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2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-2


第2讲

两条直线的位置关系
基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 解析 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 ( )

3 3 由题意知,直线 l 的斜

率是-2,因此直线 l 的方程为 y-2=-2(x+1),

即 3x+2y-1=0. 答案 A

2.(2014· 济南模拟)已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行, 则 a= A.-1 C.0 或-2 解析 B.2 D.-1 或 2 ( )

若 a=0, 两直线方程分别为-x+2y+1=0 和 x=-3, 此时两直线相交,

a-1 2 1 不平行,所以 a≠0;当 a≠0 时,两直线若平行,则有 1 =a≠3,解得 a= -1 或 2. 答案 D )

3.两直线 3x+y-3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为 ( A.4 5 C.26 13 解析 7 20 10. 2 B.13 13 7 D.20 10

|1-?-6?| 把 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0, 则两平行线间的距离 d= = 62+22

答案

D

1 4.(2015· 南昌调研)当 0<k<2时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交 点在 A.第一象限 C.第三象限 解析 B.第二象限 D.第四象限 ( )

?kx-y=k-1, 2k-1? ? k , ?,因为 解方程组? 得两直线的交点坐标为 ? ?k-1 k-1 ? ?ky-x=2k

2k-1 1 k 0<k<2,所以 <0, >0,故交点在第二象限. k-1 k-1 答案 B )

5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点 ( A.(0,4) C.(-2,4) 解析 B.(0,2) D.(4,-2)

直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直

线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 经过定点(0,2). 答案 B

二、填空题 6.已知直线 l1:ax+3y-1=0 与直线 l2:2x+(a-1)y+1=0 垂直,则实数 a= ________. 解析 由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0,

3 解得 a=5. 答案 3 5

7. 若三条直线 y=2x, x+y=3, mx+2y+5=0 相交于同一点, 则 m 的值为________. 解析 ?y=2x, ?x=1, 由? 得? ?x+y=3, ?y=2.

∴点(1,2)满足方程 mx+2y+5=0, 即 m×1+2×2+5=0,∴m=-9. 答案 -9

8.(2015· 秦皇岛检测)已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离, 则直线 l 的方程为________. 解析 显然直线 l 斜率不存在时,不满足题意;设所求直线方程为 y-4=k(x

-3),即 kx-y+4-3k=0, 由已知,得 |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| = , 1+k2 1+k2

2 ∴k=2 或 k=-3. ∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 答案 2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0

三、解答题 9.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1)l1 与 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2 重合. 解 (1)由已知 1×3≠m(m-2),

即 m2-2m-3≠0,解得 m≠-1 且 m≠3. 故当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交. 1 (2)当 1· (m-2)+m· 3=0,即 m=2时,l1⊥l2. (3)当 1×3=m(m-2)且 1×2m≠6×(m-2)或 m×2m≠3×6,即 m=-1 时,l1 ∥l2. (4)当 1×3=m(m-2)且 1×2m=6×(m-2), 即 m=3 时,l1 与 l2 重合. 10.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 解 依题意知:kAC=-2,A(5,1),

∴lAC 为 2x+y-11=0, ?2x+y-11=0, 联立 lAC,lCM 得? ∴C(4,3). ?2x-y-5=0, ?x0+5 y0+1? 设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为? , 2 ?, ? 2 ? 代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0,

?2x0-y0-1=0, ∴? ∴B(-1,-3), ?x0-2y0-5=0, 6 6 ∴kBC=5,∴直线 BC 的方程为 y-3=5(x-4), 即 6x-5y-9=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.(2014· 西安一模)若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是 ( A.2 C.4 解析 B.2 2 D.2 3 因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以 4m+3n-10=0. )

欲求 m2+n2 的最小值可先求 ?m-0?2+?n-0?2的最小值, 而 ?m-0?2+?n-0?2 表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直 线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n)的距离最小为 2. 所以 m2+n2 的最小值为 4. 答案 C

12.如图所示,已知两点 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后 再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程 是 ( )

A.2 10 C.3 3 解析

B.6 D.2 5

易得 AB 所在的直线方程为 x+y=4, 由于点 P 关于直线 AB 对称的点为

A1(4,2),点 P 关于 y 轴对称的点为 A2(-2,0),则光线所经过的路程即 A1(4,2) 与 A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|= ?4+2?2+?2-0?2=2 10. 答案 A

13.(2014· 四川卷)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|· |PB|的最大值是________. 解析 易知 A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直,

即△APB 为直角三角形, ∴|PA|· |PB|≤ 答案 5 |PA|2+|PB|2 |AB|2 10 = 2 = 2 =5. 2

14.已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0, 7 5 且 l1 与 l2 间的距离是 10 . (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; 1 ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的2; ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能,求点 P 的坐标;若 不能,说明理由. ? ? 1?? ?a-?-2?? ? ? ?? 1 (1)直线 l2: 2x-y-2=0, 所以两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d= 2 2 +?-1?2



7 5 = 10 , 1? ? ?a+2? 1? 7 ? ? 7 5 ? 所以 = 10 ,即?a+2?=2, ? ? 5 又 a>0,解得 a=3. (2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0).若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1,l2 平行 ? 1? c+ ? |c-3| 1? ? 2? 13 11 的直线 l′:2x-y+c=0 上,且 =2 ,即 c= 2 或 6 , 5 5 13 11 所以 2x0-y0+ 2 =0 或 2x0-y0+ 6 =0; 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有 |2x0-y0+3| 2|x0+y0-1| = , 5 5 2

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0; 由于点 P 在第一象限,所以 3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ 2 =0 和 x0-2y0+4=0, x =-3, ? ? 0 解得? 1 y0=2; ? ?

(舍去)

11 联立方程 2x0-y0+ 6 =0 和 x0-2y0+4=0, 1 ? ?x0=9, 解得? 37 y = 0 ? ? 18. ?1 37? 所以存在点 P?9,18?同时满足三个条件. ? ?


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