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2014全国中学生物理竞赛初赛模拟试题2【


2014 全国中学生物理竞赛预赛模拟试卷 2
一、选择题.本题共 5 小题,每小题 6 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项 是正确的, 有的小题有多项是正确的. 把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号 内.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分. 1.如图 1 所示电路, 电阻 R 和线圈自感系数 L 的值都很大,

线圈的直流电阻很小可忽略不 计, A、B 是两只相同的灯泡, 且不会被烧毁, 则下列判断正确的是 ( A. 开关 S 闭合时, 两灯同时亮, 随后 B 灯熄灭 B. 开关 S 闭合时, 两灯同时亮, 以后都不会熄灭 C. 开关 S 断开时, 两灯同时熄灭 D. 开关 S 断开时, B 灯先熄灭, A 灯稍后再熄灭
R S 图1 L A

)
B

2. 石块 M 自塔顶自由落下 m 米时, 石块 N 自塔顶 n 米处自由落下, 两石块同时到达地面, 则塔高为( ) (A)m+n, (B)(m+n)2/(n-m), (C)m2/4(m+n),(D)(m+n)2/4m. 3.如图所示,光滑平行金属导轨水平放置在均匀磁场中,磁场方向与导轨平面垂直。质量 为 m,电阻为 R 的金属棒静止在导轨上。导轨的一端经电键与带有等量异号电荷(电量均 为 Q)的平行导体板连接。开始时电键 S 处于打开状态,当闭合电键时,发现导体棒开始运 动。已知两导体板之间的电势差与导体板所带电量成正比。下列说法中正确的是( ) A.导体板上的电荷逐渐减少,最后变为零 B.导体棒中的电流逐渐减小,最后变为零 C.导体棒的速度先增大,后减小,最后变为零
+Q -Q S ? ? ? ? ? ? ?B ?

D. 导体棒的速度达到最大时, 导体板上的电荷为零 R1 R2 4.在图示电路中,R1=100 ?,R2=200 ?,R3=80 ?,C=20 ?F,电源 电动势为 12 V, 电源内阻不计, 闭合电键后, 若要使电容器带电量为 4?10 C -5 R3 R4 C,则 R4 的阻值应为 ( ) (A)40 ?, (B)80 ?, (C)160 ?, (D)400 ?。 5.有一种关于行星带形成的假说,起源于太阳神赫利奥斯儿子法艾东被 宇宙神(尤必特尔)战败。按照这个假说,一群大石块(法艾东行星应 该由这些大石块形成的)太靠经木星(尤必特尔神),受到木星引力场影响,群石块被瓦解 成单个大石块——小行星。 据估算石群的半径大约为 104km, 其质量 (所有小行星质量之和) 为木星质量的

1 。要使石群开始瓦解,它应该离木星中心距离( 10 6

)远。(宙斯是希腊

神话中最高的神,相当于罗马神话中尤必特尔——木星)。 A. 6.3 ? 105 km B. 7.9 ? 105 km C. 1.0 ? 106 km D.1.26 ? 106 km 二、 填空题和作图题. 把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方. 只要给出结果, 不需写出求得结果的过程. 6.(10 分)离子推进器是新一代航天动力装置,可用 于卫星姿态控制和轨道修正。推进剂从图中 P 处注入, 在 A 处电离出正离子,BC 间加有恒定电压,正离子进
P A B C D

第 1 页 共 10 页

入 B 时速度忽略不计, 经加速后形成电流为 I 的离子束后喷出。 已知推进器获得的推力为 F, 单位时间内喷出的离子质量为 J。为研究问题方便,假定离子推进器在太空中飞行时不受其 他外力,忽略推进器运动速度,则加在 BC 间的电压 U=______________。 7.(10 分两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置,如图所示.已知 L1 的 焦距 f1=f , L2 的焦距 f2=—f,两透镜间距离也是 f.小物体位于物 面 P 上,物距 u1 =3f. (1)小物体经这两个透镜所成的像在 L2 的__________边,到 L2 的距离为_________,是__________倍(虚或实)、____________ 像(正或倒),放大率为_________________。 (2) 现在把两透镜位置调换, 若还要给定的原物体在原像处成像, 两 透 镜 作 为 整 体 应 沿 光 轴 向 ____________ 边 移 动 距 离 _______________.这个新的像是____________像(虚或实)、______________像(正或倒) 放大率为________________。 8. (10 分)一根质量为 m 且质量均匀分布的弹簧,放在光滑水平面上, 在其一端作用一水平力 F 使其平动时,长度为 L。将此弹簧一端悬挂在 天花板上平衡时,弹簧长度小于 L。此时若在弹簧下端应挂质量 m’= _____________的重物,平衡后可使弹簧的长度等于 L。 9.(10 分)如图所示,两个可导热的气缸竖直放置,它们的底部是 由细管连通(忽略细管的容积)。两气缸各有一个活塞,质量分别为 m1 和 m2,(已知 m1=3m,m2=2m)。活塞与气缸无摩擦。活塞的下 方为理想气体,上方为真空。当气体处于平衡状态时,两活塞位于同 一高度 h,在两活塞上面各放一个质量为 m 的物块,气体再次达到平 衡后两活塞的高度差为(环境温度保持不变)____________。在达到上一问的终态后,环境 温度由 T0 缓慢升高到 T,在这个过程中,气体对活塞做功为____________(假定在气体状 态变化过程中,两物块均不会碰到气缸顶部)。 A M B 10、(10 分)如图,直杆 AB 在半径为 r 的固定圆环上以垂直于杆的速 ? 度 v 作平动,当杆 AB 运动至图示位置时,杆与环的交点 M 的运动速度 O v 大小为________,加速度大小为_______。 三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分.有数值计算的.答案中必须明确写出数值 和单位. 11.(20 分)如图所示,质量为 3m 的足 够长木板 C 静止在光滑水平面上,质量均 为 m 的两个小物块 A 、 B 放在 C 的左端, A 、 B 间相距 s0,现同时对 A 、 B 施加 水平向右的瞬时冲量而使之分别获得初速度 v0 和 2v0,若 A 、 B 与 C 之间的动摩擦因数分 别为 μ 和 2μ ,则 (1)最终 A 、 B 、 C 的共同速度为多大? (2)当 A 与 C 刚相对静止时 B 的速度为多大? (3) A 与 B 最终相距多远? (4)整个过程中 A 、 B 与木板 C 因摩擦所产生的热量之比为多大?

m1 A

m2 B h0

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12.(18 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中 的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于氢原子的理论可 用于电子偶素,电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件. 即 式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,…;h 为普朗克常量.试求电子偶素

处在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差.

13.(20 分)如图所示,在区域足够大的空间中充满磁感应强度大小为 B 的匀强磁场,其方 向垂直于纸面向里.在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为 L 的等边三角形框架 DEF, , DE 中点 S 处有一粒子发射源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于 DE 边向下,如图 (a)所示.发射粒子的电量为+q,质量为 m,但速度 v 有各种不同的数值.若这些粒子与三角 形框架碰撞时均无能量损失,且每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试求: (1)带电粒子的速度 v 为多大时,能够打到 E 点? (2)为使 S 点发出的粒子最终又回到 S 点,且运动时间最短,v 应为多大?最短时间为多 少? (3)若磁场是半径为 a 的圆柱形区域,如图(b)所示(图中圆为其横截面),圆柱的轴线通 过等边三角形的中心 O,且 a= ( 子速度 v 的大小应取哪些数值?

3 1 ? ) L.要使 S 点发出的粒子最终又回到 S 点,带电粒 3 10

F

B a

F

D

S

E L

O D v

S L

E

v

(a)

(b)

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14. (20 分)如图预 16-3 所示,两个截面相同的圆柱形容器,右边容器高为 H ,上端封闭, 左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连 通,容器、活塞和细管都是绝热的。开始时,阀门关闭,左边容器中装有热力学温度为 T0 的 单原子理想气体,平衡时活塞到容器底的距离为 H ,右边容器内为真空。现将阀门缓慢打 开, 活塞便缓慢下降, 直至系统达到平衡。 求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。 提示:一摩尔单原子理想气体的内能为 力学温度。

3 RT ,其中 R 为摩尔气体常量, T 为气体的热 2

15.(20 分)如图预 18-5 所示,一质量为 M 、长 为 L 带薄挡板 P 的木板,静止在水平的地面上,设木 板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等,皆为 ? .质量为 m 的人从木板的一端由静止开始相对于地 面匀加速地向前走向另一端,到达另一端时便骤然抓 住挡板 P 而停在木板上.已知人与木板间的静摩擦系 数足够大,人在木板上不滑动.问:在什么条件下, 最后可使木板向前方移动的距离达到最大?其值等于多少?

16.(20 分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的金属细圆柱(其半径 比 a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一 质量为 m,电阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细 轴 O 上,另一端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动,棒与圆环的摩擦系数为?.圆环处于磁感应 强度大小为 B ? Kr 、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到轴 线的距离.金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接.不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦,也不计 细圆柱、 圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场. 问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力 作用于棒的 A 端才能使棒以角速度? 匀速转动. 注: ?x ? Δx? ? x 3 ? 3x 2 Δx ? 3x?Δx? ? ?Δx?
3 2 3

第 4 页 共 10 页

2014 全国中学生物理竞赛预赛模拟试卷 2 参考解答与评分标准
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一、选择题.(共 35 分) 答案: 1.A 2. D 3.B 4.BD 5.D 评分标准: 每小题 7 分.在每小题给出的 4 个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多 项是正确的.全部选对的得 7 分.选对但不全的得 3 分,有选错或不答的得 0 分. 二、填空题和作图题.共 32 分,每小题 8 分.按各小题的答案和评分标准给分. F2 6.答案与评分标准:U= (8 分) 2JI
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7.答案与评分标准:(1)22 F-mg 8.答案: 2g

(2)4

(3) arcsin

3 4

(8 分)

T 9.答案与评分标准:5h/4,5mgh( -1), T0 10、8 v/sin ?,v2/sin3 ?。 11.参考解答: (1)由于 A 、 B 、 C 三个物体构成的系统在水平方向不受外力,所以由动量守恒定律可 得 (2 分) mv0 ? 2mv0 ? 5mv
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(1 分) v ? 0.6v0 (2)设经 t 时间 A 与 C 恰好相对静止,共同速度为 v AC ,此时 B 的速度为 v B ,由 mv0 ? 2mv0 ? 4mvAC ? mvB (1 分) ? ?mgt ? m?v AC ? v0 ? (1 分) (2 分) ( ?mg ? 2?mg )t ? 3mvAC (1 分)可解得: v AC ? 0.5v0 vB ? v0 于是可解得:最终 A 、 B 、 C 的共同速度为

2 ?mg ?mg ? 2 ?mg ? 2 ?g , aC ? ? ?g (1 分) m m 3m A 、 B 做匀减速运动, C 做匀加速运动;在 A 与 C 相对静止后,三个物体的加速度大 2?mg 1 ? ? ?g 小又分别为 a ? (1 分) a? A ? aC ? B ? a B ? 2?g m ? 3m 2 A 、 C 做匀加速运动, B 做匀减速运动,最终三个物体以共同速度匀速运动。 在开始运动到三个物体均相对静止的过程中 A 、 B 相对于地面的位移分别为 2 2 v 2 ? v AC v 2 ? v AC v2 ?2v0 ?2 ? v 2 v2 sA ? 0 ? ? 0.485 0 (1 分) s B ? ? 0.91 0 (1 分) 2a A 2a? ?g 2a B ?g A aA ? ? ?g , a B ?
2 v0 (1 分) ?g (4)设整个运动过程 A 相对于 C 滑行距离为 s ,则 B 相对于 C 滑行的距离为

(3)在 A 与 C 相对静止前,三个物体的加速度大小分别为

?mg

所以, A 与 B 最终相距

?s ? s0 ? s B ? s A ? s0 ? 0.425

s ? ?s ? s0 ,

第 5 页 共 10 页

于是有

?mgs ? 2?mg ?s ? ?s ? s0 ? ?
(1 分)

1 2 1 1 2 mv 0 ? m?2v0 ? ? ?m ? m ? 3m ?v 2 2 2 2 (1

QA ? ?mgs

QB ? 2?mg?s ? ?s ? s0 ?

(1 分)

s ? 0.25

解得: ( 12.参考解答:

QA 5 ? ?g )整个过程中 A 、 B 与木板 C 因摩擦所产生的热量之比为 QB 27 (2 v

2 0

正、负电子绕它们连线的中点作半径为 的圆周运动,电子的电荷量为 e,正、负电子间的

库仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即

(1)

正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有

(2)

正、负电子间相互作用的势能

(3)电子偶素的总能量 E=Ek++Ek-+Ep (4)

由(1)、(2)、(3)、(4)各式得

(5)

根据量子化条件

,n=1,2,3,…

(6)

(6)式表明,r 与量子数 n 有关.由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为

n=1,2,3,…

(7)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为

n=1, 2, 3, …

(8)

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态.基态的能量为

(9)

n=2 是第一激发态,与基态的能量差

(10)

13.(1)从 S 点发射的粒子将在洛仑兹力作用下做圆周运动,即 qvB ?

m v2 ① R

因粒子圆

周运动的圆心在 DE 上,每经过半个园周打到 DE 上一次,所以粒子要打到 E 点应满足:

第 6 页 共 10 页

1 L ? n ? 2 R, ? n ? 1,2,3? 2

?



qBL , ? n ? 1,2,3? ? (2) 由题意知, S 点发射的粒 4 nm SE L 1 ? , (n ? 1,2,3?) 子最终又回到 S 点的条件是 R ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2?R 2?m 在磁场中粒子做圆周运动的周期 T ? ,与粒子速度无关 ,所以 , 粒子圆周 ? v qB mv L 运动的次数最少(n=1)时,运动的时间最短,这时: R ? ? 时时间最短 qB 2 5 粒子以三角形的三个顶点为圆心运动,每次碰撞所需时间: t1 ? T 6 5 5?m 经过三次碰撞回到 S 点,粒子运动的最短时间 t ? 3t1 ? T ? 2 qB L 1 L ? (3)设 E 点到磁场区域边界的距离为 L ? ,由题设条件知 L ? ? a ? 0 2 cos 30 10
由①②得打到 E 点的速度为 v ?

S 点发射的粒子要回到 S 点就必须在磁场区域内运动,即满足条件:

L 10 L SE L 1 ? , (n ? 1,2,3?) , 当 n ? 1 时, R ? 又知 R ? 2 2n ? 1 2 2n ? 1 L L L 当 n ? 2 时, R ? 当 n ? 3 时, R ? 当 n ? 4 时, R ? 6 10 14 mv L 1 mv ? 所以,当 n ? 3,4,5? 时,满足题意.由于 R ? ,代入上式得 qB 2 2n ? 1 qB qBL , ( n ? 3,4,5? ) 解得速度的值: v ? 2(2n ? 1)m
R ? L ? ,即 R ?
14.参考解答:设容器的截面积为 A ,封闭在容器中的气体为? 摩尔,阀门打开前,气 体的压强为 p0 。由理想气体状态方程有

p0 AH ? ? RT0

(1)

打开阀门后,气体通过细管进入右边容器,活塞缓慢向下移动,气体作用于活塞的压强 仍为 p0 。活塞对气体的压强也是 p0 。设达到平衡时活塞的高度为 x ,气体的温度为 T ,则 有

p0 ( H ? x) A ? ? RT
根据热力学第一定律,活塞对气体所做的功等于气体内能的增量,即

(2)

第 7 页 共 10 页

3 p0 (H ? x) A ? ? R(T ? T0 ) 2
由(1)、(2)、(3)式解得

(3)

2 x? H 5 7 T ? T0 5
15.参考解答:参考解答

(4) (5)

在人从木板的一端向另一端运动的过程中,先讨论木板发生向后运动的情形,以 t 表示 人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间,设以 x1 表示木板向后移动的 距离,如图预解 18-5 所示.以 f 表示人与木板间的静摩擦力,以 F 表示地面作用于木板的 摩擦力,以 a1 和 a2 分别表示人和木板的加速度,则

f ? m1 a

(1) (2) (3) (4)

1 L ? x1 ? a1t 2 2
f ? F ? Ma2

1 x1 ? a2t 2 2
解以上四式,得

t?

2 LMm Mf ? m( f ? F )

(5)

对人和木板组成的系统, 人在木板另一端骤然停下后, 两者的总动量等于从开始到此时 地面的摩擦力 F 的冲量,忽略人骤然停下那段极短的时间,则有

Ft ? ( M ? m)v

(6)

设人在木板另一端停下后两者一起向前 v 为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度. 移动的距离为 x2 ,地面的滑动摩擦系数为 ? ,则有

1 (M ? m)v2 ? ? (M ? m) gx2 2
木板向前移动的净距离为

(7)

X ? x2 ? x1

(8)

第 8 页 共 10 页

由以上各式得

X?

? ? ? 1 ? F ? ? LMm Lm ? ? ( f ? F)? ? ? ? ? ? g ? M ? m ? ? (M ? m)( f ? F ) ? MF ? ? Mf ? m( f ? F ) ?

2

由此式可知,欲使木板向前移动的距离 X 为最大,应有

f ?F


(9) (10)

f ? Fmax ? ? (M ? m) g

即木板向前移动的距离为最大的条件是: 人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑 动摩擦力. 移动的最大距离

X max ?

m L M ?m

(11)

由上可见,在设木板发生向后运动,即 f ? F 的情况下, f ? F 时, X 有极大值,也就是 说,在时间0~ t 内,木板刚刚不动的条件下 X 有极大值. 再来讨论木板不动即 f ? F 的情况,那时,因为 f ? F ,所以人积累的动能和碰后的总 动能都将变小,从而前进的距离 x 也变小,即小于上述的 X max 。 评分标准:本题25分 (1)、(2)、(3)、(4)式各1分;(6)式5分;(7)式2分;(8)式3分;(9)式2 分;(10)式3分;(11)式5分;说明 f ? F 时木板向前移动的距离小于 f ? F 时的给1分。 16.参考解答: 将整个导体棒分割成 n 个小线元, 小线元端点到轴线的距离分别为 r0(=0), r1, r2, ……, ri-1, ri,……,rn-1,rn(= a),第 i 个线元的长度为 Δri ? ri ? ri ?1 ,当 Δri 很小时,可以认为该线元
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上 各 点 的 速 度 都 为 vi ? ?ri , 该 线 元 因 切 割 磁 感 应 线 而 产 生 的 电 动 势 为
2 ΔE i ? Bvi Δri ? Kr i? ri Δri ? K? ri Δri (1)

整个棒上的电动势为 E ?
3

?
i ?1

n

ΔE i ? K?
2

? r Δr
2 i i ?1

n

i

(2)

由 ?r ? Δr ? ? r 3 ? 3r 2 Δr ? 3r ?Δr ? ? ?Δr ? ,
3

略去高阶小量(Δr)2 及(Δr)3,可得 r ?r ?
2

1 [( r ? ?r ) 3 ? r 3 ] 3

代入(2)式,得

E ?

n 1 1 1 K? (ri3 ? ri3 K?[( r13 ? r03 ) ? (r23 ? r13 ) ? ?? ? (rn3 ? rn3?1 )] ? K?a 3 (3) ?1 ) ? 3 3 3 i ?1

?

E K ?a 3 ? (4) R 3R 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反.
由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为 I ?

第 9 页 共 10 页

第 i 个线元 ?ri 受到的安培力为 Δf Ai ? BIΔri ? Kri IΔri (5) 作用于该线元的安培力对轴线的力矩 ΔM i ? Δf Ai ? ri ? KIri2Δri 作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为

M?
即M ?

?
i ?1

n

ΔM i ? KI

?
i ?1

n

ri2 Δri ?

n 1 1 KI (ri3 ? ri3 KIa 3 ?1 ) ? 3 3 i ?1

?

K 2 ωa 6 1 1 (6)因棒 A 端对导体圆环的正压力为 mg,所以摩擦力为 ?mg ,对轴的 9R 2 2 1 摩擦力矩为 M ? ? ?mga (7)其方向与安培力矩相同, 均为阻力矩. 为使棒在水平面内作匀 2 角速转动,要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施加垂直 于棒的外力为 f,则有 fa ? M ? M ? (8)
由(6)、(7)、(8)式得 f ?

K 2 ωa 5 1 ? μmg (9) 9R 2

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