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高考中与内切球和外接球相关的几个问题


ZHUANTI YANJIU

专 题 研 究

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高考中与内切球和外接球相关的几个问题
◎王永生 ( 云南省大理第一中学 671003 ) 2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( 槡 A. 3 π 解析 ). 近年来在高考中经常有多面体与球的切与接的问题 . 为了便于学习和掌握此类问题的求

解方法, 下面结合高考 题进行了以下归纳: 问题 1 ( 2006 年山东) 正方体的内切球与其外接球的 ). 体积之比为( A. 1∶ 槡 3 解析 B. 1∶ 3 C. 1∶ 3 槡 3 D. 1∶ 9 设正方体的棱长为 a, 则它的内切球的半径为 B. 4 π C. 3 槡 D. 6 π 3π 联想棱长为 1 的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1 , 则四

2, 面体 ACB1 D1 的棱长都为槡 它的外接球也是正方体的外接 3 3 的一半, 其半径为正方体对角线长槡 即有 r = 槡 , 故所求 球, 2 球面积为 S = 3 π.

1 3 a, 3 . 选 C. 它的外接球的半径为 槡 a, 故所求的比为 1∶ 3 槡 2 2 r1 , r2 , r3 分别为正方 一般地, 如右图, 棱切球( 与各条棱都相切) 与 体的内切球、 则 r1 = 外接球半径, 1 2 3 a, r2 = 槡 a, r3 = 槡 a. 2 2 2 一般地, 对于棱长为 a 的正四面体, 有以下性质: 3 1 . 全面积: S = 4 × 槡 a2 = 槡 3 a2 . 4 2 . 中截面: S 中截面 = 3 . 高、 体 积: h = 1 槡 3 3 × a2 = 槡 a2 . 4 4 16 3 槡 a 2
2

2∶ 槡 3. 于是 r1 ∶ r2 ∶ r3 = 1∶ 槡 2 应用 1 ( 1995 年全国 4 ) 正方体的全面积是 a , 它的 ). 顶点都在球面上, 这个球的表面积是( 2 2 πa πa A. D. 3 πa2 B. C. 2 πa2 3 2 由已知正方体的对角线是球的直径, 设正方体 2 2 6x = a , 2a ∴ R =槡 , 棱长为 x, 球半径为 R, 则 于是球的表 4 3 x = 2 R, 槡 2 a2 π a2 2 = . 选 B. 面积 S = 4 πR = 4 π· 16 2 应用 2 ( 2001 年春季北京、 安徽 13 ) 已知球内接正方 . 体的表面积为 S, 那么球体积等于 ( 2R) 2 = 解析 设球的半径为 R, 正方体的边长为 a, 解析

{

( ) ( ) 槡( ) 槡
3 - 槡 a 6
2

=

3 a2 - 槡 a 3

2

1 1 槡 6 3 6 2 × a2 × 槡 a = 槡 a3 . = 槡 a; V = S 底面 h = 3 3 3 4 3 12 4 . 内切球的半径即为正四面体高度的四分之一, 外接 6 6 R = 槡 a, r = 槡 a. 球的半径即为高度的四分之三 . 所以, 4 12 应用 1 ( 2007 年陕西理 6 ) 一个正三棱锥的四个顶点 都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一 ). 个大圆上, 则该正三棱锥的体积是( 3 3 A. 槡 4 3 B. 槡 3 3 C. 槡 4 3 D. 槡 12

3 a2 . 又 ∵ 6 a2 = S , ∴ 3 a2 = 又 ∵ 球的体积为 V = ∴ V=

S S 2S , ∴ 4 R2 = , R= 槡 . 2 2 4

4 3 πR , 3

4 2S 2 S = πS 槡 . π 槡 3 24 4 应用 3 ( 2006 年福建) 已知正方体外接球的体积是 32 π, 那么正方体的棱长等于( 3 A. 2 槡 2 解析 2 3 B. 槡 3 ).

( )

3

答案 B. 应用 2 ( 江苏省启东中学 2008 年高三综合测试二) 正 三棱锥 P - ABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上, 若 3, 正三棱 锥 的 侧 棱 长 为 2 槡 则正三棱锥的底面边长 . 是 答案 3 . 应用 3 ( 湖北省八校高三 2008 年第二次联考) 已知体

4 2 4 3 C. 槡 D. 槡 3 3 32 正方体外接球的体积是 π, 则外接球的半径 3

4 3 R = 2, 正方体的对角线的长为 4 , 棱长等于 槡 , 选 D. 3 应用 4 ( 2006 年广东) 棱长为 3 的正方体的顶点都在 . 同一球面上, 则该球的表面积为 3 3 d =3 槡 3 ?R = 槡 ?S = 4 πR2 = 27 π. 2 问题 2 ( 2003 年全国 12 ) 一个四面体的所有棱长都为 解析
数学学习与研究 2012. 1

?OB → + ?OC → = 0, 则该三棱锥外接球的体积为

3 的正三棱锥 V - ABC 的外接球的球心为 O, 积为槡 满足OA + . 16 答案 π. 3 思考 ( 2000 年全国联赛一试) 一个球与正四面体的 六条棱都相切, 若正四面体 的 棱 长 为 a, 则这个球的体积 . 是

?→

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解析 由正四面体的图像的对称性可知, 内切球的球 球与各棱相切, 其切点必为各棱中 心必为正四面体的中心, 点, 考查三组对棱中点的连线交于一点, 即为内切球的球 所 以 每 组 对 棱 间 的 距 离 即 为 内 切 球 的 直 径, 于 是 有: 心, 2 4 2 3 2 2 r = 槡 a, ∴ V = · π· 槡 a = 槡 πa . 2 3 24 4 问题 3 ( 湖北黄冈麻城博达学校 2008 届三月综合测 则这个正三棱 试) 正三棱锥 P - ABC 的三条侧棱两两垂直, ). 锥 P - ABC 的内切球与外接球的半径之比为( A. 1∶ 3 C. ( 槡 3 + 1) ∶ 3 B. 1∶ ( 3 + 槡 3) D. ( 槡 3 - 1) ∶ 3

一般地, 有一个三面角的各个面 角都是 直 角 的 四 面 体 叫 做 直 角 四 面 体. 直角四面体有下列性质: 如图, 在 直 角 四 面 体 AOCB 中, OA = ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° , a, OB = b, OC = c, 则: 1 . 体积 V = 1 abc. 6 1 a2 + b 2 + c 2 . 2 槡

( )

3

2 . 外切球半径 R = 3 . 内切球半径 r =

解析 如 图, 不妨设这个正 三棱锥侧棱长为 1 , 那么它的底面 2. 由 于 这 个 正三角 形 的 边 长 为 槡 故能 正三棱 锥 的 侧 棱 两 两 垂 直, 将它补成长方体. 显然, 这个正三 棱锥与补成的长方体有同一个外 1 3 1 2 + 1 2 + 1 2 = 槡 . 这个正三棱锥的 2 槡 2 1 1 × PA × PB × PC = . 设其内切球的球心为 O, 体积 V = 6 6 1 1 半径为 r, 那么 r( S △PAB + S △PAC + S △PBC + S △ABC ) = . 3 6 ∴ 球半径 R = 接球, ∵ S △PAB = S △PAC = S △PBC = ∴ 1 r 3 3 3 1 , S = 槡 ( 2) 2 = 槡 , 2 △ABC 4 槡 2

S △AOB + S △BOC - S △ABC . a+b+c

A, B, C 是球 O 面上的四个 应用 1 ( 书本 P91 : ex7 ) P, PA , PB , PC PA = PB = PC = 1 , 点, 两两垂直, 且 求球的体积 与表面积. 应用 2 ( 2008 年福建 15 ) 若三棱锥的三条侧棱两两垂 . 3, 且侧棱长均为槡 则其外接球的表面积是 直, 9 . 答案 π

应用 3 ( 江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟) 三棱 PB, PC 两两垂直, 锥 P - ABC 的侧棱 PA, 侧面面积分别是 6, 4, 3, ). 则三棱锥的体积是( A. 4 答案 应用 4 A. ( 东北区三省四市 2008 年第一次联合考试) 四 B. 6 C. 8 D. 10

1 1 1 槡 3 + + + )= . (1 6 2 2 2 2

面体 ABCD 中, 共顶点 A 的三条棱两两相互垂直, 且其长分 3, 6, 若四面体的四个顶点同在一个球面上, 则这个 别为 1 , 槡 . 球的表面积为 答案 16 π.

于是 r =

1 r 3 -1 , =槡 . 选 D. 3 3 R 3 +槡

( 上接 124 页)

B ( x - x0 ) - A ( y - y0 ) = 0 . ② 2 2 由① + ② ? ( A2 + B2 ) [ ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2]= ( - Ax0 - By0 - C) 2 ? ( - Ax0 - By0 - C) 2 ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 = ? A2 + B2 ( x - x0 ) 槡 d = | PH | =
2

{

A( x - x0 ) + B( y - y0 ) = - Ax0 - By0 - C, ①

射影是

+ ( y - y0 )

2

=

| Ax0 + By0 + C | A2 + B2 槡




( - Ax0 - By0 - C) 2 ? A2 + B2

评述 证法 3 实际上是一种代数方法, 本人简单地称 之为配凑法. 这是一个奇妙的证明方法, 一般教材都没有这 这是笔者在优化解析法( 证法 1 ) 的时候发现并加 种方法, 就是改进了证法 1 中求垂足的坐标, 只是设 以整理出来的, 垂足但是并不需要求出来, 即设而不求的思路, 然后通过整 ( - Ax0 - By0 - C) 2 2 2 , 体解出( x - x0 ) + ( y - y0 ) = 达到了 A2 + B2 学生感觉有一种非常奇妙的体会 . 证明的目的, 证明 4 ( 向量法) 可以取直线 l: Ax + By + C = 0 的方向 - A) , B) , y) 即其法向量是 n = ( A, 设 M ( x, 向量为 v = ( B, ?PM →=( x-x , ?PM → 在 n 上的 是直线 l 上的任意一点, 0 y - y0 ) ,

?→ | Ax + By + C | n·PM 0 0 = . 所以 d = 2 |n| A + B2 槡 评述 用向量的工具解决一些疑难问题往往是事半功 倍, 对于点到直线的距离公式的证明自然也不例外, 显然是 思路简洁, 计算量小. 但 这几种方法里面比较理想的一种, 有时候往往把它作为向量的 是由于教材知识序列的问题, 假如把向量的学习放到解析几何前面, 就为证明 应用列举, 铺好了路子, 当然还需要学生熟练地掌握有关向量的知识 和方法. 总之, 对于点到直线的距离公式的证明, 本人把常用的 方法加以小结, 根据我们的教学实际可以合理选择应用, 不 妥之处敬请指教.
【参考文献】 [ 1] 全日制普通高级中学教科书 .《数学 》 第二册( 上) . 北京: 人民教育出版社. [ 2] ( 必修 2 ) . 普通高中课程标准实验教科书 .《数学 》 北京: 北京师范大学出版社.

?→ - Ax0 - By0 - C n·PM A( x - x0 ) + B( y - y0 ) = = . 2 2 |n| A2 + B2 A +B 槡 槡

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