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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.1.4 投影与直观图学案 新人教B版必修2


1.1.4

投影与直观图
自主学习

学习目标 1.初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理,初步理解平行投影的性质. 2.了解空间图形的不同表示形式,会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间 图形的直观图. 自学导引 1.平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质: (1)直线或线段的平行

投影仍是________或________; (2)平行直线的平行投影是________或________的直线; (3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段________且________; (4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形________; (5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比________这两条线段的比. 2.水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)表示空间图形的__________,叫做空间图形的直观图. (2)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段在直 观图中分别画成________于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段,平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直 观图中长度________,平行于 y 轴的线段,长度为原来的________. (3)对于图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即 过端点作坐标轴的________,再借助于所作的__________确定端点在直观图中的位置. 3.中心投影 一个__________把一个图形照射到一个平面上, 这个图形的影子就是它在这个平面上的 中心投影. 对点讲练 知识点一 平行投影的概念性质 例 1 下列命题中正确的个数为( ) ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段; ②矩形的平行投影一定是矩形; ③两条相交直线的投影可能平行; ④如果△ABC 在一投影面内的平行投影是△A′B′C′, 则△ABC 的重心 M 在投影面内的 平行投影 M′一定是△A′B′C′的重心. A.1 B.2 C.3 D.4 点评 本题必须明白平行直线(与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线; 在同一直线上或平行直线上, 两条线段的平行投影的比等于两条线段的比. 一般来说正方形、 菱形、长方形的平行投影是平行四边形,梯形的平行投影是梯形. 变式训练 1 关于直角 AOB 在某平面内的平行投影有如下判断:①可能是 0°角;②可 能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是 180°的角.其中正确判断的序号是

________________. 知识点二 水平放置的平面图形的直观图 例2

用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

点评 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点, 能使整个作图变得简便. 变式训练 2

将例 2 中三角形放置成如图所示,则直观图与例 2 中还一样吗?

知识点三 将直观图恢复为原平面图形

例3

如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.

点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样, 注意角度的改变, 平 行性不变,长度的变化,关键是点的确定. 变式训练 3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形, 那么原△ABC 的面积为( ) A. 3 2 a 2 B. 3 2 a 4 C. 6 2 a 2 D. 6a
2

1.直观图中应遵循的基本原则: (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观 图中应分别画成平行于 x′轴、y′轴、z′轴的线段; (2)平行于 x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段长度变为原 1 来的 . 2 2 倍. 4 3.在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然等于它的 真实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小. 2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 课时作业 一、选择题 1.人在灯光下走动,当人逐渐远离灯光时,其影子的长度将( A.逐渐变短 B.逐渐变长 C.不变 D.以上都不对

)

2.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为( A. 3. 3 2 a 4 B. 3 2 a 8 C. 6 2 a 8 D. 6 2 a 16

)

如图所示, 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形, 则原来图 形的形状是( )

4.如图建立坐标系,得到的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是(

)

5.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的(

)

题 答

号 案

1

2

3

4

5

二、填空题 6.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上的中线的实际长度为______.

7.

如图所示, 为一个水平放置的正方形 ABCO, 它在直角坐标系 xOy 中, 点 B 的坐标为(2,2), 则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为________. 三、解答题

8.如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm, 试画出它的直观图.

9.

如图所示,四边形 ABCD 是一个直角梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD 为等腰直角三角 形,试求梯形 ABCD 水平放置的直观图的面积.

【答案解析】 自学导引 1.(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于 2.(1)平面图形 (2)平行 不变 一半 (3)平行线 平行线 3.点光源 对点讲练 例 1 A [命题①错误,当直线或线段与投射线平行时,其平行投影是点;命题②错 误, 当投射线不与矩形所在平面垂直时, 平行投影可以是平行四边形或者线段; 命题③错误, 两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线,不可能平行;命题④正确,重心的平行 投影仍是重心.] 变式训练 1 ①②③④⑤ 例 2 解 (1)如图①所示,以 BC 边所在的直线为 x 轴,以 BC 边上的高线 AO 所在的 直线为 y 轴. (2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°. 1 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=2 cm,在 y′轴上截取 O′A′= OA,连接 A′B′, 2 A′C′,则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示.

变式训练 2 解 (1)如图①所示,以 BC 边所在的直线为 y 轴,以 BC 边上的高 AO 所在 的直线为 x 轴.

(2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°. 1 在 x′轴上截取 O′A′=OA, 在 y′轴上截取 O′B′=O′C′= OC=1 cm, 连接 A′B′, 2 A′C′,则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示. 显然与例 2 中既不全等也不相似. 例 3 解 画法:(1)以点 C 为原点,画直角坐标系 xOy,在 x 轴上取 OA=O′A′,即 CA=C′A′; (2)在图 1 中,过 B′作 B′D′∥y′轴,交 x′轴于 D′,在 x 轴上取 OD=O′D′,过 D 作 DB∥y 轴,并使 DB=2D′B′. (3)连接 AB、BC,则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形,如图 2.

变式训练 3 C [画△ABC 直观图如图(1)所示:

则 A′D′=

3 6 a,又∠x′O′y′=45°,∴A′O′= a. 2 2

画△ABC 的实际图形,如图(2)所示, AO=2A′O′= 6a,BC=B′C′=a, 1 6 2 ∴S△ABC= BC·AO= a .] 2 2 课时作业 1.B [中心投影的性质.] 2.D [先画出正三角形 ABC,然后再画出它的水平放置的直观图,如图所示.由斜二 测画法规则知 B′C′=a,O′A′= 3 a.过 A′作 A′M⊥x′轴,垂足为 M, 4

则 A′M=O′A′·sin 45°=

3 2 6 a× = a. 4 2 8

1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′= B′C′·A′M= a× a= a .] 2 2 8 16 3.A 4.C 5.C 6.2.5 2 2 解析 画出直观图,则 B′到 x′轴的距离为 7. 2 1 2 2 · OA= OA= . 2 2 4 2 8.解 (1)如图 a 所示,在梯形 ABCD 中,以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点,建 立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示,画出对应的 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°. (2)在图 a 中,过 D 点作 DE⊥x 轴,垂足为 E.在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm,A′E′

= AE =

3 1 3 ≈2.598 cm;过点 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED ,再过点 D′作 2 2

D′C′∥x′轴,且使 D′C′=DC=2 cm. (3)连接 A′D′、B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,如图 c 所示,则 四边形 A′B′C′D′就是所求作的直观图.

9.解 在梯形 ABCD 中,AB=2,高 OD=1.

由于梯形 ABCD 水平放置的直观图仍为梯形,且上底 CD 和下底 AB 的长度都不变,如图 1 2 所示.在直观图中,O′D′= OD,梯形的高 D′E′= ,于是,梯形 A′B′C′D′的面 2 4 1 2 3 2 积 S= ×(1+2)× = . 2 4 8


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