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2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系


第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面
知识点一 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象.几何里所说的 “平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是,几何时的平面是无限延展的. 拓展: (1)和以前学过的“点”“线”等概念一样,平面也是只描述而不定义的原始概念,是构成空间图 形的基本元素之一. (2)直线在平面内,直线可把平面图分成两部分;平面能把空间分成两部分. (3) 立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别: 平面图形如三角形、 正方形、 梯形等, 它们有大小之分、平面是无大小、厚薄之分的,是不可度量的,无大小,无面积,它可以无限延展, 没有边界. 例示 下列例题: ①书桌面是平面;②8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚;③有一个平面的长是 50m,宽 是 20m;④平面是绝对的平整、 无厚度, 可以无限延展的抽象的数学概念.其中正 命题的个数为 ( A.1 解析: 序 号 ① ② ③ ④ × × × √ 平面是无限延展的 平面是无厚度的 平面是无限延展的,不可度量的 平面是平整、无厚度、无限延展 的 答案:A 知识点二 平面的画法及表示 1.画法 正误 理由 B.2 C.3 D.4 )

(1)由于平面是无限延展 的,我们不可能画出整个的平面,因此,只能以一个有限的图形来 表 示平面,这就和画线段表示直线一样.在立体几何中通常画平行四边形来表示平面,当然也可以 用三角形、梯形、圆及其他形状来表示,如图 2.1-1 所示,图 2.1-1①中用△ ABC 代表平面 ABC,图 2.1-1②中用梯形 ABB1A1 代表平面 ABB1A1,图 2.1-1③中用圆 O 代表底面,图 2.1-1④中则用不 规则的图形表示了三个平面.









(2)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成 450 且横边长等于其邻边 长的 2 倍,如图 2.1—2. (3) 如果一个平面被另一个平面图遮挡信, 为了增强它的立体感, 把被遮挡部分用虚线画出来, 如图 2.1—3.

?

?
图 2.1—1

?
图 2.1—2 2.表示

图 2.1—3

平面通常用希腊字母 ? , ? , ? 等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上) , 如平面 ? 、平面 ? 、平面 ? 等.也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的 大写英文字母作为这个平面的名称. 提示: (1)平面画法的注意事项和规则 ①通常画的平行四边形表示的是整个平面. ②画表示竖直平面的平行四边形时,通常把它的一组对边画成铅垂线,

?
图 2.1-4

如图 2.1-4. ③画图规则:看得见的画成实线,被遮住看不见的画成虚线或不画;辅助线的画法也是如此, 这与平面几何是有区别的. (2)平面表示法的注意点 ①用希腊字母表示平面时,若题目条件已经说明平面 ? 、平面 ? ,则在题目后面的叙述过程 中可省略“平面”二字,只说 ? , ? ,但其也几种表示方法不能省略“平面”二字. ②也可以用平面内不共线的三个字母表示平面,例如,平面 ABC. 例示 下列表示两个相交平面的画法正确的是( )

?
?

?
?

?
?
C b

?

?
D

A

B

解析:对于 A,图中没有画出平面 ? 与平面 ? 的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法规 则去画,因此 A 的画法不正确;同理,知 B,C 图形的画法也不正确;D 中图形画法正确. 答案:D 知识点三 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 A 表示点, l , m 表示直线, ? , ? 表示平面 文字语言 A 在l 上 A 在l 外 符号语言 图形语言

A?l

A
A

l

A?l

l

A 在? 内

A ??

?

A

A 在? 外

A ??

A

l 在? 内

l ??

?
l
α

l 在? 外

l ??

l
α α

l A

l , m 相交于 A

l ?m ? A

m A l

l , ? 相交于 A

l ?? ? A
α

l A

l , ? 相交于 l

? ?? ?l

α

l

β

辨析 (1)集合中“ ? ”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系,“ ? ”和“ ? ”的号 只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借助于集合符号,但在读法上仍 用几何语言. (2)为了方便起见,个别地方的用法与集合符号略有不同,如直线 a 与直线 b 相交于 点 A,记作 a ? b ? A ,也可记作 a ? b ? ? A? ,这里的 A 既是一个点,又可以理解为只含有下 个元素(点)的集合. 例示 根据下列符号表示的语句,说明有关点、线、面的关系,并画出图形. (1) A ?? , B ?? ; (2) l ? ? , m ? ? ? A, A ? l ;

(3) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ?? . 解: (1)点 A 在平面 ? 内,点 B 不在平面 ? 内,图形如图 2.1-5①所示. (2)直线 l 在平面 ? 内,直线 m 与平面 ? 相交于点 A,且 l 直线不过点 A,图形如图 2.1-5②所 示. (3)直线 l 经过平面 ? 外一点 P 和平面 ? 内一点 Q,图形如图 2.1-5③所示.



② 图 2.1-5 知识点四 平面的性质 公 文字语言 符号语言



图形语言

理 公 理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内,那么这条 直线在此平面内. 公 理2 过不在一条直线上的 三点,有且只有一个平面.

A ? l , B ? l , 且A ? ? , B ?? ? l ? ?

A, B, C三点不共线 ? 存在唯一的? ,使A,B,C ??

公 理3

如果两个重合的平面 有一个公共点,那么它们有 且只有一条过该点的公共 直线.

P ?? , 且P ? ? ?

? ? ? ? l , 且p ? l

(1)三个公理的作用 公理 1:①判断直线是否在平面内,点是否在平面内;②用直线检验平面. 公理 2:①确定一个平面;②判断两个平面重合;③证明点、线共面. 公理 3:①判断两个平面相交;②证明点共线;③证明线共点. (2)公理 2 的三个推论 推论 1 推论 2 推论 3

文 字 语 言 符 号 语 言

经过一条直线和直线外 的一点,有且只有一个平面

经过两条相交直线,有且 只有一个平面

经过两条平行直线,有 且只有一个平面

直线BC ? ? ? 确定平 A ? BC ? 面? , 使A ? ? , BC ? ?

AB ? AC ? A ? 确定平面? , 使 AB ? ? ,AC ? ?

a / /b ? 确定平面? , 使,a? ? ,b ? ?

图 形 语 言 例示 (1)如图 2.1-6,若直线 AB,直线 BC 在平面?内,判断直线 AC 是否在平面?内; (2)“线段 AB 在平面图?内,直线 AB 不全在平面?内”这一 说法是否正确?为什么? (3)如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么它和这 个平面有几个公共点?说明理由; (4)“平面?与平面?只有一个公共点”这一说法是否正确?说明理由. 解: (1)因为直线 AB 在平面?内,所以点 A 一定在平面?内,因为直线 BC 在平面?内,所以点 C 一定在平面?内,所以 A,C 都在平面?内,所以直线 AC 在平面?内(公理 1). (2)不正确.因为线段 AB 在平面?内,所以线段上的 A,B 两点一定在平面?内,所以直线 AB 在平面?内(公理 1). (3)这条直线和这个平面只有一个公共点.假设这条直线和这个平面有两个公共点.由公理 1 可 得,这条直线上所有的点都在这个平面内,推得这条直线过平面外的一点也在这个平面内,这与已 知矛盾.这说明直线与这个平面有两个公共点是不可能的, 所以这条直线与这个平面只有一个公共点. (4)不正确.因为根据公理 3,知如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且 所有这些公共点的集合是一条通过这个公共点的直线,所以“平面?与平面?只有一个公共点”这一说 法不正确.

应用能力
应用点一 对平面概念的理解 例 1 判断下列说法是否正确,并说明理由.

巧提升

(1)平面的形状是平行四边形; (2)矩形可以表示平面; (3)平面 ABCD 的面积为 10 cm2 (4)空间图形中,后引的辅助线都是虚线. 解: 题号 (1) (2) 结论 错误 正确 理由 平面是无限延展的? 除了用平行四边形表示平面外,有时也用矩形、圆等表示 平面? (3) (4) 错误 错误 平面是不可度量的,无大小,无面积 在空间图中,一般把能看得见的线画成实线,把被平面遮 住看不见的线画成虚线,? 目的是为了增强立体感,后引的辅 助线也是如此 过程释疑 ? 平面具有无限延展性,是不可度量的,仅是借助平行四边形来表示平面. ? 平面是生活中平面的抽象,可借助平面图形表示平面. ? 在空间图形中,实线与虚线的画法只根据能否看得见来区分. 平面具有的特点: (1)平面是平的; (2)平面无厚度; (3)平面是可以无限延展的,无边界; (4)平面是由空间点、线组成的无限集合. 应用点二 共面问题 例 2 证明:空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内. 证明: (1)如图 2.1-7①,设直线 a,b ,c 相交于点O,直线 d 和直线 a,b,c 分别交于点 M,N,P, 直线 d 和点O确定平面?.?





2.1-7 因为O∈a,M∈a 所以 a ? ?.同理可证 b ? ? , c ? ? . (2)如图 2.1-7②,设直线 a,b,c,d 两两相交,且任意三条不共点,交点分别是 M,N,P,Q, R,G. 因为 a∩b=M,所以直线 a 和 b 确定平面?. 因为 a∩c=N,b∩c=Q 所以点 N,Q 都在平面?内,所以 c ? ?,? 同理可证 d ? ?,所以直线 a,b,c,d 共面于?. 综合(1) (2) ,知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.? 过程释疑 ? 在直线 d 上任取两点,连同点O,三点不在同一直线上,故可确定一个平面,也可由公理 2 的推论 1 得出. ? 直线 a,b 在平面?内,直线 a 上的点 N 直线 b 上的点 Q 也在平面?内,故直线 NQ 即直线 c 也 在平面?内. ? 空间中不共点且两两相交的四条直线分其中三条共点和任三条不共点两种情况,故证明时应 分类进行. 简单的点线共面问题,一般是先由部分点或线确定一个平面,再证明其他的点、线也在这个平 面内,这种证明点线共面的方法称为“落入法”. 应用点三 点共线问题 例 3 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,对角线 AC 1 与平面 BDC1 交于点 O ,AC、BD 交于点 M. 求证: C1 , O, M 三点共线. 证明: 如图2.1 ? 8,因为A 1 A / /C1C, , ? 所以直线A1 A, C1C确定平面AC 1

因为O ? A1C , A1C ? 平面A1C 所以O ? 平面A1C 因为平面BC1 D ? A1C ? O
所以O ? 平面BC1D所以点O在平面AC 1 与平面BC1D
的交线上 ,?

因为 AC∩BD=M,所以 M∈平面 BC1D, 且M ? 平面AC 1

所以平面BC1D ? 平面AC ? C1M ,? 1
所以 O ? C1M ,即C1 , O, M 三点共线. 过程释疑 ? 两条平行直线确定一个平面,为下步证明点O在此平面内做铺垫. ? 若点O分别在两个平面内,则在两个平面的交线上. ? 找出平面 BC1D 与 平面A1C 的交线,而点O也在交线上,为三点共线找足条件. 证明若干点共线问题的两种基本立法 (1)首先找出两个平面的交线,然后证明这若干点都是这两个平面的公共点,根据公理 3 可推 知这些点都在交线上,即证若干点共线; (2)首先选择其中两点确定一条直线,然后证明另外一些点都在这条直线上. 应用点四 三线共点问题 例 4 如图 2.1-9, 在四面体 ABCD 中,E,G 分别为 BC,AB 的中点,点 F 在 CD 上,点 H 在 AD 上,且有 DF:FC=DH:HA=2:3. 求证:EF,GH,BD 交于一点. 证明:因为 E,G 分别为 BC,AB 的中点, 所以 GE//AC. 又因为 DF:FC=DH:HA=2:3, 所以 FH//AC,从而 FH//GE. 故 E,F,H,G 四点共面.? 所以四边形 EFHG 是一个梯形,GH 和 EF 交于一 点O.? 因为点O既在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以点O在这两个平面的交线索上, 而这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条, 所以点在直线 BD 上. ? 这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上, 所以 EF,GH,BD 交于一点.

过程释疑 ? 由公理 2 的推论 3 可知,得用 HF//GE 即可确定 E,F,H,G 四点共面,为下一步证明 EF 与 GH 有交点做准备. ? 四边形 EFHG 为梯形,梯形两腰的延长线必相交于一点. ? 证明出交点在第三条直线上,这条直线恰好是分别过 GH 和 EF 的两个平面的交线. 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在两个平面上, 并且这两个平面相交,于是得到交线也过此点,从而得到时三线共点. 应用点五 平面的交线问题 例 5 如图 2.1-10,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E,F 分别为 CC1 和 AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线. 解:在正方形 AA1D1D 内,延长

D1F , DA,因为D1F与DA不平行, 所以D1F与DA必相交于一点,设为点P ,

则P ? D1F , P ? DA. 又因为D1F ? 平面BED1F AD ? 平面ABCD,
所以P ? 平面BED1F , P ? 平面ABCD .?
又因为 B 为平面 ABCD 与平面 BED1F 的公共点,? 所以连接 PB,PB 即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.? 过程释疑 ? 点 P 为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交点,即点 P 为两平面交线上的一点. ? 点 B 为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交点,即点 B 为两平面交线上的一点. ? 因为点 P 和点 B 均在两平面的交线上,由两点确定一条直线,得 PB 为两平面的交线. 公理 3 是两个平面相交的性质,它说明两个平面相交,交线是一条直线.要注意理解两个平面不 存在只有一个公共点的情形,如果有一个公共点,那么必定有无数多个公共点,且这些点恰好组成 一条直线,同时要注意,找到两个平面的一个公共点,交线的具体位置还无法判定,只有找到时两 个公共点,才能确定这两个平面的交线,这是作几何体截面确定交线时经常用到时的方法.

多向思维 新拓展

分类讨论思想 例 1 三个平面将空间分成几部分?请画出图形. 分析:平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分 类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入,分类解决. 解: (1)当平面 ? 、平面 ? 、 平面 ? 互相平行(即 ? / / ? / /? 时,将空间分为 4 部分,如图 2.1, 11①所示. (2)当平面 ? 与平面 ? 平行,平面 ? 与它们相交(即 ? / / ? , ? 与其相交)时,将空间分成 6 部 分,如图 2.1-11②所示. (3) 当平面 ? 、平面 ? , 平面 ? 都相交,且三条交线重合时, 将空间分成 6 部分,如图 2.1-11 ③所示. (4)当平面 ? 、平面 ? 、平面 ? 都相交,且三条交线共点,但互不重合时,将空间分成 8 部 分,如图 2.1-11④所示. (5)当平面 ? 、平面 ? 、平面 ? 两两相交,且三条交线平行 时,将空间分成 7 部分,如图 2.1-11⑤所示.

解后反思:本题在解答过程中,采用了从简单到复杂的处理方法.首先对两个平面在空间中的位

置分类讨论,然后让第三个平面以不同的情况介入,最后分类解决. 易错易混 例 2 如图 2.1-12,三个平面 ? , ? , ? 两两相交于三条直线,即 ? ? ? ? c, ? ? ? ? a, ? ? ? ? b .若 直线 a 和 b 不平行, 求证: a , b, c 三条直线必过同一点.

分析:因为且 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,且 a 与 b 不平行,所以直线 a , b 必相交于一点,要证 a , b, c 三条直线过同一点,即证三条直线交于一点,只要证明 a , b 两直线的交点在直线 c 上即可. 证明:因为 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,所以 a ? ? , b ? ? 因为直线 a 和 b 不平行,所以 a , b 必相交 设 a ? b ? P ,则 P ? a, P ? b 因为 a ? ? , b ? ? ,所以 P ? ? , P ? ? 又因为 ? ? ? ? c ,所以 P ? c ,即交线 c 过点 P 所以 a , b, c 三条直线相交于同一点. 解后反思:本题在证明过程中容易根据 a 和 b 不乎行,就直接判定两直线相交,而没有说明在 同一平面内这一条件.在运用公理、定理及推论时,必须注意公理和定理的使用条件和使用范围.

高效训练 速提能
1. 下列有关平面的说法正确的是( A.平行四边形是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 ) B.任何一个平面图形都是一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示平面 )

2. 如图 2.1-13,用符号语言可表示为( A. ? ? ? ? m, n ? ? , m ? n ? A C. ? ? ? ? m, n ? ? , A ? m, A ? n

B. ? ? ? ? m, n ? ? , m ? n ? A D. ? ? ? ? m, n ? ? , A ? m, A ? n

3. 下列说法正确的是( A.经过三点确定一个平面 C.四边形确定一个平面

) B.两条直线确定一个平面 D.不共面的四点可以确定 4 个平面

4. 一条直线和直线外的三点所确定的平面有 A.1 个或 3 个 B.1 个或 4 个 ) C.1 个,3 个或 4 个 D. 1 个,2 个或 4 个

5. 下列命题不正确的是(

A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点 B.若已知四个点不共面,则其中任意三个点不共线 C.若点 A 既在平面 ? 内,又在平面 ? 内,则 ? 与 ? 相交于 b ,且点 A 在 b 上 D.任意两条直线都能确定一个平面 6. 如图 2.1-14,平面 ? ? 平面 ? ? l ,点 A ? ? ,点 B ? ? ,点 C ? ? , 且 C ? l ,又直线 AB ? l ? R ,过 A, B, C 三点确定的平面为平面 ABC ,则平 面 ? ? 平面 ABC 等于( A.直线 CR ) C.直线 BC D.直线 l

B.直线 AC

7 .设平面 ? 与平面 ? 交于直线 l , A ? ? , B ? ? ,且 AB ? l ? C ,则
AB ? ? ?

.

8.下列命题中,不正确的是

.(只填序号)

①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面; ②三条两两垂直的直线共面; ③两两相交直线上的三个点确定一个平面; ④每两条都相交但不共点的四线共面. 9. 如图 2.1-15, A, B, C , D 为不共面的四点, E , F , G, H 分别在线段 AB, BC , CD, DA 上.如 果 EF ? GH ? Q ,那么点 Q 在直线 上.

10.分别用文字语言和符号语言表示图 2.1-16 中的点、直线、 平面之间的位置关系.

11.如图 2.1-17,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,中,设线段 A1C 与平面 ABC1 D1 相交于点 Q , 求证:三点 B, Q, D1 三点共线.

12.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 M , N , P 分别是棱 AB, A1 D1 , BB1 的中点,试作出过
M , N , P 三点的截面.

答案专区
1. D 解析:我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是一个平面,故 A 项不正 确;平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量.故 B 项不正确;太平 洋面是有边界的,不是无限延展的,故 C 项不正确;在需要时,除用平行四边形表示平面外, 还可用三角形、梯形、圆等来表示平面,故 D 项正确. 2. A 解析: ? 与 ? 交于 m, n 在 ? 内, m 与 n 交于 A. 3. D 解析:对于 A,若三点共线,则错误;对于 B 项,若两条直线既不平行,也不相交, 则错误;对于 C 项,空间四边形就不只确定一个平面. 4. C 解析:若三点在同一直线上,且与已知直线平行或相交,或该直线在由该三点确定 的平面内,则均确定 1 个平面;若三点有两点连线和已知直线平行时可确定 3 个平面;若三点 不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定 4 个平面. 5. D 解析:由公理 3,若两个平面有一个公共点.则相交于过这 一点的一条直线,因此有 无数个公共点,所以 A 选项正确;若任意三点共线,则此四点共面,因此 B 选项正确;C 选项 满足公理 3,所以 C 选项正确;只有当两条直线平行或相交时,才可以确定一个平面,所以 D 选项是错误的. 6. A 解析:因为 A ? 平面 ABC , B ? 平面 ABC ,所以 AB ? 平面 ABC .因为 R ? AB ,所 以 R ? 平面 ABC .又因为 R ? l , l ? ? ,所以 R ? ? .因为 C ? ? , C ? 平面 ABC ,所以 R, C 是平 面 ABC 与平面 ? 的两个公共点.所以平面 ? ? 平面 ABC ? 直线 CR . 7. C 解析:因为 A ? ? , B ? ? , AB ? l ? C ,所以 C ? AB .又因为 C ? l , l ? ? ,所以 C ? ? , 所以 AB ? ? ? C . 8. ②③解析:三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的 三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确. 9. AC 解析:若 EF ? GH ? Q ,则点 Q ? 平面 ABC , Q ? 平面 ACD . 而平面 ABC ? 平面
ACD ? AC ,所以 Q ? AC .

10.解:文字语言:平面 ? 内两条直线 a 和 b 相交于点 A .符号语 a ? ? , b ? ? ,且 a ? b ? A . 11.证明:如图 2.1-18,连接 A1 B, CD1 . 显然 B ? 平面 A1 BCD1 ,D1 ? 平面 A1 BCD1 , 所以 BD1 ? 平面 A1 BCD1 同理 BD1 ? 平面 ABC1 D1

所以平面 ABC1 D1 ? 平面 A1 BCD1 ? BD1
? 平面 ABC1 D1 ? Q ,所以 Q ? 平面 ABC1 D1 因为 AC 1 ? 平面 A1 BCD1 又因为 AC 1

所以 Q ? 平面 A1 BCD1 ,所以 Q ? BD1 ,即 B, Q, D1 三点共线. 12.解:如图 2.1-19,设 M , N , P 三点确定的平面为 ? ,则 ? 与平面 AA1 B1 B 的交线为直线 MP .设 MP ? A1 B1 ? R ,则 RN 是 ? 与平面 A1 B1C1 D1 的交线.设 RN ? B1C1 ? Q ,连接 PQ ,则 PQ 是 所要画的平面 ? 与平面 BB1C1C 的交线.设 MP ? A1 A ? F ,则 FN 是 ? 与平面 A1 D1 DA 的交线.设 FN ? AD ? H , 连接 HM , 则 HM
HN 是平面 ? 与平面 A1 D1 DA 的交 是平面 ? 与平面 ABCD 的交线,

线.综上可知,平面 PMHNQ 就是过 M , N , P 三点的截面.

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目标要求 1.理解空间中直线与直线之间的位置关系. 2.理解异面直线的概念、画法及判定. 3.掌握公理 4,等角定理及异面直线所成的角,并能用它们解决一些简单的问题. 知识点一 空间中两条直线的位置关系 1. 异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 提示: (1) 异面直线的定义表明:异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不平行. (2) 不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图 2.1-20 中,虽然有 a ? ? ,
b ? ? ,即 a , b 分别在两个不同的平面内,但是因为 a ? b ? O ,所以 a 与 b 不是异面直线.

(2) 画法:画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行也不相交,即不共面的特点,常常需 要画一个或两个辅助平面作为衬托,以加强直观性、立体感.如图 2.1-21 所示, a 与 b 为异面直 线.

(3)判断方法 方法 定义法 定理法 (此结论可作为定理使用) 假设这两条直线不是异面直线,那么它们是共面直线(即 假设两条直线相 反证法 交或平行),结合原题中的条件,经正确 地推理,得出矛盾,从而判定假设 “两条直线不是异面直 线”是错误的,进而得出结论:这两条直线是异面直线. 2. 空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类:
? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点 ?共面直线 ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点 ? ?异面直线 : 不同在任何一个平面内,没有公共点

内容 依据定义判断两直线不可能在同一个平面内 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点 的直线为异面直线

(2)按两条直线是否有公共点分类:
?有且仅有一个公共点? 相交直线 ? ?平行直线 ? ?无公共点 ?异面直线 ? ?

例示 如图 2.1-22 所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,判断下列直线 的位置关系:

(1)直线 A1 B 与直线 D1C 的位置关系是 (2)直线 A1 B 与直线 B1C 的位置关系是 (3)直线 D1 D 与直线 D1C 的位置关系是 (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是 解析: 序号 结论

; ; ; .

理由 因为 A1D1 //BC , 所以四边形 A1 BCD1 为平行四边形,

(1)

平行 所以 A1 B / / D1C

(2) (3) (4)

异面 相交 异面

A1 B 与 B1C 不同在任何一个平面内 D1 D ? D1C ? D1

AB 与 B1C 不同在任何一个平面内

知识点二 公理 4(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这一性质 叫做空间平行线的传 文字语言 递性 符号语言
a / /c? ? ? a / /b b / /c ?

图形语言

拓展 公理 4 的作用 (1) 公理 4 是证明空间两条直线平行的重要方法,也是重要依据.在应用公理 4 证明两条直线 平行时,常结合平行四边形、三角形中位线定理等知识. (2) 公理 4 是平面几何中的结论在空间几何中的推广. 例示 在三棱锥 S ? ABC 中, D, E 分别是 ? SAB 和 ?SBC 的重心,求证: DE / / AC .

证明:如图 2.1-23,连接 SD, SE ,并延长,分别交 AB, BC 于点 F , G 则 F , G 分别是 AB, BC 的中点,连接 FG 因为 D, E 分别是 ? SAB 和 ?SBC 的重心 所以 SD : SF ? 2 : 3 , SE : SH ? 2 : 3 所以 SD : SF ? SE : SG ,所以 DE / / FG 又因为 FG / / AC ,所以 DE / / AC . 知识点三 空间等角定理 1.定理 文字语 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补 言 符号语 言
OA / /O?A?, OB / /O?B? ? ?AOB ? ?A?O?B? 或 ?AOB ? ?A?O?B? ? 180?

图形语 言

作用 提示

判断或证明两个角相等或互补

利用等角定理是证明角相等的常用方法.注意在使用等角定理时,一要说明角的两边分别平行, 二要说明角的两边的方向. 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 例示 已知 EA 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AD, A1 D1 的中点. 求证: ?BEC ? ?B1E1C1 . 证明:如图 2.1-24,连接 EE1 因为 E1 , E 分别为 AD, A1 D1 的中点 所以 A1 E1 //AE ,所以四边形 A1 E1 EA 为平行四边形.

所以 A1 A //E1 E ,又因为 E1 E //B1 B 所以 E1 E //B1 B 所以四边形 E1 EBB1 是平行四边形. 所以 E1 B1 / / EB ,同理 E1C1 / / EC . 又因为 ?BEC 与 ?B1E1C1 方向相同 所以 ?BEC ? ?B1E1C1 . 知识点四 异面直线所成的角 1. 概念:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? / / a, b? / /b ,我们把 a ? 与 b ? 所成 的锐角域直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 2. 异面直线所成的角 ? 的取值范围: 0? ? ? ? 90? . 3. 如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直 线 a , b ,记作 a ? b . 拓展 (1)两条异面直线的公垂线 ①定义:和两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线; ②两条异面直线的公垂线有且只有一条. (2)两条异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线间的距离. 4. 异面直线所成的角的求法 方法 1:在空间任取一点 O ,过点 O 分别作 a? / / a, b? / /b ,则 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直角)为异 面直线 a 与 b 所成的角,然后通过解三角形等方法求角. 方法 2:在其中一条直线上任取一点(如在 b 上任取一点) O ,过点 O 作另一条直线的平行线 (如 过点 O 作 a ? / / a ), 则两条直线相交所成的锐角(或直角) 为异面直线所成的角 (如 b 与 a ? , 图 2.1-25 所成的角) ,然后通过解三角形等方法求角(如 图 2.1-25).

例示

如图 2.1-26 所示,在空间四边形 ABCD 中, AB ? CD, AB ? CD, E , F 分别为 BC , AD

的中点,求 EF 和 AB 所成的角. 解:如图 2.1-27,取 BD 的中点 G ,连接 EG , FG . 因为 E , F 分别为 BC , AD 的中点, AB ? CD

1 1 所以 EG / / CD, GF / / AB 且 EG ? CD, GF ? AB 2 2
所以 ?GFE 就是 EF 与 AB 所成的角或其补角,
EG ? GF ,因为 AB ? CD

所以 EG ? GF ,所以 ?EGF ? 90? 所以 ?EFG 为等腰直角三角形. 所以 ?GEF ? 45? ,即 EF 与 AB 所成的角为 45 ? .

应用能力 巧提升
应用点一 空间两条直线的位置关系的判定于 例 1 若 a 和 b 是异面直线, b 和 c 是异面直线,则 a 和 c 的位置关系是( A.平行 B.异面 C.相交 )

D.平行、相交或异面

解析:可借助长方体来判断.? 如图 2.1-28,在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, A?D?

A?D? 所在直线为 a , AB 所在直线为 b ,已知 a 和 b 是异面直线
b 和 c 是异面直线

则 c 可以是长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中的 B?C ?, CC ?, DD? ? 故 a 和 c 可以平行、相交或异面. 答案:D 过程释疑 ?找出实际模型,使空间直线更直观、易理解,这种处理问题的方法在立体几何中经常用到. ?在长方体模型中寻找同时满足两个条件的直线 c 时,一定要注意直线 c 的所有情况,可采用 分别验证的方法来 寻找. 判定两直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法处理;判 定异面直线的方法往往用定义和反证法.借助几何模型判定两直线的位置关系,也是常用的一种方 法,且更直观.

应用点二 异面直线的判定与证明 例2 给出下列正方体的侧面展开图,其中 A, B, C , D 分别是正方体的棱的中点,那么,在原 )

正方体中, AB 与 CD 所在直线为异面直线的是 (

解析:A 项,正方体的侧面展开图还原后的正方体如图 2.1-29,

因为 A, B, C , D 分别是正方体两对平行的棱的中点,所以 AB / / CD ? B 项,正方体的侧面展开图还原后的正方体如图 2.1-30

因为 A, B, C , D 分别是正方体的棱的中点,并且结合正方 体的结构特征,得 AB / / CD ? C 项,正方体的侧面展开图还原后的正方体如图 2.1-31,

因为 A, B, C , D 分别是正方体的棱的中点,所以分别延长线段 AB ,线段 DC 交于点 F ,所以 AB 与 CD 不是异面直线.? D 项,正方体的侧面展开图还原后的正方体如图 2.1-32,

因为 A, B, C , D 分别是正方体的棱的中点,所以延长线段 DC 交 AB 所在的平面于点 E ,又因为
E ? AB ,所以 AB 与 CD 是异面直线.故选 D.

答案:D 过程释疑 ? AB, CD 分别与正方体的上、下底面正方形的一条对角 线平行,故 AB / / CD . ? AB, CD 分别与下底面正方形的一条对角线平行,故 AB / / CD . ?易证 BC / / AD ,又 BC ? AD ,所以延长 AB, DC ,并交于一点. 在解决此问题时,展开图还原为正方体时易出错,要注意根据有关概念或判定方法进行推导, 而不仅仅是主观臆断,导致将相交直线与异面直线相混淆. 例 3 已知 ? ? ? ? a, b ? ? , a ? b ? A ,且 c ? ? , c / / a ,求证: b, c 为异面直线. 证明:方法 1(定理法) :如图 2.1-33. 因为 c ? ? , a ? b ? A, ? ? ? ? a 所以 A ? ? 又因为 a / / c ,所以 A ? c ? 在直线 b 上任取一点 B (不同于点 A ). 因为 b ? ? ,所以 B ? ? ? 所以 AB 与 c 是异面直线,即 b, c 为异面直线. ?

方法 2(反证法) :如图 2.1-33. 假设 b, c 不是异面直线,即假设 b, c 在同一平面 ? 内 即 b ? ? ,c ? ? 又因为 a ? b ? A ,所以 A ? ? ? 即点 A 和直线 c 均在平面 ? 内. 又因为 a / / c, A ? a ,所以 A ? c 又因为 c ? ? , A ? ? ,所以过 c 与 c 外一点 A 有两个平面 ? 和 ? 这与公理 2 的推论矛盾.故 b, c 为异面直线. 过程释疑 ?证明了 c 不过点 A ,为下一步证明 b 与 c 异面提供条件. ? B ? ? 说明 b 不在 c 所在的平面 ? 内. ③直线 b 中点 B 不在 ? 内,点 A 在 ? 内,且直线 c 不经过 点 A ,故有 b , c 异面. ④因为 A ? b, b ? ? ,所以 A ? ? . ⑤因 为 a / / c , 所 以 a 与 c 不可能有交点,所以 A ? ? c. (1)利用定理判定异面直线,使用时要充分说明定 理的条件,才有直线异面的结论. (2)反证法证明问题的一般步骤: 假设结论的反面 成立, 据理推出矛盾, 从而判定原结论正确. 若结论的反面情况只有一种,则只需将此否定驳 倒,即可达到反证的目的,这种比较单纯的 反证法称为 归谬法;若结论的反面情况不止一种,则必须将其逐一 驳倒,才能推出命题的结论正 确.常见矛盾:①与已知条 件相矛盾;②与已知公理、定理相矛盾;③与已知定义相 矛盾;④与 所作的假设相矛盾;⑤导出了 一个显而易见 的错误,如“ 1 ? 2 ”“ (a ? b) ? 0 ”等.
2

应用点三公理 4 的应用

F 分别是长方体 ABCD ? A1B1C1D ,的棱 A1 A, C1C 的 中点, 例 4 如图 2.1-34, E , 求证:
四边形 B1EDF 是平行四 边形.

证 明 : 设 Q 是 DD1 的中点,连接 EQ, QC1 . 因为 E 是 AA1 ,的中点,所以 EQ / / A1D1 且 EQ ? A1D1 又因为在矩形 A1B1C1D1 中, A C 1且 A1D1 ? B1C1 1D1 / / B 1 所以 EQ / / B1C1 且 EQ ? B1C1 所 以 四 边 形 EQC1B1 为 平 行 四 边 形 . 所 以 B1E / /C1Q 且 B1E ? C1Q 又因为 Q , F 是矩形 DD1C1C 两边 D1D 和 C1C 的中点, 所以 QD / /C1F 且 QD ? C1F . 所以四边形 DQC1F 为平行四边形. 所以 C1Q / / FD 且 C1Q ? FD . 又 因 为

B1E / /C1Q 且

B1E ? C1Q ,所



B1E / / FD 且 B1E ? FD
所以四边形 B1EDF 为平行四边形. 过程释疑 ①由于 Q , E 分别是 DD1 , AA1 的中点,故四边形 EQD1 A 1 是平行四边形. ②由平行线的传递性,得 EQ / / B1C1 ,为证明四边形 EQC1B1 是平行四边形提供条件. ③根 出 B1E / / FD 且 B1E ? FD . 证明两直线平行的方法 (1)平行线的定义:在同一平面内没有公共点的两 条直线是平行直线; (2)利用三角形中位线平行于底边这一性质; (3)利用公理 4; (4)利用平行四边形对边互相平行的性质. 据 公 理 4 ,

F , D1 均 B

E与

C1Q 平行且相等,得

应用点四 空间等角定理及其应用 例 5.如图 2.1-35, ?ABC 和 ?A B C 的对应顶点的连线 AA? , BB? , CC? 交 于 同 一点Q ,且 ;
? ? ?

AO BO CO 2 ? ? ? OA? OB? OC ? 3

? ? (1)求证: AB / / A? B? , AC / / AC , BC / / B?C?

(2)求

S ?ABC 的值. S ?A? B?C ?

? ? (1)证明:因为 AA 与 BB 交 于 点 O ,且

A O B O ? ? O A O B

?

?

2 3

所 以 所 以

?AOB ? ?A?OB? ,
? ? ?AOB ~ ?AOB , ? ?

O? B O A 所 以 ?A B ?
所 以 AB / / A B .① 同理 AC / / AC , BC / / B C
? ? ? ?
? ?

? ? ? ? (2)解:因为 AB / / A B , AC / / AC ,对于 ?BAC 和 ?B A C 来说,两角的两边方向都
? ? ?

相反,② 所以 ?BAC ? ?B A C . 同理 ?ABC ? ?A B C .
? ? ? ? ? ?

所以 ?ABC ~ ?A B C ,且

?

?

?

AB AO 2 ? ? A? OA? 3

所以

S?ABC 2 4 ? ( )2 ? . ③ S?A? B?C? 3 9

过程释疑 ①内错角相等,两直线半行. ②空间等角定理中,若两个角的两边方向都相同或都相 反,则两角相等,若两个角的两边有 一边方向相同,另一边 方向相反,则两角互补. ③相似三角形的面积比等于相似比的平方. 空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依 据,考查方向主要有两个:一是直接利用 定理判断角的 关系;二是利用角的相等证明三角形相似.解答时要注意 角的两边是否平行及角 的方向,其中方向容易被忽略, 要注意作出说明. 例 6. 如图 2.1-36,在正方体 ABCD ? A B C D 中, E , F ,
? ? ? ?

E1 , F1 分别为棱 AD, AB, B1C1, C1D1 的中点.
求证: ?EA 1 F ? ?E1CF 1

? ? ? ? 证 明 : 如图 2.1-37,在正方体 ABCD ? A B C D 中 , 取 A1B1 的 中 点 M ,

则 BF ? A1M ?

1 AB 2

又因为 BF / / A 1M . 所以四边形 A 1FBM 为平行四边形① 所以 A 1 F / / BM . 而F 1M / /C1B 1且 F 1M ? C1B 1 而 所以 1 , M 分别为 C1 D 1, A 1B 1 的 中点,则 F

PM / / BC ,且 F1M ? BC 1
所以四边形 F 1MBC 为平行四边形, 所以 BM / / FC 1 .又因为 BM / / A 1F , 所以 A 1 F / /CF 1 .②

// DE ,所以四边形 A1NDE 为平行四 同理,取 A1D1 A 的中点 N ,连接 DN , E 1N ,则 A1N ? // CD ,所以四边形 E1NDC 为平行四边形. 边形.所以. A1E / / DN .又因为 E 1N ?
所以 DN / /CE 1 .所以 A1E / /CE 1 .所以 ?EA1F 与 E1CF1 的两边分别对应平行,且方向都相反. ③ 所以 ?EA1F ? ?E 1CF1 . 【过程释疑】 ① 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.

② A1F / / BM , BM / / FC ,有平行传递性质,知 A1F / /CF1 . 1 ③如果不说明角的两边方向问题,两角可能相等也可能互补. 证明角相等的问题,等角定理及其推论是较常用的方法.另外通过证明三角形的相似或全等也可 以角的相等的证明,如本例还可以通过证明 ? EA1F 与 ? E1CF1 全等来证明角相等. 应用点五 异面直线所成的角 例题 7 如图 2.1 ? 38 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 : (1) (2) 求 A1B 与 B1D1 所成的角; 求 AC 与 B1D 所成的角.

// BB1 . 解: (1)连接 BD , A1D .因为六面体 ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,所以 DD1 ? // B1D1 .① 所以四边形 DBB1D1 为平行四边形,所以 BD ?

因为 A1B , BD , A1D 是全等的正方形的对角线,所以 A1B ? BD ? A1D ,即 ? A1BD 是等边三 角形.所以 ?A1BD ? 60? .因为 ?A1BD 是锐角,所以 ?A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角.② 所以 A1B 与 B1D1 所成的角为 60
?

(2)设 AC 与 BD 交于点 O ,取 DD1 的中点 E ,连接 EO , EA , EC . 因为 O 为 BD 的中点,所以 OE / / BD1 .③
? 因为 ?EDA ? 90 ? ?EDC , A D ? DC , DE ? DE , 所以 ? EDA ?? EDC , 所以 EA ? EC . ? 在等腰三角形 EAC 中,因为 O 是 AC 的中点,所以 EO ? A C ,所以 ?EOA ? 90 .

因为 ?EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成的角. 所以 AC 与 BD1 所成的角为 90 . 【过程释疑】
?

// B1D1 ,为下一步将异面直线所成的角转化到一个三角形中求解做准备. ①证明 BD ?
②因为 BD / / B1D1 ,所以 A1B 与 BD 所成的锐角即是 A1B 与 B1D1 所成的角. ③由于 O , E 分别是 BD , DD1 的中点,即 OE 是 ? BDD1 的中位线,故 OE / / BD1 .为将求 AC 与 OE 所成的角做准备. 求两条异面直线所成的角的数学思想是转化思想,也就是通过平移直线至相交位置求角,它是 立体几何问题的一个难点, 找异面直线所成的角时, 可综合运用多种方法, 总结起来有如下 “口诀” : 中点 端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、 钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.

转化与化归思想
E , F 分别是 AB , CD 的中点, AD ? BC ? 2a , 例题 1 在空间四边形 ABCD 中, EF ? 3a ,
求异面直线 A D , BC 所成的角. 【分析】要求异面直线 A D , BC 所成的角,可在空间中找一些特殊点,将 A D , BC 平移至 一个三角形中,此题已知 E , F 分别是 AB , CD 的中点,故可寻找一边中点,如 BD 中点 M ,则

?EMF (或其外角)为所求的角.
解:如图 2.1 ? 39 ,取 BD 中点 M .由题意,知 EM 为 ? BA D 的中位线. 所以 EM / / A D 且 EM ?

1 1 MF ? a , AD .同理 MF / / BC 且 MF ? BC .所以 EM ? a , 2 2

且 ?EMF (或其外角)为所求的角.

在等腰 ? MEF 中,取 EF 的中点 N ,连接 MN ,则 M N ? EF . 又因为 EF ? 3a , 所以

EN ?

3 EN 3 ? ? ,所以 ?EMN ? 60 , 所以 ?EMF ? 2?EMN ? 120 . a . 故有 sin ?EMN ? ? 2 EM 2
? ?

因为 ?EMF ? 120 > 90 ,所以 A D , BC 所成的角为 ?EMF 的补角,即 A D , BC 所成的角为

60? .
【解后反思】在求异面直线所成的角的过程中要注意: (1)通常将空间中的两条异面直线通过 平移的方法,转化到同一个三角形中,将空间问题转化为平面问题求解; (2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成角的补角,这是由异面直线所城搅得范围是

? ?? ? 0, ? 决定的. ? 2?

解题技巧
例题 2 如图 2.1 ? 40 ,三棱锥 P ? ABC 中, E 是 PC 上异与点 P 的点. 求证: AE 与 PB 是异面直线.

分析:由于从定义直接证明,即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手,一个平面一 个平面地寻找是不可能实现的,因此必须找到一个间接证法来证明,反证法即是一种行之有效的方 法. 证明:假设 AE 与 PB 不是异面直线,设 AE 与 PB 都在平面 ? 内,因为 P ?? , E ?? ,所以

PE ? ? . 又因为 C ? PE , 所以 C ? ? . 所以点 P , A , B , C 都在平面 ? 内 . 这与 P , A , B , C 不共面
( P ? ABC 是三棱锥)矛盾. 于是假设不成立,所以 AE 与 PB 是异面直线. 【解后反思】反证法属于一种间接证明问题的方法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设, 在从这个假设出发,经过正确的推理,导出矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法. 用反证法证明一个命题的过程,大体上分为三步: (1)反设; (2)归 繆(3)下结论. 高效训练 速提能 1.下列命题正确的是 A.没有公共点的两条直线是平行直线 ( )

B.互相垂直的两条直线是相交直线

C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线 D.不在同一平面内的两条直线是异面直线. 2.已知空间两个角 ? , ? , ? 与 ? 的两边对应平行,且 ? ? 60 ,则 ? =
?





A. 60

?

B. 120

?

C. 30

?

D. 60 或 120

?

?

3.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为 A. 30
?





B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

4. 空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是 ( ) A. 梯形 B.矩形 C. 平行四边形 D.正方形 )

5.一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是 ( A. 平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能

6. 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , AB , BC , CD 的 中 点 分 别 是 P ,Q , R , 且

PQ ? 2 , QR ? 5 , PR ? 3 ,那么异面直线 AC 与 BD 所成的角是
A. 90
?





B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

7.在四棱锥 P ? ABCD 中,各棱所在的直线互相异面的有 8. 如 图 2 .? 1

对.
' ' ' '

4 , 1N , P M

分 别 是 正 方 体 ABCD ? A B C D

的 三 个 面 .

ABCD , A 'B 'C 'D ' , BCC 'B ' 的中心,则 A ' M 与 NP 所成角的大小为

9.一个正方体纸盒展开后如图 2.1 ? 42 所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
? ① A B ? EF ;② AB 与 CM 所成角为 60 ;③ EF 与 MN 是异面直线;④ MN / /CD

以上结论中正确的序号为

.

10.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为 C 1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余 弦值为 .

11.在空间四边形 ABCD 中,已知 AD ? 1 , BC ? 3 ,且 A D ? BC , BD ? 求 AC 与 BD 所成的角.

3 13 , AC ? , 2 2

1 12. 如 图 2 . ?

4, 3 E , F ,G , H 分 别 是 空 间 四 边 形 ABCD 各 边 上 的 点 , 且 有

AE : EB ? AH : HD ? m , CF : FB ? CG : GD ? n .
(1)证明: E , F ,G , H 四点共面; (2) m , n 满足什么条件时,四边形 EFGH 是平行四边形? (3)在(2)的条件下,若 A C ? BD ,试证明: EG ? FH .

答案专区

1.C 解析:异面直线既不平行也不相交,故 A 选项错误,C 选项正确;互相垂直不一定相交, 因为有异面直线垂直,故 B 选项错误;不在同一平面内的两条直线平行或异面,故 D 选项错误. 2.D 解析:由等角定理,知 ? 与 ? 相等或互补,故 ? ? 60? 或 120 .
?

3.B 解析:如图 2.1 ? 44 ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 / /CC 1 ,故 ?B1BA1 就是异面 直线 BA1 与 CC1 所成的角,故为 45 .
?

4.D 解析:如图 2.1 ? 45 ,因为 BD ? A C ,且 BD ? AC ,又因为 E , F ,G , H 分别为对应边

// EH ? // 的中点,所以 FG ?
形 EFGH 为正方形.

1 1 // EF ? // AC .所以 FG ? HG ,且 FG ? HG .所以四边 BD , HG ? 2 2

5.D 解析:如图 2.1 ? 46 ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,取 BC 和 C 1D1 为两异面直线,则 符合题意的直线有 AB , CC1 , BB1 等,故可以平行、相交或异面,故选 D.

// 6A 解析: 如图 2.1 ? 47 , 因为 PQ ?

1 1 // BD ,所以 ?PQR 为异面直线 AC 与 BD AC , QR ? 2 2

所 成 的 角 或 其 补 角 , PQ ? 2 , QR ? 5 , PR ? 3 , 有 PQ 2 ? QR 2 ? PR 2 . 由 勾 股 定 理 , 得

?PQR ? 90? .

7.

8

解析:以底边所在的直线为准进行考察,因为四边形 ABCD 是平面图形,4 条边

在同一平面内,不可能组成异面直线,而每一条边所在的直线能与 2 条侧棱组成 2 对异面直线, 所以共有 4 ? 2 ? 8 (对)异面直线. 8.

30?

' ' ' ' ' ' 解析: 如图 2.1 ? 48 , 连接 A C , BC , A B , 则 N , P 分别在 A C , BC 上, 由N ,P
'

' 为中点,得 NP / / A B ,所以 ?MA B 为 NP 与 A M 所成的角或其补角 .由正方体的结构特征可证
' '

' ? 得, ? A MB 为直角三角形, ?MA B ? 30 .
'

9. ① ③

? 49 解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图 2.1 所示,

A B ? EF , EF 与 MN 是异面直线, A B / /CM , MN ? CD ,只有①③正确.

10.

2 3

解析:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD / BC ,所以 AE 与 BC 所成的角即为

A D 与 AE 所成的角,即是 ?EAD .连接 DE ,在 RT ? ADE 中,设 AD ? a ,则 DE ?

5 a, 2

3 2 2 AE ? AD 2 ? DE 2 ? a ,故 cos ?EAD ? ,所以异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 . 2 3 3
? 11. 解 : 如 图 2 . 1 5, 0 分 别 取 AB , CD , A D , AC 的 中 点 E ,G , F , H , 连 接

EF , FG ,GE , EH , HG , 则 ?EFG ( 或其补角 ) 为 BD 与 AC 所成的角,且 EF ?

1 13 , BD ? 2 4

1 1 1 3 1 3 , EH / / BC , HG / / A D 且 EH ? BC ? , HG ? AD ? .因为 FG ? AC ? 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 A D? B C , 所以 EH ? HG .所以 EG ? EH ? HG ? 1 .在 ? EFG 中,EG ? EF ? FG ? 1 ,

所以 ?EFG ? 90 所以 AC 与 BD 所成的角为 90 .
? ?

12.(1)证明:因为 AE : EB ? AH : HD ,所以 EH / / BD .又因为 CF : FB ? CG : GD ,所以

FG / / DB .所以 EH / / FG .所以 E , F ,G , H 四点共面.
(2)解:当且仅当 EH / / FG , EH ? FG 时,四边形 EFGH 为平行四边形. 因为

EH AE m m n ? ? BD .同理 FG ? BD , ,所以 EH ? BD AE ? EB m ? 1 m ?1 n ?1

由 EH ? FG ,得 m ? n . 故当 m ? n 时,四边形 EFGH 为平行四边形. (3)证明:当 m ? n 时, AE : EB ? CF : FB ,所以 EF / / AC .
? 又因为 A C ? BD , 而 ?FEH 是 AC 与 BD 所成的角,所以 ?FEH ? 90 , 从而平行四边形

EFGH 为矩形,所以 EG ? FH .

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
【目标要求】 1.了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系 2.理解直线与平面的定义,并能正确画出直线与平面、平面与平面的各种位置关系的图形. 3.掌握线面平行及直线在平面外的含义和面面平行的含义,并能用符号语言和图形语言表示直 线与平面、平面与平面的位置关系 知识点一 空间中直线与平面的位置关系

1.位置关系

对空间中直线与平面的位置关系的理解 (1)判断直线是否在平面内,只要判断直线上是否有两点在平面内即可(公里 1). (2) “画直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是不同的.前者包括直线与平面平行 和直线在平面内两种情况,后者仅指直线与平面平行. 【提示】 (1)花直线在平面内时,要把直线画在表示平面内的平行四边形内; (2)画直线与平面相交时,要把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外,要画上交点,直 线被平面遮挡住的部分,画成虚线或不画; (3)画直线与平面平行时,要把直线画在表示平面的平行四边形外,并使直线与此平行四边形 的一组对边平行. 2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点的个数分类

? ?直线与平面相交-----有且只有一个公共点 ?有公共点 ? ? ?直线在平面内--------有无数个公共点 ? ?无公共点------直线与平面平行
(2)按直线是否在平面内分类

?直线在平面内-----所有的点在平面内 ? ?直线与平面相交 ? ?直线在平面外 ?直线与平面平行 ? ?
【例示】分别按下列条件画出直观图. (1) a ? b ? P , a / / 面 ? , b ? 平面 ? ? A ; (2)平面 ? ? 平面 ? ? l , a ? 平面 ? ? A , a / / 面 ? .

解:根据题设及平面图形直观图的画法,的直观图 2.1 ? 51 所示.

知识点二 两平面之间的位置关系

【拓展】 (1)两平面相交有有垂直相交和斜交两种情形. (2)两个相交平面有一条公共直线的依据是公理 3,即若两平面有一个公共点,则它们有且只有 一条经过该公共点的直线. (3)两个平行平面无公共点,利用这个性质可以证明直线和平面平行,其中一个平面内的直线一 定平行于另一平面. 【例示】 ? , ? 是两个不重合的平面,则下列说法正确的是( A.平面 ? 内有两条直线 a , b 都与平面 ? 平行,则 ? / / ? B. .平面 ? 内有无数条直线平行于平面 ? ,则 ? / / ? C.若直线 a 与.平面 ? 和平面 ? 都平行,则 ? / / ? D. .平面 ? 内所有的直线都与平面 ? 平行,则 ? / / ? 解析: A , B 选项不正确,不能保证 ? , ? 无公共点,如图 2.1 ? 52 . )

C.选项不正确,当 a / /? , a / / ? 时, ? 与 ? 可能相交,如图 2.1 ? 53

D.选项正确,平面 ? 内所有直线都与平面 ? 平行,说明 ? 与 ? 一定无公共点,则 ? / / ? 【答案】D

能力应用
应用点一 直线与平面的位置关系

巧提升

例题 1 下列命题正确的个数是





①如果 a , b 是两条直线, a / / b ,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面; ②如果直线 a 和平面 ? 满足 a / /? ,那么 a 与平面 ? 内的任何一条直线平行; ③如果直线 a , b 满足 a / /? , b / /? ,那么 a / / b ; ④如果平面 ? 的同侧有两点 A , B 到平面 ? 的距离相等,那么 AB / /? . A. 0 B.2 C. 1 D.3
' ' ' ' ' '
' '

解析:如图 2.1 ? 54 ,在正方体 ABCD ? A B C D 中 1 AA / / BB , AA 却在过 BB 的平面

AB ' 内,故命题①不正确; AA ' / / 平面 B 'C , BC ? 平面 B 'C ,但 AA ' 不平行于 BC ,故命题②
不正确; 2 AA / / 平面 B C , A D / / 平面 B C ,但 AA 与 DD 相交,所以③不正确;④显然正 确.故答案为 C .
'

'

'

'

'

'

'

【过程释疑】 1 建立实际模型,把空间中的点、线、面具体到实物中,更加形象、具体,有利

于问题的解决. 2 只要在平面 ? 内找到一条直线与直线 a 不平行,即可说明“ a 与平面 ? 内的任何一条直线平 行”错误. 直线与平面的位置关系的判定 空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,本 题借助几何模型判断,通过特例排除错误命题;对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证 法进行判断.要注意多钟可能情形. 例题 2 已知:直线 a / /b , a ? 平面 ? ? P ,求证:直线 b 与平面 ? 相交. 证明:因为 a / /b ,所以 a , b 确定平面 ? ,如图 2.1 ? 55 所示. 因为 a ? 平面 ? ? P ,所以平面 ? 和 ? 相交于过点 P 的直线 c .1 因为在平面 ? 内 c 和两平行线 a , b 中的一条直线 a 相交,所以 c 必和 b 相交于点 Q ,即

b ? c ? Q .2
又因为直线 b 不在平面 ? 内(若 b 在平面 ? 内,则 ? 与 ? 都过两相交直线 b 和 c ,因此 ? 与 ? 重合,则 a 在 ? 内,与已知矛盾) ,所以直线 b 与平面 ? 相交. 3

【过程释疑】1 因为点 P 即在平面内 ? ,又在平面内 ? ,所以 P 为平面 ? 与平面 ? 的公共点, 故存在一条过点 P 的两平面的交线 c . 2 在同一平面中,第三条直线与两平行线中的一条直线相交则必与另一条直线相交. 3 若仅有直线 b 不在平面 ? 内,是得不到直线 b 与平面 ? 相交的,因为此时还有直线 b 与平面

? 平行的情况.但此题中, b ? c ? Q ,且 c ? 平面 ? ,故排除了直线 b 与平面 ? 平行的情况.
直线与平面相交, 要求直线与平面有且只有一个公共点, 证明时, 既要证明直线不在平面内, 同时,也要证明直线与平面有交点,两个条件缺一不可. 应用点二 平面与平面的位置关系 例题 3 判断下列命题的真假:

①若两个平面都与第三个平面平行,则这两个平面平行;

②垂直于同一直线的两个平面平行; ③若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等 (距离不为 0) , 则这两个平面平行; ④垂直于同一平面的两个平面平行; ⑤与一条直线成等角的两个平面平行. 解:①②是真命题,③④⑤是假命题. 对于③而言,会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况,所以两个平面还可能相交; 1 对于④而言,会出现两个平面相交时,与另外一个平面都垂直的情况,所以两个平面还可能相 交; 2 对于⑤而言,会出现两个平面相交时,被另一条直线穿过成相等的角度,所以两个平面还可能 相交; 3 【过程释疑】1 若三点在这个平面的同侧,则这两个平面平行;若三点出现在这个平面的两侧, 也满足此条件,则两平面相交. 2 如图 2.1 ? 56 , ? 与 ? 垂直, ? 与 ? 垂直,但 ? 与 ? 相交.

3 如图 2,1 ? 57 ,直线 AB 与 ? , ? 所成的角相等,但 ? , ? 相交.

解决这类问题,要熟练掌握两个平面位置关系的基本概念,在判断的过程中,还要借助所 给的条件和实际的图形来判断.例如④可以教室的一角处的三个面为模型. 例题 4 如图 2.1 ? 58 ,围成正方体 ABCD ? A ' B C D 的六个面,两两之间的位置关系有哪几
' ' '

种?
' 解: 位置关系有两种: 平行和相交.其中平行平面有 3 对, 分别是平面 AB 和平面 DC , 平面 A D
' '

和平面 B C ,平面 A C 和平面 AC ,

'

'

'

相交平面有 12 对, 分别是平面 AB 和平面 B C 、 平面 AB 和平面 AC 、 平面 AB 和平面 AD 、 平面 AB 和平面 A C 、平面 AC 和平面 AD 、平面 AC 和平面 B C 、平面 AC 和平面 CD 、平
' ' ' ' ' ' ' ' ' 面 A C 和平面 CD 、平面 A C 和平面 A D 、平面 A C 和平面 B C 、平面 CD 和平面 AD 、平面
' ' '

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

CD ' 和平面 BC ' .

总结:判断平面与平面之间的位置关系的依据是两平面平行和相交的定义,并要结合图形的特 点.

多向思维
分类讨论思想

新拓展

例题 1 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 Q 是棱 DD1 上的动点, 判断过 A ,Q , B1 三点的截面 图形的形状. 分析:决定过 A ,Q , B1 三点的截面图形的形状的因素是动点 Q ,所以要对点 Q 的位置进行分类 讨论. 解:由于点 Q 是线段 DD1 上的动点,故当点 Q 与 D1 重合时,截面图形为等边三角形 AB1D1 , 如图 2.1 ? 59 ;

当点 Q 与 D 重合时,截面图形为矩形 AB1C 1D ,如图 2.1 ? 60 ;

当点 Q 不与 D , D1 重合时,截面图形为等腰梯形 AQRB1 ,如图 2.1 ? 61 ;

【解后反思】本例中由于点 Q 的位置不确定,导致截面形状不确定,故而采用分类讨论的方法 确定截面.另外作两个平面的交线要注意直线的无限延伸和平面的无限延展性,不要受所画图形的限 制. 易错易混 例题 2 给出下列几个说法: ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行; ④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ( )

分析:四个说法涉及线线、线面、面面的位置关系. 说法①要分在直线上和直线外两种情况进行讨论; 说法②要注意空间中互相垂直的直线也可能异面; 说法③可利用棱柱的上下底面平行的性质,举出反例; 说法④可根据面面平行的定义判断. 解析:①当点在已知直线上时,不存在过该点的直线与已知直线平行,故①错误, ② 由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条,故

②错误; ③ 过棱柱的上底面内的一点任意做一条直线都与棱柱的下底面平行,所以过平面外一点

与已知平面平行的直线有无数条,故③错误; ④ 过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个,故④正确.

【答案】B 【解后反思】对于立体几何中点、线、面位置关系问题,要重视常见模型的应用,重视点与直线、 直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系的分类情况.考虑问题时,一定要全面,切忌以偏 概全.

高效训练
1.与同一平面平行的两条直线( A. 平行 B. 相交 ) C. 异面 D. 平行、相交或异面 )

2.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( A. B. C.

? 内的所有直线均与 a 异面 ? 内不存在与 a 平行的直线 ? 内的直线均与 a 相交

D. 直线 a 与平面 ? 有公共点 3.过平面外一条直线作平面的平行平面( A. 必定可以并且只可以作一个 B. 至少可以作一个 C. 至多可以作一个 D. 一定不能作 4.下列命题中,正确的命题是( ) )

A. 若直线 a 上有无数个点不在平面 ? 内,则 a ∥ ? B. 若 a ∥ ? ,则直线 a 与平面 ? 内任意一条直线都平行 C. 若 a ? ? ,则 a 与 ? 有无数个公共点 D. 若 a ? ? ,则 a 与 ? 没有公共点 5.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( A. 都平行 B. 都相交 C. 在两平面内 )

D. 至少和其中一个平行

6.对于任意的直线 l 和平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 和 l ( A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面



7.下列命题正确的有___________.(只填序号) ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; ②若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? ; ③若直线 l 和平面 ? 相交,则 l 与平面 ? 内的任意直线都是异面直线; ④若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; ⑤若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的直线平行或异面. 8.空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有___________条. 9.给出下列命题: ①如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么它们只有有限个公共点; ②两个平面的交线可能是一条线段; ③经过空间任意三点的平面有且只有一个; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面. 其中正确命题的序号为______________. 10. A, B 是直线 l 外两点,过 A, B 且与 l 平行的平面有_____________个. 11.已知 a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, P ?b, PQ∥a ,求证: PQ ? ? .

, ? l , 12.如图 2.1-62, 已知平面 ? ? ? ? l , 点 A ?? , 点 B ?? , 点C ?? , 且 A ?l B 直线 AB
与 l 不平行,那么平面 ABC 与平面 ? 的交线与 l 有什么关系?证明你的结论.

答案专区
1. D 解析:与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况:平行、相交或异面. 2. D 解析:若直线 a 不平行于平面 ? ,则 a ? ? ? A 或 a ? ? ,故 D 项正确. 3. C 解析:因为直线在平面外包括两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平

面相交时,不能做出符合题意的平面;当直线与平面平行时,可以作出唯一的一个符合题意的平面. 4. C 解析:直线与平面平行的定义是直线与平面没有公共点.而直线不在平面内包括直线与平 面平行和直线与平面相交. 5. D 解析:若该直线不属于任何一个平面,则其与两平面平行;若该直线属于其中一个平面, 则其必和另一个平面平行. 6. C 解析:(1)当直线 l 和平面 ? 相交时,在平面 ? 内的直线与直线 l 异面(可垂直)或相

交(可垂直); (2)当直线 l 和平面 ? 平行时,在平面 ? 内的直线与直线 l 异面(可垂直)或平行; (3)当直线 l 在平面 ? 内时,在平面 ? 内的直线与直线 l 平行或相交(可垂直). 综上分析,知 C 项正确. 7.①⑤ 解析:①显然是正确的;②中,直线 l 还可能与 ? 相交,所以②是错误的;③中,直线

l 和平面 ? 内过 l 与 ? 交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条
和该平面的关系不能确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中, 直线 l 与平面 ? 没有公共点,所以直线 l 与平面 ? 内的直线平行或异面,所以⑤是正确的. 8. 1 或 3 解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线平行或相交于一 点. 9. ④ 解析:两个平面相交,则两个平面就有一条公共的交线,故①②错误;若空间中的任意 三点在一条直线上,则经过这三点就有无数个平面,故③错误;④是正确的. 10. 0,1 或无数 解析:当直线 AB 与 l 相交时,有 0 个;当直线 AB 与 l 异面时,有 1 个;当直 线 AB 与 l 平行时,有无数个. 11.证明:因为 PQ∥a ,所以过 PQ, a 确定一个平面,设为平面 ? . 所以 P ? ? , a ? ? , P ? a ,又因为 P ?? , a ? ? , P ? a ,而过点 P 和直线 a 有且仅有一个平面, 所以 ? , ? 重合,所以 PQ ? ? . 12.解:平面 ABC 与 ? 的交线与 l 相交.证明如下: 因为 AB 与 l 不平行,且 AB ? ? , l ? ? , 所以 AB 与 l 一定相交,设 AB ? l ? P ,则 P ? AB, P ? l . 又因为 AB ? 平面 ABC , l ? ? ,所以 P ? 平面 ABC , P ? ? .

所以点 P 使平面 ABC 与 ? 的一个公共点, 而点 C 也是平面 ABC 与 ? 的一个公共点,且 P,C 是不同的两点. 所以直线 PC 就是平面 ABC 与 ? 的交线, 即平面 ABC ? ? ? PC . 而 PC ? l ? P ,所以平面 ABC 与 ? 的交线与 l 相交.


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