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辽宁省大连市五校2013-2014学年高二下学期尖子生竞赛考试数学(文)试题


大连市五校 2013-2014 学年高二下学期尖子生竞赛考试 数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3} ,集合 B ? {x |1 ? log2 x ? 2} ,则 A

B ? ( A. {x | 0 ? x ? 3} 2. 若 z ? A .i B. {x | 2 ? x ? 3} C. {x |1 ? x ? 3} D. {x |1 ? x ? 4} ) D.-1 ) )

1 ? 2i ,则 z 的共轭复数的虚部 为( i

B.-i

C.1

3.已知向量 a 和 b 的夹角为 1200, a ? 1, b ? 3 ,则 a ? b ? ( A.
2 3

B. 15

C. 4

D. 13 )

4.双曲线 A.
3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为( a 2 b2

B.2

C.

5 2

D.3
S9 ?( S5

5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 ,则 A. 9 B.
25 9

) D.
9 25

C.2

6.已知函数 y ? 2cos(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , 其图像与直线 y=0 的某两个交 点的横坐标分别为 x1 、 x2 , x1 ? x2 的最小值为 ? ,则( A . ? ? 2, ? ?
?
4


?
2

B. ? ? 2, ? ?

?
2

C. ? ? 1, ? ?

?
4

D. ? ? 1, ? ?

?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 为坐标原点,点 A(1,0) ,若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 内的一个动点, ?y ? 2 ?

则 ( x ? 1)2 ? y 2 的最小值为( A.9 B. 5

) C.
9 2

D. 2 )

9.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积为( A.18 ? B.36 ? C.9 ? D.
9? [来源:Z&xx&k.Com] 2

10.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 3x ? m (m 为常数),则 f (? log3 5) 的 值为( ) A. ?6 B.6 C.4 D. ?4

11、斜率为 2 的直线 L 经过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线与 A、B 两点, 若 AB 的中点到抛物线准线的距离 1,则 P 的值为( ) A.1 B.
4 5

C.

3 5

D.

2 5

12.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(4)= ?3 ,且对任意 x ? R 满足 f ?( x) ? 3 , 则不等式 f ( x) ? 3x ? 15 的解集为( ) A. (??, ?4) B. (??, 4) C. (4, ??) D. (??, ?4) (4, ??)

[来源:学科网] 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos? ? ,则 cos 2? =_____________
1 2

15.已知圆 C 的圆心与点 M(1, ?1 )关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,并且圆 C 与 x ? y ? 1 ? 0 相 切,则圆 C 的方程为_______________

16.已知△ABC 中,∠ABC=600,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,则使△ABD 为 钝角三角形的概率为_______________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)
o c C ?c b ? 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且 as 1 2

(1)求角 A 的大小 (2)若 a ? 1 ,求△ABC 的周长 L 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)某县为增强市民的环境保护意识,面向全县征召义务宣传志愿 者,先从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 [20, 25), 第 2 组 [25,30), 第 3 组 [30,35), 第 4 组 [35, 40), 第 5 组 [40, 45), 得到的频率分布直方图如图所示, (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率。 (Ⅱ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动,应 从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者。 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经 验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率。
频率 —— 组距 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01

[来源:学科网]

0

20 25 30

35 40

45

年龄

19. (本小题满分 12 分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形,且 AD=A A1, 点 F 为棱 BB1 的中点,点 M 为线段 AC1 的中点。 (1) 求证: MF∥平面 ABCD (2) 求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 G: x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
A1 11

D1

C1

M D 5 ? 6

B1 C

的右焦点 F 及上顶点 B,过椭圆外一点(m,0)( m ? a )倾斜角为 的直线 L 交椭圆与 C、D 两点。 (1)求椭圆的方程
A

F

B

(2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围。

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

21. (本小题满分 12 分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) (1)若 f ?(1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程。 (2)求 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值。 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分) 如图⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于点 N, 过点 N 的切线交 CA 的延长线于 P (Ⅰ)求证: PM 2 ? PA ? PC (Ⅱ)若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM,求 MN 的长 23. (本小题满分 10 分)
C O B

M

A

P

N

已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正
? ?x ? 半轴建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? ? ?y ? ? ? 2 t?m 2 (t 是参数) 2 t 2

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程和直线 L 参数方程转化为普通方程 (Ⅱ)若直线 L 与曲线 C 相交于 M、N 两点,且 MN ? 2 2 ,求实数 m 的值 24. (本小题满分 10 分) 设全集 U ? R (1)解关于 x 的不等式 x ?1 ? a ?1 ? 0(a ? R)

2013—2014 学年度下学期省五校高二尖子生竞赛 数学试题答案(文科)

三.解答题 17.解: ( Ⅰ) a cos C ? c ? b
1 1 ? sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2 1 ? sin A cos C ? sin C ? sin( A ? C ) 2

(2 分)

1 ? sin A cos C ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 ? sin C ? cos A sin C 2 sin C ? 0 1 ? cos A ? 2
0? A?? ?A?

(4 分)

?
3

( 6 分)

A?

?
3

? sin A ?

3 ,由正弦定理得 2

b?

2 3 2 3 sin B, c ? sin C 3 3

(8 分)

L ? a ? b ? c ? 1?

2 3 2 3 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3

? 1?
A?

2 3 3 3 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? 2sin( B ? ) 3 2 2 6
? B ? (0, 2? ? ? 5? )? B ? ? ( , ) 3 6 6 6

(10 分)

?
3

1 ? ? ? sin( B ? ) ? 1 即 2 ? L ? 3 2 6

∴△ABC 的周长 L 的取值范围为 (1,3]

(12 分)

18.解: (Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 ,第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,第

5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 .

(3 分)

(Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3 ?100 ? 30 ,第 4 组的人数为 0.2 ?100 ? 20 , 第 5 组的人数为 0.2 ?100 ? 10 。因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,若利用分层抽样的方法 在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,则每组抽取的人数分别为:第 3 组为 组为 者。
30 ? 6 ? 3 ,第 4 60

20 10 ? 6 ? 2 ,第 5 组为 ? 6 ? 1 .所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 名,2 名,1 名志愿 60 60

(6 分)

(3)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 一名志愿者为 C。

其中第 4 组的 2 名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) , (B1,C) (B2,C) ,共 9 种。 (10 分) 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为
9 3 ? 15 5

(12 分)

19.(Ⅰ)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN ∵F 是 BB1 的中点,∴F 为 C!N 的中点,B 为 CN 的中点,
? MF ∴又因为 M 为线段 AC!的中点,∴MF∥AN,又 MF ? 平面 ABCD,AN ? 平面 ABCD,

∥平面 ABCD。

(6 分)

(2)连接 BD,由题知 A1 A ? 平面 AB-CD,又 BD ? 平面 ABCD, A1 A ? BD . 四边形 ABCD 为菱形,? AC ? BD .又 AC ? A1 A ? A , AC ? 平面 ACC1 A1 , A1 A ? 平面 ACC1 A1 ,? BD ? 平面
? NA ∥BD, DA∥BN,且 DA=BN,, ACC1 A1 .在四边形 DANB 中, ? 四边形 DANB 为平行四边形, ? NA ? 平面 ACC1 A1 。又 NA ? 平面 AFC1 ,? 平面 AFC1 ⊥平面 ACC1 A1 。

(12 分)

20.(Ⅰ) 圆 G : x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B,? F (2,0), B(0, 2),?c ? 2, b ? 2,?a2 ? 6 故 椭圆的方程为
x2 y 2 ? ? 1 (4 分) 6 2

(Ⅱ)设直线 L 的方程为 y ?

3 ( x ? m)(m ? 6) 3

? x2 y 2 ? ?1 ? ?6 2 由? 消去 y 得 2x2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0 ? y ? 3 ( x ? m) ? 3 ?

由 ? 4m2 ? 8(m2 ? 6) ? 0, 解得 ?2 3 ? m ? 2 3 。 又 m ? 6,? 6 ? m ? 2 3
m2 ? 6 , 2

(6 分)

设 C( x1, y1 ), D( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ?

(8 分)

? 3 ? ? 3 ? 1 m m2 ? y1 y2 ? ? ? ( x1 ? m) ? ? ? ? ( x2 ? m) ? ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 ? 3 ? ? 3 ? 3 FC ? ( x1 ? 2, y1 ), FD ? ( x2 ? 2, y2 ), ? FC ? FD ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
4 (m ? 6) m2 2m(m ? 3) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ?4? 3 3 3 3

?

(10 分)

点 F 在圆 E 内部,
? FC ? FD ? 0, 即
2m(m ? 3) ? 0, 解得 0<m<3 3

∴m 的取值范围是 ( 6,3) .

(12 分) (2 分)

21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ,因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3,? a ? 0 又当 a ? 0 时 f (1) ? 1, f ?(1) ? 3 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ?
2a , 3

(4 分)

当 当

2a ? 0 即 a ? 0 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,从而 f max ( x) ? f (2) ? 8 ? 4a 。 (6 分) 3 2a ? 2 即 a ? 3 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递减,从而 fmax ( x) ? f (0) ? 0 3

(8 分)

22.解: (Ⅰ)连结 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形, 则∠OBN=∠ONB,∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN,∠PNM=900-∠ONB ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN 由条件,根据切割线定理,有 PN 2 ? PA ? PC 所以 PM 2 ? PA ? PC (Ⅱ )OM=2,在 Rt△BOM 中, BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 延长 BO 交⊙O 于点 D,连接 DN 由条件 易知△BOM∽△BND,于是
2 3 4 ,得 BN=6 ? BN 4 3
BO BM ? BN BD

(3 分)

(5 分)



(8 分)

所以 MN=BN-BM=6-4=2 23.解: (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 直线 L 的普通方程为 x-y-m=0 (Ⅱ)因为曲线 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4

(10 分) (2 分) (4 分) (6 分)

所以,圆心到直线的距离是
2?0?m 2

d ? 4 ? ( 2)2 ? 2 ?

(8 分)

所以 m=0 或 m=4 24.解: (Ⅰ)∵ x ?1 ? a ?1 ? 0 ∴ x ?1 ? 1 ? a

(10 分)

ⅰ当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时,原不等式的解集为 R ⅱ当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, x ? 1 ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a ? 1 ∴x ? 2?a或x?a 此时原不等式的解集 为 (2 ? a, ??) ? ??, a ?

(2 分)

(5 分)

? ? ? ? B ? ? x | sin(? x ? ) ? 3 cos(? x ? ) ? 0? ? ? x | 2sin(? x) ? 0? 3 3 (Ⅱ) (6 分) ? ? ? ?x | x ? k , k ? Z ?

∵ (CU A) B 恰有 3 个元素,∴ a ? 1 , CU A ? ?x | a ? x ? 2 ? a? ∵a ?1 ∴2? a ?1 ∴1? CU A (7 分)

∵ (CU A) B 恰有 3 个元素 ∴?
??1 ? a ? 0 ?0 ? a ? 1 ??2 ? a ? ?1 或? 或? ?2 ? 2 ? a ? 3 ?3 ? 2 ? a ? 4 ?1 ? 2 ? a ? 2

(9 分)


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