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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十七 圆锥曲线中的热点问题课件 理


核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

专题十七

圆锥曲线中的热 点问题

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

1.[2015· 广东卷改编] 已知过原点的动直线 l 与圆 C1: x2+y

2-6x+5=0 相交于不同两点 A,B,则线段 AB 的 中点 M 的轨迹 C 的方程为________.
[答案] 5 x +y -3x=0(3<x≤3)
2 2

[解析] 圆 C1: (x-3)2+y2=22,C1M⊥OM,故点 M 在 3 2 3 2 以 OC1 为直径的圆上,其轨迹方程为(x-2) +y =(2) 5 2 , 即 x2+y2-3x=0.由于点 M 在圆 C1 的内部, 所以3<x≤3, 5 2 2 所以点 M 的轨迹方程是 x +y -3x=0(3<x≤3).
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

2.[2015· 上海卷改编] 已知点 P 和 Q 的横坐标相同,P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍, P 和 Q 的轨迹分别为双 曲线 C1 和 C2.若 C1 的渐近线方程为 y=± 3x,则 C2 的 渐近线方程为________.
[答案] 3 y=± 2 x

[解析] 设 P(x,y) ,Q(x′,y′) ,根据已知得 x=x′,y=2y′, 3 代入 y=± 3x,得 2y′=± 3x′,即 y′=± 2 x′,即 C2 的渐近 3 线方程为 y=± 2 x.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

3.[2015· 湖北卷改编] 将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实 半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长 度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,当 a>b 时,e1,e2 的大小关系为________.
[答案] e1<e2
?b?2 1+?a? ,e2= ? ? ?b+m? ?2 1+? ? a +m ? . ? ?

[解析] e1=

b+m b m(a-b) b+m b 当 a>b 时, - = >0,所以 > ,所以 a+m a (a+m)a a +m a e1<e2.

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

4. [2015· 全国卷Ⅱ改编] 已知椭圆 C: 9x2+y2=m2(m>0), 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交 点 A,B,线段 AB 的中点为 M,则直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为________. [答案] -9
[解析] 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2 -m2=0, 故 xM= x1+x2 -kb 9b = , y = kx + b = . M M 2 k2+9 k2+9

yM 9 于是直线 OM 的斜率 kOM=x =-k,所以 kOM· k=-9. M

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圆锥曲线中的热点问题

x2 5.[2015· 全国卷 I 改编] 已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2 -y2
核 心 知 识 聚 焦

→ 1· → 2<0,则 =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若MF MF y0 的取值范围是________.

3 3 [答案] (- 3 ,3 )

→1 [解析] 由题意不妨取 F1(- 3,0) ,F2( 3,0) ,所以MF → 2= → 1· →2 = (- 3-x0, -y0) , MF ( 3-x0, -y0) , 所以MF MF
2 x0 M 在曲线 C 上,所以有 2 -y2 0=1,即 3 3 2 2 2 1 x0=2+2y0,代入上式得 y0<3,所以- 3 <y0< 3 . 2 =x2 0+y0-3<0.又点

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

x2 y2 6.[2015· 重庆卷改编] 设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右 焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线相 交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ a2+b2,则该 双曲线的渐近线斜率的取值范围是________.

[答案]

(-1,0)∪(0,1)

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

b2 b2 [解析] 由题意得 A(a,0) ,不妨取 B(c, a ) ,C(c,- a ) , 由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上,设 D(x0,0) ,由 BD⊥ b2 b2 a -0 a b4 AC 得 · =-1,解得 c-x0= 2 ,由题可知 c c-x0 a-c a (c-a) 4 2 b4 b b -x0= 2 <a+ a2+b2=a+c,所以a2<c2-a2=b2?a2 a (c-a) b b <1?0< a <1.因为双曲线渐近线的斜率为±a ,所以渐近线斜率 的取值范围是(-1,0)∪(0,1).

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

7.[2015· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2 -y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距 离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________.

[答案]

2 2

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 不妨设点 P(x0, x2 (x0≥1) ,则点 P 到直线 x 0-1) x0- x2 0-1+1? ? -y+1=0 的距离 d= .令 u (x) =x- x2-1 2 1 = ,则 u(x)是单调递减函数,且 u(x)>0.当 2 x+ x -1 2 2 x→+∞时,u(x)→0,所以 d> 2 ,故 cmax= 2 .
? ? ? ?

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

8.[2014· 福建卷改编] 设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭 x2 圆10+y2=1 上的点, 则 P, Q 两点间的最大距离是________.

[答案]

6

2

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 设圆 x2+(y-6)2=2 的圆心为 C(0,6) ,半径 x2 0 r= 2,点 Q(x0,y0)是椭圆上任意一点,则10+y2 0=1,
2 即 x2 0 = 10 - 10y 0 , ∴ |CQ| = 2 10-10y2 0+(y0-6) =

-9y2 0-12y0+46= |CQ|有最大值 5 +r=6 2.

? 2?2 ? -9 y0+3? +50,当 ? ?

2 y0=-3时, 2

2, 则 P, Q 两点间的最大距离为 5

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

9. [2015· 四川卷改编] 设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A, B 两点, 与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 ________.

[答案]

(2,4)

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圆锥曲线中的热点问题

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 易知直线 l 的斜率不为 0,不妨设直线 l:x=ty+ m, 代入抛物线方程有 y2-4ty-4m=0, 则 Δ=16t2+16m >0. 又中点 M(2t2+m,2t) ,圆心 C(5,0) ,kMCkl=-1, 所以 m=3-2t2, 当 t=0 时,对于 0<r<5,满足条件的直线有 2 条,当 t≠0 时, 代入 Δ=16t2+16m,可得 3-t2>0,即 0<t2<3. 又由圆心到直线的距离等于半径, |5-m| 2+2t2 2 可得 r= = = 2 1 + t . 2 2 1+t 1+t 由 0<t2<3,可得 r∈(2,4).
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

—— 教师知识必备 ——
知识必备 曲线方程与圆锥曲线热点问题
概 曲线 方程 与圆 锥曲 线热 点问 题 曲 线 方 程 求 法 参数法 交规法 念 曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解,以 f(x,y) =0 的解为坐标的点都在曲线 C 上, 则称曲线 C 为方程 f(x, y)=0 的曲线,方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的方程 直接法 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法 动点 P(x,y)随动点 Q(x0,y0)运动,Q 在曲线 C: 代入法 f(x,y)=0 上,以 x,y 表示 x0,y0,代入曲线 C 的方程得到动点轨迹方程的方法 把动点坐标(x, y)用参数 t 进行表达的方法, 此时 x=φ(t),y=ψ(t),消掉 t 即得动点轨迹方程 轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的,在两动 直线(曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

—— 教师知识必备 ——

曲线 方程 与圆 锥曲 线热 点问 题

含义 解法 含义

含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变 化的某个点或某几个点 把曲线系方程按照参数进行集项,使得方程对任意 参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点 不随其他量的变化而发生数值变化的量 建立这个量关于其他量的关系式,最后的结果与其 他变化的量无关 一个量变化时的变化范围 建立这个量关于其他量的函数关系式或者不等式, 求解这个函数的变化范围或者解不等式 一个量在变化时的最大值和最小值 建立这个量的函数关系式,求解这个函数的最值
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圆 点 锥 曲 线 热 点 问 题 定

值 解法 范 含义

围 解法 最 含义 值 解法

第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考点一 轨迹方程﹑存在探索性问题 曲线与方程 ——1.曲线与方程的概念;2.求曲线的方程

存在探索性问题——探索解析几何中一些问题的存在性
考 点 考 向 探 究

题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:利用定义法、待定系数法、直接法等求圆锥曲线的 标准方程

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考向一 轨迹方程的求法

例 1 如图 171 所示,长为 m+1(m>0)的线段 AB 的 两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 M 是线段 → =mMB → .求点 M 的轨迹 P 的方程,并 AB 上的一点,且AM 判断轨迹 P 为何种圆锥曲线.
考 点 考 向 探 究
图 171
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

解:设点 A,B,M 的坐标分别为(x0,0),(0,y0),(x,y), 2 2 则 x2 0+y0=(m+1) .① → =mMB → ,得(x-x0,y)=m(-x,y0-y), 由AM ∴
考 点 考 向 探 究
? ?x-x0=-mx, ? ∴ ? y = m ( y - y ), ? 0

?x0=(m+1)x, ? ? ② m+1 y = m y. ? ? 0
?m+1?2 ? 2 2 +? y = ( m + 1) , ? m ? ? ?

将②代入①,得(m+1) x

2 2

2 y 化简得点 M 的轨迹 P 的方程为 x2+ 2=1(m>0). m 当 0<m<1 时,轨迹 P 是焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m=1 时,轨迹 P 是以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当 m>1 时,轨迹 P 是焦点在 y 轴上的椭圆.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

考 点 考 向 探 究

[小结] 求动点的轨迹方程的基本方法有直接法、待定 系数法(定义法)和代入法, 在圆锥曲线的解答题中往往第一 个问题就是求出圆锥曲线的方程.当求出的曲线方程含有 可变参数时,要根据参数范围确定方程表示的曲线.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题
存在探索性问题

? 考向二

x2 y2 例 2 [2015· 四川卷] 如图 172 所示,椭圆 E: 2+ 2= a b 2 1(a>b>0)的离心率是 2 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点.当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线 段长为 2
考 点 考 向 探 究

2.

图 17-2

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

(1)求椭圆 E 的方程. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q, |QA| |PA| 使得 = 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在, |QB| |PB| 请说明理由.
考 点 考 向 探 究

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

解:(1)由已知得,点( 2,1)在椭圆 E 上, ?2 1 ?a2+b2=1, ? 2 2 2 因此?a -b =c ,解得 a=2,b= 2, ?c 2 ? = , ?a 2 x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 4 2 (2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C,D 两点. |QC| |PC| 如果存在定点 Q 满足条件,则有|QD|=|PD|=1,即|QC|=|QD|, 所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为(0,y0). 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点, 则 M,N 的坐标分别为(0, 2),(0,- 2).
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考 点 考 向 探 究

第17讲

圆锥曲线中的热点问题

|y0- 2| 2-1 |QM| |PM| 由 = ,得 = , |QN| |PN| |y0+ 2| 2+1 解得 y0=1 或 y0=2, 所以若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件, 则 Q 点坐标只可能 为(0,2). |QA| |PA| 下面证明:对任意直线 l,均有|QB|=|PB|. 当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

考 点 考 向 探 究

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

考 点 考 向 探 究

x2 y2 ? ? + =1, 联立? 4 2 得(2k2+1)x2+4kx-2=0. ? ?y=kx+1, 其判别式 Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 4k 2 所以 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 , 2k +1 2k +1 1 1 x1+x2 因此x +x = x x =2k. 1 2 1 2 易知点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(-x2,y2). y1-2 kx1-1 1 又 kQA= x = x =k-x , 1 1 1 y2-2 kx2-1 1 1 kQB′= = =-k+x =k-x , -x2 -x2 2 1 所以 kQA=kQB′,即 Q,A,B′三点共线,
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

考 点 考 向 探 究

图 173 |QA| |QA| |x1| |PA| 所以|QB|= =|x |=|PB|. |QB′| 2 |QA| |PA| 故存在与 P 不同的定点 Q(0,2),使得 = 恒成立. |QB| |PB|

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

[小结] 解析几何中存在探索性问题的解法和其他存在探 索性问题的解法的思想是一致的,即在假设其存在的情况下进 行计算和推理,根据得出的结果是否合理确定其存在与否.
考 点 考 向 探 究

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考点二 圆锥曲线中的定点﹑定值问题 直线与圆锥曲线

考 点 考 向 探 究

定点、定值问题——1.直线或曲线过定点;2.特定的量为定 值(2012·新课标全国卷· 20)(2013· 新课 标全国卷Ⅰ· 20) 题型:解答 分值:12 分 难度:较大 热点:证明直线或曲线过定点,证明特定的量为定值

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题
定点问题

? 考向一

例3 已知圆 M:x2+(y-2)2=1,直线 l:y=-1,动 圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相切.设动圆圆心 P 的轨迹 为 E. (1)求 E 的方程; (2)定点 A(4,2),B,C 为 E 上的两个动点,若直线 AB
考 点 考 向 探 究

与直线 AC 垂直,求证:直线 BC 恒过定点.
解:(1)设 P(x,y),则 x2+(y-2)2=(y+1)+1,整理 得 x2=8y. 故 E 的方程为 x2=8y. (2)设直线 BC:y=kx+b,点 B(x1,y1),C(x2,y2). 将 y=kx+b 代入 x2=8y,得 x2-8kx-8b=0,所以 x1+x2 =8k,x1x2=-8b.
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

→ =(x1-4,y1-2),AC → =(x2-4,y2-2), 又因为AB → ·AC → =(x1-4)(x2-4)+(y1-2)(y2-2)=(x1-4)(x2-4) 所以AB +(kx1+b-2)(kx2+b-2)= (k2+1)x1x2+[k(b-2)-4](x1+x2)+(b-2)2+16=0? -8b(k2+1)+8k[k(b-2)-4]+(b-2)2+16=0? b2-12b-16k2-32k+20=0?(b-6)2-16(k+1)2=0? b=4k+10 或 b=-4k+2, 考 所以直线 BC 恒过定点(-4,10). 点
考 向 探 究

[小结] 证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示 直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出关于 x,y 的方 程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考向二

定值问题

考 点 考 向 探 究

例 4 已知圆心为 F1 的圆的方程为(x+2)2+y2=32, F2(2,0),C 是圆 F1 上的动点,线段 F2C 的垂直平分线交 F1C 于点 M. (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)设 N(0,2),过点 P(-1,-2)作直线 l 交 M 的轨迹于 不同于 N 的两点 A,B,直线 NA,NB 的斜率分别为 k1,k2, 证明:k1+k2 为定值.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

解:(1)由线段的垂直平分线的性质,得|MF2|=|MC|. 又|F1C|=4 2,∴ |MF1|+|MC|=4 2, ∴ |MF1|+|MF2|=4 2, ∴ 动点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,长轴长为 4 2的椭圆. 由 c=2,a=2 2,得 b2=a2-c2=4,
考 点 考 向 探 究

x2 y2 ∴ 动点 M 的轨迹方程为 + =1. 8 4 (2)证明:当直线 l 的斜率不存在时, ? ? 14? 14? ? ? ? ? 得 A?-1, , B ,易得 k1+k2=4. - 1 ,- ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1).

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题
2 2

x y ? ? + =1, 由? 8 4 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0. ? ?y+2=k(x+1), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- 2k2-8k x1 x2 = , 1+2k2 y1-2 y2-2 2kx1x2+(k-4)(x1+x2) 从而 k1+k2= x + x = = x1 x2 1 2 4k(k-2) 2k-(k-4) =4. 2k2-8k 综上可知,恒有 k1+k2=4. 4k(k-2) , 1+2k2

考 点 考 向 探 究

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

[小结] 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无 关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动 点的坐标等, 这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证
考 点 考 向 探 究

目标, 通过运算求证目标的取值与变化的量无关. 当使用直 线的斜率和截距表达直线方程时, 在解题过程中要注意建立 斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解 决.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考点三 圆锥曲线中的范围与最值问题 直线、圆锥曲线方程

考 点 考 向 探 究

范围、最值问题

——指定量的取值范围、最值

题型:解答 分值:12 分 难度:较大 热点:确定指定量的取值范围或最值

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考向一

范围问题

例5

已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率

1 为2,右焦点到右顶点的距离为 1.
考 点 考 向 探 究

(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l: y=kx+m(k∈R)
? ? ? ? ? =? → ?成立?若存在, → → → 使得? 求出实数 m 的取值范 OA + 2 OB OA - 2 OB ? ? ? ?

围;若不存在,请说明理由.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

x2 y2 解:(1)设椭圆 C 的标准方程为a2+b2=1???a>b>0???,半焦距为 c. c 1 依题意有 e=a=2,由右焦点到右顶点的距离为 1,得 a-c =1, 所以 c=1,a=2, 所以 b2=a2-c2=3, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 4 3
? ? ? ? ? → → → → (2)存在直线 l 使得 OA+2OB?=?OA-2OB? ?成立. 理由如下: y=kx+m, ? ? 2 2 由?x y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, + =1, ? ?4 3 ? ? ?

考 点 考 向 探 究

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

则 Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化简得 3+4k2>m2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 4m2-12 8km x1+x2=- ,x x = . 3+4k2 1 2 3+4k2
? ? ? ? ? → → → → 若 OA+2OB?=?OA-2OB? ?成立, ?2 ? ?2 → → ? ? → → → → 则 OA+2OB? =?OA-2OB? ? ,故OA·OB=0, 所以 x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, ? ? ? ? ? ?

考 点 考 向 探 究

2 4 m -12 8km 2 2 所以(1+k )· 2 -km· 2+m =0, 3+4k 3+4k

化简得 7m2=12+12k2.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题
?7 2 ? 7 2 2 2 将 k =12m -1 代入 3+4k >m 中,得 3+4?12m -1?>m2, ? ? 2 3 解得 m >4. 12 又由 7m2=12+12k2≥12,得 m2≥ 7 , 12 2 21 2 21 从而 m2≥ 7 ,所以 m≥ 7 或 m≤- 7 , ? ? ? 2 21? ? ? ?2 21 ? 所以实数 m 的取值范围是?-∞,- ∪? ,+∞ ? ?. 7 7 ? ? ? ?
2

考 点 考 向 探 究

[小结] 解析几何中产生范围有如下几种情况: (1)直线与 曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中要求 的限制条件.这些产生范围的情况可能同时出现在一个问题 中,在解题时要注意全面把握范围产生的原因.
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

? 考向二

最值问题

例6

? 3? 已知F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,点P ?1,2? ? ?

考 点 考 向 探 究

为其上一点,且有|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆E的标准方程; (2)过F1的直线l1与椭圆E交于A,B两点,过F2且与l1平行 的直线l2与椭圆E交于C,D两点,求四边形ABCD的面积S?ABCD 的最大值.

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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

考 点 考 向 探 究

x2 y2 解:(1)设椭圆 E 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由已知|PF1|+|PF2|=4,得 2a=4,∴a=2. ? 3? 1 9 又点 P?1,2?在椭圆上,∴4+4b2=1,∴ b= 3. ? ? x2 y2 故椭圆 E 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)由题意可知,四边形 ABCD 为平行四边形, ∴S?ABCD=4S△OAB. 设直线 AB 的方程为 x=my-1,且 A(x1,y1),B(x2,y2). my-1, ? ?x= 由?x2 y2 得(3m2+4)y2-6my-9=0, + =1, ? ?4 3 6m 9 ∴ y1+y2= 2 ,y y =- 2 . 3m +4 1 2 3m +4
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第17讲

圆锥曲线中的热点问题

1 1 1 故 S △ OAB = S △ O F A + S △ O F B = 2 |OF1| · |y1 - y2| = 2 |y1 - y2| = 2
1 1

(y1+y2)2-4y1y2=6
2

m2+1 . (3m2+4)2 t =6 (3t+1)2 1 . 1 9t+ t +6

令 m +1=t,则 t≥1,∴S△OAB=6

考 点 考 向 探 究

1 又∵ g(t)=9t+ t 在区间[1,+∞)上单调递增,∴ g(t)≥g(1)=10, 3 ∴ S△OAB 的最大值为2. 故 S?ABCD 的最大值为 6.

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圆锥曲线中的热点问题

考 点 考 向 探 究

[小结 ] 解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数 法.几何法是根据已知几何量之间的相互关系,利用平面几何 和解析几何知识加以解决的方法(如抛物线上的点到某个定点 和焦点的距离之和、 光线反射问题等); 代数法是建立求解目标 关于某个 ( 或两个 ) 变量的函数,通过求解函数的最值 ( 普通方 法、基本不等式方法、导数方法等)解决的.

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圆锥曲线中的热点问题

—— 教师备用例题 ——
x2 y2 例1 【配例3使用】如图所示,在椭圆C: a2 + b2 = 1(a>b>0)中,F1,F2分别为其左、右焦点,A1,A2,B1,B2分 别为其四个顶点.已知菱形A1B1A2B2和菱形B1F1B2F2的面积分 别为4 3和2 3. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过椭圆C的右顶点A2作两条互相垂直的直线分别和椭圆 交于点P,Q,试判断直线PQ是否过定点.若过定点,求出该 定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

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圆锥曲线中的热点问题

?a2=b2+c2, 2 ? a =4, ? ?1×2a×2b=4 3, ? 2 解:(1)依题意知?2 解得?b =3, ?c2=1. ?1 ? ? ×2c×2b=2 3, ?2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 4 + 3 =1. (2)方法 1:由题意知,直线 A2P 与直线 A2Q 的斜率均存在且 不为 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 A2P 的方程为 y=k(x-2),直 1 线 A2Q 的方程为 y=-k (x-2). k(x-2), ? ?y= 由 ?x2 y 2 消去 y 整理可得(4k2+3)x2-16k2x+4(4k2 + =1, ? ?4 3 -3)=0,
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圆锥曲线中的热点问题

易知 Δ>0 恒成立,所以 k ∈R 且 k≠0. 4(4k2-3) 2(4k2-3) 由韦达定理得 x1·2= ,所以 x1= ,代 4k 2 +3 4k2+3
?2(4k2-3) -12k ? -12k ? , 2 ? 入 y1=k(x1-2)可得 y1= 2 ,所以 P? , 2 4k +3 4k +3? 4k +3 ? ?

同理可得

?2(4-3k2) 12k ? ? ? , 2 Q? 2 ?. 3 k + 4 3 k + 4 ? ?

2(4k2-3) 2(4-3k2) 当 PQ⊥x 轴时, = ,解得 k2=1,此 2 2 4k +3 3k +4
?2 ? 2 时直线 PQ 的方程为 x=7,可知直线 PQ 过点?7,0?; ? ?

当直线 PQ 与 x 轴斜交时,直线 PQ 的方程为 y-

12k = 3k2+4
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圆锥曲线中的热点问题

2(4-3k2)? -7k ? -7k ? 2? ? ? ?x- ?,可 x- ,化简可得 y= 2 2 2 ? ? 3 k + 4 4(k -1)? 4(k -1)? 7? ? 知直线 PQ
?2 ? 过定点?7,0?. ? ? ?2 ? 恒过定点?7,0?. ? ?

综上知,直线 PQ

方法 2:显然符合条件的直线 PQ 存在,且斜率不为 0.设直线 → → PQ: x=ty+m, P(ty1+m, y1 ) , Q(ty2+m, y2 ) , 则由 A2(2, 0)及A A 2P· 2Q =0,得(ty1+m-2,y1)· (ty2+m-2,y2)=0, 化简得(t2+1)y1y2+t(m-2)(y1+y2)+(m-2)2=0.①
? ?x=ty+m, 由? 2 得 2 ? 3 x + 4 y = 12 , ?

3(ty+m)2+4y2=12,

即(3t2+4)y2+6tmy+3m2-12=0. 依题意 Δ=(6tm)2-4(3m2-12)(3t2+4)>0,即 3t2+4>m2,
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-6tm 3m2-12 则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 ,代入①得 3t +4 3t +4
2 3 m -12 -6tm 2 (t +1) 2 +t(m-2) 2 +(m-2)2=0, 3t +4 3t +4

2 化简得 7m2-16m+4=0,解得 m=7或 m=2(舍去).
?2 ? 2 此时直线 PQ:x=ty+7,可知其过定点?7,0?. ? ? ?2 ? 综上知,直线 PQ 恒过定点?7,0?. ? ? 方法 3:设直线 PQ:y=kx+m,P(x1,kx1+m),Q(x2,kx2+

→ → m),则由 A2(2,0)及A (x2-2,kx2 2P·A2Q=0,得(x1-2,kx1+m)· +m)=0, 化简得(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0.①
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圆锥曲线中的热点问题
3x2+4(kx+m)2=12,

? ?y=kx+m, 由? 2 得 2 ? 3 x + 4 y = 12 , ?

即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 依题意 Δ=(8km)2-16(m2-3)(3+4k2)>0,即 3+4k2>m2, 4m2-12 8km 则 x1+x2=- ,x x = ,代入①得 3+4k2 1 2 3+4k2 (k2+1)(4m2-12)-8km(km-2)+(m2+4)(3+4k2)=0, 2 化简得 4k2+16km+7m2=0,解得 m=-2k 或 m=-7k. 当 m=-2k 时,直线 PQ:y=kx-2k,过点 A2(2,0),不合题意,舍去; ?2 ? 2 2 当 m=-7k 时,直线 PQ:y=kx-7k,过定点?7,0?. ? ? ?2 ? 2 当直线 PQ⊥x 轴时,易得直线 PQ:x=7,其也过定点?7,0?. ? ? ?2 ? ? 综上知,直线 PQ 恒过定点 7,0?. ? ?
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圆锥曲线中的热点问题

x2 2 例2 【配例 4 使用】如图所示,已知椭圆 C:4 +y =1, A,B 是四条直线 x=± 2,y=± 1 所围成的长方形的两个顶点. → =mOA → +nOB → ,求证: (1)设 P 是椭圆 C 上任意一点,若OP 动点 Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程. (2)若 M,N 是椭圆 C 上的两个动点,且直线 OM,ON 的 斜率之积等于直线 OA,OB 的斜率之积,试探究△OMN 的面 积是否为定值,并说明理由.

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解:(1)证明:由题意可知 A(2,1),B(-2,1). x2 0 设 P(x0,y0),则 4 +y2 0=1.
? ?x0=2m-2n, → → → 由OP=mOA+nOB,得? ? ?y0=m+n,

(2m-2n)2 2 所以 + ( m + n ) =1, 4 1 2 2 即 m +n =2. 1 2 2 故动点 Q(m,n)在定圆 x +y =2上运动. y1 y2 1 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x x =-4, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 两边平方得 x2 1x2=16y1y2=(4-x1)(4-x2),即 x1+x2=4.
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因为直线 MN 的方程为(x2-x1)y-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0, |x1y2-x2y1| 所以点 O 到直线 MN 的距离 d= , (x2-x1)2+(y2-y1)2 1 1 所以△OMN 的面积 S= |MN|·d= |x1y2-x2y1|= 2 2 1 2 2 2 2 2 x1y2+x2y1-2x1x2y1y2= ? ? x2 x2 1 1 2 2 2? 1? 2 2 ? ? ? ? 1 - 1 - x + x + 1 4 ? 2? 4 ? 2x1x2= 2 ? 1 2 2 2 x1+x2=1. 故△OMN 的面积为定值 1.

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例 3 【配例 2 或例 5 使用】已知点 A,B 的坐标分别为 (-2,0),(2,0),直线 AP,BP 相交于点 P,且它们的斜率之 1 积是- ,记动点 P 的轨迹为曲线 C. 4 (1)求曲线 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上的动点,直线 AQ,BQ 分别交直线 l:x =4 于点 M,N,线段 MN 的中点为 D,求直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围; (3)在(2)的条件下,记直线 BM 与 AN 的交点为 T,试确定 点 T 与曲线 C 的位置关系,并说明理由.

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圆锥曲线中的热点问题

y-0 y-0 1 解:(1)设点 P(x,y),则有 × =- (x≠± 2 且 y≠0), 4 x+2 x-2 x2 2 即 4 +y =1(x≠± 2), x2 2 ∴曲线 C 的方程为 4 +y =1(x≠± 2). y0 (2)方法一:设 Q(x0,y0),则直线 AQ 的方程为 y= (x+2), x0+2 ? 6y0 ? y0 ? 令 x=4, 则可得 M?4,x +2? . 直线 BQ 的方程为 y = (x-2), ? x0-2 0 ? ? ? 2y0 ? ? 令 x=4,则可得 N?4,x -2? ?. 0 ? ?

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圆锥曲线中的热点问题

? 3 1 ? 4x0-4 4x0-4 6y0 2y 0 ? ? + ∵ + = 2y0 ?x +2 x -2? = 2y0 × 2 = 2y0 × = x0+2 x0-2 x0-4 -4y2 0 ? 0 ? 0

1- x 0 2× y ,
0

1-x0 -0 1-x ? y0 1-x0? 0 ? ? ∴可得 D?4, ,∴ kBD= = 2y , ? y0 ? 4-2 0 ? 1-x0 1 -x 0 y0 1 1 ∴kQBkBD= × 2y = =-2- . x0-2 2(x0-2) 2(x0-2) 0 1 1 ∵-2<x0<2,∴-4<x0-2<0,∴ <-4, x0-2 1 1 1 1 3 ∴-2- >-2+8=-8, 2(x0-2) 3 即 kQBkBD>-8,
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? 3 ? 的斜率之积的取值范围为?-8,+∞?. ? ?

∴直线 QB 与直线 BD

方法二:设直线 AQ 的斜率为 k(k≠0),则由题可知直线 BQ 的斜率为 1 - , 4k ∴直线 AQ 的方程为 y=k(x+2),令 x=4,则可得 M(4,6k), ? 1? 1 ? 直线 BQ 的方程为 y=-4k(x-2),令 x=4,则可得 N 4,-2k?, ? ? ? 1? ? ? 4 , 3 k - ∴D 4k?, ? 1 3k-4k-0 3k 1 ∴kBD= = 2 -8k, 4-2 1 ?3k 1 ? 3 1 3 ∴kQBkBD=-4k×? 2 -8k?=-8+32k2>-8. ? ? 故直线 QB 与直线 BD
? 3 ? 的斜率之积的取值范围为?-8,+∞?. ? ?

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? ? 6y0 ? 2y0 ? ? ? ? M?4,x +2?,N?4,x -2? ?, 0 0 ? ? ? ?

(3)方法一:由(2)得

y0 3y0 ∴直线 AN 的方程为 y= (x+2),直线 BM 的方程为 y= ( x- 3(x0-2) x0+2 2). y0 ? ? ?x=5x0-8, ? y= (x+2), ? 2x0-5 ? 3(x0-2) ? 由 解得? 则点 T 的坐标为 3 y ?y= 0 (x-2), ?x= 3y0 , ? ? ? x0+2 ? 2x0-5
?5x0-8 3y0 ? ? ? , ?2x -5 2x -5?. 0 ? 0 ? ?5x0-8?2 ? ? ?2x -5? ? 0 ?

将点 T 的坐标代入曲线 C 的方程,则有

4 2 (5x0-8)2+4× 9y2 (5x0-8)2+9(4-x2 16x0 -80x0+100 0 0) = = =1. 4(2x0-5)2 4(2x0-5)2 4(2x0-5)2
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? 3y0 ?2 ? +? ?2x -5? = ? 0 ?

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圆锥曲线中的热点问题
? ? 6y 0 ? 2y0 ? ? ? ? M?4,x +2?,N?4,x -2? ?. 0 0 ? ? ? ?

∴ 点 T 在曲线 C 上. 方法二:由(2)得

6y0 2y0 -0 -0 x0 +2 x0-2 3y0 y0 ∴ kBM= = ,kAN= = , 4-2 x 0 +2 4+2 3(x0-2) 2 x0 1- 4 3y0 y0 y2 1 0 ∴ kBMkAN= × = 2 = 2 =-4, x0+2 3(x0-2) x0-4 x0-4 ∴ 点 T 在曲线 C 上. ? 1? 方法三:由(2)得,M(4,6k),N?4,-2k?, ? ? 1 - -0 6k-0 2k 1 ∴ kBM= =3k,kAN= =-12k, 4-2 4+2 ? 1 ? 1 ? ∴kBMkAN=3k× -12k?=- ,∴点 T 在曲线 C 上. 4 ? ?
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圆锥曲线中的热点问题

例4

x2 y2 【配例6使用】设椭圆E: a2 + b2 =1(a>b>0),其长

轴长是短轴长的 2 倍,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得 的弦长为2 3. (1)求椭圆E的方程; (2)点P是椭圆E上横坐标大于2的动点,点B,C在y轴上, 圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC,试判断点P在何位置时△PBC 的面积S最小,并证明你的判断.

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b2 解:(1)由题知 a= 2b, a = 3,解得 a=2 3,b= 6, x2 y2 故椭圆 E 的方程为12+ 6 =1. (2)证明:设 P(x0,y0)(2<x0≤2 3),B(0,m),C(0,n). y0-m 不妨设 m>n,则直线 PB 的方程为 y-m= x x, 0 所以有(y0-m)x-x0y+x0m=0. 又圆心(1,0)到直线 PB 的距离为 1,
? y0-m+x0m? ? 所以有 2 2=1, (y0-m) +x0 ? ? ?

化简得(x0-2)m2+2y0m-x0=0. 同理可得,(x0-2)n2+2y0n-x0=0, 所以 m,n 是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0 的两个根,

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圆锥曲线中的热点问题

-2y0 -x 0 所以 m+n= ,mn= , x0-2 x 0 -2
2 2 4x0 +4y0 -8x0 所以(m-n) = . (x0-2)2 2

因为 P(x0,y0)是椭圆 E 上的点, 所以
2 2? ? 2 x -8x0+24 x 0 0 2 2 ? ? 1 - y0=6 12?,所以(m-n) = (x0-2)2 , ? 2

2 2 2 1 2x0-8x0+24 2 x0-4x0+12 2 (x0-2) +8 2 所以 S =4· ·x0= ·x = ·x0. (x0-2)2 2(x0-2)2 0 2(x0-2)2

令 x0-2=t(0<t≤2( 3-1)),则 x0=t+2, (t2+8)(t+2)2 令 f(t)= , 2t2 1 16 16 化简得 f(t)= t2+2t+6+ t + 2 , 2 t

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圆锥曲线中的热点问题

3 16 32 (t+2)(t -16) 则 f′(t)=t+2- 2 - 3 = , t t t3

令 f′(t)=0,得 t=2 2(t=-2 舍去),而 2( 3-1)<2 2, 所以易知函数 f(t)在区间[0, 2( 3-1)]上单调递减, 当 t=2( 3-1)时, f(t)取得最小值,此时 x0=2 3,即点 P 的横坐标为 2 3时,△PBC 的面积 S 最小.

3

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