5.三角函数的图像和性质 例5 (2009重庆卷)下列关系式中正确的是( C )

D.sin168 ? cos10 ? sin11 解:因为 sin168? ? sin(180? ?12? ) ? sin12? ,
0 0 0

A.sin11 ? cos10 ? sin168 0 0 0 B.sin168 ? sin11 ? cos10 0 0 0 C.sin11 ? sin168 ? cos10
0 0
? ? ?

0

cos10 ? ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 0 ? 11? ? 12 ? 80? ? 90?
?

?

?sin11 ? sin12 ? sin 80 ①统一函数名; ? ? ?
即sin11 ? sin168 ? cos10
②化角为锐角.
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正弦函数 y ? sin x 在区间 [0? ,90? ] 上为递增函数 ? ? ?

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5.三角函数的图像和性质
定义域: R
y=cosx
-4? -7? 2 -5? -3? 2 -? -2? -3? 2

函数y ? A cos ? x ? ?) ( 的周期是T ?
3? 2 2? 5? 2

值域: ? ?1,1?
y
? 2

2?

?
7? 2

1 o -1
? 2

?

3?

4?

x

2k 递增区间是 ?2k? ? ?, ? ? 最值: 当x ? 2k?时,y ? 1 max
2 递减区间是 ?2k?,k? ? ? ?

当x ? 2k? ? ?时,ymin ? ?1

奇偶性:f (? x) ? cos(? x) ? cos x ? f ( x)偶函数 周期性:( x ? 2? ) ? cos( x ? 2? ) ? cos x ? f ( x)最小正周期为2? f ? 对称中心是 ( 2 ? k? , 0) 对称轴是 x ? k? (k ? Z )
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5.三角函数的图像和性质
例6(2009 全国卷Ⅰ)如果函数 y ? 3cos(2x ? ? ) 的图像关于点
4? ( , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 A 3

? (D) 2 ? 4? ? 解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称 ?3 ? 4? ? cos(2 ? ? ? ) ? 0 ? 2 ? 4? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) 3 3 2 13? 5 ? ? ? k? ? (k ? Z ) 即? ? L , 13? , 7? , ? ,? , } { ? ? ? L 6 6 6 6 6

? (A) 6

? (B) 4

? (C) 3

由此易得 | ? |min ?

?

6
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5.三角函数的图像和性质

y ? tan x

1.定义域 3.单调性 4.奇偶性

5.周期性 ? 6.渐近线方程是: x ? k? ? , k ? Z 2 k? ( , 0)(k ? Z ) 7.对称中心:
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? ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 2.值域 R ?? ? ? ?? 2 在 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z )上是增函数; 2 2? ? f (? x) ? tan(? x) ? ? tan x ? f ( x)奇函数 函数y ? tan x的周期是T ? ?
的周期是T ?

函数y ? A tan ? x ? ?) (

2

-

? ?
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6.函数y=Asin(ωx+φ) 当函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),x ∈[0,+∞)表 示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡 位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅; 往复振动一次所需要的时间T=2π/ω,它叫做振动 的周期;单位时间内往复振动的次数f=1/T=ω/2π, 它叫做振动的频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即 当x=0时的相).

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6.函数y=Asin(ωx+φ)
由y ? sin x 到y ? A sin(? x ? ?)的图象 变换步骤: (1)先平移后伸缩 向左(或向右) x→ x+φ y=sinx的图象 y=sin(x+φ)的图象 平移|φ|个单位

纵坐标不变x→ωx 1 横坐标变为原来的 ω 倍 横坐标不变函数整体乘以A

y=sin(ωx+φ)的图象 (ω>0) y=Asin(ωx+φ)的图象 (ω>0,A>0)
15

纵坐标变为原来的A倍
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6.函数y=Asin(ωx+φ)
由y ? sin x 到y ? A sin(? x ? ?)的图象 变换步骤: (2)先伸缩后平移 纵坐标不变x→ωx y=sinωx的图象 y=sinx的图象 1 横坐标变为原来的 ω 倍 (ω>0)
向左或向右x→ φ /ω φ 平移| |个单位 ω y=sin(ωx+φ)的图象

横坐标不变,函数整体乘以A y=Asin(ωx+φ)的图象 纵坐标变为原来的A倍
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§1.7.1 三角函数与高考试题

? 由y ? sin x 到y ? 3sin(2 x ? )的图象变化示意: y ? y=3sin(2x+ ) 3
3 2

6.函数y=Asin(ωx+φ)

3

1

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

-2 -3
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? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3
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§1.7.1 三角函数与高考试题

? 将函数y=sinx的图象上所有点 向右平移 4 个单位 ? ? ) ) 得到函数y ? sin( x ? 的图象,再将 y ? sin( x ? 的 4 4
图象上所有点

6.函数y=Asin(ωx+φ)

纵坐 标不变,横坐标伸长到原来的3倍 1 ? 1 ? ) 就得到函数 y ? sin( x ? 的图象,再将 y ? sin( x ? ) 3 4 3 4 1 的图象上所有点 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 5 倍 1 1 ? 就得到 y ? sin( x ? ) 的图象.
5 3 4

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6.函数y=Asin(ωx+φ) ? 例7 (2009 山东卷)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 4 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( B ).
A. y ? cos 2 x

? 解:将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位,得到函数 4 ? ? y ? sin 2( x ? ) 即 y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象, 4 2 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
4

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?

B. y ? 2cos2 x

)

D. y ? 2sin x
2

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x
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§1.7.1 三角函数与高考试题

6.函数y=Atan(ωx+φ)
?? ? 例8 (2009 全国卷Ⅱ)若将函数 y ? tan ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 的图 4? ? ? ?? ? 像向右平移 个单位长度后,与函数 y ? tan ? ? x ? ?
的图像重合,则 ? 的最小值为 D
1 A. 6 1 B. 4
?

6

?

6?

1 C. 3

1 D. 2

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ?? ? ? y ? tan ? ? x ? ? ?????? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? 4? 6 4 6? ? ?

1 ? ? ? ? k? ? ? ? ? 6 k ? ( k ? Z ) 4 6 6 2
1 1 ?? ? ,? , } { 6 ? 2 2

?

?

?

?? ? 0
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? ?min

1 ? 2
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§1.7.1 三角函数与高考试题

6.函数y=Acos(ωx+φ) 例9 (2009 辽宁)已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, ? 2 f ( ) ? ? ,则f (0)= B 2 3
2 (A) ? 3 2 (B) 3 1 (C)- 2
2 3

1 (D) 2

w.w.w.k.s .5.u.c.o.m

【解析1】由图象可得 最小正周期为

11? 7? 2? T ?( 2 - )= ?? ?3 12 12 3 7? 3? ? 这是五点法作图中3π/2对应的点! ?3 ? ?? ? ?? ? ?

2 ? f ( ) ? A cos(3 ? ? ) ? ? 2 2 4 3

?

12

2

?

?

4

2 2 ? 2 ? f (0) ? cos(? ) ? 3 4 3
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2 2? ?A ? 3

2 2 ? f ( x) ? cos(3x ? ) 3 4
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§1.7.1 三角函数与高考试题

6.函数y=Acos(ωx+φ) 例9 (2009 辽宁)已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, ? 2 f ( ) ? ? ,则f (0)= B 2 3
2 (A) ? 3 2 (B) 3 1 (C)- 2
2 3

1 (D) 2

w.w.w.k.s .5.u.c.o.m

【解析2】由图象可得 最小正周期为
11? 7? 2? T ?( 2 - )= 12 12 3

7? ? ? 2? 2? 7? ? ? ? ? ? ? ? f (0) ? f ( ) 12 2 12 3 12 12 3 2? ? 7? 2? ? 2 ? , 关于 对称 ? f (0) ? f ( ) ? ? f ( ) ? 3 2 12 3 2 3
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§1.7.1 三角函数与高考试题

6.函数y=Asin(ωx+φ) 例10(2009宁夏海南卷)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? 7? ? 0 的图像如图所示,则 f ? ? ? ______ 【解析1】由图象知最小正周期 故ω=3, ?
2 5? ? 2? 2? ? )= T= ( = , 3 4 4 3 ?
? 12 ?

? f ( ) ? 2sin(3 ? ? ? ) ? 0 4? 4

?

?3?

3? ? f ( x) ? 2sin(3x ? ) ?? ? ? 4 4 7? 3? ? 7? ? ?f? ? ) ? 2sin ? ? 0 ? ? 2sin(3 ?
? 12 ? 12 4
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?? ? 0 4 3?

这是五点法作图中0对应的点!

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6.函数y=Atan(ωx+φ) 例10(2009宁夏海南卷)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? 7? ? 0 的图像如图所示,则 f ? ? ? ______ 【解析2】观察图象 5? ? ? ?? 4 4
? 12 ?

7? 12

7? ? ? ? 4 3 12 ? 7? 由图像知 f ? ? 12
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?

?

? ??0 ?
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6.函数y=Asin(ωx+φ)
例11 (2009陕西卷) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R ? ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ) 的图象与x轴的交点中,相邻两 2 ? ? 个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 23 , ?2) 2 y (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求f(x)的值域.
12 2
O -2

? ?

2? 3 x

M(

2? , ?2) 3

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§1.7.1 三角函数与高考试题

6.函数y=Asin(ωx+φ) 例11 (2009陕西卷) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R ? ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ) 的图象与x轴的交点中,相邻两 2 ? ? 个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 23 , ?2) 2 y (Ⅰ)求f(x)的解析式; 解:(1)由最低点为 得A=2. ? 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 2 T ? 2? 2? 得 ? ,?T ? ? , ? ? ? ?2 2 2 2? T 4? ?
3 ? ? ) ? ?2, 即sin( 3 ? ? ) ? ?1
2? M ( , ?2) 3
2? 3 O -2 x

2? M ( , ?2) 3

? 2sin(2 ?

4? 3? ? ? ?? ? ,?? ? , 3 2 6 ? 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6
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这是五点法作图中3π/2对应的点!
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§1.7.1 三角函数与高考试题

6.函数y=Asin(ωx+φ) 例11 (2009陕西卷) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R ? ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ) 的图象与x轴的交点中,相邻两 2 ? ? 个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 23 , ?2) 2 ? ? (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求f(x)的值域. 12 2 看作θ ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 解:(2)由(1)知 6
? x ? [ , ], ? ? 7? 12 2 ? 2x ? ?[ , ] 6 3 6 1 ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ??1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 2 6 6

? ?

故f(x)的值域为[-1,2].
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