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数列求和方法和技巧


浅谈数列求和的方法和技巧 关键词:求和公式 错位相减法 倒序相加法 分组求和法 裂项相 消法 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。 在高考 和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数列的重要内 容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求 和都需要一定的技巧。 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试 题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 一、利用数列求和公式 利用等差等比数列求和公式是最基本最重要的方法。 1、等差数列求和公式:sn= =na + d 2、等比数列求和公式:sn=na (q=1) = (q=1) 例 1:已知 log x= ,求 x+x2+x3+...+xn+...的前 n 项和。 解:由 log x= ?圯 log3x=-log32?圯 x= 由等比数列求和公式得:sn=x+x2+x3+...+xn (利用常用公式) = = = 1例 2:设 sn=1+2+3+…+n,n∈n*,求 f(n)= 的最大值。 解:由等差数列求和公式得 sn= n(n+1) , ∴ f(n)= = = = ?燮 ∴ 当 - ,即 n=8 时,f(n)max= 二、错位相减法求和 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、{ bn } 分别是等差数列和等比数列。 例 3:求和: :sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1............. ① 解:由题可知,{(2n-1)xn-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项 与等比数列{xn-1}的通项之积 设……xsn=1x+3x2+5x3+7x4+...+ (2n-1) xn.............② (设 制错位) ①-②得 (1-x) sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+...+2xn-1(2n-1) xn (错 位相减) 再利用等比数列的求和公式得: (1-x)sn=1+2x· -(2n-1)xn ∴sn= 例 4:求数列 , , ,..., 前 n 项的和。 解:由题可知,{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ } 的通项之积 设 sn= + + +...+ .........................① sn= + + +...+ ..................② (设制错位) ①-②得( 1- )sn= + + + +...+ - (错位相减) =2- ∴sn=4三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数 列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (al+an) 。 例 5:求证:c0n+3c1n+5c2n+...+(2n+1)cnn=(n+1)2n 证明:设 sn=c0n+3c1n+5c2n+...+(2n+1)cnn°............... ① 把①式右边倒转过来得 sn=(2n+1)cnn+(2n-1)cn-1n+...+3c1n+c0n (反序) 又由 cmn=cn-mn 可得 sn=(2n+1)c0n+(2n-1)c1n+....+3cn-1n+cnn................ ② ①+②得 2sn=(2n+2) (c0n+ c1n+...+ cn-1n+cnn)=2(n+1) ·2n (反序相加) ∴sn=(n+1) ·2n 例 6:求的值 sin21°+sin22°+sin23°+.....+sin289°的值 解:设 s=sin21°+sin22°+sin23°+.....+sin288

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