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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第8届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 8 届)
1. 在一次数学竞赛中共有 A、B、C 三道题,25 名参赛者每人至少答对了一题.在所 有没有答对 A 的学生中,答对 B 的人数是答对 C 的人数的两倍,只答对问题 A 的人数 比既答对 A 又至少答对其他一题的人数多 1.又已知在所有恰好答对一题的参赛者中, 有一半没有答对 A.请问有多少学生只答对 B? 2. 三角形 ABC,如果, BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B). 则该三角形为等腰三角形. 3. 求证:从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶 点距离之和. 4. 对任何自然数 n 以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数 x,求证: 1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx. 5. ai (i=1,2,3,4)是互不相同的实数,解方程组(i=1,2,3,4) |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1. 6. 在三角形 ABC 的边 BC、CA、AB 上分别任选三内点 K、L、M,求证三角形 AML、 BKM、CLK 之中至少有一个的面积小于活等于三角形 ABC 的四分之一.


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