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历年全国数学竞赛题 (7)


历年全国数学竞赛题
考试时间 2006 年 4 月 2 日上午 9∶30-11∶30 ∶ - ∶ 满分 120 分

小题, 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分。以下每道小题均给出了代号 选择题( 为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项 , , , 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。

的代号填入题后的括号里。不填、 的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得 0 分) 1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌;并且从 10 千米处开始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪.刚好在 19 千米处第一次同时 经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( (A)36 (B)37 (C)55 )

(D)90

2.已知 m = 1 + 2 , n = 1 ? 2 ,且 (7 m 2 ? 14m + a )(3n 2 ? 6n ? 7) =8,则 a 的值等 于( ) (B)5 (C)-9 (D)9

(A)-5

3.Rt△ABC 的三个顶点 A,B,C 均在抛物线 y = x 2 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴.若斜边上的高为 h,则( (A)h<1 (B)h=1 ) (C)1<h<2 (D)h>2

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出 其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分 中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下 去, 最后得到了 34 个六十二边形和一些多边形纸片, 则至少要剪的刀数是 ( (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 )

5.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,交 AC 于点 Q.若 QP=QO,则 (A) 2 3 ? 1 O (B) 2 3 (C) 3 + 2 (D) 3 + 2 A P
(第 5 题图)

QC 的值为( QA



D

C

Q B

二、填空题 (共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 小题, 6.已知 a,b,c 为整数,且 a+b=2006,c-a=2005.若 a<b,则 a+b+c 的最 A 大值为 . 7.如图,面积为 a b ? c 的正方形 DEFG 内接于 面积为 1 的正三角形 ABC,其中 a,b,c 为整数, 且 b 不能被任何质数的平方整除,则 等于 .
a?c 的值 b
B E F C D G

(第 7 题图)

8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲、乙两人分别从 A、C 两点同时 出发,沿 A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为 50 米/分,乙的 速度为 46 米/分.那么出发后经过 条边上.
1? ? 2? 29 ? ? ? 9.已知 0<a<1,且满足 ?a + ? + ?a + ? + L + ?a + ? = 18 ,则 [10a ] 的值等于 30 ? ? 30 ? 30 ? ? ?

分钟,甲、乙两人第一次行走在同一

.( [x ] 表示不超过 x 的最大整数)
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加

上数字 8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字 2, 成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数, 恰是原来电话号码的六位数的 81 倍,则小明家原来的电话号码是 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 解答题(
11.已知 x = b , a , b 为互质的正整数(即 a , b 是正整数,且它们的最大公约 a



数为 1) ,且 a ≤8, 2 ? 1 < x < 3 ? 1 . (1) 试写出一个满足条件的 x; (2) 求所有满足条件的 x.

12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14 bc = a 2 ? 4a ? 5

① ②

求 a 的取值范围.

13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过

点 A 作 PB 的平行线,交⊙O 于点 C.连结 PC,交⊙O 于点 E;连结 AE,并延 长 AE 交 PB 于点 K.求证:PE·AC=CE·KB. P

K E A O B

C
(第 13 题)

14.10 个学生参加 n 个课外小组,每一个小组至多 5 个人,每两个学生至少参 加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个 课外小组中.求 n 的最小值.

2006 年全国初中数学竞赛试题参考答案
小题, 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分。以下每道小题均给出了代号为 A, 选择题( , B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的 , , 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。 括号里。不填、 括号里。不填、多填或错填均得 0 分) 1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌;并且从 10 千 米处开始, 每隔 9 千米经过一个速度监控仪. 刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施, 那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( (A)36 答:C. 解:因为 4 和 9 的最小公倍数为 36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千 米数是在 55 千米处. 故选 C. 2.已知 m = 1 + 等于( ) (B)5 (C)-9 (D)9 (B)37 ) (D)90

(C)55

2 , n = 1 ? 2 ,且 (7 m 2 ? 14m + a )(3n 2 ? 6n ? 7) =8,则 a 的值

(A)-5 答:C.

解:由已知可得 m ? 2m = 1 , n ? 2n = 1 .又
2 2

(7 m 2 ? 14m + a )(3n 2 ? 6n ? 7) =8,所以
故选 C.

(7 + a )(3 ? 7) = 8

解得 a=-9

3. Rt△ABC 的三个顶点 A, C 均在抛物线 y = x 2 上, B, 并且斜边 AB 平行于 x 轴. 若 斜边上的高为 h,则( (A)h<1 答:B. 解:设点 A 的坐标为(a,a2) ,点 C 的坐标为(c,c2) (|c|<|a|) ,则点 B 的坐标为 (-a,a2) ,由勾股定理,得 AC 2 = (c ? a ) 2 + (c 2 ? a 2 ) 2 , ) (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2

BC 2 = (c + a ) 2 + (c 2 ? a 2 ) 2 ,
所以

AC 2 + BC 2 = AB 2

(a 2 ? c 2 ) 2 = a 2 ? c 2 .

由于 a > c ,所以 a2-c2=1,故斜边 AB 上高 h= a2-c2=1
2 2

故选 B. 4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中 一部分, 再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分; 又从得到的三部分中拿出其中之一, 还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了 34 个六十二边 形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( (A)2004 答:B. 解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的 内角和增加 360°.于是,剪过 k 次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+ 1)×360°. 因为这(k+1)个多边形中有 34 个六十二边形, 它们的内角和为 34×(62-2)×180°=34 ×60×180°,其余多边形有(k+1)-34= k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33) ×180°.所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得 k≥2005. 当我们按如下方式剪 2005 刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下 1 个 三角形,得到 1 个三角形和 1 个五边形;再在五边形上剪下 1 个三角形,得到 2 个三角形和 1 个六边形……如此下去,剪了 58 刀后,得到 58 个三角形和 1 个六十二边形.再取 33 个 三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到 33 个三角形和 33 个四边形,对这 33 个四边形, 按上述正方形的剪法,再各剪 58 刀,便 34 个六十二边形和 33×58 个三角形.于是共剪了 58+33+33×58=2005(刀) . 故选 B. 5.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,点 P 在劣弧 AB 上,连结 DP,交 AC 于点 Q.若 QP=QO,则 (B)2005 ) (C)2006 (D)2007

QC 的值为( QA



D

C

(A) 2 3 ? 1

O
(B) 2 3 (C) 3 + (D) 3 + 2

Q 2 A P
(第 5 题图)

B

答:D. 解:如图,设⊙O 的半径为 r,QO=m,则 QP=m,QC=r+m,

D
QA=r-m. 在⊙O 中,根据相交弦定理,得 QA·QC=QP·QD.

C



r 2 ? m2 (r-m)(r+m)=m·QD ,所以 QD= . m
连结 DO,由勾股定理,得 QD2=DO2+QO2,

O Q A P
(第 5 题图)

B



? r 2 ? m2 ? 2 2 ? ? m ? =r +m , ? ? ?
QC r + m 3 +1 = = = 3+2 QA r ? m 3 ?1

2

3 解得 m = r 3

所以,

故选 D. 小题, 二、填空题 (共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.已知 a,b,c 为整数,且 a+b=2006,c-a=2005.若 a<b,则 a+b+c 的最大值 为 答:5013. 解:由 a + b = 2006 , c ? a = 2005 ,得 a + b + c = a + 4011 . 因为 a + b = 2006 ,a<b,a 为整数,所以,a 的最大值为 1002. 于是,a+b+c 的最大值为 5013. 7.如图,面积为 a b ? c 的正方形 DEFG 内接于 面积为 1 的正三角形 ABC,其中 a,b,c 为整数, 且 b 不能被任何质数的平方整除,则 等于 . .

A

D

G

a?c 的值 b B E F
(第 7 题图)

C

20 答: ? . 3

解:设正方形 DEFG 的边长为 x,正三角形 ABC 的边长为 m,则 m 2 =

4


3

3 m?x x 2 由△ADG∽△ABC,可得 = , 解得 x = ( 2 3 ? 3) m m 3 m 2
于是

x 2 = (2 3 ? 3) 2 m 2 = 28 3 ? 48 ,

由题意, a = 28 , b = 3 , c = 48 ,所以

a?c 20 =? . b 3

8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发, 沿 A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走, 甲的速度为 50 米/分, 乙的速度为 46 米/分. 那 么出发后经过 答:104. 解:设甲走完 x 条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了 400x 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.

400x =368x 米.于是 368(x-1)+800-400(x-1)>400, 50 400 × 13 所以,12.5≤x<13.5. 故 x=13,此时 t = = 104 . 50
米,乙走了 46× 9.已知 0<a<1,且满足 ?a +

? ?

1? ? 2? 29 ? ? ? + ?a + 30 ? + L + ?a + 30 ? = 18 ,则 [10a ] 的值等 30 ? ? ? ? ?

于 答:6.

.( [x ] 表示不超过 x 的最大整数)

解:因为 0< a +

1 2 29 1? ? 2? ? <a+ <L< a+ < 2 ,所以 ?a + ? , ?a + ? ,…, 30 30 30 30 ? ? 30 ? ?

29 ? ? ?a + 30 ? 等于 0 或 1.由题设知,其中有 18 个等于 1,所以 ? ? 1? ? 2? 11 ? 12 ? ? 13 ? 29 ? ? ? ? ? ?a + 30 ? = ?a + 30 ? = L = ?a + 30 ? =0, ?a + 30 ? = ?a + 30 ? = L = ?a + 30 ? =1, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
所以

11 12 < 1 ,1≤ a + <2. 30 30 19 故 18≤30a<19,于是 6≤10 a< ,所以 [10a ] =6. 3 0<a+
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数

字 8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字 2,成为一个八位 数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位

数的 81 倍,则小明家原来的电话号码是 答:282500.



解:设原来电话号码的六位数为 abcdef ,则经过两次升位后电话号码的八位数为

2a8bcdef .根据题意,有 81× abcdef = 2a8bcdef .
4 3 2 记 x = b × 10 + c × 10 + d × 10 + e × 10 + f ,于是

81 × a × 10 5 + 81 x = 208 × 10 5 + a × 10 6 + x ,
解得 x=1250×(208-71a) . 因为 0≤x< 10 ,所以 0≤1250×(208-71a)< 10 ,故
5 5

128 208 < a≤ . 71 71

因为 a 为整数,所以 a=2.于是 x=1250×(208-71×2)=82500. 所以,小明家原来的电话号码为 282500. 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 解答题( 11.已知 x =

b , a , b 为互质的正整数(即 a , b 是正整数,且它们的最大公约数 a

为 1) ,且 a ≤8, 2 ? 1 < x <

3 ?1 .

(1)试写出一个满足条件的 x; (2)求所有满足条件的 x.

1 满足条件. 2 b (2)因为 x = , a ,为互质的正整数,且 a ≤8,所以 a b 2 ?1 < < 3 ?1, 即 ( 2 ? 1)a < b < ( 3 ? 1)a . a
解: (1) x =

……………5 分

当 a=1 时, ( 2 ? 1) × 1 < b < ( 3 ? 1) × 1 ,这样的正整数 b 不存在. 当 a=2 时, ( 2 ? 1) × 2 < b < ( 3 ? 1) × 2 ,故 b =1,此时 x =

1 . 2 2 当 a=3 时, ( 2 ? 1) × 3 < b < ( 3 ? 1) × 3 ,故 b =2,此时 x = . 3
当 a=4 时, ( 2 ? 1) × 4 < b < ( 3 ? 1) × 4 ,与 a 互质的正整数 b 不存在.

当 a=5 时, ( 2 ? 1) × 5 < b < ( 3 ? 1) × 5 ,故 b =3,此时 x =

3 . 5

当 a=6 时, ( 2 ? 1) × 6 < b < ( 3 ? 1) × 6 ,与 a 互质的正整数 b 不存在.

当 a=7 时, ( 2 ? 1) × 7 < b < ( 3 ? 1) × 7 ,故 b =3,4,5 此时 x = 当 a=8 时, ( 2 ? 1) × 8 < b < ( 3 ? 1) × 8 ,故 b =5,此时 x = 所以,满足条件的所有分数为

3 4 5 , , . 7 7 7

5 8

1 2 3 3 4 5 5 , , , , , , .………………15 分 2 3 5 7 7 7 8

12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式

b 2 + c 2 = 2a 2 + 16a + 14 bc = a 2 ? 4a ? 5
求 a 的取值范围.





解法一:由①-2×②得 (b ? c) 2 = 24( a + 1) > 0 ,所以 a>-1. 当 a>-1 时, b + c = 2a + 16a + 14 = 2( a + 1)( a + 7) > 0 .………………10 分
2 2 2

又当 a = b 时,由①,②得

c 2 = a 2 + 16a + 14 , ac = a 2 ? 4a ? 5





将④两边平方,结合③得 a 2 ( a 2 + 16a + 14) = ( a 2 ? 4a ? 5) 2 化简得

24a 3 + 8a 2 ? 40a ? 25 = 0 , 5 1 ± 21 ,或 a = . 6 4



(6a + 5)(4a 2 ? 2a ? 5) = 0 ,

解得 a = ?

所以,a 的取值范围为 a>-1 且 a ≠ ?
2 2 2

5 1 ± 21 ,a ≠ .………………………15 分 6 4
2

解法二:因为 b + c = 2a + 16a + 14 , bc = a ? 4a ? 5 ,所以

(b + c) 2 = 2a 2 + 16a + 14 + 2(a 2 ? 4a ? 5) = 4a 2 + 8a + 4 = 4(a + 1) 2 ,
所以

b + c = ±2(a + 1) . 又 bc = a 2 ? 4a ? 5 ,所以 b , c 为一元二次方程 x 2 ± 2(a + 1) x + a 2 ? 4a ? 5 = 0


的两个不相等实数根,故 ? = 4( a + 1) 2 ? 4( a 2 ? 4a ? 5) > 0 ,所以 a>-1. 当 a>-1 时, b + c = 2a + 16a + 14 = 2( a + 1)( a + 7) > 0 .………………10 分
2 2 2

另外,当 a = b 时,由⑤式有

a 2 ± 2(a + 1)a + a 2 ? 4a ? 5 = 0 ,



4a 2 ? 2a ? 5 = 0 或 ? 6a ? 5 = 0 ,解得, a =

1 ± 21 5 或a = ? . 4 6

当 a = c 时,同理可得 a = ?

5 1 ± 21 或a = . 6 4 5 1 ± 21 ,a ≠ .………………………15 分 6 4

所以,a 的取值范围为 a>-1 且 a ≠ ?

13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过点 A 作 PB 的平行线,交⊙O 于点 C.连结 PC,交⊙O 于点 E;连结 AE,并延长 AE 交 PB 于 点 K.求证:PE·AC=CE·KB.

P

证明:因为 AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又 PA 是⊙O 的切线, 所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是

K
△KPE∽△KAP, 所以

KP KE = , 即 KA KP
由切割线定理得

KP 2 = KE ? KA .
A

E B O

KB 2 = KE ? KA
…………………………10 分

所以

KP = KB .

因为 AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是

PE KP = CE AC




PE KB = , CE AC
………………………………15 分

C
(第 13 题)

PE·AC=CE·KB.

14.10 个学生参加 n 个课外小组,每一个小组至多 5 个人,每两个学生至少参加某一 个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求 n 的最小值.

解:设 10 个学生为 S1 , S 2 ,…, S 10 ,n 个课外小组 G1 , G2 ,…, G n .
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组, 设这个学生为 S1 ,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它 9 个学生都与他 在同一组出现,于是这一组就有 10 个人了,矛盾. ………………………………5 分

若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 S1 恰好参加 G1 ,G2 ,由题设,对 于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 S1 没有同过组,

矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是 n 个课外小组 G1 ,G 2 ,…,G n 的

人数之和不小于 3×10=30. 另一方面,每一课外小组的人数不超过 5,所以 n 个课外小组 G1 ,G2 ,…,Gn 的 人数不超过 5n, 故 5n≥30,
所以 n≥6. ……………………………10 分

下面构造一个例子说明 n=6 是可以的. G1 = {S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 }, G2 = {S 1 , S 2 , S 6 , S 7 , S 8 } , G3 = {S 1 , S 3 , S 6 , S 9 , S 10 } , G4 = {S 2 , S 4 , S 7 , S 9 , S 10 }, G5 = {S 3 , S 5 , S 7 , S 8 , S 9 }, G6 = {S 4 , S 5 , S 6 , S 8 , S 10 }. 容易验证,这样的 6 个课外小组满足题设条件. 所以,n 的最小值为 6.
……………………………15 分


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