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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第20届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 20 届)

1. m、n 都是正整数且 n>m.如果 1978m 和 1978n 的十进制表示法的末三位数字相同, 试求满足此条件并使 m+n 达到最小的 m 与 n. 2. P 是某已知球内部一点,A、B、C 是球面上三点,且有 PA、PB、PC 相互垂直,由 PA、PB、PC 决定的平行六面体与 P 点对角相向的顶点为 Q,试求出 Q 点的轨迹. 3. 两不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正 整数,其中 f(1) < f(2) < f(3) < ...,g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有 g(n) = f(f(n)) + 1 对所有 n=1,2,3, ...成立.试计算 f(240). 4. 等腰三角形 ABC,AB = AC.在三角形 ABC 的外接圆的内部有一与其相切的一个小 圆,该小圆又分别与 AB、AC 相切于 P、Q 两点.求证:线段 PQ 的中点恰为三角形 ABC 内切圆的圆心. 5. 令{ak} 为互不相同的正整数数列,求证对于所有的正整数 n,有 ∑ak/k2 >= ∑1/k; 上式中两边的求和都是 k 从 1 到 n. 6. 某国际组织共有来自六个国家的共 1978 名会员,会员编号分别是 1,2,...,1978.求 证至少有某一会员的编号,恰为与他同国家的另外两位会员编号的和,或者是他同国家 的两外一名会员编号的两倍.


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