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2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题19






正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 三角形面积问题 判定三角形的形状 实际应用题 综合应用 题号 1、2、7、10 4 3、9 6、11 5、8、12

一、选择题 1.(2012 河南郑州质检)已知△ABC,sin A∶sin B∶sin

C=1∶1∶ , 则此三角形的最大内角的度数是( B ) (A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶ ,且 c 最大. 设 a=k,b=k,c= k(k>0), 由余弦定理得,cos C= =0,

又 0° <C<180° ,所以 C=90° .故选 B. 2.(2012 唐山模拟)在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60° ,则此三角形的 解的情况是( C )

(A)有一解

(B)有两解

(C)无解 (D)有解但解的个数不确定 解析:由正弦定理得 = ,

∴sin B=

=

= >1.

∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选 C. 3.(2012 湖南十校联考)若 (A)等边三角形 (B)直角三角形,且有一个角是 30° (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形,且有一个角是 30° 解析:在△ABC 中,将 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入 得 = = ,所以 = =1.所以 tan B=tan C=1, = = = = ,则△ABC 是( C )

所以 B=C=45° .所以△ABC 是等腰直角三角形.故选 C. 4.(2012 天津模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、 c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= ,则 S△ABC 等于( C ) (A) (B) (C) (D)2

解析:∵A、B、C 成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60° . 又 a=1,b= ,



=

, = × =,

∴sin A=

∴A=30° ,∴C=90° . ∴S△ABC= ×1× = .故选 C. 5.(2012 年高考陕西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, 若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为( C ) (A) (B) (C) (D)-

解析:由余弦定理,知 cos C= = = ≥ =,

当且仅当 a=b 时, cos C 取得最小值 .故选 C. 6. 如图所示,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D 处,已知△ ABD 为边长等于 a 的正三角形,当目标出现于 C 处时,测得∠BDC=45° , ∠CBD=75° ,则炮击目标的距离 AC 为( D )

(A)2 a (B) a

(C) a

(D)

a

解析:在△BCD 中,由正弦定理得

=

,

所以 BC= a.在△ABC 中,由余弦定理得: AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC, 所以 AC= a, a.故选 D.

即炮击目标的距离 AC 为 二、填空题

7.(2012 年 高 考北京 卷 )在 △ABC 中, 若 a=2,b+c=7,cos B=- , 则 b= .

解析:在△ABC 中,由 b2=a2+c2-2accos B 及 b+c=7 知, b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)× 整理得 15b-60=0,∴b=4. 答案:4 8.(2012 安徽淮南质检)在△ABC 中,设角 A、 B、C 的对边分别为 a、 b、 c,若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且 a⊥b,则 B= 解析:由 a⊥b,得 a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, . .

因为 sin A≠0,故 cos B= ,因此 B= . 答案: 9.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为 解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A 得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0 或 sin A=sin B. ∵0<A、B<π,∴A= 或 A=B, ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 答案:等腰或直角三角形 三、解答题 10.(2012 年高考大纲全国卷)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求 C. 解:由 B=π-(A+C),得 cos B=-cos(A+C). 于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)= 2sin Asin C, 由已知得 sin Asin C= .① 由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C.② 由①②得 sin2C= , .

于是 sin C=- (舍去),或 sin C= . 又 a=2c,所以 C= . 11. (2013 银川质检)在某海域,以点 E 为中心的 7 海里以内海域是危 险区域,点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀 速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45° 且与点 A 相距 40 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45° +θ (其中 cos θ= ,0° <θ<90° )且与点 A 相距 10 海里的位置 C.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并 说明理由. 解:(1)由题知 AB=40 ,AC=10 ∠BAC=θ,0° <θ<90° ,cos θ= , ,

由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos θ, 得 BC= 所以船的行驶速度为 =10 , =15 (海里/小时).

(2)如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.

在△ABC 中,由余弦定理得, cos B= = = ,

从而 sin B=

=

= ,

在△ABQ 中,由正弦定理得, AQ= = =40,

所以 AE=55>40=AQ,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,在 Rt△QPE 中, PE=QE· sin∠PQE=QE· sin∠AQC =QE· sin(45° -B) =15× =3 <7. 所以船会进入危险水域.

12.已知 A、B 是直线 y=0 与函数 f(x)=2cos2 +cos 象的两个相邻交点,且 AB= . (1)求ω的值;

-1(ω>0)图

(2)在锐角△ABC 中,a、 c 分别是角 A、 C 的对边,若 f(A)=- ,c=3, b、 B、 △ABC 的面积为 3 ,求 a 的值. 解:(1)f(x)=cos ωx+ cos ωx- sin ωx = cos ωx- sin ωx =- sin ,

由函数的图象及 AB= , 得到函数的周期 T= =2× , 解得ω=2. (2)∵f(A)=- sin ∴sin = . =- ,

又∵△ABC 是锐角三角形, ∴- <2A- < , ∴2A- = ,

即 A= , 由 S△ABC= bcsin A= × =3 ,得 b=4, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=42+32-2×4×3× =13, ∴a= .


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