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必修一13幂函数


数学·人教A版·必修一 幂 函 数

主讲人:钱汝富

2015年1月

思考:这 些函数有 (1) 如果张红购买了每千克 1元的蔬菜w千克,那么她需 什么共同 p 是____ w 的函数; w 要支付p=_______ 元,这里___ 的特征? y?x 2 a (2) 如果正方形的边长为 a ,那么正方形的面积 S=

___ , 2 a 的函数; 这里___ S 是___ y?

x

(3) 如 果 立 方 体 的 边 长 为 a , 那 么 立 方 体 的 体 积 V=_____ ,这里____ V 是____ a3 a 的函数; y ? x3 (4) 如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的 1 a 是_____ 边长a=__________, 这里____ S2 S 的函数;y ?
1 2

x

(5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的平 ?1 ? 1 y ? t v 是______ t 均速度v=____ km/s,这里____ 的函数。 x

以上问题中的函数有什么共同特征?

y=x (2)y=x2 (3)y=x3 (4)y=x1/2 (5)y=x-1
(1)

(1)都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1; (5)幂前的系数也为1。

上述问题中涉及的函数,都是形如y=xα的函数。

定义
一般地,函数 y=xα 叫做幂函数,其

中x是自变量,α是常数.

注意:幂函数中的α可以为任意实数.

幂函数与指数函数的对比
名称 式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a a
底数
指数

x
指数
底数

y
幂值 幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数

指数函数

幂函数

例1:判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4

(4) y ? x

1 2

1 (2) y ? 2 x
(3) y= -x2

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

练习
1.在函数y ?

x

2 , y ? 2 x, y ?

x

2 ? x, y ? 1中,

哪几个是幂函数

几点说明:
1. y ? x 中x 前面的系数为1, 并且后面没为常数项.
2. y ? x, y ? x 2 , y ? x ?1, y ? x 0 也是特殊的幂函数
但y ? 1不是幂函数
? ?

2.已知幂函数y ? f ( x)的图象过点(2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.

解 : 设所求幂函数为y ?

因为函数过点(2, 2 ), 所以 2 ? 2? , 1 1 所以? ? log 2 ? log 2 2 ? 2 2 2 1 故所求的幂函数为y ? x 2 .

x

?,

1 2 2 ? 2?

幂函数图象的画法 函数图象的画法是:列表、描点、连线,

那么幂函数也用此法。
我们主要学习下列几种函数. (1) y=x-1 (4) y=x3 (2) y=x (5) y=x1/2 (3) y=x2

在同一坐标系内作出下列函数的图象:
y?x
y ? x2

y?x

3

y?x

1 2

y ? x ?1

x
y?x

… -3 -2 -1 … -3 -2 -1 9 4 1

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 4 8
2
1 2

3 3 9

… … …

y ? x2 …
y ? x3

… -27 -8 -1

27 …
3
1 3

y?x
y?x

1 2

… …

\
1 ? 3

\
1 ? 2

\ -1

0 \

1 1

… …

?1

定义域: {x x ? 0} 值 域:{y y ? 0}
在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性:在(0,??)上是减函数
在(??,0)上是减函数

定义域: R
值 域:

R

在R上是奇函数 奇偶性: 在R上是增函数 单调性:

定义域:

R

值 域: [0,??) 奇偶性: 在R上是偶函数
在 [ 0 , ?? ) 上是增函数 单调性:

在(??,0]上是减函数

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

定义域: [0,??)

值 域: [0,??)
奇偶性: 非奇非偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性:

(-2,4)

4
3 2

y?x

3

(2,4)

y?x

2

y?x
(1,1)
2 4

y?x

1 2

(-1,1)1
-4 -2

? 1 y?x
6

(-1,-1) -1
-2
-3

从图象能得出他 们的性质吗?

5个特殊幂函数的性质
定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增函数 公共点 (0,0),(1,1)

y?x
y ? x2

R R R
[0,??)

R
[0,??)

[0,+∞)增 (0,0),(1,1) (-∞,0]减

y?x
y?x

3

R

增函数 增函数
(0,+∞)减 (-∞,0)减

(0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (1,1)

1 2

[0,??) 非奇非偶

y?x

?1

{x | x ? 0}

{ y | y ? 0}

奇函数

例1

比较下列各组数的大小;

(1) 3

?

5 2

和3.1
? 7 8

?

5 2 ? 7 8

( 2) ? 8

1 和?( ) 9
? 2 3

2 (3) ( ? ) 3

和( ?

?
6

)

?

2 3

例2 证明幂函数 f ( x) ?

x 在[0,+∞)上是增函数.

证明:任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1<x2,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? x1 ? x2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

因为x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, 所以f ( x1 ) ? f ( x2 ),即幂函数f ( x) ? x在[0,??)上是增函数 .

小结 一、定义 二、图象

三、性质

四、应用

作业:课本对应习题

谢 谢


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