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3.3.2两点间的距离(1)


3.3.2两点间的距离

复习
一、两直线的交点:
设两直线的方程是:
L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0

因此,若两条直线相交,只需将这两条直线的方 程联立,得方程组: A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 则该方程组只有一个解,即为两直线的交点坐标。


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2

复习
?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? , l1 l 2 ?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 联立直线 ? ?l , l ? 1 2平行 的方程解方程组 ? 无解

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( B ? 0, B A1 B1 C1 l1与l2重合 ? ? A2 B2 C2
1

二、根据两直线的方程系数之间的关系来判 定两直线的位置关系?
2

? 0, )

?2? .l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0
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A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

l1与l2平行 l1与l2相交

l1 // l2或l1与l2重合 ? A1B2 ? A2 B1

4

三、当?变化时: 交点的直线都可以被方 程 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 表示出来,故把该方程 称之为: 过两直线交点的直线系 (束)方程

所有经过直线A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

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小测
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y C 轴上,则m的值是 (A)0 (B)-24 (C)±6 (D)以上都不对 2.若直线kx-y+1=0和x-ky = 0相交,且交点 在第二象限,则k的取值范围是 (A)(- 1,0) (B)(0,1] A (C)(0,1) (D)(1,+∞) 3.若两直线(3-a)x+4y=4+3a与2x+(5-a)y=7平 行,则a的值是 B (A)1或7 (B)7 (C)1 (D)以上都错

两点间的距离
(1) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 已知平面上两 点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离 | P1 P2 |呢?
2

y P1(x1,y1)

Q (x2,y1) P2 (x2,y2)

o
2

x

| P1 P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (2) x1≠x2, y1=y2
2
y P1(x1,y1) P2(x2,y2)

|P 1P 2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

2
x

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 |
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o

8

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? (3) x1 = x2, y1 ≠ y2
2
y P1(x1,y1)

|P 1P 2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

2 P2(x2,y2)
x

| P1 P2 |?| y2 ? y1 |

o

两点间距离公式 y
|x|
P (x,y)

|y|

| OP |? x ? y
2
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离:

2

O(0,0)

x
| OP |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( x ? 0) 2 ? ( y ? 0) 2 ? x 2 ? y 2

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举例
例3 已知点 A(?1,2), B (2, 7 ), 在x轴上求一点 P, 使得 | PA |?| PB |,并求 | PA | 的值.
解:设 P点 的 坐 标 为 ( a ,0 ) | PA |? ( ?1 ? a ) 2 ? ( 2 ? 0) 2 ? 4 ? (a ? 1) 2 | PB |? ( 2 ? a ) 2 ? ( 7 ? 0) 2 ? 7 ? ( 2 ? a ) 2 ?| PA |?| PB | ? 4 ? (a ? 1) 2 ? 7 ? ( 2 ? a ) 2 解得: a ?1 ?| PA |? 4 ? (a ? 1) ? 2 2
2

练习
1、求下列两点间的距离:
(1)、A(6,0),B(-2,0) (2)、C(0,-4),D(0,-1)

(3)、P(6,0),Q(0,-2)

(4)、M(2,1),N(5,-1)

2 2 ( 1 ) | AB | ? ( ? 2 ? 6 ) ? ( 0 ? 0 ) ?8 解:

( 2) | CD |? (0 ? 0) ? ( ?1 ? 4) ? 3
2 2

( 3) | PQ |? (6 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 10 (4) | MN |? ( 2 ? 5) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 13

练习
2、已知点A(a, -5)与点B(0,10)间的 距离等于17,求点a的值.

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练习
3、求在y轴上与点A(5,12)的距离为13的 坐标;
解:设所求点的坐标为(0, b) 由题意可得: 13 ? 5 ? (b ? 12)
2 2

解得:b ? 0或24 ? 所求点的坐标为(0, 0)或(0, 24)

练习
4、已知点P的横坐标是7,点P与点N(-1,5) 间的距离等于10,求点P的纵坐标.
解:设P点的坐标为 ( 7, b ) 由题意可得: 10 ? 解得:b ? ?1或11 ? P点的纵坐标为? 1或11
P(7,-1)或P(7,11)

(7 ? 1) ? (b ? 5)
2

2

练习
5、已知点A(7,-4) ,B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解:设P点的坐标为( x, y ) 由题意可得: | AP |?| BP | 得:(x-7) ? ( y ? 4) ? ( x ? 5) ? ( y ? 6)
2 2 2 2

化简得:6x-5y-1=0

例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条 第一步 :建立坐 y 对角线的平方和。 D (b,c) C (a+b,c) 标系,用坐标表 则四个顶点坐标分别为 示有关的量。 证明:以A为原点,AB为x轴 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 建立直角坐标系。 2 2 x | AB | ? a | CD |2 ? a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 ? b2 ? c2 | BC |2 ? b2 ? c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | ? (b ? a关代数运算 ) ?c | AC | ? (a ? b) ? c

解析法

运算结果翻译成 几何关系。 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
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| AB |2 ? | CD |2 ? | AD |2 ? | BC |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) 2 2 2 2 2 | AC | ? | BD | ? 2(a ? b ? c ) 第三步 2 2 2 2 2 :把代数 2 | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |

练习
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等.
y
B (0,b)

a b M( 2 , 2 )

o C (0,0)

x A(a,0)

解题参考

小结
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

| P1 P2 |?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离: | OP |? x ?y
2 2

小结
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关的代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”所几何关系.

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对称问题 -------点关于点的对称问题

点A(x,y)关于点M(m,n)对称的点B为 (2m-x,2n-y);特别地,P(x,y)关于原点(0,0) 的对称点坐标为(-x,-y).
练习:

(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点. (2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M 的坐标.
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对称问题
——点关于直线的对称问题

例:求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解法1:设B(m,n)由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l
n ?1 即; ?2 m ? (?7)

=-1



? m ? 7 n ?1? , ? 线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 ? 2 ? ? 2 n ?1 m?7 在直线l上,故有 2 -5=0 ② 2 2

联立①② 解得m=9

n= -7
23

∴B(9,-7)
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对称问题——点关于直线的对称问题

例:求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解法2:∵直线AB⊥l, 直线AB过点(-7,1) ∴直线AB的方程为y-1=?x ? 2 y ? 5 ? 0 由 ? ?2 x ? y ? 5 ? 0

解得 x ?1

?

1 2

(x+7)
y ??3

即x+2y+5=0

即AB的中点为(1,-3) ,又A(-7,1) 由中点坐标公式得B的坐标为(9,-7).
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小结:求点A(x0,y0)关于直线L: Ax + By +C=0对 称点B (x, y)的方法: (1)(综合求解) 由点关于直线对称的定义及直 线L垂直平分线段AB得方程组: ? y ? y0 ? A ? ? ? ? ? ? ?1?? (1) ? ? x ? x0 ? B ? ? ? A x ? x0 ? B y ? y0 ? C ? 0?? (2) ? 2 2 ?
由(1)(2)可解得x , y的值即对称点B的坐标 (2)(分步求解)可先求直线AB的方程,然后解出 直线AB与直线l的交点即线段AB的中点M的坐标, 最后利用中点坐标公式,求出对称点B的坐标.
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对称问题——点关于直线的对称问题

练习:(1)求点P(3,5)关于直线l:x-3y+2=0的对称点 P’的坐标.

(5,-1)
(2)已知点A(2,0),B(-3,-1),在直线l:x+y-3=0上求一点P使 |PA|+|PB| 最小,最小值是多少?

9 3 P( , ) 4 4
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2 10
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