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第十四届高一数学试题


第十四届“星光杯”高一数学竞赛试题
满分 150 分 用时 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时,错将其中的一个数据 150 输入为 15, 那么由此求出的平均值与实际平均值的差是( A. 2 .7 B. ? 2.7 C. 3 ) D. ?0.3
1 ? f ( x) 1

? f ( x)

2 f ( x ? 1) ? 7 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( 1? ) ,

( x ? N *) , 则

2.已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1),则 f(1-3x)的定义域是( ) 1 2 1 A.(-2,4] B. ( ?2,? ] C. ( 0, ] D. ( 0, ] 6 3 2 3.设集合 A ? {x | log 1 ( x ? 1) ? ?2} , B ? {x | 2
2

f( 1 ? )f
A. 3

( ? 2 f )   ? ?  ( 3 ? f ) 的值为( ( 2 0 1 ) 2 )
B. 2 C. 1 ) D. 3
???? 5 2

D. ?6

8.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| ? x ? 3 的零点个数为(
x ? x2

? 1} ,则 A ? B 等于(



A. 0

B. 1
??? ?

C. 2
??? ?

9.记 O 为坐标原点,已知向量 OA ? (3,2) , OB ? (0, ?2) ,又有点 C ,满足 AC ? , B. {x | x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 1} ) B. ? ? 2k? ? ? , k ? Z D. ? ? k? ? (?1)k ? , k ? Z ). D. 5 则 ?ABC 的取值范围为(
? A. ? ?0, ? ? 6?

A. {x | x ? 0, 或1 ? x ? 3} C . {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3} 4.已知 sin ? ? sin ? ,则 ? 与 ? 的关系是( A. ? ? ? 或 ? ? ? ? ? C. ? ? (2k ? 1)? ? ? , k ? Z


?? C. ? ?0, ?

?

? 3? ? 2? ???? ??? ? ??? ? 10.已知 k ? Z , AC ? (2, 2) , AB ? (k ,2) , AB ? 5 ,则 ?ABC 是直角三角形的概率是

?? B. ? ?0, ?

? ?? D. ? ? 6, ? ? 3?

( A.
1 9

) B.
2 9

C.

1 8

D.

1 4

11.已知 a ? R ,则函数 f ( x) ? 4x ? a ? 2x?1 ? 1( x ? 0) 的最小值是( A . 2a ? 2 B. 1 ? a 2



? ? ? ? 5.将向量 a ? (3, 4) 按向量 b ? (1, 2) 平移得到向量 c ,则 | c |? (

?2a ? 2  (a ? ?1) C. ? 2 ?1 ? a   (a ? ?1)

?1 ? a 2   (a ? ?1) D. ? ?2a ? 2  (a ? ?1)

A. 2 2

B. 2 13
( )

C. 5

6.函数 f ?x ? ? x ln x 的大致图象是

? ? ? ? ? ? ? 12.已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,1), b ? ? 2sin( A ? ),1? ,则 a ? b 的 6 ? ?

取值范围是(
? 1 5? A. ? ? , ? ? 2 2?


? 1 5? B. ? ? , ? ? 2 2?
? 5? C. ? 2, ? ? 2? ? 5? D. ? 2, ? ? 2?

高一数学第 1 页

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 13. 同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率 是 14.如图执行右面的程序框图,那么输出的 S 值为 . 15. 函数 f ( x) ? 3
[sin x ]

开 始

?? ? ⑵若 x ? x0 ? 0 ? x0 ? ? 为 f ( x) 的一个零点,求 f (2 x0 ) 的值.
? 2?

S ? 0, i ? 1

的值域是

. (其中 [ x] 表示不超过

i ? 10?

实数 x 的最大整数) 16. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 对任意 x ? R 都满足条件



f (x )+ f ( 4? x )= 0 与 f (x ? 2 ) ?f (x ? 2 )= 0 ,则对函数
y ? f ( x) ,下列结论中必定正确的是

输出S
1 S ? S ? ? i2 3

. (填上所有正确
i ?i?2
结 束

结论的序号) ① y ? f ( x) 是奇函数; ③ y ? f ( x) 是周期函数; ② y ? f ( x) 是偶函数;

22.( 本 题 满 分 16 分 ) 已 知 函 数 y ? f ( x)?( x ? R) 对 任 意 实 数 x, y , 有 x? y x? y f (0) ? 0 f ? x? ? f ( y ) ? f 2 ( f ) ( 恒成立,且 ) 2 2 (1) 求 f (0) 的值; (2) 试判断函数 y ? f ( x)?( x ? R) 的奇偶性; (3) 若函数 y ? f ( x)?( x ? R) 在 [0, ??) 上单调递增, log 2

(12 题图)

④ y ? f ( x) 的图象是轴对称的.

f ( x) ? 2a ? 4 ? 0 恒成立,试求实数

a 的取值范围.

17.若 n 为整数,关于 x 的方程 ( x ? 2011)( x ? n)2011 ? 1 ? 0 有整数根,则 n ? 18.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域是 19. 方程 sin 4 x ? .



4 ? 5 的解集为 . sin 4 x 三、解答题:本大题共 3 小题,共 41 分 20. (本题满分 10 分) 已知函数 f ?x? ? loga ax2 ? 4x ? a ? 3 的定义域为 R , 求实数 a 的取值范围。

?

?

21. (本题满分 15 分) 已知函数
?? ? ?? ? f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ? ⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域;

高一数学第 2 页

高一数学竞赛答卷
一、选择题(60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(49 分) 13.________________ 16.________________ 19.________________ 三、解答题(10 分+15 分+16 分=41 分) 20. 22. 14.________________ 17.________________ 15.________________ 18.________________

21.

3 高一数学答卷页


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