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中学数学教学参考2011年第08期


壤  

夺   警. \ V W W . Z i  ̄  ̄ r q g S h U C Q n . C  ̄ G !  
他过程 例如物 理学 过程 区分 开来 . 所 以这 个 新定 义 是  个无 法深入 的尝 试 , 于是 在 2 0 0 2年 的 大纲 ( 高 中)  


嚣嚣  中 学 缸 学 教 学 参 考  
1 9 9 6年 , 高 中数 学 教 学 大 纲 才 认 同义 务 教 育 大纲 关 

和 2 0 0 3年 的课 程 标 准 ( 高中) 中又 回归 于 1 9 6 3年 的 
定义.  

I . 2 数 学 的特 点 

最 先表 述 的 数 学 的 特 点 是 : 广 泛 的应用 性. 在 

1 9 5 1年就 指 出了数学 对 于学 习其 他学 科 和 人 的 思维  发 展有用 , 1 9 5 2 年 指 出在 社 会 主义 建 设 中 的应 用 . 随  后 每一个 课 程 文 件 都 强 调 了数 学 的应 用 性 , 在 1 9 6 3   年 指出数 学的应 用非 常广 泛 , 从 此“ 应用 广 泛” 就成 为  数学 的一个 主要 特点 的专 门表述 用 语. 数学 是 在什 么 
意 义上得 到 应 用 的 呢 ?1 9 9 2年 的 大 纲 指 出 : 数 学 的 

于数 学 的教育 价值 的提 法 , 此 后对 数 学 的教 育价 值 的  认识 得 到不断 地 强 化 和 发 展 , 在 2 0 0 3年 的 课 程 标 准  中达 到 了一 个 新 的 高 度—— 数 学 素 质是 公 民所 必须  具备 的一 种基 本素 质.   文化 价值 . 1 9 5 2年 的大 纲 指 出 了 数 学 具 有 巨大  的文 化史 价值 , 或者 说具 有历史 文 化 价值 , 2 0世 纪 5 O   年代 的大纲 一 再 重 述 这 一 点. 6 O年 代 大 纲 着 重 强 调 
工具价 值 , 不再 提数 学 的 文化 价 值. 1 9 7 8年 的 大纲 指 

出数学 具有 基 础知识 的意 义 , 也 就 是说 数 学具 有 知识 
价值 , 1 9 8 0年 、 1 9 8 2年 的大 纲 重述 这 一 点 , 可 以算 做  文 化价 值 的某 一 个 方 面. 1 9 9 2年 的 义 务 教 育 大 纲 指  出: 数学 “ 成 为 现代 文 化 的 重 要组 成部 分 ” . 回归 特 别  是 强调 了数学 的文化价 值 , 为 以后 的课 程文 件所 肯 定  并 逐渐 得到深 化 .  

内容 、 思想 、 方法 和 语 言 已 广泛 渗 入 自然 科 学 和 社 会  科学 , 成为现 代文 化 的重 要 组成 部分 ; 2 0 0 0年 的大 纲  指出: 数学能 够 处 理数 据 、 观 测 资料 , 进 行 计算 、 推 理  和证 明 , 可提 供 自然 现象 、 社 会 系统 的数 学模 型 ; 2 0 0 3   年的课 标指 出 : 数学 是刻 画 自然规 律 和社 会 规律 的科  学语 言和有效 工具. 这三 者实 际上 隐 含 了现 代数 学应  用 达到 的程度 : 数 学 语 言 成 为科 学 的表 述 语 言 , 数学  能 为其他 科学 提供研 究示 范和 思 维模 型 , 数学 方 法特  别是 计算方 法成 为与 实验方 法 、 理论 方 法 并重 的具 有  普遍 意 义的第 三种科 学方 法. 应 该 说课 程 文件 很早 就  表述 了数学 的广 泛应 用性 的特 点 , 而且 对 这一 特点 的  表述 越来越 精确 并且 有与 时俱进 的发 展.   1 9 6 0年第 一次 指 出数 学是 一 门系 统性 较 强 的学  科, 这 是课程 文件 中对 数学 的体 系严 谨性 特 点 的唯 一  的直接 表述 ( 1 9 5 2年 的大 纲指 出 了“ 中学 数 学 是 ……  个有 系统 的课程 ” , 侧重 于课 程 的 系统 性 , 不是 对 数  学 科学 的体 系严谨 性 的直 接 表 述 ) . 对 人 们认 为 的 数 


2 对数学教 育的认识 
对数 学教 育 的认 识 与 对 数 学 价 值 的 认 识 是 完全  致 的: 正 是 为 了 实 现 数 学 的 价 值 才 进 行 数 学 教 



育 的.  

从 课 程文件 的文 本 中可 以清 楚 地 看 出 对数 学 教  育 由相 对模 糊 的 知识 教 育 、 文化 教 育 、 人 文教 育 逐 渐  向严谨 的工 具教 育 、 技 术教 育 的转 化 . 这种转化在 2 O   世纪 8 O年 代 达 到 了一 个 高点 . 1 9 7 8年大 纲 的“ 教 学  目的” 中指 出 : 使 学 生 切 实 学好 参 加 社 会 主义 革 命 和  建设, 以及 学 习 现代 科 学 技 术 所 必 需 的 数 学 基 础 知 
识. 1 9 8 6年 大纲 调整 为“ 切 实 学好 从 事 现代 化 生 产 和 

学 的最 主要 的特 点 —— 高 度 的 抽 象 性—— 没 有 进 行  直 接表述 . 这两 点都 是通 过数学 的广泛 应 用得 到 的 间 
接 的反映.   1 . 3 数学 的价值 

工 具价 值. 从 1 9 5 1年 的 数 学 课 程 标 准 就 开 始 强 

调数学 的工 具价值 . 在 历来 的课 程文 件 中这 一点 得 到  越 来越 多的 强调 , 1 9 6 0年 明确 指 出 : 数学 是 掌 握 文 化 
科学 知识 和科学 技术 的基 本工 具. 工具 价 值成 为 数 学  学科 唯 一 的 价 值 取 向 , 在 此之后 直 到 1 9 8 8年 除 了  1 9 7 8年的大 纲提 出 了数 学 的知识 价值 ( 1 9 8 0年 、 1 9 8 2   年保 持 ) 外, 课 程 文件 中指 出 的数 学 的价 值 就 是 唯一  的工具 价值 . 此后 数学 的工 具价 值也 一 直是 课 程 文件  中指 出的数学 最重 要 的价值 .   教 育价值 . 1 9 5 1年 的课 程 标 准 中指 出 了 数 学 具 

进 ~步学 习现 代 科 学所 必需 的数 学 基 础 知 识 ” , 工 具  教育 、 技术 教 育 的观 点达 到最 高 峰. 以1 9 8 8年义 务 教  育大 纲为 契机数 学教 育 的文化 教 育 、 人文 教 育性 质 又  提上 了 日程 , 并且在与工具教育、 技 术 教 育并 存 的过  程 中逐 渐得 到加 强 和 深 化 , 其表述为 : 切 实掌 握 现 代  社 会 中每一 个公 民适应 日常生 活 、 参加 生产 和进一 步  学 习所 必需 的代 数 、 几 何 的基 础 知 识 和基 本 技 能 , 包  括 直观 的空 间 图形 和 统 计 的初 步 知识 . 经过 2 O世 纪  9 O年 代 的交互 发展 , 在 2 0 0 3年 的课 程标 准 中达 到 了   如 下的 比较先 进 的人 文 教育 和 工 具 教 育 相 统 一 的 认  识: 数 学教 育作 为教 育 的组 成 部 分 , 在 发 展 和 完 善 人  的教 育活 动 中 、 在形 成人 们认识 世 界 的态 度 和思 想方  法方面、 在 推动社 会进 步 和发展 的进程 中起着 重 要 的  作 用. 在 现代 社 会 中 , 数 学 教 育 又 是终 身教 育 的重 要  方面 , 它 是公 民进一 步深 造 的基 础 , 是 终 身 发 展 的需  要. 数学 教育 在学 校 教 育 中 占有 特 殊 的地 位 , 它 使 学  生 掌握数 学 的基础 知识 、 基 本技 能 、 基本思想, 使 学 生  表达 清晰 、 思考 有 条理 , 使 学 生具 有 实事 求 是 的态度 、   锲 而不舍 的精 神 , 使 学生 学会 用数 学 的思 考 方式 解决 
问题 、 认识 世界 .  

有 促进人 的思 维发 展 的价 值 ( 锻炼 思 想 的体操 ) , 可以   称 之为数 学 的教 育价 值. 但是 1 9 5 2年 就 不再 提 了 , 直  到 1 9 8 8年义务 教育 大纲 中才重 新 提 出数 学 的教 育价 
值. 但是 这一认识 还 是 有 反 复 的 , 1 9 9 0年 中 学 数 学 教 

学大纲又 回归到 1 9 8 6年 唯 一 的 工 具 价 值 上 , 直 到 

空 

《 课 例  画  》  
、 

编者语  《 课例 : 幂函数》 发表于本刊 2 0 1 1 年第 5 期, 本期的栏 目内 容 为这个课例的读者点评的集 中选登 

至截稿日 期 6月3 0日, 共收到一线教师及教研人员的点评来稿4 6 篇. 栏目 组认真审阅了每篇文稿. 这次的  
支稿 不仅 重视对 课例 的思 想 、 方法和技 术 的赏析和 学 习 , 而且 更加 注重从课例 中汲取有 益的教 训.   由于版面所 限 , 来稿 恕不能 一一刊 登 , 谨 向积极 参与 点评 的老师 们诚 恳致谢.  

图 圈 圈 圈 圈 

圈圜 图 圈 

读 《 课 例 :幂 函数 》 有 感 
王先进 ( 江苏省 丹 阳市教 育局教研 室 )   文卫 星老 师 的这篇课 例 , 与他 2 0 0 5年 发表 在《 数  学 通报 》 第 5期 上 的文 章 《 立体几何 引言课设计》 一  样, 继续体 现 了“ 问题引 领 , 教 师主 导 , 师生 互动 ” 的教  学风格 与特色 . 看似 简洁 朴实 , 细 细品 味 , 却 是 立意 深  远, 其 背后折射 着执 教者 深厚 的学 科功 底 与科 学 的教 
学理念 .  


没有 学过 的 , 而 考虑其 指数 , 有 正数 也有 负数 , 有整 数 
也有 分数 , 少 了其 中的 任 何 一 类 , 都 不 足 以排 除一 些  非本质 的属 性. 而接下来举 的五个 例 子中 , 除 了两个正 

例外 , 其他则 分别 是从表达 式 、 系数 和 自变量位 置兰个 

角度揭示 的反例 , 两正三反 , 踩点准确 , 恰 到好处 .  

份好 的案例 , 可 以为相关 教 学理 论 的理解 提供 

2 时间的控制 , 吝 啬 与大 方 有 度 
有个 大家一 致认 可 的公 式 : 效 率 =  . 其 实 这 

最恰 当的感性 支撑 , 同时将 这些 理 念 、 方法、 策 略从 活  生生 的案例 中提炼 抽取 出来 , 又可 以更 好地 在 操作 层 
面 指导 我们 的教 学 实践 . 所 以, 当有 这 样 让 我 们 眼 睛  为之一亮 , 内心 为 之 一震 的 案例 出现 时 , 我 们 会 十 分  珍惜, 当然也 不会 错 过. 以下 是 作 者研 读 了该 课 例 后  的一些认 识 和感悟 , 供读 者参考 .  

里效 率并不 是 简单地 与效果 成 正 比例 。 与时 间成反 比  例, 因为效 果 与时间都 是变 量 , 是 一个 二 元 函数. 简 单 


点 我们 可 以这样理 解 , 有 时在 效果 不受 影 响的前 提 

下, 时 间越 少 , 效率 越 高 , 所 以该 省 时 要 惜 时如金 ; 有  效丽 

果丽   间不 能少 , 时要 保证 一定 的效果 , 一定 的时 时间少 了,  
效果 会成 倍减 小 , 所 以该用 的时 间要毫 不吝啬 .  
何时该吝 啬何 时该大 方 , 取决 于在什 么地方 , 要 看 

1 问题 的 引入 , 简 捷 和 全 面 兼 备 
问题 的引入 , 选 用 了 7个 简捷 的学 生都 熟 悉 的实 

际问题 , 过程也 是 十分简 单 的 , 基本 上 是一 步 到位. 这 

值不值得. 该课例 容量大 , 密度高 , 何 以完成?在很 大因  素上是因为文老师在控制时间上的“ 张弛有度” 艺术.一  
惜 时如金 , 体现 在 以下三个 方 面.  

样就可 以排 除一些 旁枝 末节 的干 扰 , 避 免 因不 必要 的 
难度和 技巧 而偏离 主题 的现象 . 这 里 没有华 丽的或 新  颖的情 境 , 仅几 个 简单 的题 目, 耗 时不 多 , 却 又迅速 进  入主题 . 假 如 文 老 师 的 那 节 立 体 几 何 引 言 课 设 计 是 

机械 重复 的地方 可省 . 例 2中三个 函数 的列 表用  投 影仪 给 出 , 掌握 了前 面 的取 点技 巧 , 这里 不再赘 述 .  
反 过来 , 假如 让学生 取这些 点 , 虽不 困难 ( 有计算 器 1 ) l ’  
但很 费时 , 机 械操作 , 意 义不大 .   价 值不 大的地方 可 省. 学 生 画图 象前 已经 画好 了 
坐标 系 , 坐标 系 在这 里 已是 学 生 的一 项 基 本 技 能 了 ,  

‘ ‘ 用简单 的例 子说 明深刻 的道 理” , 那 么本 课 例 的开头 
则是“ 用简捷 的过程 办理 重要 的事 情” .  
本 课例 采用 的是 概念 形 成 的方 式 得 出 幂 函数 的 

概念  7 个 由具 体 问题 得 出的 函数 表 达式 就 是 给学 生 
提供 了‘ ‘ 刺激模 式 ” 的正 例. 一 定数 量 的正 例是 为 了保 

无 需再 花过多 的时 间 ; 教 学 过程 中 , 教师 没 有 废 话和 

证饲证 的全面性和典型性 , 为抽象 出共同的本质属性 
提供 了可 能. 7个 函数 表 达 式 中 , 学 生 有 学 过 的也 有 

重 复 的话 , 由例 1到 例 2 , 用 了“ 再看 ” 两字; 由例l   2到 
例3 , 用 了“ 请看 例 3 ” 四个 字 , 可 谓惜 字 如 金. 题 目出 

教  

≥ 中   学 极 学 教 喜 学 嘉 参 考  一  ~   、  
来后 , 也 没有什 么喋 喋不休 的苍 白无力 的 分析.   可用信 息技 术 的地 方可 省. 课 例 中四次 用 实物 投 
影仪 展示学 生 的解 题过 程或 所 画 的图象 , 既 能暴 露 问  题, 又节省 了时 间 ; 问题 引 入 和其 他 题 目也 是用 P P T   展示 的 , 省 时是 P P T的 一项最 基本 的功 能 了.   毫不吝 啬 , 又体现 在 以下三个 方 面.   学生 自主 的时 间不 能 少 . 例 1后 面 的“ 留时 间 给  学生 做” , 例 2 、 例 3后面 的“ 留时 间给学 生 画 图” , 例 4   后 面的“ 先做 一 下 , 选 一道 题 目规 范 书 写 ” 等, 把该 留   给学 生 的时间坚决 地 留给学 生. 没 有学 生 “ 先 做” 的 经  历, 图象和性 质 的知识 就不能 自主得 出 , 后 面 的归纳 、   深化 和升华 也就变 成 了无源 之水 , 无本之 木 了.   关 键地 方的 时间不 能少 . 展示 学 生 画图 和 电脑 画  纳 入到 一个 系统 当 中 , 通过 教师 引 导下 的审 美 活动 和 
哲 学思考 达 到境界 的升 华.  

当然 , 本课 例还 有 很 多 值 得借 鉴 之 处 , 如 例 题设 
计 的 目的性 和 层 次 性 等 , 执 教 者 在 回 顾 环 节 做 了说 

明, 这里 不再 展开叙 述 。 细读 本课 例 , 发 现还 有 以下几  点值 得 商榷.  
( 1 ) 例 1中关 于单 调 性 的证 明. 设 O ≤z   <  , 则 
n  

} <z ;   。 / z }< v 6  2 2 , 或。 . 。 0 ≤ l < 2 ,  
f   ’  

z  

】  

< z  , 依据 何在 ?要 么是 幂 函数 3 , 一 音 的单 调性 , 要  么是 不 等式 的性 质. 而 这 两 条 学 生 都还 没有 学 过 , 这 
里至 少要说 明一下.  

( 2 ) 例 2中 的第 五 个 函数 y 一   建议去掉 , 可 以  放在 整体 图象 中 出现. 理 由有 两 个 : 一 是 图 2中该 函  数 的图象 画错 了 , 多 了一个 ( o , 1 ) 点, 而且 放在 这里 与  其他 图象有 严 重 的不 协 调 性 ; 二是假如去掉 了, 可以  
将 性质 l 归 纳为 : 图象 都过 ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 1 ) 点, 这对 区分  于后一 类 函数 图象是非 常有 好处 的.   ( 3 ) 两次 由学生 归 纳 出来 的 性 质 强 化 还 不够 . 这  两 条性质 不 仅是本 节课 的重要 知 识点 , 还 是 后 面画 图 

图之 间 , 有一 个环节 “ 我 在黑板 上 再演 示一 下 , 没 有 画 
好的 同学再 画一下 ” . 本 节课 画 图是一 个关 键 , 后 面 的 

性质等都 是 由图象 观察得 到 的 , 而我 们 向来 以为 教师 
在 黑板 上的描 点 连线 的动 态 画 图 过 程 更 利 于学 生 的 

模仿, 所 以尽 管有 后 面 电 脑 的精 美 画 图 , 但该 环 节 也 
不多此一 举.  

拓展 提升 的时 间不 能少. 一 节数 学 课要 有 一定 的 

高度 和 品位 , 离 开 教 师 的 主导 是 很 难 做 到 的. 所 以该 
课例 在深 化和 升华 阶段 , 不惜浓彩泼墨 , 把 各 种 图象  集 中起 来 , 一方 面 , “ 菊 花 图象 ” 整 体 形 象 让 学 生感 到  由衷 的美 ; 另 一方 面 , 通 过各 种方 式让 学 生感 知 辨别 ,   寻找 到变化 中 的规 律.  

的一个 重要依 据 , 一 带 而 过 不 大恰 当 , 至 少 可 以 让学  生 依据该 性 质画两个 新 的 同类 函数 的草 图.   ( 4 ) 深 化部 分 对指 数  的讨 论 , 要 同时 对 P、 q分 
q  

三种 情况 讨 论 的 , 假 如 换 种 形 式 可 能 更 便 于 学 生 记  忆: 当 P是偶 数 时为偶 函数 ; 当 P是奇 数时 , 有两 种情  况, q是奇 数 时 为奇 函 数 , q是 偶 数 时 为 非 奇 非 偶 函   数. 事 实上 , 这完 全 可 以 由 学生 通 过 将 分 数 指 数 幂 化 
为根式 形式 而 自己归 纳 出来 , 一定意义上, 这 里 也 只  需 要告诉 他们 方法 , 而 不一定 要去 记结 论 的.  

3 内容 的 处 理 , 特 色 与 不 足 并 存 
正像 执 教 者 说 的 , 幂 函数 的知 识 头 绪太 多 . 要 在  规 定 的时间 内 , 一 项 一 项 条 理 清 楚 地 记 住 所 有 这 些 

是 否 可能 ?是 否 必要 ?如 何获 取 这 些所 谓 “ 乱糟糟”  
的知识 呢 ?这 一 直 是 该 章 内 容 最 难 处 理 的地 方 , 对 

( 5 ) 升华 部分可 以更 加简 约 和浓缩 一些. 事实 上 ,  
只 要 用 一 条 直 线  = n ( a >1 ) 将 它们 串起 来 , 就 可 以 

这 些 问 题 的 思 考 和 尝 试解 决 , 形 成 了本 课 例 的最 大 
特 色.  

让学 生发 现交 点纵 坐标大 小 与指数 大 小 的一致 性 , 寻 

特色1 : 以程 序 方 法 带 动 知 识 . 前 面 的 经 历 形 成  了如下 的研 究程 序 : 研 究性 质 和 画图—— 三 类幂 函数  第 一 象 限 的性 质—— 根 据 性 质快 捷 地 画 出第 一 象 限  的图象—— 根 据 函数 的奇偶 性判 断幂 函数 的性 质. 这  样对 于任 意给 出的一个 幂 函数 , 按程 序 都 可 以较 快 地 

找到 变化 中 的规 律. 而观察 直线  一1右边 的 图象 , 按 
顺 时针 方 向 由大 到小 变 化 的 , 其中k > 1和 0 <志 <l  
是 以直 线  —   为分 界线 的 , O <矗 < 1和 是 < 0是 以 直 

线Y 一  为 分界 线 的 , 这 照样 可 以 引发 “ 量 的积 累 可 
以引起质 的变 化 ” 的哲 学 思 考. 虽 然 该 校 学 生 的整 体 

画 出其草 图 , 判 断其 性 质 , 而 不用 一一 去死记 .   特色 2 : 整 体 比较 中感 知 知识 . 把 各 种 图象 集 中  起来 , 让学生 有一 个整 体的感 知 , 通过 比较 辨 析 , 发现 
变化 当中 的不 变之 处和规 律所 在 , 从 而将 单个 的知识 

素 质很高 , 但讲 的过 多 了 , 可 能 也 会 让 部 分学 生反 而 
含糊 的.  

上述 各 点 不 足 , 并 不 影 响本 课 例 的 深刻 与 精彩 ,  


家 之言 , 不对 之处敬 请指 正.  

蹩 癣 墩 蜒  缴  蒜 
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嚣。 |   _  
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高巧 萍( 江苏 省教育学 院 如皋分 院)   对文 卫星 老 师 的课 例 一 直 很关 注 , 每 例必 读 , 每  唯物 主义的哲 学 思想 . 在 中学 数 学 教 学 中 , 有 机结 合 

读 必深受 感染 和启发 . 文 老师 的课有 着鲜 明的特 点 和  独特 的风 格 , 自成一 家. 课例“ 幂 函数 ” 应 是 文老 师深 

教 学 内容 , 对 学生渗 透辩证 唯物 主义 世 界观 和方 法论 

的教育 , 是极 为重 要 且 必要 的一 项 任 务. 只要 教 师 用  心挖 掘 , 就 会 发 现 教 学 内容 中有 大 量 鲜 活生 动 的 事 
例, 若再加 上教 师 深 入 浅 出 的讲 解 , 辩 证 唯物主 义 的 
原理 完全 可 以渗透 到学生 的脑海 心 际 , 这 是提 高数 学 

思熟 虑 、 精 心打磨 后 的精 品 , 其 在 文 中 已初见 端倪 . 此  课例 给人最 大 的感 受是 教 书与育 人并 重 , 教学 与研 究  互长 . 笔者 精心 研读 之 后 , 觉 得 可 用 八 个 字来 评 价 此 
课例 : 登高 致远 , 纵览 美景.  

教 学品 味和提 高学生综 合素 质 的必经 之路 . 就 本课 例 
而言, “ 幂 指数 由大 到小的变 化 , 引起 幂 函数多次 经 厉  由量变到 质变 ” 说 明“ 量 的积 累引 起质 的 变化” ,   从 幂 

1 登高—— 自然递进的层次结构 
本课 例教 学 过 程 分 为 四个 层 次 : 引入、 一般 性 研  究、 深入、 升 华. 这 四个 层次之 间 和谐 紧密 、 自然递 进.  

函数的 图象 中我 们发 现 了指 数 函数 的单调 性” 揭示 了  “ 世 界万物 间 的普 遍 联 系” , 在研究过程中, 抓 住 事 物  的本 质“ 由特殊 到 一 般 、 由表 及 里 、 去 粗 取精 ” 的科 学 
研究 方法 等基本 哲学思 想方 法 , 文老 师运 用得 炉火 纯 

就好 比导游 ( 教 师) 引领 游客 ( 学生 ) 进 行登 山活动 , 欲 
穷千 里 目, 请 君再 登高 .   第一层 次 由一 系列 实际 问题 迅速 引 入新课 , 总结 

青, 很值得 我们借 鉴 、 学习.  

…  

出幂 函数概 念 , 自然清 新 . 第 二 层 次 由特 殊 到一 般 进  行幂 函数 的一 般 性 研 究 . 前 面 已经 学 习过 函 数 的 性  质, 学生 已初 步 掌握 研 究 函数 性 质 的 基本 方 法. 这 里  先从 具体 的幂 函数 ( 例1 ) 开始, 使 学 生 获得 研 究具 体  的函数性 质的初 步经 历 , 再 由例 2 、 例 3来 归纳得 出幂  指数 分别大 于 0和小 于 0时 幂 函数 的一 般性 质 , 体 现 

3 纵览—— 融会贯通 的知识脉络 

'   。  

“ 贯通 ” 本是 哲学 中的术 语 , 教 学 活动 作为 一种 学  术 活动也 可 以借 鉴“ 贯 通” 思 想来 执行 . 数 学教 学 的贯 
通 是指教 师对本 学科 的理论 体系 能通 晓 涵义  脉络 清 

晰, 进而触 类旁 通 , 以静制动 , 以点 带 面 , 连面成 体 , 从 
而 使教学 活动 完 整而 有 效. 在本课例中, 从 一 系列 实 

了从 特殊 到一般 的探 索规律 , 同时也 为 以后 如何研 究 
指 数 函数 、 对数 函 数 、 三 角 函数 等 基 本 初 等 函数 的 图 

际 问题 引出幂 函数概 念 , 实现 了知 识 和 实践 的 贯 通 ?   使 学生感 受 到数学 知识 的亲切 、 自然 、 易 懂. 从 具体 幂 
函数的研 究推 广到 一般幂 函数 的研究 , 实现 了研究 方 

象 和性质起 到示 范作 用. 第 三层 次是 对知 识 的进 一步 
深 化. 幂 函数让 人感 觉 有 些 “ 乱糟糟” 的, 文 老 师化 繁  为简 , 引 导学 生将 对 幂 函 数 的研 究 锁 定 在第 一 象 限 ,  

法 间 的贯 通 , 使 学生 体验到 研 究 问题 的基本 方法— 
从 具体 到一般 . 从作 直 线 z一口 ( 0 <口 <1 ) 和 z=口 ( 口   >1 ) 与幂 函数 图象 的交点得 到 指数 函数 的性 质 , 实现 

通 过 对幂 指数 中 户、 q的奇偶 情 况 判断 幂 函数 在 其他 
象 限 的性 质. 正如 文 老 师所 言 “ 见斑窥豹” , 遵循 了数  学 中的“ 简化 ” 原则. 知识 的深化 之后 必 然是 思想 的升  华, 第 四层 次 的升 华 使 全 课 达 到 了高 潮 阶段 , 让 听课  ( 赏课 例) 之人 心潮澎 湃 , 收益 良多.  

了数学 知识 间的纵 向贯通 , 使学 生体 会 到各 知识 点之  间 的内在联 系. 从 数 学 问题 谈 到哲 学 问 题 , 实 现 了学  科 知识 的横 向贯通 , 使学 生感悟 到世 事 万物 间 的普遍 
联 系.  

2 致远—— 辩证唯物的哲学思想  经历了四个层次的登高之后, 我们终于看见了 远   4   美景——无处不在的数学之 美 
方. 远 方有什 么? 在 近 景 ( 幂 函数 的 概 念 、 图象、 性 质  等数学 知识 ) 、 中景 ( 数学之美) 之 后 的远 景 就 是辩 证  “ 在数学课 堂 教 学 中, 需 要 有 目的地 展 现 和欣 赏  数学之 美. ” 爱美之心 , 人 皆有之. 当我们见 到了数学的 

教学时 空   课 例 点 评 
. —   一  

2 0 1 1年第8期 (上 旬 )  
中 学蠹 学惫 学 参考 

曝 船 釉 镐  钸   鼹 您 
一   一   一 …   一  

课例 : 幂 函数  赏析 
阳志长 ( 湖 南 省株洲 县第 五 中学 )  
没有 画好 的学生 跟着再 画一 次 , 而不 是 用“ 几何 画板 ”  



  …

 



 

 一 .

 

研读 文卫 星 老 师 的《 课例 : 幂 函数 》 Ⅲ, 联 想 到 文 

[ 2 ] , 感 慨 颇 多. 文 老 师 重 视课 堂 “ 创设情境 , 探 究 归 
纳” 的“ 前半段” , 关 注课 堂 “ 反思总结 , 欣 赏体验” 的 

演示一 次. 这样 , 示范 与演 练相结 合 , 生“ 动” 得 到反 馈 
和矫 正 , 生“ 动” 获得 意义建 构.  

“ 后半段 ” , 深化 知识 , 升华 思想 , 沟通 了数学 思 考 背后 
的人文情 境 , 值 得学 习和研 究.  

课例中 , 结 合 学 生 的感 性 认识 , 文 老 师组 织 学 生 

从分析 P、 q的奇偶 性 入手 , 突破 幂 函数 奇偶 性 分析 的 

1 课例赏析 
1 . 1 生“ 动” : 深 化 知 识 

难点 , 引导 学生把 注 意力集 中 到研 究幂 函数 在第 一 象 
限的 图象变 化 规律 . 生“ 动” 深 化 了知识 , 生“ 动” 上 升 
到理性认 识 .   1 . 2 互动 : 升 华 思 想 

文[ 3 ] 认为, “ 生动” 课 堂 的 内 涵还 应 涵 盖 学 生 的 
表现, 要 看学生 是 否 积极 参 与 了 课 堂 , 即“ 生动” 课 堂  要 求生“ 动” , 这 里的“ 动” 不 仅要 有“ 学生 的说 、 学 生 的 
做” 这些显 性 的动 , 更 要有“ 学生 的思 、 学 生 的想 ” 这 些 

交换 两人 的苹 果 , 每 人 得 到 的 还是 一 个 苹果 . 可  是, 交换 两人 的思 想 意 义 就 大 不 相 同 了 , 每 人 得 到 的  是 两种思 想. 本课 例 中 , 互 动 形成 特 色 , 给人 耳 目一新 
的感觉.  

隐性 的动 . 本课 例 中 , 学生动 起来 了 , 给人 留下深 刻 的 
印 象.  

课例中, 学生 的互 动 建立 在 个 体 经 验 之上 . 无论 

课例 中 , 通过 P P T展 示 , 学 生 即 时 口答 , 抽象、 概  括 出幂 函数 , 自然 流 畅 . 学 生 参 与 例 1解 题 , “ 用 实 物  投影 仪展示 学生所 做情 况” , 做与 思结 合 , 学 生获 得 研 
究幂 函数性 质 的初 步 经 历. 通过例 2 、 例 3的 画 图 实 

是例 1 还是例 2 、 例3 , 教 师都 留有 足 够 的时 间让 学生 
做、 画, 不 但投 影学 生 的“ 作品” , 而 且 演示 电脑 成 象 ,  

给学 生前 后对 比互 动 、 充 分酝 酿 的时 间 , 孕育 思想.  
课例 中 , 不 断地 给学 生 创 造 “ 人机” 对话、 互 动 的 

践, 积 累经验 , 在“ 实物 投 影 仪展 示 ” 与“ 多媒体演示”  
中寻找 思维 的平衡 点 , 引导 、 促 进 学生 思考 、 归 纳 幂 函  数 的性 质. 生“ 动” 获得经 历 , 生“ 动” 生成理 解.  

机会 . 例 1中学 生 解 答 后 , 结 果 怎 样 ?通 过 实 物 投 影  仪展示 , 尽 管“ 第 一位 学 生 的 图 象 ” 引起“ 大 家 哈哈 大  笑” , 但是 , “ 第二 位学 生的 图象 比较 好 , 第 三位 学生 的 
图象最 好 ” “ 画得 再好 , 也不 如 电脑画 得好 ” , 在“ 人机 ”   对话 与互 动中 , 学 生找 到 了欢乐 , 发 现 了问题 , 教师 反  生 在学 习数学 时不 断感 受数 学美 的 存在 , 而 不是 单 纯  地 在做解 题工 作.   综上, 这 是一 个优 秀 的 、 风格鲜 明 的课例 . 他 山之 

课例中, 文老 师 在 展示 、 讲 评 例 1中学 生所 作 的 
图象后 , 自己在黑 板 上 用 粉笔 又 画 了一 次 , 让 第 一 次 

美观( 菊 花 图象 、 大雁 的翅 膀 、 火 车站 台 、 工笔画、 奇 偶  函数的对 称美 ) , 对 数 学 有 了好 感 , 有 了兴趣 , 有 了亲 
近 之感 , 便 想去 欣 赏数 学 所 蕴 涵 的 内在 美好 , 感 受 研 

究数 学 的美妙 , 从 而到 达数 学 的最高 精神 境界 —— 数  学 品质的 完美 , 这 正是 文 E z 3 所 描 述 的数 学 美 的 四 个  境界 , 在本 课例 中就 得 到 了完 美 体 现. 文 老 师 就 像数 
学王 国里 的导游 , 引导学 生逐 步学 会欣 赏 数学 的图形 

石, 可 以攻玉. 望 贵 刊多 刊登一 些 优 秀的 教学 案例 , 供  广大 一线 教学工 作者 借鉴 、 学习、 交流、 争 鸣.  
参 考 文 献 

1 文卫星. 数 学教学 中 的育人 艺术 [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 ,  
2 00 3, 7  

美、 结 构美 、 统 一美 、 奇异 美和 理性 美 , 以美 启 智 , 以美 

育人. 同时 , 正如 文老师在 文 [ 1 ] 所言 —— 教师 自身独  到的见 解 、 独特 的教 学风格 , 本 身也 是 一种 美 , 致使 学 

2 张奠宙 , 木 振武. 数 学 美与 课 堂教 学 [ J ] . 数学 教 育学 报,  
2 0O】. 4  

兰 笾! 至星璺 塑!  
中季文 蠢囊 季 参 考 

!  

馈 了信息 、 捕 捉到教 学 的契机. 随着例 2 、 例 3的深人 ,  
图2 、 图3 呈 现 出新 的特点 , 学生在 “ 人机 ” 对话 与互 动 

的基本 要求 , 具有 可 操 作 性 , 并 且 为落 实 各个 教学 目  
标 设 置 了相 应 的教 学环 节. 但是, 黑 板利 用不 够 , 仅仅  是文老 师 “ 给 大家再 演 示一 下 ” , 可 以考 虑例 2或 例 3  

中, 得到新 的启 发 , 萌 生新 的思想 .  

课例 中, 多 向对 话 、 互 动, 升 华 了思 想. 有 了个 体 
的画 图经历 和 图 1 、 图 2 、 图 3的铺 垫 , “ 只 要研 究幂 函 

安 排学 生或 学 习小组 上黑 板 作 图. 这样, 不仅 能够 反 
馈“ 再 画一次 ” 的信 息 , 增 加学 生 反 馈 与矫 正 的 机会 ,  

数在 第一象 限 的图象 变化规律 , 再根 据奇 偶性 就可 确 
定它 在其他 象 限 的 图象 和性 质 ” 的想 法 , 就 自然 而 然 
地从 学生 的头 脑 中“ 流 淌” 出来 ; “ 现 在 选 择 一些 幂 函 

而且能够 为课 堂小 结 提 供 素材 , 方便 知 识 “ 再现” , 丰  富小结 的内涵 , 使课 堂小结 少点说 教 , 更 加生动.  
2 . 2   围绕主 要数学 思想方 法去打磨 

数 的图象把 它们集 中起 来” , 因而 电脑 画 出的 图象 ( 图 
4 ) 能 够引起 学 生 的情 感 共 鸣 , 透过 “ 菊 花” 现象 , 学 生 

引 出幂 函数后 , 通 过 具 体 幂 函数 图象 的 研究 , 归  纳 出幂 函数 的性质 , 这是 研 究 函 数 的一 般 方 法. 本 节 

看到 了幂 函数 的本 质 属 性. 数 形 结合 思 想 深 入 人 心 ,  
多 向互 动 , 升 华 了思想.   1 . 3 灵动 : 升格欣 赏 

课中, 文老 师利用 学生 画的 图象 、 电脑 画 的图象 , 数形 
结合 , 不但 揭示 了美 丽 “ 菊花 图 象 ” 下 的数 量 特征 , 而 

正 如文 老师所 说 , 具 有奇偶 性 的幂 函数 以及 图 象  关于直线 =z对称 的幂 函数均体 现 了对 称美 , “ 菊 花 
图象 ” 的外在 美让 学 生 感 到 一 种 由衷 的美 , 在 幂 函 数  中发现 指数 函数 的性质 , 更让 学生 感受 到数 学 内在 美  无 处不在 , 是那 样 的诱人 , 又是那 样 的不可抵 御.   课 例 中, 与其说 例 4是 “ 巩 固应 用 幂 函数 ” , 不 如  说 是给学 生 又 一 次解 法 交 流 、 思 想 交锋 的 机 会. 例 4  

且深 刻地 揭示 了事物 “ 量变质 变” 的规 律 , 把 数形 结合  境界 推 向高 潮. 但是 , 从 例 4到 小 结 , 似 乎 找 不 到 画  图、 用 图 的痕迹 , 使 课 堂 的“ 后半 段 ” 略 显 空洞 、 单 薄.   其实 , 设置 例 4时 , 可 以考 虑 与 前段 的“ 菊花 图象 ” 进  行 匹配 , 利用 “ 菊 花 图象 ” 中列 举 的幂 函数模 型 , 解 答  相应 的问题 . 这样 , 学知识 与用 知识 联 系起来 , 知 识与  能力并 举 、 思想 与方 法 交 融 , 数 形 结合 思 想 会 更加 深  入人 心 , 课 堂的后 半段会更 加 丰满 、 厚 重.  
2 . 3 围绕 课程 目标去 打磨 


中第 ( 3 ) 题 无论 是“ 负 指数 化为 正指 数 、 正指 数化 为 负  指 数” , 还 是“ 找 一个 中 间量 来 比较 大小 ” , 都 体现 了化 
归的思想 , 彰 显 出学 生 的思想个 性 , 课 堂有 学生 展示 ,  
也 有教 师点评 . “ 果然 如此  简 洁 明 了, 这种 不 同于 现  成 结论 , 敢 于且 善于 创新 的做法 值得 大 家学 习” , 寓欣  赏于褒 奖之 中.  

节课 的 教 学 目标 , 要 服 从 一 个 章 节 的教 学 目  

标, 一个 章 节的教 学 目标 , 要 服 务 于一 个 模 块 的教 学  目标 , 一个模 块 的教 学 目标 , 要 着 眼 于高 中数 学课 程  目标 . 本节课 中, 文 老师 为了落 实一 节课 的教 学 目标 ,   亮点 纷呈. 但是, 我 们感 到 在 落 实课 程 目标 方 面 略显  欠缺, 缺乏 张力. 本 节课 是一节 新课 , 图4 、 图 5的开发  利用 , 把课 堂教 学推 向高 潮 , 但 是 不是 获 得 了 学 生积 

课例中, 与其 说 图 5给 出 了图形 变化 , 不 如 说是 
给出 了数 学欣 赏 的一 个 新 的视 角. 图5 ( 1 ) ~5 ( 5 ) 的 

动态变 化 , 反 映 了指 数 k的 变 化 , 显 示 出幂 函数 图 象 
变 化 的规 律 , 深刻 地 揭 示 了事 物 “ 量 变质 变 ” 的规 律 ,  

极 的心里 认 同 呢 ?况 且 例 4 的 设置 难 以担 当反 馈 信 
息 的重 任 , 小结也 缺乏学 生 的参 与. 其实, 可 以考 虑例  4 后 为学 生 留 白 , 提 出 一个 新 的 函数 模 型 , 征求 研 究 
方案 、 探讨 图象 特征 , 课 内 向课 外 延 伸 , 影响、 引 导学  生 的学习方 式. 可 以考虑 让学 生参 与小 结 , 暴露 问题 ,  
交 流思想 , 丰富 欣 赏 的 内涵 , 使 教 师 最后 的小 结更 有 

与学生 的体育 锻 炼联 系 , 诠 释 了这 种 “ 量 的积 累 引起  质的变 化” 的哲 学 思 想 , 鲜 明、 灵活 , 沟通 了数 学 情 境 
与人文 景观 的联 系 , 赋予 数学欣 赏 的内涵 .   课例中, 与其 说 小 结 是 为 了概 括 知识 和 方法 , 不  如说 是升格 了数学 真善 美 的主题. 小结之( 3 ) “ 幂 函数  在第 一象限 图象是 ‘ 菊 花 图象 ’ , ‘ 花蕊’ 是点( 1 , 1 ) , 美  不胜 收” , 贴 切逼 真 , 前呼后应 , 鲜活、 灵动 , 提 升 了 数 
学欣 赏的品 位.  

说服 力 、 更 具感染 力 , 生成 在课 内 , 发 展延伸 到课外 .  
参 考 文 献 

1 文 卫 星. 课例: 幂 函数 [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 ( 上旬) ,  
201 1, 5  

2 思考感悟 
在欣赏 文老师 的课 例之余 , 感 到课 堂 的“ 后 半段 ”  

2 张奠 宙 , 赵小平. 数学 中多关 注“ 后 半段” — — 怎 样 上 好 复 

习课E J 3 . 数学教学 , 2 0 1 1 , 4  
3 吴少然 , 王克亮. “ 生动 ” 课 堂的一 种诠 释是生 “ 动” — — 一 

略显 单薄 , 还可 以厚重 一点.  
2 . 1 围绕 课堂 目标去 打磨  本节课 的教学 目标 定位 比较 准确 , 体 现 了新课 程 

节 省级 公 开 课 : “ 抛物线的标准方程” 的课例及 启示E J ] . 中 
学数学教学参考( 上旬 ) , 2 0 1 1 , 4  

教   … -  

课例 
。q 帮  

…  Ⅷ  

2 0 1 1 午   8 期 (   上  )  

筹雌   幄 

决  胜。   里 
评 文卫 星 老 师 “ 幂 函数 " 一课 

陶   云( 江苏省 高 淳高级 中学 )   《 中学数学 教学 参 考 } 2 0 1 1年第 5期 刊登 了文 卫 

星老师 的“ 幂 函数 ” 一课 的课 例 , 笔者仔细研读之后,  
翻 阅 了 5种 版 本 的 教 科 书 , 对“ 幂 函 数” 有 了 深 刻 的认   识, 再对 比此案 例 , 感触 良多. 此 课 多 处 闪 耀 着 智 慧 的 

2   课 前 精 心 筹 划 打 造 高 效 课 堂 
在 仔 细 研 读 了 文 老 师 的教 学 设 计 指 导 思 想 之 后 ,  

笔者 惊 叹于文 老师运 筹帷 幄 的 能力 .《 孙子兵法 ? 始  计篇 》 有云: “ 夫 未 战而庙 算胜 者 , 得 算 多也 ; 未 战 而庙 

光芒 , 充 分展示 了文 老师精 湛 的教学 艺 术 以及 对新课  改 理念 的深入贯 彻 . 限于 篇 幅 , 笔 者 就 抓 住 其 中几 点  来 谈谈对这 节课 的评 价.  

算不 胜者 , 得算 少 也 . 多算胜 , 少算不胜 , 而 况 于 无 算 
乎 ?吾 以此观 之 , 胜 负见 矣. ” 其 意 是说 周 密的 筹划 是 
成功 的必要 条 件. 笔 者认 为 , 正 是 因 为 文 老 师 对 这 节 

1   巧 设 问题 情 境 抽 象 问题 本 质 
良好 的开端 等 于 成 功 的一 半 . 这 是 一 节 新授 课 ,   因此 , 幂 函数 的概 念 的得 出是 这 节课 的首 要 任 务 , 笔  者结 合 5种 版 本 的数 学 教 科 书 ( 人教 A 版 、 人教 B   版、 北 师大版 、 湘 教 版 和苏 教 版 ) , 从 课 题 引 人 的 角度  进行 了对 比 , 发现 大多数 版本 的教 科 书对 于幂 函数 概 
念的得 出非 常 “ 粗 犷” ( 其 中人 教 A 版 做 得 最 好 ) . 记 

课做 了充分 的筹 划 准 备 , 才 使 得 这 节 课 如 此 成 功. 筹 
划具体 表 现在 以下几 个方 面 :  

( 1 ) 上课 之 前 , 经 过 了 四 轮 三种 教 材 ( 部 编 教材 ,   上海一 期 、 二 期课 改教 材 ) 的打磨 .   ( 2 ) 除 例 1列 表要 求 学 生 自己计 算 ( 学 生 都 有计 

算器) , 例2 、 例 3中的数据 都准备 通过 P P T显 示在屏 
幕上, 以节 省时 间让学生 作 图.   ( 3 ) 动态 的 图象及例 题 的表格 都 由教 师 事先 准备 

得章建 跃博 士前 不 久 在南 京 师 范 大 学 附属 中学 作 报  告 时对 于 “ 如何 进 行概 念 教学 ” 讲 过 这样 一 段话 :  

… …

好, 学生 活动 ( 例 1的证 明 、 例 2与例 3的作 图及 例 4  
的解 答 ) 都通 过 实 物投 影 仪 向 学生 展 示 , 这 样 比 学 生 

概念 教学 的 核 心是 概 括 , 是 将 凝 结 在 数 学 概 念 

中的数学 家 的思 维打 开 , 以典 型丰 富 的例 子 为 载体 ,   引导 学生展 开观 察 、 分 析 各 事 例 的 属性 , 抽 象 概 括共 
同本 质 属 性 , 归 纳得 出数学 概念 … …” . 文老 师在 这方 

到黑 板上 板演 节省 时间 , 又有 利于 其思 维 水平 的正常 
发挥 .  

事实 上 , 文 老 师 的 种种 筹 划 , 不 正 体 现 了 当下 所  追求 的高效 课 堂 的 理念 吗? 高效 课 堂 主要 体 现 在 三  个方面: 知识 的 容 量 、 思维的容量、 活 动 的 容 量. 知识 

面做得 非常 到位 , 问题情 境 简单 明 了 , 点 到为 止 , 却意 
义深远 . 一 系 列 看 似 简 单 的 生 活 情 境 起 着 以 下 几 个 

作用 :   ( 1 ) 简单轻 快 的问题 , 活跃 了学 生 的数 学 思维 , 让 
学生很 快进人 了数 学学 习状态.  

的容量 是指 教师 传授 给学生 的知 识 的多 少 ; 思 维 的容 
量 是指 学生思 考 问题 的时 间的多 少 ; 活动 的容量 是指  师生、 生 生之 间互 动的频 率. 由此 观之 , 文 老 师 的种种 

( 2 ) 在 口答 的过 程 中 , 绝 大 多数 学 生 都 能 参 与 其 
中, 能在解 决问题 的过 程 中收获 到一定 的成 就感.   ( 3 ) 最 重要 的是 , 这些 问题具 有 相 同 的本质 属性 ,   学生 能够根 据这些 问题 抽象 概括 出幂 函数 的概念 .   这些 问题 情境 的设 置 , 也 体 现 了文老 师 对建 构 主  义思 想 的充 分应用 , 让 学生 自己来 体 验知 识 的形 成过  程, 对 调动学 生 的积 极 性 有 很 大 的 帮助 . 对 广 大一 线  教师 以后 的概 念教 学起 到 了一 定 的借 鉴作 用.  

筹划, 其 实都 是 为 了增 加 这 三 个 容量 而 准备 的 , 说 明 
文 老 师 是 秉 持 着 打 造 高 效 课 堂 这 一 目 标 而 进 行 教 学 

设计 的. 这 节课 只 是 平 常 教 学 中 的一 节 课 , 而非 公 开  课, 能做 到如此 精密筹 划 , 让笔 者 由衷 佩 服.  

3 落 实情 感 目标 凸 显 课 改 理 念 
《 普通 高 中数 学课 程标 准 ( 实验 ) 》 明确 提 出情感 、  
态度、 价值 观 等 方 面 的 发 展 也 是 数 学 教 育 的重 要 目  

 

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一   一   …   ,   ……   ~   …   … 一~ … ~   …一 一   … 一  

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标. 在数 学教学 过 程 中 , 学 生 的情 感 、 态度 、 价值 观 等  方面 的发展并 不 是 在学 到 一 些 具 体 的概 念 、 法则、 公  式 之后 就能 自然形 成的 , 它 贯穿 于整 个数 学教 学 活动  的过程 之中. 文老 师 在他 的整 个 教 学 过程 中 , 充分 体  现 了这 一新课 程理念 . 具体 体现 在以下 几个方 面 :  
( 1 ) 开始一 系 列 生 活化 的问 题 情境 的设 置 , 让 学  生认识 到数学 与人类 生活之 间 的密切 联 系 , 有 利 于学 

在展 示 了三 位学生 画 的函数  —  寺的图象 之后 ,  

文 老师说 了这样 一句话 : “ 我们 画 得再 好 , 也 不 如 电脑 
画得 好 ……” . 文 老 师说 此 话 的 目的应 该 是 想 引起 学 

生 对电脑 画图象 的兴趣 , 然而 , 无 心之语 , 是 否会 打击 
到学 生手 动 画图 的积 极 性 呢 ?也 许 文 老师 并 没有 此  意, 不 过这话 似乎 欠妥 , 能否换 个 说法 呢? 例如 , 可 以 

生 形成正 确 的数学 价值观.  
( 2 ) 在 评 价 函数 y 一  的 图 象 时 , 说 了 这 样 一 句 

这样 说“ 大家 画得 都 非 常好 , 我 们 看 看计 算 机 画 出来  的会 是怎 么样 的? ” 这样 说 同样 可 以起 到 引起 学生 兴 
趣 的作用 , 而且 肯 定 了学 生 辛 苦 的 劳动 成 果 , 在 大家  看 到电脑 作图 之后 , 自然 心 里 会 明 白电脑 更 精确 些 ,   这些 是 不用 教 师 说 出来 的. 在 心 理 学 上 有 个 著 名 的 

话: “ 这个 图象有 点 像大 雁 的翅膀 , 也 有点 像火 车 站站 

台上天花板 的外 形 轮廓 , 预 示 着我 们今 天 ‘ 远行 ’ 有个  好 的开端 . ” 文老师从图象 的形状 上做 出了一个 富有深  意 的评价 , 这段 话虽然简 短 , 却能 引起学 生对本节 课后  面知识 的好奇心与求知 欲 , 激发 学生的学习内驱力.  
( 3 ) 文 老 师 将 幂 函数 的 图象 集 中在 一 个 坐 标 系  中, 引导 学生 观察 图 象 , 以至 于有 学 生 惊 呼幂 函数 的  图象很 漂亮 , 有点像“ 菊花” . 这 是 很 多 教 师不 屑做 的  事情 , 认 为没 必要 , 然而文 老师 做 了 , 而 且做 得很 有效  果. 他让 学生体 会 到 了 数学 图象 的 对 称 美 , 培 养 了学 

“ 皮 格马利 翁” 效应, 它告 诉 我 们 : 教 师对 学 生 的关 注  和激 励 , 会 产生 一个激 发学生 向上 的 内动力 . 因此 , 教  师 要做 的 , 是尽 可能多 地鼓励 学生 .  
4 . 2 教 学 安 排 上 的 商 榷 

在得 出幂 函数 的概 念之 后 , 文 老 师设置 了例 1 这  样 一道 问题 , 然 后再通 过例 2 、 例 3 归 纳总结 幂 函数 的 

图象性 质 , 文 老师 的 解释 是 “ 使 学 生 获得 研 究 幂 函 数  性 质的初 步经 历 ” . 但 是 笔者 认 为 这 样 编排 顺 序 似乎 
不 利于学 生 的认 知 规 律. 在 得 出 了幂 函数 的概 念 之 

生 的审 美情趣 . 然后 又从幂 函数 的 图象 中发 现 了指数  函数 的性 质 , 让学 生 感 受 到数 学 的 内在 美 , 反 映 了客  观事物 内在规 律的 和谐统 一 , 可 谓美 不胜收.   ( 4 ) 通过 “ 几何 画板 ” 演示幂 指数 由大到 小变 化 时 
其 图象 的变化 过程 , 揭示 了“ 量 的 累积 引起质 的 变化”   这一哲 学思 想 , 赋 予 了这 节数 学课 极 深 的文 化 内涵 .   文老师 的这些 教学行 为 , 无 不 凸显 着课 改 的新理 

后, 应该 先讲例 2和例 3 , 因为 问题 情境 中涉及 7 个 幂  函数 , 紧接着采 用分类 的方 法研究 他 们 的图象 显得 比  较 自然 , 幂 函数 的 图象本来 只要求 研 究其 中 6个最 基  本的, 至 于 函数 —z 寺 的图象 完全可 以作 为幂 函数性  质得 出之后 的巩 固练 习 , 看 做是 对幂 函数 性 质的应 用  的一道 例题. 事实上 , 几 个 版 本 的教 材 对 这 道例 题 的 
处理方 式都不 一 样 , 有 的 是作 为例 题 , 有 的 是作 为 习 

念, 有 效的落 实 了情 感 目标.  

4 几 点 个 人 看 法 共 同 探 讨 商榷 
对于这 节课 的教学设 计 , 笔者 还有 一些 不 太成熟 

题, 有 的直接 没用. 不 管哪 种方式 , 足见这 道 例题 的作 
用应该 是属 于幂 函数 性质 的一个 简 单应 用 , 而不应 该 
是得 出幂 函数性质 之前 的铺垫.  

的看 法 , 希 望能与 大家共 同探讨 商榷 .  
4 . I 教学 用语上 的 商榷 

例 2和例 3是通 过 分 类 研 究 的方 法 来 研究 幂 函 
数 图象的性 质 , 其 中, 为 了便 于 学 生对 比观 察 找 出规 

在画 函数 — 寺 的 图象 时 , 文老师 用 实物投 影 仪 
展 示 了第一 位 学生 的图 象 , 大 家 哈 哈 大笑 , 文老 师 说 

律, 文 老师增 加 了几 个 幂 函数 , 由于 文老 师 课 前准 备 
充分 , 这样 的做法 也无可 厚非 . 可是 在 例 2中 , 居然少  了一个 很 重要 的幂 函数 Y=z , 这 也 难怪 学 生 在 后 面 
总结 图象 的性 质时 , 没 有 发 现 对称 性 , 还 是 教 师 提醒 

了这样一 句话 : “ 感 谢 第 一 位 同学 给 我 们 带来 的快 乐 
… …




笔 者认 为这句话 欠妥 , 似乎 有把 自己 的快 乐建 

立 在别人 的痛苦 之上 的嫌 疑. 那 位学 生 图象 画得 肯定 
不 是很好 才会 引来 学 生 的哈 哈 大笑 , 这个 时 候 , 老 师 

之后 学生 才知道 的. 不 知道 文老 师这 样 的举 动 是无 心 

之失 还是 另有他 意 , 笔 者不敢 妄加 揣测.  

是 不是应 该从 中找到 一点好 的地 方 , 给予 适 当的鼓 励  呢?苏联 教育学 家马 卡连柯 有这 样两 句话 : 第 一 句是  我 们要尽 可能 多地要 求学 生 ; 第 二句 是 我们要 尽可 能  多地尊重 学生. 笔者认 为 , 尊 重学 生 的劳 动成 果 , 尊重  学 生 的感 受应该 是每 位教 师应该 做到 的.  

最后 , 笔者认 为 , 虽 然有几 处小 地方 有待 商榷 , 但 
从 总体上 来看这 节 课 确 实有 很 多 地 方 是值 得 大 家共  同学习借 鉴 , 特 别 是那 种 运 筹 帷 幄 , 决 胜 千 里 的筹划 

能 力. 笔 者在此感 谢文 老师 为我们 提 供 了这样 一个 精 
彩 的课例 .  

教 学 

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课  例  点一   评一  

精 心 浇 灌 图 象之 花  充分 彰 显性 质之 美  
课 例 : 幂 函 数  评 析 
陆学政 ( 安徽 省六安 市第 一 中学 )  

涂荣豹先生说 : “ 新 课 程 倡 导 的不 应 该 是 ‘ 新 理 

归纳 、 猜想 、 估计、 合 情 推 理 所得 的结 果 , 而 是要 进 一 
步上 升到 理性 的 高 度. 基于此 , 文 老 师通 过 设 k 一_ t /  
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念’ , 而应 该是 ‘ 正确 的科 学理念 ’ . ” 那么, 如何 在课 堂  教学 中将 “ 正 确 的科 学 理 念 ” 真正 落 到 实 处 呢?带 着  这 个 问题 , 笔 者近 日研 读 了文卫 星 老 师的《 课例: 幂 函  数》 一文, 受益 匪浅 , 感触 颇多.  

(  、 q为互 质 的整数 ) , 引导学 生 根据  、 q的奇 偶性 研 

究幂 函数 的性 质 , 从 而 将 学 生 由研 究 具 体 的幂 函数 ,   提升 到研究 抽象 的幂 函数 这一 新 的“ 平台” . 由于有 了   前 面 的积淀 , 该 环节 的探 究始终 处 在学 生 的最 近发 展  区内, 既没有 让 学 生产 生 望 而生 畏 之 感 , 也没 有 让 学 
生不 动脑筋 就能 轻易 答 出 , 而是 让学 生 感 到“ 三分 生 ,  
七分熟 ” “ 跳一跳 , 摘得到” . 只有 这 样 , 才 能 引 起 学 生 

1 亮点纷呈 , 精彩不容错过 
1 . 1 精心 浇灌 图象 之花  正确 画 出幂 函数 的 图象 , 是 探 究幂 函数性 质 的基  础 和前提 , 也 是 本 节 课 的 重 点 之 一.幂 函 数 的 图 象 ,  
是学 生 画 , 教师画, 还 是 电脑 画?不 同 的处 理 反 映 出   不 同的数学 观 和不 同的 教 学 理 念. 在 例 1中 , 文 老 师 

的认知 冲突 和学 习心 向 , 才能 激 发 学 生 的学 习 兴趣 ,   促 使学 生积 极参 与 , 接 受挑 战.   难 能可 贵 的是 , 文 老师 又对 幂 函数 的 图象进 行 了 
创 造性 的“ 再 加工 ” , 通 过 不 同 幂 函 数 在 同 一 坐 标 系 下 

不仅让 学生 亲历 了画 图象 的完整 过 程 ( 列表 、 描点、 连 

线) , 而且充 分展 示并讲 评 了学 生所 作 的图 象 , 紧接 着  教师 自己在 黑板 上用粉 笔又 画 了一 次 , 并 让 第一 次 没  有 画好 的学 生跟 着再 画一次 . 在例 2 、 例 3的作 图过 程  中, 文 老师又 适 时地 简 化 了次要 环 节 ( 列表) , 而保 留  描点 、 连线等 主要 环 节 , 直 至 最 后 用 电 脑 集 中 显示 部 
分幂 函数的 图象 , 形 成“ 菊花 图案 ” . 这里 , 文 老师 给 了  学 生较 充裕 的作 图 时 间 , 采 用 延 时教 学 、 师 生对 话 等  手段 , 延得 合理 , 延得 恰 当. 整个 过 程 详 略得 当 , 层 次 

的集 中呈 现 , 使学 生从 整体上 感 受到 幂 函数 的 图象 之 
美. 当然 比图象 的静 态 美 更 重 要 的 是 它 的 动态 美 . 文  老 师借助 “ 几 何画板 ” , 利 用直 线 z一口 ( 口 >1 ) 和  = 
( O <n <1 ) 以 及 直 线 z一 1和 直 线  一 1 , 通 过 动 态 演 

分明, 学 生充分 参 与 了 知识 建构 的过 程 , 在作 图过 程  中充分地感 悟 和体验 了幂 函数 . 正 是文 老 师对 图象之  花 的精 心 浇 灌 , 才 为 整 节 课 的 成 功 奠 定 了 坚 实 的 
基 础.  

参  誊 

示, 揭示 了幂 指数 由大 到 小 ( 或 由小 到 大 ) 变化时 , 其  图象 的变化 规律 和相 互之 间 的关 系 , 以及 其 中所蕴 涵  的“ 量 变质 变” 原 理. 张奠 宙先 生说 : “ 数 学 教学 中的美  学 教育 有 四个层 次 : 美观 ( 因形 式而 美 ) 、 美好( 因正 确 

而美 ) 、 美妙 ( 因 意料 之 外 但情 理 之 中而 美 ) 、 完美( 力  求 至善 至美 ) . ” 本 课例 对幂 函数 性质 的 探究 较 充分 地  体 现 了这一 点. 在 整个 探 究 过 程 中 , 文 老 师 充 分 遵 循 
学 生 的认 知 规律 , 引导 学 生 从 特 殊 到 一 般 、 从 具 体 到 

1 . 2 充 分 彰 显 性 质 之 美 

从 图象 到性 质 , 从 感 性 到 理性 , 是 本节 课 的又 一  重点 . 如何 合 理 设 置 梯 度 、 把握 “ 深 度” , 是 其 中 的 难  点. 通 过例 1 , 文 老 师 教 给 了学 生 研 究 幂 函数 的 一 般 

抽象、 从 局部 到整体 , 动 静结 合 , 将 学 生对 幂 函数 性 质  的认识层 层 推进 到 新 的 高 度 , 使“ 常 态 课 堂” 变得“ 简  约 而不简 单” .  
1 . 3   自 然 展 现 教 学 艺 术 

方法 , 使学 生获得初 步 经历. 在例 2 、 例 3中 , 通 过变换 
幂 函数 的具体 类 型 , 不 仅 进 一 步巩 固研 究 方 法 , 也 使  学生 自然地领 悟到 幂 函数 的性 质 与指 数 k的关 系 , 进 
而引导 学生从 特殊 到一般 , 水 到 渠 成 地 归 纳 出 了 幂 函  数 的性 质 ( 按指 数分 为三 类 :  >1 , 0 <愚 <1 ,   <0 ) .  

从 课例 中 , 笔者 充分领 略 到 了文老 师 在教 学 过程 
中 自然流 露 出的 高超 艺 术 . 首先 , 文 老 师 营造 了非 常  和谐 、 愉悦 的教学 氛 围 , 不仅 能 与学 生 亲切 交 流 , 而且 

如果 对幂 函数性 质 的探究 到 此 为止 , 似 乎也 无 可 

能及 时捕 捉反馈 信 息 , 有效调节课堂气氛 , 适 时 调 整  教学进 程 和教学 内容 , 充分 激发 了学 生 的求 知 欲 和成  就动机 ; 其次, 文 老师 的教学 语 言形 象 、 生动 、 诙谐, 如 

厚 非. 但 区别 于其 他 学 科 , 数 学 的 特 点 是绝 不 满 足于 

曼  塑  L£  _   l 】  
中学 扭 学最 学 参考 

窨  

“ 素描 ‘ 工笔 画 ‘ 大 雁 的翅 膀” “ 菊花 图象 ” “ 花蕊 ” 等,   信 手拈来 , 显得 机智 、 自然 而无 哗众取 宠 之感 . 语 言表  达能力是 教师最 重要 的一项 基本 功 , 当教 师 的敬 业精  神、 专业 素养 、 文化积 淀达 到一个 关键 值 时 , 影 响 教学  效果 的最 主要 因素就 是教师 的语 言. 教育 家 苏霍 姆林  斯 基说 : “ 教师 的 语言 是 什 么 也代 替 不 了的 影 响 学生  心灵 的工 具 , 教 育 的艺 术首 先包 括说 话 的艺术 . ” 教学  语 言没有 毛病 , 不犯 科 学 性 错 误 , 是 对 教 师语 言水 平  和 能力要 求 的底 线. 作 为教 师不应 该 只满 足 于这个 底 
线, 而应该 要有更 高 的追 求. 在这 方面 , 文 老师 非 常值 

互 质 的整数 ) 是 进 一 步“ 深化 ” 的关 键. 是 教 师 直接 设  k 一  , 还是通 过学 生 探究 发 现?从 课 例 看 , 设 是 一 
P   p  

是 文老 师在形 成幂 函数概 念 的同时 “ 顺便 ” 得 出的 , 看  似 为“ 深 化” 埋 下 了伏 笔 , 对此 笔 者 不 敢苟 同. 学 生 要  牢 固地 掌握数 学 , 就 必须 用 内心 的创 造 和体 验 的方 式 
来 学数 学 ( 波利 亚语 ) . 因此 , k 一  应 该是 学 生 自主探 
P 

究 的产物 , 教师 的 作 用 只能 是 创 设 问题 情 境 、 组 织 学  生 活动 、 引导 探 究 发 现 , 而 不 能 替 代 学 生 的 活 动. 因  此, 教 师 应 提 出 问题 : 对 于 幂 函 数 Y=  寺 、 Y= 寺、  

得我们 学 习.   1 . 4 合理 运用教 学手 段  学 生 的 学 习 过 程 应 该 是 曲折 、 不 时 出 现 矛 盾 冲 
突、 不 断解 决矛盾 冲 突 的过 程 , 最 有 生命 力 的课 堂 教  学应 该是 自然 、 朴 素 的. 最好 的教 学 手 段应 该 是 促 进  教师 教学 最优化 、 学 生 学 习最 优 化 的手 段 . 教 师 要 充  分理解 学生 , 不要 过 高 地 估计 学 生 , 要 给学 生 足 够 的 

—z 言( 在 之 前 例 题 中均 出 现 过 ) , 指数 均 满 足 0 <忌   G1 , 为什 么 它 们 的 图象 与 性 质 仍 有 较 大 的差 异 呢?   学生 充分 观察 、 思考、 讨论, 教 师 适 时点 拨 , 进 而 发 现 

三 个 指 数 分 别 是  、 器 、  的 形 式 , 再 推 广 到 一 般 的  
幂 函数 , 于是 , 将 k写成  ( P 、 q为互 质 的整 数 ) , 根据 
p  


时 间与耐心 . 本课 例 中 , 对 学 生 的作 图 , 文 老师 不仅 面 
向全体 , 利用 实物 展 台进 行 分层 指导 , 而且 耐 心 地 用  粉笔在 黑板 上示 范 , 让 部 分 学生 跟 着 再 画 一 遍. 这 是  与所 谓 的“ 新 理 念” 背 道 而驰 、 格 格不 入 的做 法 , 但 是 

q的奇 偶性 研 究 幂 函数 的 性 质 , 就 顺 理 成 章 了. 若 

在教 学 中 回避 了这 一 点 , 该 处 的 探 究 就 失 去 了 核 心 

却能最 自然 、 最朴 素 、 最 真实地 体现 教 学 的真谛 . 而 在  “ 升华 ” 阶段 , 为 了动 态反 映 幂 函 数 图象 的变 化 规 律 ,   才用 “ 几何 画板” 辅 助教 学 , 使 得信 息 技术 的运 用恰 如  其分 、 恰 到好 处.  

价值 .   2 . 3 关 于 例 4的 教 学  例 4 是 幂 函数 图象 与性 质 的初 步应用 . 无 论是 比  较 大小 , 还是解 不 等式 ( 作业 2 ) , 其 实质 是 将 不 等 问  题 向函数 问题转 化 , 体现 了 函数 与 方 程 、 不 等式 之 间 

2 玉 有 微瑕 , 缺 憾 尚待 修 复 
2 . 1   关 于 幂 函数 单 调 性 的 证 明 

用定 义证 明 函数 的 单 调 性 , 难 点 在 于 f( z   ) 与  f ( x   ) 的大 小 比较 . 从例 1中学 生 的解 答来 看 , 学生 1  

的密切 联 系 , 更 体现 了 函数 的 统 领作 用 , 在 教 学 中不  能忽 视这 一隐含 信息 , 因此 例题 的选 择 和处 理 也应 以  培养 学生 的 函数 应用 意识 与能力 为核 心. 在例 题选择  上, 应 该从 简单 到复杂 , 如可 以先 让 学 生 比较 2 . 2 。与 
1 . 8  的大小 ( 有 的学生 可能直 接算 出结果进 行 比较 ) ,  

由o ≤  <  。  

{ < ;  

z :<  z ; , 学 生 2由 0  

≤  < 。  z   <z  , 分 别将 幂 函数 y =x 。 及y —z 寺   的单 调性作 为推 理 的 依 据 , 严谨 性不 足 , 有 循 环 论 证  之嫌 . 笔者认 为 , 在 现 在 的学 习 阶段 , 只能 作 差 , 利 用  因式 分解 、 通分 、 配方 等变形 手段 , 根 据符 号法 则进 行 
证明, 即 Y   一Y z — z— z  一 ( z  一  ) ( x Z   +  )  
、 ,

再让 学生 比较 2 . 2 一 寺 与 1 . 8 一 号 的 大小. 由于很 难直 接  算 出结果 , 自然 要 采用 间接 法 , 幂 函数 的 图 象 与性 质  就 有 了用武之 地. 在 比较 大小 的过 程 中, 包 括 引入 中  间变 量 , 如 比较 1 . 5  。 与 0 . 8   的 大小 , 也应 引 导学 生  将两个 数 字放到 具体 的函数 图象 (  —   。 与y —  
中去理解 , 中间变量 1 就 自然呈 现 了.  

)  

1  

.  



、 



 

兰 2  
z   +d x Y 十  

, 因 为0 ≤ z , <  , 所以. 2 7 1 一 z 。  
+z  > o , 所以 y 1 一y 2  

教学 有 法 , 教 无 定法 . 在实 际教 学 中都 会 遇到 很  多的可 变因素 . 文老 师深 厚的教 学功 底在 本 节课 的精  彩 呈现 , 还需要 笔者 细细 学 习揣 摩. 所谈 拙见 , 若 有偏 
颇 之处 , 敬请 指正.  
参 考 文献 

GO , 而  +z   >0 ,   +z  

GO , 即 Y   Gy   , 从 而厂 ( z ) 一z 寺在 [ O , +c x 。 ) 上 单 调 
递 增.  

1 文 卫 星. 课例: 幂 函数 [ J ] .中 学 数 学 教 学 参 考 ( 上旬) ,  
2 01 1, 5  

2 . 2 关 于幂 函数性 质的探 究  在将 幂 函数按 照 愚 >1 、 O <k Gl 、 k GO ( 应 该 还包  括 k =0 、 k —1 ) 归 类后 , 如何 想 到将 k写成  ( P、 q为 

2 张奠宙, 木 振武 . 数学 美 与课 堂教 学 [ J ] . 数 学教 育学 报 ,  
2 00 1, 4  

3 涂荣豹. 谈提 高对 数学 教学 的认 识 [ J ] . 中 学 数 学 教 学 参 
考 。 2 0 0 6, 1 ~2  

教  
?   o n   ~ … …  一   一   , … … …  …一 …一 … ~ … 一  一 z o  

。 

0 、  

j  

■   ■ ■ 

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幂 函 数 教 学 的 关 键 所 在 
高建 国   束 荣盛 ( 江 苏省 扬州 大学 附属 中学 )  

幂 函数是新 课程 的新 增 内容 , 是各 地 教研 活 动 的 
“ 热 门” 课, 笔 者 听 了很 多节 关 于 幂 函数 的随 堂 课 、 公  开课, 每每 听完这 些课 , 总 觉得 有 些 缺憾 , 最 近 正 好 拜 

解决 问题 的办法 , 因 此 只要 教 会 学 生 学 会 画 图 , 让 学 

生借助 图象来 直 观解决 , “ 毫无头 绪 ” 的幂 函数 问题 处 
理 起来 就会 变得 清晰 明 了, 也 不 会 出 现 学 生 忘 记 幂 函 

读 了文卫 星老 师的《 课例 : 幂 函数 》 一文, 不禁 为文 老师  深厚 的教学 功底 所 折 服. 笔 者 就其 中一 个方 面—— 幂 

数 性质 而无 法解 决幂 函数 问题 的尴尬 局面.  

函数的 图象 , 谈谈 自己的学习体会及 一些粗浅认识.  

2 怎 样 实 施 图 象 教 学 
幂 函数 的图象 最重要 , 那 么如 何 实施 幂 函数 的 图  象教 学就 是本 节课 的关键 . 列表、 描点 、 连 线是 画函数  图象 的三个 步骤 , 这 一点 学生在 初 中 阶段 已经 掌握 得  很好了, 那么, 高 中 阶段 为什 么 还 要 强 调 画 图 ?笔 者  认为 , 初 中阶段 的 函数 图象 画法 是 在学 生对 函数性 质 
知 之 甚 少 的情 形 下 进 行 的 , 因 此 只 能 画 一 些 简 单 函 数 

1 图 象 VS性 质 
幂 函数 的教学 包括 幂 函数 的定 义 、 图象 、 性质、 性  质 应用 四个 内容 , 本 节课常 见 的一些 教学 误 区有 :  

( 1 ) 将过 多 的时间与精 力 投 入 到 f ( z ) 一3 z  与 厂 ( z)  
一z 。 是 不 是 幂 函数 的 概 念 辨 别 上 ; ( 2 ) 认 为 描 点 画 图 

是初 中 的内容 , 高 中生 不 需 要 做 如 此 “ 简单” 的 事情 ,   画 图一带 而过 , 或 事先用 多媒 体 画好 一投 了事 ; ( 3 ) 不 

的简 图 , 而高 中 阶段 由于 系统 研究 了 函数 的概 念及 性  质, 故 可以借助概念 与性质 , 在三个 步骤 的基础 上让 图  象 画得更 快更逼真. 幂函数 的 图象 不太 稳定 , 这 是一 个  很好地 引导学生探究 函数图象画法 的机会 , 值得珍惜.   方面, 教 师 应 教 会 学 生 借 助 函 数 性 质 高 效 画  图. 函数 的定 义 域 与 值 域 给 图象 控 制 了范 围 , 函数 的  奇偶性 可 以让 画图事 半功倍 , 函数 的单 调性 可 以准 确  画出 函数 图象 的走势. 这样 做可 以 帮助 学生 复 习巩 固  前 面所 学 内容 , 深化 函数 性 质 的理 解 , 领 悟 学 习 函 数 


遗余 力地 引导学 生总结 性质 , 结果 学 生 总不 能 回答 的  与课本 一样 , 启 而不 发 , 教 师 急 得 直 冒汗 ; ( 4 ) 有 的教  师讲“ 实惠” , 幂 函数 的 图象 与 性 质让 学 生 直 接 看 书 ,   接下来 的时 间全是对 照性 质去 解 题 , 在解题 中掌 握性  质, 甚至 要求学 生熟记 性 质 , 将数 学 学 习变 成 了“ 记忆 
式” 的机 械学 习.  

相 比之 下 , 文 老 师 的做 法 值得 学 习. 整 节课 文 老  师 紧扣幂 函数 图象 , 先 画 典 型 函数 厂 ( z) 一- z 号的图 象 

性 质 的意义.   另一 方 面 , 教 师 也 应 教 会学 生 灵 活 取 点. 点 取 得 

( 例1 ) , 旨在 让 学 生 熟 悉 画 图 的基 本 流 程 , 再 在 同一  坐标 系下 匦 5个指 数非 负 的 幂 函数 图象 ( 例 2 ) , 接下  来 画指 数为负 的幂 函数 图象 ( 例 3 ) , 最后 再 选 择部 分 
典 型 函数 图 象 集 中起 来 研 究 , 整 个 教 学 过 程 坚 持 从 局 

越多 图 画的 当然越精 确 , 但 计算 量 增 加 了 ; 取 得少 了 ,  

图象 很可 能失真 , 如何 在 两者之 间找 到平 衡 呢?这 就 
需 要 教师 引导 学 生寻 找 图象 的关 键 点 , 巧 妙 取 点. 文 

部 到整体 , 从特殊 到一 般 , 逐 步 深入 ; 坚 持 投入 大量 时 

老 师 的例 3 ( 3 ) 就 是 一 个 很 好 的范 例 , 遇 根 号 的 尽 量 

间让 学生作 图 , “ 纸上得 来终 觉 浅 , 绝 知 此事 要躬 行 ” ,  
学 生 只 有 亲 自将 图 形 画 出 来 , 性 质 的 总 结 才 会 水 到  渠成 .  

毋庸 置 疑 , 幂 函数 的图象 与性 质是 本 节课 的两个  重点 , 哪一点 最 重 要? 回顾 一 下课 标 要 求 , 本 节 课 的  教 学 目标 是会 画幂 函数 的图象 , 了解幂 函数 的变化 情  况 和性质. 因此 幂 函数的 图象应 该 是本 节课 的重 中之  重. 正如文 老师 所 言 , 学 生对 幂 函数 总体 上 感 到 头 绪 
多, 有些“ 乱 糟糟 的 , 前学后忘” , 既然如此 , 学 生 以 后 

取 可开 方数 , 尽 量对 称 取 点 , 尽 量 兼 顾 到 各 种 代 表 点  ( 与坐标 轴 的交点 、 横 坐标为 1的点等 ) .   回顾 一 下文老 师 的例 1 , 例1 按 照如下 流程 进行 :   研 究性 质一 描 点 画 图一 投 影 纠 正 作 图一 教 师 示 范 作  图一 多媒体 显示 精确 图形 . 这是 一 个多 么 完整 的指 导  学 生作 图 的过程 !可 惜 的是 , 有 些 教师 没 有能 够理 解 
教 材编 排者 的用 意 , 主 观 认 为 例 1画 图较 难 , 将 画 图  稍 简单 的例 2与 例 1对 调 , 先画图再研究性质, 看 似  由浅入深 , 实 则弄 巧成 拙.   ( 下 转第 1 4页 )  

碰 到幂 函数 问 题 怎么 办 ?“ 以形 助 数 ” 是 一 个 很 好 的 



 

嚣 

,  一   … … … 一   一   ~ . .   . ~ …  …一 一  .   . 一 。  

:  

空  

数 学 教 学 要  融 入 
徐 晓兵 ( 安 徽 省 无 为 中学 )  

初读文 卫 星老师 的《 课例 : 幂 函数 》 总 有一 种 疑 问  挥 之不去 : “ 幂 函 数” 这 样 教 是 否 会 被认 为 是 超 乎 理 

况 在 同一 坐标 系下分 别作 出其 图象 , 并通 过这 五类 函  数 图象 , 类 比归 纳 出 幂 函数 的性 质. 可 以认 为教 材 是 

性、 走 得太 远 , 远离《 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实验) 》   的要求 , 远 离教 材 的范 围 , 甚 至 是 远 离 了学 生 的认 知 
基础. 产 生 这 样 的 疑 问有 以 下 几 方 面 的 理 由 :  

紧扣《 普通 高 中数 学课 程标 准 ( 实验 ) 》 设计 的.   ( 3 ) 纵 观文 老 师 整个 课 例 的 设 计不 难 发 现 , 除 了 
引入 环节是 传统 的模 式 之外 , 从“ 幂 函 数 的 图象 和性 

( 1 ) 《 普 通高 中数学 课程 标准 ( 实验 ) 》 对幂 函数 有  如下 要求 : 通过实 例 , 了解幂 函数 的 概念 ; 结 合  —X,  
1   ,  

y =x   , y -  ̄x -。 ,  一÷,  —   寺 的图象 , 了解它们的变化 
工  

质” 这 一 环节 中例 1 ~例 3这 三道 例题 的设 计 可 以看  出既 有学 生动手 实践 的强调 , 也有 推 理证 明等 较为严  密 的逻辑推 理成 分 , 给 人 的感 觉是 在 直观感 觉 的基 础  上增加 了逻 辑思 维能力 培养 的 因素 , 尤其 是在 归纳 幂  函数 的性 质的过 程 中 , 对当 O <愚 < 1时 图象“ 上 凸” , 愚   > 1时图象“ 下凸” , 最 <0时 图象也 “ 下 凸” 这一 非常 态  性质 的延伸 , 将Y 一  表 示 为 Y— 苦( p、 q为互 质 的  的奇偶 性 也 分 为 三 类 , 对 应 着 幂 函数 的不 同对 称 情  形. 不 同角度 的归 类反 映的是 幂 函数在 形式 或 内容上 
的某 种共 同性 、 关联 性 或 一致 性 , 它 给 学生 一 种 和谐  的美感 .  

情况 .  

( 2 ) 教 材的设计 是 : 通过 问题情 境 的设 置 , 导入 幂 
1  

函数 =z 。的概 念后 , 仅就 口 =1 , 2 , 3 , ÷, ~1五类 情 

( 上接 第 l 3页 )  

3 重视图象的美育价值 
流畅 的 曲线 、 新 颖 的 图形 、 图象 间 的互相 联 系 构 

成 了幂 函数 的数学 美 , 它 是一 种奇 异之 美 、 和谐 之美 、   统一之 美. 本 节课 是 一 次 很 好 地 给学 生 渗 透 数 学 美 、   培养 数学美 感 、 提 高审 美能力 、 陶冶爱 美情 操 、 促进 学 
生积 极理解 数学 的教学 题材 . 实 际 教 学 中 可 以 从 三 个 

整体看 , 幂 函数 的图象均 过定 点 ( 1 , 1 ) , 第 一象 限 
的 图象有点 像“ 菊 花” , 从 中我 们还 可 以让学 生 领略一  下 图象 的统一美 , 感受 数学 的无 限魅力.   遗憾 的是 , 我 们 的很多 教师都 忽 略 了本节 课 的情 

角度来 引导 学生发 现 与鉴赏 幂 函数 的数学 美.  
逐个 看 , 可 以让 学 生 欣 赏 图 象 的 奇 异 美 . 品 味 一 

感投 入 , 而将 更 多 的 精 力 投 人 到 了如 何 应 用 性 质解 
题. 高 中数学有 很 多 可 以让 学 生 兴 奋 与着 迷 的地 方 ,  

下 文老师对 Y—  亏 的 图象 特 征 的描 述 : “ 这个 图象 有 
点像 大雁 的翅膀 … … 预示 着 我们 今 天 ‘ 远行 ’ 有 一 个  好 的开端. ” 图象 特 征 描 述形 象 生 动 , 引人 人 胜 , 富 有  哲理 , 值得 借鉴. 也 可 以换个 角度 , 譬 如用 词语 来描 述 
幂 函数 的图象特 征 : “ 展翅翱 翔” 描 述  =  亏, “ 比翼 双  飞” 描述 Y —z _ 。 , “ 直 冲云霄” 描 述 Y一   ,“ 一 溜 青  烟” 描述  —z 寺, 等 等. 指 数稍微 一变 , 图象差 别很 大 ,   其 中的玄妙 是不 是很 奇异 、 很美?  

在 无情 的升学压 力下 , 被很 多教 师无 情 的抛弃 了. “ 数 
学很枯 燥 ” “ 数学 很无聊 ” “ 如果 不 是高 考 , 我肯 定不 学 
数学 ” … …学生 能 得 出这 么 多 对 数 学 的消 极 结论 , 教 

师 难咎其 责.  

我们 的教师 为何 不能将 目光 放 长远 一点 , 提 高学 
生 对数学 的感情 , 实 现高考 分值 与提 高学 生 自身发 展  的和谐统 一 , 让 学生 用积极 的态 度去学 数学 呢.  

衷心 感谢 文老 师 的 精 彩课 例 , 谢谢《 中学 数学 教  学 参考 》 “ 课例 点评” 栏 目提 供 了一个 如此 优 秀 的学 习 
平台!  
参 考 文献  1 文卫 星. 课 例: 幂 函数 [ J ] . 中学 数 学 教 学参 考 ( 上旬) ,  
201 1。 5  

分类 看 , 可 以引导 学 生 发 现 图象 之 间 的联 系 , 总  结 幂 函数 的性 质 , 感 受 图象 的和 谐 美. 如 文 老 师通 过  对 函数单 调性及 图象 上 凸 、 下 凸的归 类研 究将 幂 函数 
分 为三类 ; 按照幂 指 数  (  , g为 互 质 的整 数 ) 中 户、 q  

教 籼控  龌例点评  

。,  

∞  

2 0 1 1 年第8 期( 上甸)  
中 学擞 学教 学 参 考  

整数 ) 并对 P 、 q为奇 偶 时 分类 讨 论 ; “ 升华 ” 环 节 中通 
过 作 直 线  一“观 察 A   , A 。 , …, A  位 置 ; 从 幂 函 数 图 

总体印象就有些模糊 , 像文老师把 k 表示为k 一- 兰 I ( P 、  
q为互质 整数 ) 分类 讨 论 P、 q为 奇偶 的各 种情 况 , 所  有 的幂 函数都 可 以归 类 为 z 芳的 形式 , 进而转化为 Y  
一  

象发现 指数 函数 的单 调性 来 沟 通 幂 函数 与 指数 函数  的内在联 系 ; 随着 志的变化 , 通过 幂 函数 图象 与 =l 、   一1 、  一  的靠 近程 度观 察 、 分析 、 归纳, 无 不 反映 出 

的形式 , 即使 不 画 出图 象 , 我们仅从“ 解 析式 ”  

课例对 幂 函数 的概 念 由浅人 深 、 由表及 里 、 由 内 向外  的全 方位 、 多 角度 、 多层次 的探 究. 与 其说 本课 例 是概  念教学 , 倒不 如说 给人 以深 刻 的 活 动探 究 的感 觉 , 而 
这 一 系 列 的教 学 设 计 和 教 学 活 动 是 否 被 怀 疑 为 既 超 

角度 也能 了解 到 幂 函数 过 某 些 特 殊 点 、 奇偶性、 图象 

分布 和变化 趋 势 , 从 而勾 勒 出 函数 图象 的 轮 廓 , 无 需  借助五 种 函数. 相 比之 下 , 传 统 的教 学 有 “ / 口见 树 木 ,  
不见森 林 ” 之嫌 .  

越 了课 程标准 和教 材的基 本要 求 , 又 是学 生认 知 能力 
所不及 的.  

传 统 的教学 设计 中对  = = =  。图象 、 性质 的 研究 只  是 注重 对 函数 单 调 性 的 讨 论 , 尤其注重对 a > 0和 a   <O 两 类 函数 间 的 比较 和研 究 , 而文 老 师不仅 如此 , 更  为突 出了对 O <a <1 、 a > 1和 a < 0每 一 类 函数 图 象  和性 质 的 比较 、 分析、 概括, 如既有 对Y —   与 Y 一   丁 专、  
—  

上 述疑 问远不 止笔 者有 , 相 信 很 多 同仁都 有类 似  的感受 . 因为我 们 被 “ 以本 为 本 , 以纲 为 纲 ” 的教 育 熏  陶得太 久 , 有上 述很 传统 的疑 问是 再 自然不 过 的事 情  了. 但是 回过头 来想 一想 我们对 “ 幂 函数” 这一 节 内容  的处理 , 抛 开课 程 标 准 和教 材 , 其 实文 老 师 的教 学 设 
计 的很多 方面 与我们 平时 的想 法是 一致 的 , 甚 至 在 内 

。 与  —z 寺 图象 关于  =   T对 称 这些 图 象性 质 的 

研究, 也 有“ 对志 > 1的情 况 下 。 指 数 越大 , 图 象越 靠 近 
直线  一1 , 当  由大逐 渐变 小时 图象 远离  一1而靠  近直 线 一 … …” 这 一 动 态 地 研 究 一类 函数 中各 种  函数 的性 质. 这 一 系列隐性 性 质 的研 究对 拓 宽学 生 的  视野 、 丰富学生 的研 究视 角 的作 用 是显而 易见 的.   因此我 们 有理 由认 为 , 文 老师 对幂 函数 的研究 是  多角度 、 多层 次 、 全方 位 的 , 而不 是 孤立 地 看待 五 种幂 

心 赞叹文 老师 对 幂 函数 性 质 的认 识 比我 们 要 深 刻 得 
多. 带 着这样 的 想法 , 我们 完 全 有 必 要 对 课 程 标 准 和 
教材 , 对学 生要 有一个 重新 的审视 , 那 么 文老 师 的“ 幂 

函数 ” 课例 给我们 这些带 有浓 重传 统 观点 的教 师有 哪 
些 启示 呢 ?  

1 “ 以本 为 本 , 以纲 为纲 ” 应 当进一 步 完善 为  “ 依据本纲 , 又不拘泥于本纲”  
依 据课程 标准 , 理解 并把握 教 材是 教 师进 行课 堂 
教学最 为基础 的 要求 , 这 是 教学 的方 向和 根 本. 但 是 
就 教材 而教教 材 , 甚 至不 敢 越 雷 池 一 步 , 是否禁锢 了  

函数 , 如此 我们课 堂教 学将 变得 丰满起 来 .  

2   概 念教 学不 能走模 式化 之路 , 在 教 学 过 程  中 要 融 入 自己的 个 性 化 元 素 
对 概念教 学 非 常 普遍 的一 种 做 法 是 “ 一个 定 义 ,   几项 注 意” 式 的抽象 化讲 解 , 概 念 的给 出抽 象 化 , 概念 

教者 的想法 , 淹 没 了教 者 个 性 化 的 思 维 , 甚 至 是 否 可  以理 解为扼 杀 了为 学 生进 一 步 发 展 提 供 广 阔 空 间 的  创造 性. 回眸一下 我们 对“ 幂 函数 ” 这 一节 课 的 常态化  处理 : 通过 问题情 境 创 设 , 导 人 幂 函数 的 概 念 或 者直  白地毫 不掩饰 地给 出一 类 函 数 Y 一, 3 7 。 , 然后就 a =1 ,  
1  

的辨 析 、 深化抽 象 化. 很 多 教 师 认 为 是 否 理 解 概念 关 
键看 应用 , 看 问题 是 否解 决 , 而 解 决 问 题 又可 以通 过  强化 训练达 到 , 因此 概念 的形 成 过 程 、 性 质 的概 括 过 

程被 边 缘 化 , 这不仅造成概念教学 “ 千 人 一 面” 的 局 
面, 更 为突 出 的是 概 念教 学 变 成 教 师 的“ 一言堂” “ 灌 

2 , 3 , 一1 , 音五类情形分别列表 、 描点 、 画出其 图象或 
厶 

输 式教学 ” 的乐 土 , 淹 没 了学 生 在 概 念 教 学 中思 维 等  能 力 的培养 . 同时大 家 又囿 于对课 程标 准 中“ 幂 函数 ”   教 学要求 表 面化 的理解 , 更造 成 了幂 函数 教学 “ 不二”  

利用 “ 几何 画板 ” 动 画演示其 图 象 , 通 过 五类 函数 的图  象 归纳 出幂 函数的诸 多性 质 , 最 后是 幂 函 数性质 的 应  用. 相信这样一种“ 千人一面” 的设 计 大 家 都 非 常 熟 

的 教学 设 计 , 而 本 课 例 在 教 学 教 程 中 就 有 自 己 的 
理解 :  

悉, 但 是与文 老 师 的教 学 设计 相 比确 实 有 些 “ 弱 不 禁 
风” .  

( 1 ) 对 概念 的辨 析没有 放松 .   幂函数 的概念 没有 什 么关键 词 也很 简 洁 , 但 是 文 
1   1  

常态的 教学设 计 给 学 生 的 是 脑 子 里 始终 只有 五 

种 函数 的 图象 , 对这 五种 函数 图象 的性 质 的 了解 始终  处 于直 观 、 形 象化 阶 段 , 而这 一 切 又 成 为认 识 幂 函数  的基础 . 对于 Y —   , a在各 种情 形之 下 的图象 和性 质 

老师还是给出了  一  , y = x   +  , y 一吉   , y :3   , y  
J ,  

。 这些 函数 让学 生们 去 辨 析 , 目的 只有 一 个 , 即让  学 生对 幂 函数认识 更完 备.  
一  

2 0 1 1年 第8期 (上 旬 )  
中学盘 - 一一   ● 学教 学 参考 

亨  
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( 2 ) 通 过 对 概 念 概 括 过 程 的 展 示 得 到 概 念 的 本 质 
属性 .  

样 的认 识 , 判断 我们 的 教 学 过程 是 否 恰 当 , 唯 一标 准  就是通 过学 习是否 促进 了学生 的发展 .   “ 幂 函数 ” 是 一节 概 念 课 , 引用 章 建跃 老 师 的话 :   “ 概念是 思维 的细胞 , 数学根 本是 玩概 念 的 , 因此我 们  必 须十分 重视基 本概 念 的教 学 , 在核 心概 念上 要做 到 
不 惜时 、 不 惜力 . ” 从 文 老 师 的 教 学 全 过 程 可 以 深 刻 地  感受到课 例对 幂 函数 概念 的 投入 是 不惜 时、 不 惜  力 的.  

本 课例浓 墨 重 彩 之 处 就 在 于 对 Y一   从 0 <k  
<1 、 忌 >1 、 忌 <0的 角度 , 从 k 一  (  、 q为互 质 整 数 )  
p  

的角度 , 对各 种情形 之下 图象变 化趋 势极 有 耐心 的分  析、 概括 , 这既是 基于 对概念 要求 的具 体 界定 , 最 为准  确地 把握 概念 的 细节 , 更 重 要 的是 对 概 念 内涵 的 “ 深 
加工 ” , 尽 管这 一 “ 深 加 工” 的 过 程 有 可 能 让 大 家 产 生 

“ 深 挖洞 ” 的疑问, 但 是 这 对 加 深 学 生 对 幂 函 数 的 认  识、 强化幂 函数 性 质 的概 括 理 解是 有 帮助 的 , 更 重 要  的是 教给学 生用不 同的视角对 数 学 问题研 究 的方 法 ,  

如对 例 1的处 理 有 分 析 、 有证 明, 给 予学 生 耐心  细致 的列 表 、 描点 、 作 图时 间 , 有学 生 手工作 品 的展示 

与 电脑制作 的 比对 , 不 仅 给 学 生 了 动手 实 践 的机 会 ,  
同时 给学生 留下对 幂 函数 非 常清 晰 、 非 常完 美 的第一  印象 , 体现 了文老 师对学 生从 直观 到抽 象过 程 中直观 

使学 生对幂 函数 的认识 更加鲜 活丰 满.  
有 了对 幂 函数 不一样 的认 识 之后 , 文 老师在 教 学 
上也有 自己个性化 的处 理 :  

阶段 作用 的尊重. 学生在 解决 例 2 、 例 3问题之 后教师 
没有停 留而是 继续 向纵深 推进 , 以这 两 道例题 为 载体  通过教 师 的进 一步 分析 、 概 括 以及 “ 深 化” 与“ 升华 ” 两  环节 的设 计 , 引导学 生对 问题属 性抽 象 概括 出数 学问 

( 1 ) 建立 与相 关 概 念 的 联 系 , 形 成功 能 良好 的数  学认知 结构 .   如例 1研 究  —  号 的定义 域 、 奇偶 性 、 单 调性 、 值 

域 并作 出图象 , 课 例 在 设计 这 一 问题 时 , 没 有 通 过 图 
象来分析 函数 性质 ( 尽管这 样 的设计 给 学生 以很 好 的 

题 的本 质属性 , 这 样 既 讲 背景 又 讲 思 想 与应 用 , 让 学  生经历 概念 的概括 过程 , 这 对发 展学 生 的数学 能 力具 
有 很 基 础 的作 用 . 正 是 由 于 文 老 师 对 幂 函 数 概 念 不 惜 

形 象直 观地感 性 认 识 ) , 而 是 通过 Y — 寺一  I z   的转  化, 从解 析式 的角 度来 研 究 , 这样 可 以很 好 地 沟通 幂  函数与其 他概念 如一 般 函数 的 奇偶性 、 单 调性 之 问 的  联系, 使 幂 函数 能 融入 函数 这 个 大 家 庭 , 使 学生 认 知 
纵 横交错 , 这是 概念 教学 的精致 之处.   ( 2 ) 所 有概 念 的概括过 程都有 学生 参与.  
概 念 教 学 完 全 可 以发 挥 教 师 先 行 组 织 者 的 作 用 ,  

时、 不惜 力 的努 力 ,以及 其设 计 的 概念 的概 括 过程 反 
映 了知识 的形 成过 程 , 使学 生在 这一 过程 中既学 到 了  
知识, 掌 握 了方 法 , 培 养 了数学思 维 能力 , 又 很 好 地 促 

进 了学生 的发展 , 这 从 例 2中学 生 的证 明 , 例 2 、 例 3   中学生对 幂 函数性质 的总 结 , 应 用环 节 中学生 对幂 函 
数 性 质 的 应 用 等 活 动 中都 有 明显 的 反 映 .  

不可 否认本 课例 也有值 得商 榷 的地方 , 尽 管本 课  例 以问题 为核 心 , 但始 终摆 脱不 了学 生被 教师 牵着走 
的感 觉 , 甚 至 有 些 问 题 超 出 了 学 生 思 维 的 最 近 发 展 

但 是这样 做很 明显 不 利 于 对学 生 数 学 兴 趣 的培 养 和 
探 究能力 的形成 , 也 势 必 导 致 学 生 对 概 念 没 有 很 深 刻 

的印象 , 更 没有 理性 的认 识 . 本 课 例 从 引 入环 节 开 始  让 学生辨 析幂 函数 , 例1 、 例 2中用 实物投 影展示 学生  的成果 , 例 3中通 过 图象 对 幂 函数 性 质 的 总结 , 应 用 

区, 学生 提 出问题 的 意识 不 强 烈 , 解 决 问题 的机 会 也  有很 大 的局 限性 , 尤其 是“ 升华” 环节 不太 符合 学生 的 

认 知现实 . 但是 瑕 不掩 瑜 , 我们 从 课 例 中还是 深 切感  受 到 了上 好一节 课教 师的专 业素 养 的重要 性 , 这体 现 
了课 堂教 学 的科 学性 . 个性 化 的理解 和个 性化 设计 在 

环 节 中对 学生 解题 思 维 过 程 的充 分 暴 露 都 反 映 出文 
老 师要贯 彻 “ 通 过 概 念 的 概 括 过 程 得 到 概 念 本 质 属 

性” 这一思 想 , 这 不仅 是对学 生 主体地 位 的尊 重 , 也是  教 师对概 念教学 不一 样理解 的个 性化 落实.  

课 堂教学 中的有 机融 合 , 体 现 了课 堂 教学 的艺 术性 ,   也 加深 了我们 对课 堂教 学 是科 学 的也 是 艺 术 的这 一  观 点 的理 解 , 但 是这需 要教 师富有 个 性化 的思 想及 其 
个 性化 的创造.  
参 考 文 献 

3 一 切 教 学 行为 都应 当 围 绕 有 利 于 学 生 发 展 
这 一 根 本 要求 
《 普通 高 中数 学 课 程 标准 ( 实验 ) 》 的制定 和数 学 

1   章 建跃 . 中 学 数 学课 改 的 十 个 论 题 [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 
( 上旬) , 2 0 1 0 , 3  

教 材 的编 写 , 立 足 点 是 帮 助 学 生 认 识 数 学 的 科 学 价 

2 罗增 儒 . 从定义 到定理 的下位学 习 , 从 情 境 到模 式 的 提 炼  过程[ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 ( 上旬 ) , 2 0 1 0 , 1 ~2  

值、 文化价 值 , 提 高学 生 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问  
题 的能力 , 形成理 性思 维 、 发 展智 力 和创新 意识 , 我们 
的一 切 教 学 行 为 都 应 当 符 合 并 围 绕 这 一 要 求 . 基 于 这 

3 郑毓信. 多 元 表 征理 论 与 概 念 教 学 [ J ] . 中学 数 学 教 学 参 考 
(E旬 ) , 2 0 1 1 , 5  

教 学 时  

棼  

叼  

。  

2 0 1 1年 第 8 期 (上 甸 )  
中 学瓠 跨教 学参 考 

。   誊 一 一  

问渠哪 得 清如 许 ,   为 有 源 头 活 水 来 
任 意 角 教 学 有 感 
林 吉广 ( 浙 江省平 湖 中学 )   此, 它们 可 以合 并 为 1 8 0 。 的所 有 整 数 倍 , 故 终 边 在 
轴 上 的 角 的 集 合 为  S — S  U   S 2 一{  I 卢 一9 0 。 +2 k× 1 8 0 。 , k   E   Z)   U{  {  一 9 O 。 +( 2 k +1 ) ×1 8 0 。 , k   E   Z) :{  f  = 9 0 。 4 - ”  
×1 8 0 。 , ”∈ Z } .  

1 问题 的 提 出 
人 教 A 版《 数学 4 》 第 一 章 第 一 节 第一 课 时是 向   学 生讲解 角 的概念 的推广 . 把 角看 成平 面 内一 条射 线 
绕 着端点从 一 个 位置 旋 转 到 另 一个 位 置所 形 成 的 图  

形, 并规定 : 按逆 时针 方 向旋 转形 成 的角 叫做正 角 , 按 
顺 时针方 向旋转 形成 的角 叫做 负角 , 如 果一 条射 线 没  有 任何旋转 , 我 们称 它 形 成 了一 个 零 角. 这 样 我 们 把 
角 的 概 念 推 广 到 了任 意 角 , 包 括 正角 、 负角 和零 角.  

以上讲 解 法 条 理 清 楚 , 推 理严 密 , 体现 了分 类讨 
论 和等 价转 化思 想. 曾经 有 学 生 问 笔 者 如 下 的 问题 :   集合 S   和 S  中 的 变 量 志是 否相 同 , 能否不 同 , 集合 S   中 为 什 么 不 继 续 用 是 表 述 ? 这 个 问 题 的 出 现 说 明 学 

接下来 我们把 角放 在平 面直 角 坐标 系 中研 究 , 固   定 角的始边 为  轴 正半 轴 , 揭 示 了角 的终边 位置 和 角 
的对 应关 系 : 所 有 与 角 a终 边 相 同 的 角 , 连 同 a在 内 

生 对于任 意角 概 念 本 质 不清 楚 和 整 数 理 论 知识 储 备 
还很 欠缺 . 而 这 种 解 法 在 一 定 程 度 上 反 映 出 的 就 是 并  未从 运动 的观 点抓住 角 的形成 过 程 . 解 法 枯 燥 而 且 缺  乏活 力 , 不 能 很 好 地 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣 和 揭 示 数 学 
概念 的本 质.  

可构成 一个 集 合 S一 {  l  —a +k? 3 6 0 。 , k EZ) , 即任 


与角 a终 边 相 同 的 角 , 都 可 以 写 成 角 a与 整 数 个 周 

角 的和. 应用 此结 论 可 以判 断 已知 角 的终 边 位 置 , 也 

可 以已知终边 位置来 表示 终边 相 同 的所有 角. 如 教材  中配套 例 2 : 写 出终 边 在 Y轴上 的 角 的 集 合. 我 们 往 
往 做如下 的 引导和讲 解 :  



2 溯 本 求 源 
我 们 在 定 义 角 的 过 程 中 比 较 容 易 做 到 引 导 学 生 

发现如 下事 实 : 角 的终边 如果 从  『轴正 半轴 逆时 针 旋 
转, 形成 正角 ; 从 某 个 位 置逆 时针 旋 转 , 则 角增 大 . 角 
的终 边 如 果 从 z轴 正 半 轴 顺 时 针 旋 转 , 形 成 负角 ; 从 

‘ 在 0 。 ~3 6 0 。 间, 终 边 在 Y轴 上 的角 有 两 个 , 即   与 9 O 。 角终边 相 同的角 构成 的集合 是 S   一{  l p  

9 0 。 和 2 7 0 。 ,  
。 .



某个 位置 顺时 针旋 转 , 则 角减 小 . 从 这 个 角度 再 来 看 
S 一{  f  一 a +忌? 3 6 0 。 , k Ez) , 我 们 不 难 发 现 角  是 

一9 0。 + 尼× 3 6 0。 , 志E Z} .  

同理 , 与 2 7 0 。 角 终 边 相 同的 角 构 成 的集 合 是 S 。  


由一 个“ 基础角 ”O t 通过 每次旋 转 志个 3 6 0 。 得到的, 其  中是 >O表示 逆 时针 旋转 , 忌 < O表示 顺 时针 旋 转 , I   k   l 表示 旋 转 的次 数 , 我 们 可 以 得 到 更 一 般 的 形 式:   S 一{ 』 9 {  一a +k? y , 是 Ez} , 定义 : a为基 础 角 ; 7为旋  转角( 每 次 旋转 的角 度 ) ; 志为 旋 转 变 量 ( 控 制旋 转 的  方 向和 次数 ) . 集合 S表 示 由   生成 的角 的集合 .   接 下来我 们再 来解决 例 2 .  
我 们 发 现 可 以 找 到 一 个 终 边 位 置 作 为 基 础 角 


{  『 卢 =2 7 0 。 十 志x   3 6 0 。 , 是 E Z) .  

教师提问: 同学 们 思 考一 下 , 能否 将 这 两 个式 子 
写成统 一表达式 ?  

教师 : 一下 子 可 能看 不 出来 , 这 时 我们 将 这 两 个 
式子做一 简单变 化.   即S   一{  J  一 9 O 。 +k ×3 6 0 。 , k   E   z) 一{  }  一 9 0 。  
+2 k×1 8 0 。 , 是 Ez } ,   ① 

S 2 一{ p  一 2 l 7 0 。 +k ×3 6 0 。 , k   E   z} 一{  l  一9 0 。  
+1 8 O 。 +2 忌× 1 8 0 。 , k   E   Z} 一{  l  一9 0 。 +( 2 k+ 1 )  
×1 8 0 。 , k EZ } .   ② 

9 0 。 , 每次旋 转旋 转 角 y 一1 8 0 。 , 周 而 复 始 即可 以得 

到满 足 条 件 的 所 有 角 : S一 {  I  一 9 0 。 + 走?1 8 0 。 ,  
惫 E  Z} .  

教师: 在① 式等 号右 边后一 项是 1 8 0 。 的所 有偶 数 

变式 1 : 写 出各 象 限角平分 线上 的 角.  

倍; 在 ②式等 号 右边 后 一 项是 1 8 0 。 的所 有 奇 数 倍 . 因 

解: 基础 角 a 一4 5 。 , 每 次旋转旋转 角 y =9 0 。 , S  

基  ~  

j  

中学 盎 学教 学参 考 


{ 卢 I 卢 一4 5 。 +是? 9 0 。 , k EZ} .  

变式 2 : 集 合 A一 { 口 I a 一6 0 。 +是? 3 6 0 。 , 志 EZ} , B  


{ a   I 口 一6 0 。 + k?9 0 。 , k   E   Z) , C一 { 口1 口 一6 0 。 +愚   1 8 0 。 , k ∈z } , 那 么集合 A、 B、 C的关 系如何 ?   解: 易知 A 表示 与 6 O 。 终 边 相 
  J

『   ,  
(   一1 )?  

( 2   一 号 ) ?  

( 2 n 一 号 ) ? 兀  

?

同的所有 角 , C表示 与 6 O 。 终 边 共 线  的所有角 , B表示 与 6 0 。 终 边共 线 或  垂 直的所 有角 , 故 A  C  B .   推广 到 区 间 角 : 用 集 合 表 示 终  边 落在 阴影 部 分 ( 包括边界 ) 的角 ,  
● ● - -

5  

● 



 



D  5  
5  

:  
一 一

f (   一 专 ) ? 丌   .   ]  
【   起   ’   竹   J ’  
容易 归纳 出 :  

图 1  

( 1 ) 每一组 的第一 个 区问是满 足题意 的 

2 ) 每隔 3个 区间就 会 出现 满 足题 意 的 区间 , 这  确 定 基 础 区 间 [ 0 , 手 ] , 如 图 1 , 因 为 阴 影 为 对 顶 角 部   ( = = 4 , 即满足 题意 区 间出现 的周 期为 4 , 当然  分 , 可 以 确 定 旋 转 角 兀 , 所 以 s - / p l  ̄ + k ? 丌 ≤  号   是 因为旦 =

+是 ? 7 【 , 忌∈ z 1 .  
可 以说 , 这样 讲解不 仅抓 住 了任 意角 概念 的数 学 

2 n  

就是 每 隔 3个 区间就会 得 到满足题 意 的新 区间了.  

本质 , 也使 数学更 加生 动 , 激 发 了学 生学 习的积极 性.  

詈 的 终 边 位 置 判 断 方 法 提 炼 :  
第一 步 : 将 各象 限  等分 ;   第二 步 : 确 定旦 的第 一个 基础 区间 ;  

3 一 个 司 空 见 惯 的 问题 

已 知 a 是 第 一 象 限 角 , 指 出 号 、 号 的 终 边 位 置 .   解 : k ? 2 7 c < a < 号 + 是 ? 2 7 c , k E Z ,  
‘ ?
?

第 三步 : 每 隔 3个 都 将 是 合 乎 
题意 的.  

备注: 若 a给 出 是 某象 限 的所  有 可能 角 , 那 么 旦 的 终边 可 能位 置 
, I  

5  

k   n < 2 < 4 + k ’7 c , k E Z,  

‘ 



孥 < 号 < 号 + 忌 ? 孥 , k E Z .  

也 有  个 .  

图4  

分别 容易得 到 如图 2 、 图 3位置 即为所 求. 接 下来 

另 附 图 4 , 以 第 一 象 限 角 a 来 探 究 詈 的 终 边 位 置 .  
4 用 运 动 的 观 点研 究 角 的重 要 性 
在新 课改 的大背景 下 , 减负 和高 效之 间 的矛盾是 
当前 教 育 工 作 者 亟 待 解 决 的 问 题 , 我 们 不 能 以课 堂 上 

我 们以 第 一 象 限 角a 来 探 究 詈 的 终 边 位 置 .  
5   . 5  


| 一 l  
D  5  
5  
‘ _

5  
:、 、   、  

:  
? - ?

5、  

过 多 的强化操 作 、 机 械模 仿 为 学 生来 换 取 一 种“ 应试  教 育下 ” 的高效 , 这 就要 求 教 师更 多 的 时 候要 把 最 基  本 的原 理传授 给学 生 , 从 而在高 中 阶段打 下坚 实 的基 
础, 实 现真正 意义 上 对 数学 本 质 的理 解 , 达 到我 们 公 

图 2  

图 3  

易 得 愚?   < 旦 <  + 忌?  

, 矗 E Z, 基础区间:  

f 、   0 ,  , 1   , 即第一象限   等分的 第一部分, 然后每次旋  
转  都得 到  可 能 的终边位 置. 为 了把 问题看得 更 清 
7 2  

认 的“ 高效” . 从运 动 的角 度理 解 角 的 形成 过 程 , 对 后  面学 习和理解 三 角 函数 定 义 中 的 为什 么 三 角 函数 值  只与角 的终边 位置 有关 、 诱 导公 式 中 的角 a为什 么是  任意 角 、 三 角函数 的图象 为什 么具 有 中期 性 等知识 点  都具有 指导性 的作 用. 笔 者想新 课 改 的根本 目的是提  高学生 分析 问题 和解决 问题 的能力 , 高 中数 学作 为基  础学科 , 高 中数 学教 师 的根本任 务 也就是 帮 助学生 理  解基本 原理 , 掌握基 础知识 , 熟 练基 本技 能 , 从 而 为培  养和 出现大 师级人 才做 贡献. 而原 理性 的东 西是 基础  中的基础 , 故教师 应该溯 本求 源 , 切 不可舍 本求末.  

楚, 我们 不妨 列 出坐标 系内所 有 区间 :  

( 0 ,   ) ,  (  , 詈 ) ,  ( 詈 ,  ) ,  (  ,  ) ,   (  ,   ) ,   (  ,  ) ,   (   ,  ) ,   (  ,  ) ,…  

教  2 0 1 1 年 第8期 (上 旬 )   中 学 毅 学教 学参 考 

课 后 反 思 , 与精 彩 对 话 
个 教 师 写 一 辈 子 教 案 不 一 定 成 为 名 师 , 如 果 一 个 教 师 写 三 年 反  思 就 有 可 能 成 为 名 师. ”反 思 , 让 我 们 不 断 提 高 , 常 教 常 新 .  



宋海永  严 东泰 ( 江 苏省 常州 市武进 高级 中学 )   叶澜教授 指 出 : “ 一 个 教 师 写 一 辈 子 教 案 不一 定 
成 为名 师 , 如 果 一 个 教 师 写 三 年 反 思 就 有 可 能 成 为 名  解 得 一  1 ≤走 <  5
. 

师. ” 可见, 教学 反思 不失 为一种 促 进 教师 改进 教 学策  略, 不断 提升 自己教 学水 平 的有 效 手 段 . 所 谓 教 学 反  思, 是指 教师对 教育 教学 实践 的再 认识 、 再思考, 并 以  此来 总结 经验教 训 , 进 一 步提高 教育 教学水 平 .  
那么, 教 学 后 反 思 什 么 呢 ? 可 能 要 反 思 的 方 面 很 

综 上 ( 1 ) ( 2 ) 得 一   ≤ 是 < 导 .  
但 是, 在 笔 者 为 完 全 按 照 计 划 完 成 教 学 而 得 意  时, 一 个学 生举 手 发 言 , 他 是 在 解 法 1的 基 础 上 做 了   改进 , 现例举 如 下.  

多, 作为 高 中数 学 教学 一 线 教 师 , 笔 者 现 结 合 自己 的  教学 经验 , 从 三 个方 面与 同行共 商榷 .  

解 法 2 : ‘ . ’ 厂 (   ) 一   2 一   3   — k 的 对 称 轴   一 导  
E (一 1, 1),  

1   反 思 动态 生成 , 让 课 堂 更 精 彩 
理想 的教学是 一个 动态 生成 的 过程 , 课 堂 的精 彩  往往来 自精 心预设 基础 上 的绝妙 “ 生 成” , 他 给课 堂 提  供 了无 比宝 贵 的 教 学 资 源 , 让 课 堂 焕 发 出 生 命 的 色  彩. 笔 者刚参加 工作 时 , 在一次 复 习课 “ 一 元 二次 方 程  根的分 布” 上, 讲 解 了 如下 一 道 例 题 , 并 通 过 引导 、 探  索、 类比, 师生 互动 , 给 出了解法 .   例 1 若 方程 。 一 
试 求 惫的 取 值 范 围.  

更 确切 地说  一÷在 ( 0 , 1 ) 上,  

. . 



一   z —k 一0在 ( 一1 , 1 ) 上有 实 根 的充 要 条 

件 是/ I   厂 (


A  ̄ 0, 1 ) >。 .  

该 解 法 的 特 点 是 发 现 了本 题 的 特 殊 性 , 即 对 称 轴  在 已知 的区 间内 , 从 而 瞬 间 将 难 题 破解 . 虽 然 该 解 法 

—k在 ( 一1 , 1 ) 上 有实 根 ,  

不具 有一般 性 , 但 这 是 笔 者 在 备课 中 没有 意识 到 的.  

然而 事情并 没 有 在此 结 束 , 几位学生又竞相举手, 给 
出 了以下两 种更 精彩 的解 法.  

解法 1 : 令 厂 (  ) 一  一 

~k ,  

解法 3 : 若 z   一   0   一走在 ( 一1 , 1 ) 上 有解 ,  

( 1 ) 若方 程在 ( 一1 , 1 ) 上 有两 个解 ,  
f △≥ O,  

令. y —  。 一_ 芸 _ z ,  E( 一1 , 1 ) 的值域为 M ,  
则原 方程 在 ( 一1 , 1 ) 上有 解 , 只需 k EM 即 可 .  

则 {   ( 1 ) > o ,  解 得 一   ≤ 志 < 一 1 2 .  
【 - 厂 ( 一1 ) >0 ,.  
( 2 ) 若方 程在 ( 一1 , 1 ) 上有 一个 解 ,  
) = 则 - 厂(一 1 ) ?厂( 1 )< 0 或  f ( -1 ) >。
O’  

该解 法 的妙处 于将 原 问题 转 化 为 求 二 次 函数 的  值域 问题 , 运用 了转 化思 想 , 而对 于值 域 问题 的处 理 ,   学生 能使 用 的手段 就多 了 , 问题 也 就简单 了.  

f 厂 ( 1 ) =0 ,   一1 f ( -1 ) >o ,  

解法 4 : 令厂 (  ) 一   一昔 ,  ∈( 一l , 1 ) , g ( z )  
= 最 .  

曼塞 

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中学 墨 学囊 学 参考 

若 方程在 ( 一1 , 1 ) 上 有解 , 则 
只要 厂  ) 和g (  ) 的 图 象 有 交 点 


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5   2  …
● 

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3   反思研究过程 , 让教学更高效 
数 学研 究是每位 数学 教师 的基 本能 力 , 而在 对试 

即可 , 草 图如右 图所示 .   该解 法很好 地将 一个 代 数 问  题 转 化 为 图象 交 点 问 题 , 运 用 了 
进行 讨论 .  

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3  

题 的研 究过 程 中 , 难免走弯路, 但是 通过 对 试 题研 究 
过 程 的反 思 , 不仅 可 以 知 一点 而 网一 面 , 更 能 提升 教 
学 效果 , 优化课 堂教 学.   例 3 设 P(  ,  ) ( 3 , ≠0 ) 是 椭 圆  x z   1 _ y 而 Z 一1上 的 

数形 结合 的思想 , 而且 该解 法还 能进 一步 对解 的个 数 
课后 , 笔者 回顾 了整 节课 , 真 是精 彩之 致. 虽 然这 

堂课 没有按 计划 完成教 学任务 , 但是 学生 的 积极 性却  十分 高涨 , 学习 数 学 的兴 趣 也 被 调 动起 来 了. 笔 者 认 
真地 进行 了反 思 : 一方 面 , 更 加 深 刻 地 认 识 到学 生 的  思 维是不 可预 见 的 , 在平 时 的备 课 中应 该更 加认 真 、   仔细 才能真 正激 发学生 的思 维 , 才 能上 出数 学课 的味  道. 另一方 面 , 备 课 时 要 多“ 制 造” 一 些 有 动 态 生成 过  程 的习题 或者数 学学 习素 材 , 这 能有 效暴 露 学生 的思  维过 程 , 激 发学 生更 多地参 与到 教学 中来.  

点, A( 一5 , O ) , B( 5 , O ) , 问走 P ^? 志 P B 是否 为定值 ?  
易得 k P ^? k P H 一一   1 6
.  

例 4   已知椭 圆   +  一 1 , 直线 l 过 原 点 0, 交  椭 圆于 M 、 N 两点 , Q 是 椭 圆上 不 同于 M 、 N 的 任 意 


点, 问是   ? k Q N 是 否为 定值 ?  
易得 五   ? 愚 Q N : 一了 o.  

这 两道题 分别在 两份 试卷 上 出现 , 笔者 先后 两次 

2 反思“ 缺憾” 资源 , 让 设 计 更 完 美 
教学 中的疏 漏与 失误在 所难 免 , 如 果 教 师 在 每 一 

在 课上做 了评讲. 在 第 二 次评 讲 时 , 笔者 心 中突 然一  动, 感 觉 定 值 有 共 同 的 特 点 :一 

一  

一 一  5 2
,  

次的教学 后 , 都 能 仔 细查 找 教 学 中的 不 足 与 失误 , 多 

b 。  
一 一   一  

积 累病例 、 病 因, 那么教 师在 教学 时 就会 有 的放矢 , 专 
业水 平逐 渐得 到提升 . 笔者 所在 学校 进行 的 一次 高三 


‘  

这 是巧 合吗 ?  

模 考试 中有 一 道 填 空 题 , 有 一 半 以 上 的 学 生 出现 

课后, 笔 者 对这 两 道 题进 行 了一 般化 的研 究 , 得 
到 以下结论 : ( 把 过 椭 圆 中 心 的 弦 称 为 直 径 )P 为 椭 

错误 .  

例 2 若平 面上 的动点 P( x,  ) 到 定点 F( 1 , O ) 的 
距 离 比到 y轴 的距离 多 1 , 求点 P 的轨迹 方程  .  

圆 上 异 于 直 径 两 端 点 A、 B 的任 意 一 点, 则 忌 P A  
忌   一 一  b 2
?
.  

正解 : 设 P( x,  ) , 则 ̄ / (  一1 )   十y   一l   z   I 一1 , 当 
≥ 0时 , Y 。 一4 x; 当x <0时 , y   一0 , 即j , 一0 .   错解 : 根据 题意 , P到 F( 1 , 0 ) 的距离 比到  轴 的 
距 离多 1 , 则 点 P 到 F( 1 , 0 ) 的 距 离 等 于 点 P 到 直 线  一 一 1的距 离 , 所 以 P 点轨 迹 是 以( 1 , 0 ) 为焦 点 , 以 
一 一

那么双 曲线 呢? 是否也有 类似 的结论 ?   经过研 究 , 得 到 以下结论 : ( 把 过 圆锥 曲线 中心 的 
弦称 为直径 ) 对 于 双 曲 线  一  y Z :1


P 为 双 曲线 上 异 
^2  

l为 准线 的抛 物线 . 所 以所求 的 轨迹 方 程 是 Y  
错 解 问题 出在 何处 呢? 经过 仔细 研究 才 发现 , 原 

于直径两端点A、 B的任意一点, 则k v A?   船一u _ .  
数学 中有很 多妙 不可言 的知 识规 律 , 需要 我们 做 


= 4 x.  

个 有心人 , 去寻找 , 去探索 , 去研究, 在 提 高 自身 素 

来 在 我 们 旧课 本 的 定 义 中 , 抛 物线 的定 义 有 “ 问题 ” :  

质的 同时 , 也 能 让学 生 开 阔眼界 , 启 迪 心智 , 增 长 
知识 .  

动点到 定点 的距离 等于 动点 到定 直线 的距 离 , 则动 点  的轨迹 是抛 物线 . 事实上 , 定 义 中的 定 点是 不 能 在 这  条定 直线上 的. 当定点在 定直 线上 时 , 满足 “ 动 点 到定 

课后 反思 , 与精 彩 对 话 .反 思 , 不 能 只作 为 一 种  形式 , 更 不能作 为 一 种 负 担. 它作 为对 数 学 教学 的反  刍, 时效性 很关 键 , 及 时抓 住转 瞬 即逝 的思维 火花 , 用 

点 的距 离等 于动 点到定 直线 的距 离” 的动 点轨 迹是 过  该点且 垂直 于定直 线 的一条直 线 . 可 能是 由 于教师 在  教学 中没有 强调 而 引 起 的“ 失误” . 笔者 很 快 意 识 到 ,   应该将 这道 题“ 插 入” 到 高二 抛物 线 的教 案 中去 , 为今 
后 的教学 做好准 备.  

心 去探索 , 用 笔去记 录 , 不 仅能 提高 自身 的专 业素 质 ,   而且 还能 使我 们 的教 学越来 越 精彩 , 上课 的底气越 来  越 足. 常教常 新 , 不 断提 高 , 成为 一 名真 正被 学生 喜爱 
的数 学教师 .  

§ 

教学时空   论教谈学 目 # : |   :  一  


...  

2 0 1 1 年聱 8   甥  上  )  
中 学 数学教 学参 考 

精 心 设 置 问 

维 参与 中体验 .  

王华 民  朱  翠( 江苏 省无 锡市 立人 高 中数 学名 师工 作室 )   概念 是思维 活动 的核 心与 基础 . 人 教 社章 建跃 先  生鉴于 目前概 念 教学 中普 遍 存 在 “ 一个定义 , 三项 注  意” 的现 象 , 提 出必须 十分 重视 概念 教 学 , 尤其 是 核心 
概 念 的教 学 , 并 做 了深入地 研 究. 笔者认为。 学 生 的 活 

教 师再 翻开 一本 书到 某一位 置 ( 与 笔记 本展 开 的 
角相 当) , 提出  

问题 2   这 本 书 张开 的角 与 笔 记 本 电 脑 展 开 的  角哪一 个 大?何 以见 得?  
学生 1 : 需 要量 一量 .   问 题 3 如 何 度 量 一 个 空 间 角  呢? ( 略 为 停 顿 )有 没 有 这 样 的 

动 过程和 概念 建构 过 程 , 都 需 要 一个 合 适 的 载 体 , 即 
“ 问题” , 使概 念在 问题 驱 动下 形 成 , 让学 生在 思 维 参  与 中体验 . 本文选 取几 个重 点 、 难 点 概念 , 谈 谈 笔者 的 
教学 探索 .  

先例?  

图1  

1   运用操作 情境 设 置问题 串 , 探 索 难 点 定 义  的形 成 , 使 学 生 理 解 学 概 念 的 必 要 性 
有 的学 生对 数学概 念模糊 , 好 像 是被 教 师牵 着 鼻 
子走 , 漫 无 目的 , 这 是一 种无 意义 的 接受 式学 习 , 效 果 

学生 2 : 可 以转 化 为 平 面 角 , 前 面 已 经 学 习过 异  面直 线所 成 的角 、 斜 线与 平 面所 成 的角 , 可以类 比.   问题 4 选 择哪 一个 平 面 角可 以刻 画 、 度量 二 面 
角 呢 ? 这 样 的平 面 角 有 几 个 , 是否 唯一 ?  

教 师见一些 学 生面露 难色 , 便 投影 出一组 提示 性 
的 问题 :  

不理想 . 概念 的学 习 , 当然 要 明确 目标 , 或 为解 决 某一 
问题 , 或 训练理 性思 维等 . 对 于有些 难 点 概念 , 不 妨 引 

( 1 ) 考 虑角 的两 条射线 落 在什 么位 置 ?在 某一 个 
半平 面上行 吗 ?  

入 探究元 素 , 让 学生 多一 些思 维参 与.  
案例 l 《 数学 2 》 “ 二 面角 的平 面角 ” 的定 义.  

( 2 ) 角 的顶 点应该 落在 什么位 置 ?   ( 3 ) 具体 地 , 这 两条 射线该 如 何放 置 , 才 能合 理地 
刻 画这 个二 面角 呢?  

“ 二 面角 的平 面角 ” 的 概 念 是 立体 几 何 的重 要 概 
念. 苏教版 引 出“ 二 面角 的 平 面 角 ” 的定 义 比较 简 约.  

学 生对 于“ 有 了二 面 角 , 为 什 么 还 要研 究 二 面角 的平 
面角 ” 不是 很理 解 , 对 于“ 怎 么 想 到 那 样 定 义 二 面 角 的 

请 大家试 一试 , 前后 四人 一组 可 以讨 论一 下.   小组 合作 显示 : 对 于问 题 ( 1 ) 、 问题 ( 2 ) 比较 容 易  达成 共识 : 两条 射线 落在 两个 平面 上 , 端点 落 在棱 上.   而对 于 问题 ( 3 ) , 学生 在尝试 画图 的过 程 中 , 有 几个 小  组发现结论 , 教 师 请 小 组 代 表 发  言, 得 出结 论 : 如图 2 , 在棱 AB上 

平面 角” 心存 疑 惑. 这样 既不 利 于学 生概 念 的形 成 , 也  没能挖 掘蕴 涵其 中的 思 维 资 源. 因此。 需 要 教 师 对 教 
材“ 再 加工” , 针 对 定义 的引 入 , 运 用 操 作 情 境 设 置 问  题串, 可 以帮 助 学 生 突 破 这 一 难 点 .  
课 堂 片段 :  

取一 点 P, 在 两 个 半 平 面 内作 两 
条射线 P E、 P F, 使 得 PE上 AB、   P F 上AB, 这 两 条 射 线 组 成 的角  图2  

教师 把笔 记本 电脑 缓缓 打开 , 边 操作 , 边 解说 : 大  家是否 感觉 到这 两 个半 平 面 所 组 成 的 二 面 角 在逐 渐 

变——一 ( 大) , 停 止到如图 1 ( 左边的笔记本) 的位置 ,  
并提 出问题.  

E PF是确定 的 , 这 个 平 面角 只 与二 面 角 o c AB 一  的  大 小有 关 , 与点 P 在棱 AB 上 的 位置 无 关. 根 据 等角  定理, 可 以刻 画二 面角 的大小 .   教师: 如果 把 这 个 角 定 义 为二 面 角 的平 面角 , 大 

问题 1   这 个 二 面 角 有 多 大 ?如 何 刻 画 一 个 二  面角的大小 呢?  

÷  。 2 … 0   1 ≮ 1 薅 年第   薅 8 期( 蔽噜   上甸)  
家有 意见 吗?  
学生 : ( 学生 齐声 ) 没 意见 .  

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一   一 一 一 一 一  
上升 的.  

教师: 哪 位 同学来 概 括 “ 二 面 角 的平 面 角 ” 的  定义 ?  
学生 3 : 略.  

问题 2 你能用 数 学语 言 刻 画“ 气 温 在E 4 , 1 4 ] 是  上升 的” 这一 特征 吗?   学生 1 :气 温 在 [ 4 , l 4 ] 上 随 着 时 间 的 增 大 而  升高 .  
学生 2 : 函数  随着 自变量 t的增大 而增 大.   教师 : 两 位 说得 很 好 , 这 是初 中 函数增 减 性 的直 
观说法 ( 定义 ) .  

以上 先通 过 对 电脑 、 书 的操 作 设 置 问题 串, 并辅  助于对 话 、 合作 交 流对“ 二 面角 的平 面角 ” 的定 义进行  了一次 探究 活动. 问题 1 “ 如 何 刻 画二 面角 的大小 ” 是 
为 了 明 确 研 究 目标 ; 问 题 2是 为 了 引 出有 必 要 进 行 代 

问题 3   对于“ 函数  随着 t的增 大 而 增 大 ( 减 

数度量 , 仅凭 观察 是 不 能完 成 的 ; 问题 3不 仅 是 为 了  复习 旧知识 , 更 重 要 的是 给学 生 一 个 类 比、 发 现 的引  导( 最小 角 、 唯一 性 ) , 为解决 问题 4做铺 垫 , 便 于合理  有 效地 利用思 维 资源 , 同时 体 现 “ 降维、 转化” 的重 妻  思想 ; 对 于 问题 4 , 教 师 发现 学生 面 露难 色 , 便 提 出带  有提示 性 的 3 个 小 问题. 问题 4和后 3个 小 问题 之 间  组 成 的问题 串 , 是 运 用 由远 及 近 、 由指 向不 明 到指 向   逐 步明 朗的“ 分 级提 问” 来促 使不 同层 次学 生 的思 考 ,   使 每一位 学生 的思维 得到不 同程 度 地激 活. 由于解 决  了上述 问题 , 学 生给“ 二 面 角的平 面角 ” 下 定义 便是 水  到渠成 的事 了. 这样, 教 师在 操 作 情 境 中精 心设 置 问  题串, 学 生 不 仅 弄 清 了 为 什 么 要 学 习二 面 角 的 平 面  角, 还积 极探索 难点定 义 的形成过 程.  

小) 的特 征” , 你 能 给 以具 体 的定 量 的刻 画 吗 ?( 让 学  生 思考 1分钟 )   ( 1 )函数 0 在 E 4 , 1 4 ] , 气温 随时 问增 大 而增 大是  什 么意思 ?你 能举一 些具 体 例子 说 明 吗?( 请 两三 位 
学 生 回答 )   学生 3 、 学生 4 、 学生 5 : 时 间增 大 , 如 4 <6 , 气 温 

随时 间增 大而 增大 , 即 厂( 4 ) < , ( 6 ) ; 如8 <1 2 , 气 温 
随 时间增 大而增 大 , 即, ( 8 ) < 厂 ( 1 2 ) , … …  ( 2 ) 你 能写 出所有 的这些 例 子 吗?用 什 么办法 能 


解决 这个 问题 ?  

不少学 生想 到 : 对 于任 意 的 t   , t   ∈E 4 , 1 4 J , 当t 。  
<£ 2 时, 都有 f ( t 1 ) <f ( t 2 ) .  

问题 4 反 过来 , 对 于任 意 的 t   , £ : ∈E 4 , 1 4 ] , 当 
t   <t  时 , 都 有 f( t   ) < f( t 2 ) , 能 否 说 明 f( £ ) 在 t  

2 通过 联系实 际设 置问题 串 , 探 索抽 象定义  的形成 , 使 学 生 增 加 感 性 体 验 
教材 中有 些 概 念 的 定 义 比较 抽 象 , 学 生 难 以 理  解. 如 函数 单调性 、 对数 函数 和导 数等 , 这 时可 以考 虑  从 生活 、 工 作实 际 出发 , 创设 一种 学生 熟悉 、 直 观 的情  境, 精心设 置 问题 串 , 结 合举 例 、 对话 , 让学 生 思考 、 探 
究与交 流.  

∈E 4 , 1 4 ] 上是增 函数 ?   学生 ( 绝 大 部分) : 能.   教师请 两位 学生从 具体 到一 般 , 尝试 概括 一下 增  函数 的定义 , 师 生补充 如下 :  
设 函数  一厂 (  ) 的定义 域 为 A, 区间 j   A.如  果对 于 区 间 J内 的任 意 两个 值  和 : , 当X   < z z   时, 都有 - 厂( z   )<厂(   ) , 那么 就说 函数  =厂 ( z ) 在 

案例 2   《 数学 1 》 中“ 函数 单 调 性 ”的 形 式 化 
定义.  

区间 J 上是 单调增 函数 . J称 为 Y一,(  ) 的单 调增 区  间. ( 类似地 , 得 出单调 减 函数的定 义 )  
对于单 调增 ( 减) 函数这 一难 点定 义 , 这里 设置 了  

函数的单调 性是 函数 的最重 要 的性质 之 一 , 也 是  思维训 练的好素 材. 单 调增 ( 减) 函数 是用 数学 符号 语  言定义 的 , 较为 抽象 , 学生想 不 到为何 要这 样 定义 , 仿  佛“ 天外 来客 ” , 难 以理 解 , 也 不利 于 单 调 性 概念 的运 
用. 通过 联 系实际 设 置 问题 串 , 可 以 帮 助 学 生 化 抽 象 

4个递进 的问题 , 问题 1 让 学 生说 出气 温在 哪些 时 段 
内是 逐步 升高 或下 降 的 , 是 为 学 生 创设 直观 的情 境 ,  

为具体 .  
课 堂 片段 :  

增加 感 性 体验 , 为 之 后抽 象 定 义 做 铺 垫 ; 问题 2 在 于  引导 学生 回顾初 中增 减 函数 的直 观定 义 ; 问题 3 是 从  “ 数” 的角 度对单 调增 函数 以定量 地 刻 画 , 考 虑到一 般  学 生都有 困难 , 采用具 体化 , 让 学生举 例 , 这无 疑 给全  体学 生搭 建 了一个 脚 手 架 , 促 其 拾 级 而 上. 通过 多 次  举例 , 以增 加感 性体验 , 但学 生发 现 例子 举不 胜举 , 产 

教师: 如 图 3 为 无 锡 市  2 0 1 0年 1 2月 某 一 天 2 4小 时 内  

的气温 变 化 图. 观 察 图形 , 请 同  学们思 考下 面的 问题 .  

图3  

生 了认知 冲突 , 如 何 解 决 呢 ?迫 使 学 生 思考 , 从 具 体  到一 般 , 想 到用 字母来 表示 数字 、 表示 大 小关 系 ; 问题 

问题 1 说 出气 温 在 哪些 时段 内是 逐 步 升 高 或  下降 的?   学生: 在[ O , 4 ] 和E 1 4 , 2 4 ] 是下降的, 在E 4 , 1 4 ] 是 

4是让 学生从 反 面 体会 : 不 论 怎 样取 t   , t  ∈E 4 , 1 4 ] ,  
当t   <£  时 , 总有  ( t 。 ) <厂 ( t   ) , 从 而 感 知 函数 的 单 

调 递增性 . 最后 , 让学 生归 纳 出单 调递增 函数 的定义.  

教 菱   耋  

!  … 一 … 一   … ~   ,   ~ …   …   一 …   … … …   …   … 一 ~   ~ ?  嚣   毒  , …  
学生 4 : 做功 的角  是 指 力 的 方 向与 位 移 方 向 的  夹角 , 作用 于 同一个 点.   教师 : 说得 好. 而我 们现 在研 究 的是 自由 向量 , 该 
如何定 义 呢 ?  

这样 , 教师 为 学 生 精 心设 置 了问题 串 , 引 导学 生  思考、 尝试 和交 流 , 让 学 生 亲身 经 历 单 调 增 ( 减) 函数  由直观定 义 发 展 到形 式 化 定 义 的过 程 , 也 是 学 生 理  解、 明晰概 念 , 进 行概括 的过程 , 为今 后 运用 的函数 单 

调性 解决其 他 问题 奠 定 了基 础 , 在 提 升 兴 趣 的 同时 ,   也 获得不 少感性 体 验 . 其 中, 教 者 瞄 准学 生 思 维 的最 
近发 展 区 , 让学生举 具体 化 的例子 , 是 解 决 问 题 的 
关键 .  

学生 ( 大部 分 ) : 也规定 在 同一个 起点 .  

教 师 赞 赏后 , 师 生一 同具 体 说 明 , 当   ∈E o , 9 0 。 )  

时, 这个 数 为正 ; 当 ∈ ( 9 0 。 , 1 8 0 。 ] 时, 这个 数 为负 ; 当 
一9 0 。 时 这个 数 为 0 , 这 个 数 量 含 有 了正 、 负、 零 三 类 
实 数.  

3   根 据逻辑 体 系设 置问题 串 , 探 索 重 点 定 义  的 形成 , 使 学 生 经 历 自我 发 现 的 过 程 


教师 : 由此 定 义 “ 相乘” ,前 后 具 有 一 致 性 , 既有  现 实意 义 ( 物理 的做 功是模 型之 一 ) , 也 比较 合 理.   问题 4 哪 位 同学 能 给 这 种 “ 相乘” 取 个 合 适 的 
名 字 呢?  

般地 , 数学 概 念 之 间是 有 联 系 的 , 如 果 能 在 概 

念体 系 中学 习 , 则 容易 把 握 新 概 念 的形 成 . 在 学 习同 
位和下 位概念 时 , 就 可 以从 上 位 概 念 获 得启 发 , 在 概 

学生( 大部分 ) : 就 叫“ 相乘 ” 吧.   学生 5 : 说“ 相乘” 不好 ( 不妥) , 因 为 它 比实 数 的  相乘 多 了一个 C O S  , 为避 免 混 淆 , 可 以与 结果 联 系起 

念体 系中类 比引 进 , 再 结 合 一 些 实 际 背景 , 形 成 问 题 
串, 让 学 生 在 问 题 驱 动 下 完 成 自我 发 现 的 过 程 .  

案例 3 《 数学 4 》“ 向量 的数 量积 ” 的定 义.   “ 向量 的数 量 积 ” 的定 义 是 数 量 积 的性 质 和 运算  律 的基础 . 从结 果看 , 数量 积是 一个 数 量 , 它是 实 现 向 

来, 我觉 得 叫“ 数量 乘” 合适.  
学生( 几个 学 生) : 叫“ 数 量积 ” .  

教师: 太精彩 了, 这两个 名称都不 错 , 为 统 一 起 
见, 就 叫“ 数量积 ” 吧!   ( 大家 点头 表示 赞 同)   评注 : 教师 设置 上述 四个 问题 , 引导 学生 探索 . 问 

量 与数量 转化 的重要 工具 . 若f 口 f 、 i   6 f 是定值, 则口?   可 以看成是  的一个 函数 , 体 现 函数 思 想. 因此, 向量  的数量 积有 着非 常丰 富的 内涵 , 是 高 中数学 的 重点 概  念. 这 个概念 是 在 向量 的加 法 、 减 法 和 数 乘 之 后 学 习  的, 根 据运算 习惯 , 应学 习乘 除运 算. 下 面是 以学 生 熟  悉 的物 体做 功为 背景设 计 问题 的.  
课 堂 片段 :  

题 1 是 从 数 学 逻 辑 运 算 体 系 的需 要 , 有 了 向 量 的 加 

法、 减法 和数 乘运 算 , 自然要 联想 到 乘法 和 除法 运 算 ,   但是 否 能进行 “ 相 乘” , 对于学生而言是困难的; 问 题 
2回顾 旧知 识—— 物 理做 功的模 型 ; 问题 3 “ 以上 情境 

问题 1 前 面我们 学 习 了平 面 向量 的 加法 、 减法  和数 乘 三 种 运 算 , 接下来 , 大 家 认 为 该 学 习 哪 种 运  算 呢?   学生 ( 齐说 ) : 乘法 、 除法 .   教师 : 向量与 向量 能否“ 相乘” 呢? ( 学 生在 思 考 、  
困惑 )  

对 于定 义“ 相乘” 能否 带 给 你 一 点 启 发? 是 一 句 启 发  式 的问句 , 促使 学生 思考 , 期望 他 们有 所 发现 . 学 生从 
做 功 的定 义类 比 迁移 到 两 个 向量n 、 b “ 相乘” , 对 学 生  的定义 该如何 检 验 呢? 因为定义 无 所 谓对 错 , 所 以智  慧 的教 师通 过一 组对话 , 与学生 一 同探 索定 义 的前后 


问题 2 一个 物 体 在力 F的 作  用 下 发生 了位 移 s , 如图 4 , 那 么 该  力对 此物 体所做 的功 为多少 ?   学生 1 :   一I   Ff   C O S  .   图4   问题 3 从 上述 模 型 , 对 定义 “ 相乘 ” 能 否带 给 你 


致 性 和合理 性 , 对角  进 行补 充 规 定 , 完善 了定 义.  

问题 4是 让学 生 给 探 索结 果 取个 名 称 , 有学 生 说 , 也  有学 生 给 予 评 价 , 从“ 相乘” 运 算 的本 质 是 数 量 得 出   “ 数 量积 ” 的名 称 , 这确实难能可贵, 这 是 潜 能得 到 激  发 的结 果. 其实 , 下 定 义 的 过 程 就 是揭 示概 念 内涵 的  过程, 笔 者认 为 , 让 学 生参 与定 义 , 不 仅 符合 学 生 的 口  

点启 发?  

学 生开 始在议 论 , 不少 人说 : 就像做 功 一样 定义 ,   向量a 、 b 相乘 : 口? b —j n   J { 西 】 C O S  .  
教师 : 好 的 ! 我 们 一 同 来 分 析 这 样 定 义 是 否 合  理 ?这样“ 相乘” 的结果 是 向量还 是数 量 ?  

味, 而且 记忆 深刻 , 还能 享受 发现 的 乐趣 , 有 益 于培 养  学生 的创新 思 维. 其实 , 教 材 中有 不少 概 念 , 可 以让学 
生 参 与 到 自我 定 义 、 自我 发 现 的 建 构 中 去 .  
参 考 文 献 

学生 2 : 数 量.  
教师 : 这 个数 与哪些 量有 关 ?  

1   章建跃. 中学 数 学 课 改 的 十 个 论 题 f J ] . 中 学 数 学 教 学 参 考  ( 上旬) , 2 0 1 0 , 3  
2 章建跃 , 陶 维 林 .注 重 学 生 的 思 维 参 与 和 感 悟 的 函数 概 念  教学E J ] . 数学通报 , 2 0 0 9 , 6 ~7  

学生 3 : 与 向量n 、 6 的 长度和 角  的大 小有关 .   教师: 那么, 角  该如 何规 定 呢?  

耋  

,  

穹  

视 觉 思 维  数 学 教 
— —

以 人 教A 版 选 修 

本 文 介 绍 了 视 觉 思 维 下 的 数 学 教 学  例 ,阐述 了运 用 视 觉 思维 进 行 教 学 设计 

原 晓萍

傅 海伦 ( 山东师 范大 学数 学科学 学 院)   者 的综合 作用 下 , 通 过 同化 或 顺 应 , 以视 觉 意象 为 最  基本媒 介 的螺旋 上升 的一种 创造 性思 维 活动. 视觉 思  维 的意义在 于弥 补 了知 觉与 思维 、 感 性与理 性 之 间不  可逾 越 的鸿沟 , 在原有 视觉 意象 与现 有视 觉对 象之 间  搭起 了沟通 的桥 梁. 数 学教 学活 动 中可利 用 的视觉 意  象包括 与数 、 形、 图、 表相 结合 的数 学 情境 、 数 学建模 、   数学 图形 、 数 量 关 系等 方 面. 教 师 启 发学 生 的视 觉思 

随着 高 中新 课 程改革 的推 进 , 我 国数学 课 堂教 学  改革取得 了一 些 实 质性 进 展 . 广 大教 师 逐 渐 意 识 到 :   提升课堂 教学 的质量 是深 化新课 程 改革 的关 键 , 而根  本的衡量 标准 是学 生 的发 展. 新 课程 标 准要 求 学生 能  够对现实 世界 中蕴 涵 的一 些数 学模 式 进 行 思 考 和做  出判断 , 这就必 须发 展和提 高学 生 的数 学应 用 意识 和  创 新意识 . 而视 觉 思 维 具 有 直接 、 形象 、 丰 富 的特 点 ,  

强 调学生 对视觉 信息 源 的直接感 知 , 能 传递 文字 无法 

维要从 观看 、 想象 、 构绘 三个 方面 切入 : 丰 富学 生 的视 

言说 的信 息 . 在 教 学 中借 由视 觉 形 式 来 表 征 教 学 信 
息, 能够 弥补言 语 思 维 的局 限 , 也 有 助 于 激 发 学生 的  个 性化理 解与 表达 , 培养 学 生 的创 造 性 , 增 强 教学 的  美感 体验 , 对我们 的教学改 革有着 重要 的启示 .   课堂 教学环 境 是 教 师 与学 生 为 达 到 高 效优 质 的 
教 学 目的而共 同创设 的 , 这 种 创 设 主 要 是 通 过 教 师 的 

觉信息 源 , 激 发学生 的视觉 思 考, 鼓 励 学 生 的 视 觉 
表达.  

这 要求 我们 的 教 学设 计 要 构 建 一个 能够 反 映数  学 自身 发展 逻辑 、 符合学 生数 学认 知规 律 的数学 核心  概念和 思想方 法 的视觉 思维结 构 体系 , 并使 核心 数学  概念、 思想方 法 在观 看 数 学 对 象 、 想 象关 联 数 学 知识 

教学 设计来 完成 . 教 学设 计 是 教 学 的 预设 , 是 教学 的 


个 关键 环节 , 教 学设 计 的水平基 本 上决 定 了教 学生 

成的质量 .  

和构绘 数学视 觉 意象 中得到落 实 . 这是 提高 数学 课堂  教学质 量 的突破 口, 同时也是数 学 课堂 教学 改革 的关  键. 因为使学 生 在对 视 觉 意 象 进行 深 度 挖 掘 的 同时 ,  
获 得 必 要 的数 学 基 础 知 识 和 基 本 技 能 , 能够 理解 基本 

1 视觉思维理论 下的数学教学设计 
教学设 计是 一个 复杂 的系统 工 程. 为 了提 高课 堂 

教 学质量 , 教师 在进行 教学 设计 时必 须综 合 考虑 新课 
程标 准 、 教 科书 内容 、 学生 的实 际情 况 、 基 础 知识 和基 
本技 能 、 教 学过程 设计 等等 . 但 由于 数学 的抽 象性 、 严 

的数学 概念 、 数学 结论 的本质 , 了解 概 念 、 结 论 等产生  的背景 、 应用 , 体会 其 中所 蕴涵 的数 学 思想 和方 法 , 以  及它们 在后续 学 习 中的作用 , 这 样 才能 形成 功 能强大 
的数学 认知 结构 , 切实发 展数 学能力 , 提高 数学素 养.  

谨 性和应 用 的广泛 性 , 高 中教 学 往 往 强 调学 生 的读 、   写、 算, 教 学过 程 中 重视 学 生 的语 言 、 数 理 逻 辑 思维 ,   忽视视觉 思维 对 提 高学 生 数 学 创新 能 力 和 应 用 能力 
的积极意 义.  

2 视 觉 思 维 理 论 下 的 数 学 教 学 设 计 的 三 个 着  力 点 
在教学实践 中, 教 师 首 先 要 明确 和深 化 教 学 目  

标, 尤 其是所 授课 的相关 核 心数学 概 念和数 学 思想方  法. 它 们往 往会 成为教 学设 计 中所 表 述 的教学 重点 和 

视 觉 思维 是 借 助 于视 觉 , 在观看、 想 象 和构 绘 三 
* 本 文 为 山东 省 高 等 学 校 人 文社 会 科 学 研 究 项 目…
革研 究 与 实 验 ” 成 果之 一 .  

“ 数 学 文 化 及 其 在数 学 教 育 中的 应 用 研究 ” 和山东师范大学“ 高 师 院 校 数 学 教 育 实 践 教 学 改 

教 

薅一 学    
难点 , 对 它们有 清 楚 的认 识 , 才 能 为 这一 节 课 的教 学 
设 计找 到数学 本 质 , 解决 “ 教什么” 的 问题 . 如 果 认 识 

2 0 1 1 年第8 期 (上印)  
中学 数 学教 学 参考 

设 计具 备典 型意 义 、 值 得深 入研究 .  
3 . 1  “ 椭 圆及其 标准 方程” 教 学 目标 的 确 立 

谈  深刻 、 独 具 匠心 , 那 么就 为 高 质 量 的 教 学设 计 奠 定 了 

由于椭 圆是 圆锥 曲线开 始 的第 一段 内容 , 从 某种 
意义上 讲 , 对 学 习 后 面 的双 曲线 、 抛 物 线 有 一 种 认识 

学¨ 良好 的  基础.  
其次, 要解 构核 心数 学概 念及 其蕴 涵 的数 学 思想  方 法. 数 学概念 是 数 学思 维 的 细胞 , 是 学 生 学 习数 学  知识 的基础 , 也 是 数 学 思维 的起 点 , 在 数 学 教 学 中具 
有 重要地 位. 概 念 形 成 过 程 中所 涉 及 的 数 学 思 想 方 法 

的原始 开发 功能 , 故教 学 中处理 得好 与坏直 接影 响 到  整 个解 析几何 及 数 学 内容 的 学 习. 另外, 椭 圆 这部 分  内容还 可 以作 为 新 课 程 标准 教 学 目标 实 施 的 很好 教  材. 椭 圆知识 的 学 习 , 主要 是 为 了提 高 学 生 掌 握 和熟  悉 数形 结合 的数学 思想 方法 , 能用 坐 标法 解 决一 些 与  椭 圆有 关 的简单 几 何 问题 ( 直 线 与椭 圆 的位 置 关 系 )  
和实际 问题 . 本 节 课 的 教 学 目标 主 要 有 三 点 : 一 是 通  过 观看 视觉 意象 , 感受数学与生活的联系; 二 是 动 手 

更 是数学 学 习的精髓 所在 . 把握 概 念 的核心 就 是把 握 
教 学 的重点和难 点 : 重 点 就 是 在 数 学 知 识 结 构 中处 于  核 心 地 位 的 那 些 概 念 和 蕴 涵 的数 学 思 想 方 法 ; 难 点 就  是 难于解 析 的内 容 , 表 现 为难 于理 解 或 难 于 掌 握 , 或 

较抽 象 , 或 较复 杂. 解 构 的关 键 在 于如 何 借 助 视 觉 意  象把 新 内容 进行 分解 和重构 , 使 之 既与 头脑 中原 有 的  数学 视觉 意象相 联系 , 又可借 力 于教 师 在课 堂 教学 中 
提供 的视觉 意象 . 难 点 和重 点 , 有 时兼 备 , 有 时 不 同.   而难 点 的解 构正 是 要 解决 “ 如何做” 的 问题 , 对重点 、  
难点 的解构应 该成 为教 学设计 的核 心之 一. 有 了 良好  

操作 , 掌 握椭 圆 的 画法 及 定 义 ; 三 是 联 系 多 种视 觉 意 

象, 经历数 学化 地表 示 问题 的多种 形式 , 数 形 结合 , 同 


问题 可用不 同形式 显示 .   下 定 义 是 揭 示 概 念 的 内涵 或 语 词 意 义 的 方 法 . 揭 

3 . 2 对“ 椭 圆及其标 准 方程” 教 学 的 解 构  示概 念 内涵 的称为 实质定 义 , 揭 示 语 词 意 义 的 称 为 语  词定 义. 定 义 的规 则有 : ( 1 ) 应相称 , 即 定 义 概 念 和 被  定 义 概念 的外 延 相 等 ; ( 2 ) 不应循环; ( 3 ) 一 般 不 应 是  否定 判断 ; ( 4 ) 应 清楚 确切 . 辩 证 逻 辑 对 定 义 要 求 从 某 


的解构 、 深入 浅 出 的视 觉 思 维 构 建体 系 , 学 生 就 能从 
中真正 体验概 念形 成 的整个过 程.  

最后, 要 强化 核 心 数 学概 念 及 其 数 学 思想 方 法.  
对 教学 重点 、 难 点 进 行解 构 之后 , 还 要 在 整 个 教 学 过 

概念 所反 映 的对象 的发展 变化 中 , 全 面地 研究 对象  “ 我们把 平 面 内与 两个 定点 F   、 F  的距 离的和 等 

程 中给 予适时 强化. 借助 视觉传 达 教学 信 息 的方式 较  之 文字语 言 , 具 有直 观性 、 形 象性 、 非线 性 和整 体性 特  征. 由于视觉思 维 的形 成 和发展 依 赖 于主体 对 客 观事 
物积 极地 、 有 选择 性地 观看 、 想象 和 构绘 , 对 数 学概 念  及其 蕴涵 的数 学思 想 方 法 的强 化 可 以通 过 设 置 问题 

的一切 联 系.  

于常数 ( 大于 l   F   F : 1 ) 的点 的轨 迹 叫做 椭 圆 ” , 教 科 书 
中给 出的定义 是一个 实 质定义 , 全 面 地应 用 了数 学 的  三种 语 言— — 图形 语言 、 文 字语 言 、 符号语 言( 集合 符  号及 代数 方程 符 号 ) . 数 学 以现 实 世 界 的“ 数” 和“ 形”   为其 研究 对象 , 所 以在这 一定义 的教学 中应注 意概 念 
的发 生 和发展 , 应 让 学 生 从 生 活 经 验 来 感 知 椭 圆 的 产 

情境 、 构建数 学模 型等 方 式 进 行 , 重 在 引 导 学 生 主 动  地用 眼看 、 用 脑想 、 用手 做 , 增 强 学生 对数 学 对象 的辨 
别力 和审美感 悟. 此外, 当教师 与 学生 沉浸 、 投入 于视  觉化 的教学活 动时 , 理性 与感性 的融 合使 得 教学 活动 
成 为一个 独特 的经 验.  

生, 领悟数 形结 合 的 思想 , 挖 掘 深层 次 的数 学 思 维 活 
动. 教 会 学 生思 考 , 是 什 么 ? 为 什 么 ? 怎 么 做 ? 全 面 

3 操 作 实 例 
《 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实验) 》 明确 提 出“ 椭 圆 

展 开观 看 、 想象、 构 绘 三种活 动过 程 , 即 以视 觉意 象 为  中心 , 让 学生 基 于现 有 问题 , 始 于 原 有 视 觉 意 象 去探 
究, 争 取 通 过 探 究 达 到 超 越 并 深 化 原 有 视 觉 意 象 的 
目的 .   课 堂教学 中, 教 具 的 选 用 除 了 教 科 书 中提 及 的 物 

及其 标准方 程” 一课, 要“ 了解 椭 圆的 实 际 背 景 , 感 受 
圆 锥 曲 线 在 刻 画现 实 世 界 和 解 决 实 际 问 题 中 的 作 用 ;  

经历从 具 体情 境 中抽 象 出椭 圆 的 过 程 , 掌 握 它 的 定  义、 标 准方程 、 几 何 图形 及 简单 性 质 . ” 但若 只局 限 于 
“ 实 际背景 ” “ 具 体情 境 ” , 不 在 逻辑 思 维 上 提 出要 求 ,  

件, 还可 展示 带有 椭 圆形 状 的实物—— 椭 圆形 镜框 等 
直 观 图形. 此外 , 情境 设置 、 课 堂演示 、 学生 自主操 作 、   小 组讨 论等 多种视 觉 化环境 的 构建 , 可 刺 激 并 深 化 学  生 对所 学知 识 的理解 .   3 . 3   “ 椭 圆及 其标 准方程 ” 具 体 教 学 设 计  3 . 3 . 1   观 察现 实生 活 中的背景 , 提 炼 出 问题 

本节 课 的思 维价 值将 受到较 大 损 害 , 不 能 全面 体现 高  中数 学 的合 情推 理与 逻辑推 理 并重 、 几 何直 观 能力 与 
抽象 思维能 力并 重 的教育价 值 , 同时也 与学 生 的思 维  发展水 平不 适应 . 因此 , 教学 设计 中 , 如 何把 具体 与 抽  象、 直 观与 逻辑 、 感 性 与理性 、 动 手 与动 脑有 机地 结 合  起来 , 成 为教 学思 考 的重 点. 这 也 使 得 本 节课 的 教学 

举例 : 油 罐车 横 断 面轮 廓 , 手 表 的表 面 , 眼镜 片 ,  
有 些 烧 饼 的 一 周 … … 

上述 例子 是从 学 生 刻 印在 脑 海 中的原 有 视 觉 意 

! 堡萋 璺 塑!   复  
中季 量譬囊 季 参考 

亨  
觉意 象为基 础 的主动建 构过程 . 为 了进 一步 地研 究椭 

象 出发 , 得 到“ 椭 圆” 的直观概 念. 这些 椭 圆是 固定 的 ,   现 实生活 中很常 见.   下面 的例子 再 进 一个 层 次 , 可 以说是 流 动 的 、 被  我们 忽视 的或没 有发现 的椭 圆.   A: 圆柱形 水 杯 正 常 放 置 时 , 水 面 的 边 界 线 是 一 

圆, 我 们就要 选择 适 当的坐标 系 , 建 立椭 圆 方程. 而建  立直 角坐标 系 的基 本 原则 是 尽 可 能地 用 对 称 轴作 为  坐标 轴.  

个 圆( 图1 ) , 如倾斜着放置, 水 面 的 边 界 线 是 一个 椭  圆( 图2 ) . B: 一个 量杯 可看 作是 圆 锥体 , 正常 放 置时 ,   水面 的边界线 是 一 个 圆 ( 图 3 ) , 稍微 倾 斜 量 杯 , 则水  面 的边 界线是 一个 椭 圆 ( 图 4 ) . 由此 可上 升 到一 般情 
形: 一个 圆柱竖 直放 置 , 用 一个 平面 去截 , 当平 面呈水 

I   i

" I  

I  

I  

I  

I   i  

取 过焦点 F   、 F  的直 线为 X轴 , 线段 F 。 F 2的垂 

平状态 时截 面图形 是 圆 , 当平 面略偏 离 水平 状态 时截  面 图形 边界线 是 椭 圆 ; 一个 圆锥 竖 直 放 置 , 用 一个 平  面去截 , 当平 面呈 水 平状 态 时 截 面 图 形是 圆 , 当平 面  略偏离水 平状态 时截 面 图形 边界 线 是椭 圆. 这样 既给  学 生椭 圆是一种 圆锥 曲线 的启蒙 教 育 , 又可 数学化 地  提出 问题 , 即为什么 这些边 界线是 椭 圆.  

直平分 线为 Y轴 , 建立 直角 坐标 系( 图7 ) , 设M ( x , y )   是 瞳线 上 的任 意一 点 , 焦 距是 2 c , M 与 F。 、 F : 两点 的 
距 离之 和等于 常数 2 以 , 按 定 义 可得 P一 { ( MI   l MF   I  

+ 1  MF 2  1: 2 a) ,即 得 方 程  ̄ / ( z +c ) 。 +y 2  
+ ̄ / ( z —c ) 。 +  一2 a . 能否通 过运算 使 方程更 简 洁?  


2  





2  

引导学 生可将 方 程 变 形 为  + 

:1 , 此 方 程 简 
一 C 

国  
图1   图2  

“ 



单得 多. 但是 , 椭 圆具 有对称 性 , 表示 它 的方程 也该 有  对称 性. 于是 , 由于 n 。 一C 。 >0 , 故令 口 。 一   =b 。 , 即得 


2  

. . 2  

- +告=1 山 ( n >6 >0 ) , 此式简洁优美. 然后利用视觉 
“  ( , 

图3  

图4  

意象 的对称 性 、 类 比性 , 只要 将 前 面 的 X 、 Y对换 就 可  以得 到 : 取 过 焦 点 F。 、 F  的直 线 为 Y轴 , 线段 F , F 2   的垂 直 平分 线 为 z轴 , 建 立 直 角坐 标 系 , 则 得另 一 种 
2   . 2  

3 . 3 . 2   动手 画椭 圆 , 构 绘 椭 圆 的 视 觉 图 形 

教 师引导 学 生 进 行下 列 操 作 :   取 一定 长 的细绳 , 把 它 的两 端 固定  在板 上 的 F 。 、 F 2 两 点. 当绳 长 大 于  F   和 F 。的距 离 时 , 用 笔 尖在 板 上  图5  

标 准方程 为  +  一1 ( 口 >6 >o ) .  
0  Ⅱ 

在教 学 过 程 中 , 也 可 以引 导学 生 思 考 : 为什 么 原  点取 在 F , F   的 中点 ?为什 么要取 2 f 与 2 口 , 而不 取 c   与 n呢? 为什 么 要 引 人 b呢? 为 何 叫 标 准 方 程 呢?   数学 的发 明和创 造 , 除 了反 映客 观世 界 的数量 关 系和 

慢慢 地移 动 , 可 以 画出一条 怎样 的 曲线 ?若绳 长 等于  F   和F   的距 离 , 按 照 同样 的方 法会 做 出怎 样 的 曲线  呢?通 过操 作 得 知 , 只有绳长大于 F  和 F z的距 离  时, 才能 得到 图 5 .   数 学教学 的本 质是 : 学 生在 教 师 的引导 下能 动地  建 构数学 认知结 构 , 并 使 自己得 到 全 面 的发 展. 动 手  画图及其 操作过 程 中的整个 视觉 意 象 , 可 以促 进学 生 
良好数学 认知结 构 的形成 , 满足后 继 的学习需 要.   3 . 3 . 3   定 义椭 圆写方程 , 体会数 学 的严谨 、 简洁  根 据上述绘 制椭 圆 的过程 , 学 生 可 以 自己“ 创造”   椭 圆的定义 , 会 出现 以下 情形 :  

空 间形式 , 还来 源 于对 美 的追 求. 数 学 式 子 化 为最 简  时, 最便 于人们 记忆 和使用 , 同 时简 洁也 是一 种美 . 如 
此选 取坐 标 、 设 置 参数 就 是 在 追 求 数 学 的简 洁 美. 对 

于 同一个 椭 圆 , 建立不 同的坐标 系就 可得 到不 同 的方  程, 其 中若 不规 定 一个 作 为标 准 , 那 人 们 就 没有 统 一 
的语 言符 号 , 这也 是 一种 数学 文 化. 过 程 中运用 了视  觉 思维 中的补 美思想 , 促进 方程 和 等式对 称 、 整齐 , 培  养学生欣 赏 数学 美、 认 识 数 学 的 科 学 价 值 和 人 文 

自定义 1 : 与两个定 点 F   、 F 2 距 离 的和 等于 常数 

( =I   F 。 F 。 I ) 的点的轨迹是椭圆.  
自定义 2 : 空 间 内与两个 定 点 F   、 F 2 距 离 的和等 

价值.   在解 决 问题时 , 呈 现 在我们 面前 的往 往 是错综 复  杂 的数 量关 系或繁杂 的 图形 , 从 其 形式 上难 以发 现其  是 否存 在美 的形 式 . 但是 , 经过我们努 力去观看、 构  造、 运用 数学 对象 的对称性 、 和 谐性 , 往 往可 以找 到解 
决问题 的途径 .   3 . 3 . 4 数 与形 完 美结 合 , 强化 椭 圆的视 觉思考 

于常数( >l   F   F 2   1 ) 的点的轨迹是椭圆.  
对 自定义 1的否定 , 学生 很容 易 想 到“ 线段 F   F z  

上的任 意点 的集合 ” 这一 特例. 对 自定义 2的否 定 , 可 
联想 到图 6 ( 椭球面) , 从 而 得 到 椭 圆 的准 确 定 义 . 椭  圆的定 义这一 数 学 教学 活 动 是 一个 以学 生 已有 的视 

同一个 椭圆可以形 、 数 的多种形式 表现出来 , 它们 

考  

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黧  等  ~ 疹 

高  考一   频0  

年 高 考 数 学 陕 西 卷 

:之 我 见 
罗增儒 ( 陕西师 范大 学数学 与信 息科 学学 院)   2 0 1 1年 是 陕 西省 数学 新 课 程 高 考 的 第 二 年 , 题  目刚一 面 世 就 引 起 了关 注 与 议 论 . 教 师 当 中 有 的说  “ 眼前 一亮” , 有 的说 “ 变 化太大 ” , 有 的说 “ 乍一 看有 点  生, 细做 一遍 挺简 单 的 ” ; 学生 当 中有 的说 “ 跟 模 拟 卷 

比看 到数学 试题备 受关 注更 欣慰 的了 , 高兴 之 中也 情  不 自禁 地参 与 到交 流 中来. 本文整理出“ 八个话题” ,  
逐 一 就 教 于 同行 .  

第一个 话题 : 今 年 的数 学 试题 是 不是 “ 题 型 变 化 
大” “ 试 题结 构发 生 巨大变 动” ?  

差距 比较大 ” ( 电视 采访 中说“ 非主 流” ) , 有 的说 “ 考 余 
弦定 理 欺 负 人 ” , 有 的说 “ 一 看 题 目, 直 接 不 想 答 题 

笔 者认 为 , 那 是不 知道什 么 叫“ 题型” 、 什 么 叫“ 试  题 结构 ” 而说 的外行 话 , “ 不知 不 为过 ” , 笔者 愿正 面 陈 
述 三点 意见 .  

了” , 有 的说“ 挺简单 的 , 一个 小 时就 基本 做 完 了 , 可 惜  小 题没 全对” . 相 关方 面 ( 如媒 体 、 书商等) 也有反映 ,   有 电视 台说 : “ 数 学 试 题 难 度 比去 年 提 高 , 题 型 变 化  大, 有点 出乎 意料” , 网上还 传言 “ 部 长” 批评 陕 西卷 数  学 试题 : “ 第 1 6题 、 第 l 8题 等 看 似 简 单 实 则 不 易 做  对, 第 1 9题 、 第 2 O题 特别 抽 象 ” “ 试 题 结 构 发 生 巨 大 

( 1 ) 今 年的试 题 结 构 没 有 任 何 变 化 , 表 现 为 试 卷  由选择题 、 填 空题 、 解答 题三 类题 型组 成 没有 变 , 满 分  值依次 为 5 0分 、 2 5分 、 7 5分 没 有 变 , 数 量 依 次 为  1 0道 、 5道 、 6道 没 有 变 , 选做 题放 在填 空题 ( 第 1 5   题) 的位 置 、 占5 分 没有 变 , 解 答题 突 出 了学科 的主 干 
内容也没 有变 .  

变动, 数 列题居 然 未 出 现” 等 等. 总之 , 说 好 的达 到 陕  西 省 自主命 题 以来之 最好 , 说差 的达 到 陕西 省 自主 命  题 以来之 最差 , 一时间, 数 学试 题 与 评 价 成 了陕 西 省 
高 考的一个 热 门话 题 . 作为数学工作者, 我 们 再 没 有 

( 2 ) 今 年 不仅 题 型 结 构稳 定 , 而 且 下述 表 1 、 表 2   说 明其技 术指 标不 仅合格 而且 以优 秀 为主.  

相互 转化 , “ 形” 变、 “ 式” 变, 但质不变, 这 种 变 化 规 律  就 是一种辩 证思想 . 数 学 有 自 己特 殊 的 表 现 辩 证 思 想  的方 式 , 即 用 数 学 的 符 号 语 言 以及 简 明 的 数 学 公 式 能  明确地 表达 出各种 辩证 的关 系和转 化. 例如 ,   形式 l : 平 面 内与两个 定 点 F   ( 2 , 0 ) 、 F 。 ( 一2 , 0 )  

思维 .  

如此 教 学 , 既 能 阐 明数 学 问题 的 本质 , 又能 提 高  学生 的审 美能力 , 增 强他们 理解 数形 结 合 是研 究解 析  几何 的基本 方 法 , 运 动 变化 是 解 析 几 何 的主 导 思 想.   课堂教 学过 程 中 , 若 能 注 意点 拨 这 一 优 美 、 和 谐 的视  觉知识 结构 , 结 合视 觉 思 维 理 论 , 能 大大 提 高 学 生 的  数 学应 用能 力和数 学创 新能 力 , 提高 椭 圆课 堂教 学 的 
质 量.  
参 考 文献 

距离 的和等 于 6的点 的轨 迹.  

形式 2 : ̄ / (  +2 ) 。 +. y   + ̄ / (  一2 ) 。 +  一6 .  
2  


2  

形式 3 :   +鲁 = = = 1 .   D  
形式 4 : 经过 ( 2 , 0 ) 与圆 (  +2 ) 。 十Y   一3 6内切 
的圆的 圆心 M 的轨迹 方程 .   形式 5 : 已 知 圆 B: (  +2 ) 。 +Y   一3 6 内 的 一 点  A( 2 , 0 ) 与 圆 B 上 的 动 点 Q 的连 线 AQ 的 垂 直 平 分 线 

1 刘 冬岩 . 视 觉 思 维 对 教 学 的启 示 [ J ] . 中 国教 育 学 刊 , 2 0 1 0 , 5  
2 数 学课 程标 准研 制组 . 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实 验) 解 读  [ M] .南 京 : 江苏 教 育 出版 社 , 2 0 0 4   3 夏 征农 , 等. 辞海[ M] . 上海 : 上 海 辞 书 出版 社 , 1 9 9 9   4 人 民 教 育 出 版 社 ?课 程 教 材 研 究 所 ?中 学 数 学 课 程 教 材  研究 中心. 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 ?数 学 ( 选修 2 —   1 ) [ M] . 北京: 人 民教 育 出版 社 , 2 0 0 7  
5 张奠宙 , 竺仕芳 , 林永 伟.   基 本数 学 经验 ” 的 界 定 与 分 类 

交 B Q于点 P, 当点 Q 在 圆 B 上 运 动一周 时 , 点 P 的 
轨迹方 程.  
通 过 这 5种 形 式 对 同 一 椭 圆 的 表 达 , 学 生 的 头 脑 

中会形 成 相 应 的 视 觉 意 象 . 在 后 续 解 决 问 题 的 过 程 

[ J ] . 数学通报 , 2 0 0 8 , 5  
6 傅海伦 , 贾冠 军. 数学 思想 方法发 展概 论 [ M] . 济南: 山 东  教育出版社 , 2 0 0 9  

中, 会联 想 到运用 转 化 的 办 法简 化 问题 , 变形 为 自己  擅长 的 形 式. 这 样 的 设 计 有 利 于 培 养 学 生 的 发 散 

(I "  ̄ )

一 …   一   一   … …   一   … 一   一 一  

; v  , , 7,   v  , z h or l gs hu can, com  




表 1  2 0 1 1 年 高考 数 学 陕 西 卷 理 科 试 题 难 度 、 区 分 度 
题 号  1  
0. 93  

2  
0. 81  

3  
0.7 5  

4  
0. 68  

0  
0. 84  

6  
0 .7 2  

7  
0 .4 6  

8  
0. 8 1  

9  
0. 5 7  

1 0  
0.2 1  

难 度 

易 
0. 2 O  

易 
0. 54  

易 
0. 54  

中  
0. 58  

易 
0.3 4  

易 
0. 47  

中  
0 .3 6  

易 
O .3 9  

中  
O .4 9  

难 
0.2 7  

区 分 度 
题 号  难 度 

及 格 

优 秀 

优 秀 
1 6  
0. 81  

优 秀 
1 7  
0. 55  

良好 
1 8  

优 秀 

良好 
1 9  
0. 31  

良好 
2 0  
O . 481 2  

优 秀 

及 格 
2 1  
0. 3 2  

1 1 ~1 5  
0.5 4  

0. 45  

由 
O. 49 7  

易 
O. 4 23 6  

中 
O. 8 O  

中 
O. 4 8  

难 
0. 67  

中 
0 .6 9  

难 
O. 41  

区分 度 

优 秀 

优 秀 

优 秀 

优 秀 

优 秀 

优 秀 

优 秀 

表 2 难 度 与 区分 度 的 技 术 指 标 

维量 的同时减 少书 写量 ( 今 年 书写 量 是高 考数 学 陕西 
区 分度 ( D)  

难 度 系数 ( 户 )   1   容 易题 户 ≥0 . 7 0  
2  
3  

优 秀 D≥0 . 4 O  
良好 0 . 3 0 ≤D <0 . 4 0  
及格 0 . 2 O ≤ D< O . 3 0  

卷试题历 史之 最低 ) , 有助 于高 等学校选 拔人才 .   可能, “ 题 型变 化大” “ 试题 结构 发 生 巨大 变动 ” 是 

中档 题 0 . 4 0 ≤ <O . 6 9  
难 题  < O . 4 0  

“ 解答题 的 内容位置 较去 年有 变 化” 的 口误或 笔误 , 我  即第二 个话 题.   部分 学生“ 考场 没有正 常发挥 ” .  

们不 纠缠这 些 枝 节 , 而 是 直 面“ 解 答 题 的位 置 ” 问题 ,  

4   无( 低) 效题 p <O . 2 0  

不 及 格 D< 0 . 2 0  

第二个 话题 : 今年“ 解 答 题 的 内 容位 置 有 变 化 ” 、  

① 除第 1小题热 身偏 易之 外 , 所 有题 目的难 度都 
在 0 . 2 0 ~0 . 9 0之 间 , 全部 为有效 题.   ② 题 目难 度 的 易 、 中、 难 比例 为 : 选 择 题 6: 3: 1 ,  

笔者认 为 , “ 解 答题 的 内容位 置有 变 化” 和部 分学 

生“ 考 场没有 正常 发挥 ” 都是 一个 实 事 , 问题 是怎 样认 
层原 因. 下 面谈三 点看法 .  

填空 题 ( 缺各题数据) 总体 上 为 中 档题 , 解 答 题 1: 3   : 2 . 整套试卷 以中低档题为 主体 , 中低档题 约 占题量的  0 。 8 6 , 题分的 0 . 7 9 ; 难题 3道 ( 第 1 0 、 1 9 、 2 1 题) , 约 占题 
量的 0 . 1 4 , 题分 的 0 . 2 1 .  

识“ 位 置变 化” 的表 层形式 , 如何 洞察 “ 影 响发 挥 ” 的深 

( 1 ) 由 表 3可 以看 到 , 新课 程 卷第 1年 ( 2 0 1 0年 )  

与 大纲卷 ( 2 0 0 9年 ) 除 了解 析几 何 同 在解 答 第 5题 的 

③ 所有题 目的区分 度都在 0 . 2 0以上 , 全部及 格.   ④ 题 目区分度 的优 秀 、 良好 、 及 格 比例 为 : 选 择 题  5: 3: 2 , 填 空题 ( 缺各题 数据 ) 总体 优 秀 , 解 答 题全 部 

位 置外 , 其 余 5道 题 的位 置都 是 不 相 同的. 2 0 1 1年 因 

为 立体几 何 、 解 析几 何 题 比去 年容 易 了 , 所 以位 置 前 

移了( 解答 题位 置变化 1 ) ; 而数 列 、 概 率与统计 题 比去 

优秀. 整套试 卷 以 区分 度优 秀 的试 题 为 主 体 , 优 秀 率 
在 0 . 7 5以上 .  

年 难 了点 , 所 以位置后 移 了( 解答题 位置 变化 2 ) . 在这  些 位置 移动形式 的背 后 , 其 本质是 :  
位 置 统 计 
解答第 
1 题 

( 3 ) 今 年陕 西 省 高 考 数 学试 题 不 是 没 有 “ 变” , f r l   不是变 在题 型上 , 其“ 稳 中求 变 、 稳 中求 新 ” 的“ 变” 主 

表3  2 0 0 9年 ~2 O l 1 年商 考 数 学 陕 西卷 理 科 解 答 题 内 容 

要表 现为 努力落 实三 维 目标 ( 特别 提 醒 : “ 落实 三 维 目  
标” 就是 反对“ 应 试教 育” ) , 从第 一 年 新课 程 高考 的平  稳 过渡“ 变” 到 第 二 年新 课 程 高 考 的平 稳 发 展 . 当然 ,  

解答第  
2 题 

解答第 
3 题 

解答第 
4 题 

解答第 
5 题 

解答第 
6 题 

如何考查 “ 过程与方法” 、 如何 考 查 “ 情感 、 态 度、 价值  观” 还有很 多工 作 要 做 ( 谈不上成熟) , 但 已表 现 出 探 
索 的智 慧 、 勇气和决心( 同义 反 复 , 已表现 出 向“ 应 试 

2 0 0 9  

三角  

解 析 几  立体几何  概 率 统  导数应用  何 ( 双曲   数列 ( 有 
计( 有 应 
用)  

年 

线。 有向   不等式)  
量)  

教育” 宣 战 的智 慧 、 勇气 和 决 心 ) . 其“ 稳 中求 变 、 稳中   求 新” 的“ 新” 主要 表现为 “ 在 深刻 背 景下 立 意 , 在贴 近 
2 0 1 0  

概 率 统  解 析 几  导 数 应  数列  三角 ( 有   立体几何  计 ( 有 应  何 (椭  用 ( 有 不 
应用)   用

教材 中提 高 ” , 既努力 回归基础 ( 考 教 材 中 的 基 本 概 
念、 基 本定 理 、 基 本方法 、 基 本思 想 ) , 为 中学教 学 实施 

年 

)  

圆, 有向  

量)  

等式)  

素质教 育创 造 宽 松 的 环境 , 为 高考 复 习提供 “ 依 纲 靠 
本” 的导 向 ; 又积 极加强 灵活 ( 适 度 提 高 了部分 试题 的  综合性 、 灵 活性 、 应用性 、 深刻 度 、 新 鲜度 ) , 在 增 大 思 

立 体 几  解 析 几  三角 ( 有   数列 ( 有  概 率 统  导 数 应 
2 0 1 t  

年 

何( 有向   何 (椭  量)   圆)  

向量 )  

导数)  

计( 有应  用( 有不   用)   等式 )  

‰  

考   在  

{  蹲   幽  

2 0 1 1 年 第 8 期 ( 上 旬 )  
,  j  

中 学擞 学赦 学 参考 

① 重点 内容 重点考 查 : 三年 的 解答 题 都 是课 程 体 

的回归 导 向 , 冲击 了“ 教 学 时弊 ” . 用不 了两 年 的坚 持 ,  
学 生 的负担应 该会 减下 来.  

系 的重 点 , 内容 包 括 “ 函数、 三角 、 立 体几何 、 解 析 几  何、 数列、 不 等式 、 概 率 与统计 、 导 数 的应用 等” , 很 
稳定 ;  

( 2 ) 考“ 余 弦定 理 ” 存 在 两种 前 途—- - _ 降 分 或升 分 
因素.  

② 试题排序 由易到难. 这体现 了命 题组 的考前认识  ( 有 主观性) , 考后的难度系数会局部 打破 当初的顺序.   ( 2 ) 本来 , 解答题根据“ 由 易 到难 ” 的顺 序 做 出位  置变化 是惯 例 , 但是有“ 伪研究” 得 出结 论 : 高考 6道 
解答题 “ 什么题 是在 什 么位 置 的” . 加 上 不 良 书 商 与 压 

1 9 8 1年考余 弦定 理 就 存 在 两 种 情况 . 一方面, 据  《 湖南教 育 》 ( 1 9 8 1 , 9 ) 对 1 2 0份 试 卷抽 样 统 计 , 得满 分 
的占 6 1   , 得 0分 的 仅 2人 ( 考 定 理 可 以升 分 ) . 另 一  方面, 据《 宁夏教育》 ( 1 9 8 1 , 5 ) 对 1 1 2 5份 试 卷 的 抽 查 

统计 , 得 满 分 者仅 占 2 0  , 而 得 3分 以 下 者 多 达  3 4   , 其 中得 0分者 占 1 0  ( 考定 理可 以降 分) .   ①降 分 因素.  
— 一

题骗子 的虚假 宣传 , 以及 一模 、 二 模 乃 至十 模 、 二 十模  等的人 为强化 , 部分 单纯 的 中学 生就 信 以为真 了( “ 什  么题在 什么位 置” 十有八 九 不是 学 生 的发 明 ) . 由于 陕  西省 2 0 1 1年高 考数 学解答 题 “ 由易 到难 ” 的排 序 没有  被 一些人 猜对 , 部分 受猜题 八 股影 响 的学生 就 思 想产  生 了波 动 , “ 考 场没有 正 常发挥 ” ( 网 上有 人 说 “ 一 看题 
目, 直接 不 想 答 题 了 ” ) , 并 出现 “ 跟 模 拟 卷 差 距 比 较  大” “ 题型变 化 大” “ 试题 结 构 发 生 巨大 变 动 ” “ 部 长 批 

现实 中存 在 “ 应试教育” . 事实证 明, 凡 是偏 

离大 纲教 材 、 盲 目加 重负 担 的地 方 , 都 出现 “ 复 习一年  却 没教会课 本定 理” 的尴 尬. ( 相反, 有 的学 校 、 有 的考  生认 为这是 一 道难度 最低 、 书 写量最 少 的解答题 )  


历 史上 发生 过降分 的情 况. 1 9 7 9年全 国考 勾 

股 定理 , 做对 的 不 到 1 %; 2 0 1 0年 四J I I 省 考 余 弦 差 角 
公式 , 5 0万 考 生做 对 的 不 到 5 0 0人 , 都 曾把 学生 “ 考”  
住 了.  

评” 等议论. 这个账 应该 算 到 谁 的头 上 呢 ?笔 者认 为 ,  

没有 理 由算 到“ 由易到 难顺 序 ” ( 惯例) 的头上 , 应该 算  到“ 应试 教育 ” 的 头上 , 算 到“ 伪研究” 的头上, 算 到 不 
良书商与压题 骗 子的头 上.  
( 3 ) 一个 比较 突 出的 例 子 是今 年 的解 析 几何 题 ,  

② 升分 因素.  
— —

课本 分别 在《 数学 4 》 第二 章 第 5节例 2 、 《 数 

学 5 》 第二 章第 1节 两次提 供余 弦定 理的证 明 , 多数 学 
校 或 多 数 考 生 经 过 一 年 复 习 不 至 于 连 课 本 重 要 定 理 

由于解 析几何 题直 接来 自课 本 ( 分别见《 选修 2 ~ l 》 第 

三章 阅读材料 2 , 及 习题 3 — 4的 A组 第 7 题) , 运 算少  了、 难度低 了, 所 以位 置前 移 了 , 这本 应 是一 个 提 高得 
分 的机会 , 而“ 伪 研究 ” 和“ 人 为 强 化” 却把学生教成 :   放在 第 2 O题 可 以正 常 发 挥 , 放 在第 1 7题 就 慌 乱 了.   第 1 8题 、 第 1 9 题 也都 存在 所谓 “ 位 置影 响 难度 ” 的 问  题. 但是“ 位置” 不会 提 高 试 题 的绝 对 难 度 , 每 一 位 真  正 动手做一 遍 的人 也 都不 难感 到今 年 解 答 题 确 实 比 

都不 会 , 应 该相 信大 多数学 生.  
~ 一

可能 预估 到“ 考定 理 有 不确 定 因 素” , 所 以加 

大 了“ 叙述 ” 定理 的得 分 ( 4分 ) , 也 加大 了位置 难度 ( 放  在 1 8题 的位置 ) , 防止 出现 无效 题.  


第 1 6题 第 ( I I ) 问才 刚 刚用 了公 式 n?  



I   a   l ?I  I   c o s ta , 6 >, 这个公式在余弦定理证明中  

有 重要作 用 . ( 这 是无 意 中 的 知识 提 示 , 其实, 离开 向   量求“ 夹角 的余 弦值” , 一般 情 况下 都 是 用余 弦 定理 解  三 角形 , 而第 1 6题 的得 分率 高达 0 . 8 1 )  
— —

那些 盲 目提 高要求 的模 拟卷 简 单 而大 方. 值 得 反思 的  是, 把题 目刻 板 到 “ 什 么题在什么位 置” 是 不 是 太 僵  化、 太八 股 了? 连 这 点 表 面 形 式 都 不 敢 突 破 何 谈 创 
新 !现 在看得 很清楚 , 解答 题 位 置 的变 化 客 观上 起 到 

这届 考生 比 1 9 8 1年 考 生 多 学 了 “ 向量” 和 

“ 推 理与 证 明” , 权 当用 分 析 法 找 一 个 新 等 式 n  一b  

了倡导 创 新 意 识 和 考 查 学 生 个 性 品 质 的 双 重 作 用 .   “ 位 置变化 影 响发挥 ” 的实 质是 : “ 应试 教 育 ” 的祸 害和 
“ 三 维 目标 ” 的失位.   第三个 话题 : 今 年“ 考 了余 弦 定理 ” , 部 分学 生 “ 考  场 没有正 常发挥 ” .  

十C   ~2 b c c o s   A的证 明 , 也 不算难 题.   要证 a 。 一b 。 +f 。 一2 b c c o s   A, 只需 证 葡 。 一  
+  z 一2   .   .  

只需证 蔚 z 一(   一  ) z ,   只需证 蔚 一   一  .  
如图 1 , 最后 公 式 显然 成 立 , 故  有证 明如下 ( 由繁 到 简 、 三 项 变 一 
项) :  
b   +c ! 一2 b c c o s   A 
一  

笔者认 为 , 今年“ 考 了余 弦定 理 ” 和部分学生“ 考  场没有 正常 发挥” 都 是一 个 实事 , 它 与解 答 题 “ 位 置 变 
化影 响发挥” 一样 , 是“ 应试教育” 造成的, 是“ 应试 教  育” 的祸害 和“ 三维 目标 ” 的失 位. 下 面谈 四点看 法.  

A .   \ 
B  
圆 1  

c  
一 ‘  

( 1 ) 有意识 考课 本“ 余 弦 定理 ” 提供了“ 减 负松 绑 ”  

z +  z 一2  

? 蕊 ( 把数 量转 变为 向量 )  

素  … ~   … … 一 … … } ~   ~   …   … 一 … …  
一( - A - - C—A直) 。 ( 向量 运算 、 变三项 为两项 )   =BC 2 ( 向量运 算 、 变两项 为一项 )  
= 口。


②证 明余 弦定 理可 以考 查“ 过程 与 方法 ” , 经 历 定  理 的形 成过 程 ( 知其 然 也 知 其 所 以然 , 获得 体 验 ) , 并 
考查 向量方 法 、 坐标 方法 或平 面几何方 法等 .  

( 把 向量还 原 为数量 )  

退一万步说 , 除 向量方法 、 坐标方法外 , 至少还  能想到用勾股定理的平面几何解 法( 1 9 8 1 年 的考 生就 曾  
— —

③“ 考余 弦 定 理 ” 也 考 出 了学 生 的情 感 态 度 价值  观, 网络上有 人说 “ 考余 弦定 理很 简单 ” , 有人 说 “ 考余 
弦定理 很难 ” , 有人 说“ 经 过一 年 复 习连课 本定 理 都不 

有近 1 O 种解法) , 即使不完整也不至于证明部分得零分.  
( 3 ) 结果很 不理 想, 只有 0 . 4 5的 得 分 率 ( 5 . 4 3   分) .原 因是“ 应 试教 育” 造成 了学 生基础 知识 、 基本方  法 的缺失. 应该说 , 0 . 4 5的得分 率不是 这一届 考生 “ 知  识 与技 能 ‘ 过程 与方 法” 的真 实水 平 , 而是 “ 情 感 态度 

会还理 直气壮 ” 等等, 这应 该 就是 “ 情 感 态度价 值 观” ,  
这里 面还有 学习观 、 数学 观.   第四个话 题 : 得 分下 降的原 因.  

由表 4可 以 看 到 , 2 0 1 1年 每 类 题 型 的得 分 都 比 
2 0 1 0年下 降 了 , 但下 降 的 原 因是 不 一样 的. 既 有 内容  难度 的直接 原 因 , 更有“ 应试教育” 的主 要原 因 , 还有 

价值 观” 缺 位影 响下 的一个 暂时现 象.   ( 4 ) 现 在看 得 很 清 楚 , 余 弦定 理 可 以 同 时 考查 三 
维 目标.  

题 目设计 的技 术原 因. 下 面笔者谈 三点 降分 因素.  

①叙 述余 弦定理可 以考 查“ 知 识与技 能” .  
裹 4 陕 西 省 高 考 数 学 理 科 解 答题 2 0 1 0年 与 2 0 1 1年 难度 系数 对 比   题 号 
2 01 0拒   O. 7 5   O. 73   O. 7 9   O. 63   0. 75   0. 69   0.3 7   0 .2 7   O. 5 7  

1 ~1 O  
3 7. 39  

1 1 ~l 5  
1 8.1 9  

1 6  

1 7  

1 8  

1 9  

2 0  

2 1  

1 6 ~2 1 小 计  合 计 
4 2. 81   9 8. 41  

3 3. 9O  

1 3. 40  
O. 5 4  

9. 66  
0. 81  

6. 64  
0. 55  

5. 44  
0. 45  

3 .7 3  
O. 31  

6 .2 6  
0. 48  

4 .5 2  
0 .3 2  

3 6. 2 O  
O. 4 8  

8 3. 51  

2 0 1 1年  

O .6 8  



降 

降 
3 .4 9  

降 
4. 79  

升 

降 

降 

降 

升 

升 

降 
6 .61  

降 
1 4. 9  

( 1 ) 因素 1 : 内容 难度提 高.  

导致 得分下 降.  
— —

得分 下 降到 8 3 . 5 1 分 的一 个 因素 是 内容 难 度 提  高, 主要表 现在选 择题 、 填空题 上.   ①选 择 题得 分 下 降. 主 要是 微 调 了 内容 难 度 , 增 
加 了 题 目的 思 维 量 .  
— —

今 年 的第 1 4题虽 然源 于课本 例题 ( 《 数学 1 》  

第 四章第 2节 问题 3 ) , 但 有思 维 陷 阱和计 算 陷 阱 , 都 
会导 致得分 下 降. 思 维 陷阱 是 : 若 按课 本 那 样 列 出 函 

数 S( 忌 ) 一2 0 [   1 1 一k   I +l   2 一k   I +…+l   1 9 一k   l   +l   2 0一愚 1 ] ,  
则有 部分考 生 可 能就 做 不 下 去 了 ( 因 为属 于《 选 

增 加 了题 目所 涵盖 知识 的综 合性 与灵 活性 .  
增 加 了题 目 所 涵 盖 知 识 的 深 刻 度 . ( 如第 3  

( 如第 7 题, 第 6题 )  
— —

修4 》 的 内容 ) . 计算 陷 阱 ( 心理 性错 误 ) 是两个: 第一 ,  
忘 了“ 相距 1 O米” , 得2 0 0 ( 米) , 第二 , 未 看清 “ 往返” ,  
得 1 0 0 0 ( 米) .  
— —

题, 第 9 题)  
— —

增 加 了 题 目知 识 情 境 的新 鲜 度. ( 如第 l 0  

题, 此题难 度 系数 只有 0 . 2 1 , 值 得注 意)  
②填 空 题 得 分下 降. 主 要 是微 调 了内 容难 度 , 增 
加 了 题 目的 思 维 量 .  
— —

为了提供 “ 加强选 修课” 的导 向, 第 1 5题 

( 《 选修 4 》 的题 目) 的绝对 难度 比去年 提高 了.   有 一批 考 生 , 一 小时 就 基 本做 完 了全卷 , 解 答 题  也 感觉很 顺 , 但 分丢 在选择题 、 填 空题 上 , 所 以得不 了 
满 分.  

今年 的填 空 起 点 题 由“ 单 一 向量 ” ( 2 0 1 0 - 9 ,  

指 2 0 1 0年第 9题 , 下 同) 到“ 函 数求 值 与 定 积 分 的综 

合” ( 2 0 1 1 — 1 1 ) , 综合性 加 强 了.  
— —

( 2 ) 因素 2 : “ 应试教 育” 影 响.  

今年 的 归 纳 猜 想 题 由写 “ 第 五个 等 式”  

造 成得 分 下 降 到 8 3 . 5 1分 最 要 害 的 因素是 解 答  题 没有稳 住 , 而没有 稳住 的主要原 因是 “ 应 试教 育” 影 
响 了考生 的 正常发挥 , 表现在 四个 方面 .  

( 2 0 1 0 — 1 2 ) 到写 “ 第  个 等式” ( 2 0 1 1 — 1 3 ) , 抽 象度 提高  了, 难度 随之提 高.  
— —

今年 的第 1 2题 提 高 了思 维 严 谨 性 的要 求 ,  

①部 分考 生不适 应解答 题 的位置 变 化 , 水 平没 有 
正 常 发 挥. 这是“ 应试教育” 造 成 的. ( 参 见 第 二 个话 
题)  

有 两个 陷阱 ( 逻 辑 性 错误 ) : 必要不充分 ( 如得 n = = = 0 ,  
3 , 4 ) ; 充 分不必 要 ( 如 仅得  一3 ; 或仅 得 7 2 —4 ) . 这 会 

考 
试 
,  

2 0 1 1 年 第8 期 (上 甸 )  
中 学 矗 学教 学参 考  

②部分 考生不 适应 考课本 定 理 , 水平 没 有正 常 发 

Y —e  于点 Q  ( 0 , 1 ) , 曲线 在 Q  点 处 的切 线 与 z轴 

高  挥. 这 也是“ 应试教 育” 造 成 的. ( 参 见第 三个话 题 )   考  ③ 部分考生 不适 应 三维 目标 的考查 , 水平 没 有 正  额  常发挥. 这还是“ 应试教育 ” 造成 的. ( 参见第 五个话 题)   道 
④“ 应试 教育” 不仅影 响解 答 题 的正 常发 挥 , 还会 
影 响部分 人对 全卷 的正 常发挥 .  

交 于点 P   . 再从 P  作  轴 的垂 线 交 曲线 于 点 Qz , 依 
次重 复上 述 过 程 得 到 一 系 列 点 : P   , Q1 ; P z , Q z . . . ? ;   P   , Q   , 记 P { 点 的坐 标为 ( z   , 0 ) ( 志 一1 , 2 , …,  ) .  

( 工) 试求 z  与 z   一   的关 系 ( 2 ≤愚 ≤n ) ;   (Ⅱ)求 f   P, Q f+ f   P。 Q 。l + f   P 。 Q 。I + … 
+I   P  Q I .  

( 3 ) 因素 3 : 题 目设 计 的技术性 丢 分.  
下 面主要 谈两点 看法 .  

例 4 一 l   ( 本 小 题 满 分 6分 ) 如图 3 , 从点 P  

①解答 题 的串联 结构造 成 重 复扣分 . 题 目的 串联  结 构是指 : 第( I) 问得 出 的结 论 构 成 第 ( Ⅱ) 问 的 条 

( 0 , 0 ) 作  轴 的垂 线交 曲 线 Y—e  于 点 Q   ( 0 , 1 ) , 曲 
线在 Q 】 点处 的切 线 与 z轴 交 与 点 P   . 再从 P  作  轴 的垂 线交 曲线 于 点 Q。 , 依 次重 复 上述 过程 得 到一 

件. 因而第 ( I) 问不 能完整 完成 的人 第 ( Ⅱ) 问几乎 无  法 下手 , 这 实质 上是对 第 ( 工) 问扣 分 的 同时对 第 ( 1 I )  
问重复扣 分. 学 生做 下述例 1 一 道题 与 独立 做例 2两  道 题的得分 是不 一样 的.   例 1   ( 2 0 1 1年 高 考数 学 陕 西 卷 理 科 第 1 7题 )   ( 本 小题满 分 1 2分) 如图 2 , 设 P是 圆  + 。 =2 5上 

系 列点 : P   , Q1 ; P2 , Q 2 ; …; P   ,   , 记  ( z   , 0 ) ( 愚 一1 , 2 , …,  ) . 求 
≤曼 ≤ ) .  

点 的坐 标 为 

与  ^ 一   的 等量 关 系 ( 2  
6 分 ) 已 知 

例 4 — 2  

(本 小 题 满 分
, 

{ f   z   =0 .  
1 z 一 X k -1: = =一 l’  

的动 点 , 点 D 是 P 在 z轴 上 的 投影 , M为P D 上 一 
A  

一e  , 求 Y 1 + 2 +  3 十… +. ) ,   .  

点, 且1 MDl 一÷ l PD1 .  
( I) 当 P在 圆上运动 时, 求 点 
M 的轨迹 C 的方程 ;  
‘  

假设例 4 — 1 得分 率为 0 . 5 , 例4 — 2得 分率 为 0 . 6 ,  
两 题 共 得  6 ×0 . 5 +6 ×0 . 6 —3 . O +3 . 6 —6 . 6 ( 分) .  
.  

厂  

若 还是 这些 学生 做例 3 , 则得 分不 是接 近 6分 多 ,   而是不 足 5分.  
6 ×0 . 5 +6 ×( 0 . 5 ×0 . 6 ) 一4 . 8 ( 分) .  

( I I ) 求过点 ( 3 , 0 ) 且 斜率 为  的 
直 线被 C所 截线段 的 长度.   例 2 — 1   ( 本小 题满分 5分 ) 如图 2 , 设 P是 圆 z   +  一2 5上 的 动 点 , 点 D 是 P 在 z轴 上 的投 影 , M 

② 题 目的新 情 境 影 响难 度 . 特 别 表 现 在第 1 o题 

和第 1 9题 上 , 而 第 9题 、 第 1 2题 、 第 1 4题 也 会 有 
影 响.   ( 4 ) 结 论.  

为P D 上一 点 , 且I   MDf 一÷ f   PD   f , 当 P 在 圆上 运 动 
时, 求 点 M 的轨迹 方程 .  

综上“ 得分 下 降” 的分 析 , 笔 者 的结论 是 :  

例 2 — 2   ( 本 小题满 分 7分 ) 求 过点 ( 3 , 0 ) 且 斜率 
为一 4
b … 、… , …
x  "


①造 成得分 下 降 的主 要 原 因 是 考场 没 有 正 常 发 
挥. 全 卷平 均 8 3 . 5 1 分 不足 以反 映这 一 届考 生 的真 实 
水 平.  

+y

=1所截 线段 的长度 .   l 石

假设 例 2 — 1 的得 分率 为 0 . 7 1 , 例2 — 2的得分 率为 
0 . 6 2 , 两 题 共 得 
5 ×0 . 7 1 +7 ×0 . 6 2 —3 . 5 5 +4 . 3 4 —7 . 8 9 ( 分) .  

② 影 响发挥 主要来 自“ 解 答题 位 置换 了” “ 考 了课 

本 定理 ” “ 跟模 拟 卷差距 比较 大” …… 这些 都 不会 提 高 
试题 的 绝对难 度 ( 也不是 天然 的 负面 因素 ) , 所 以 影 响 

若还 是这些 学生 做例 1 , 则 得分不 是接 近 8分 , 而 
是 不 足 7分 .  
5× 0 .7 1+ 7   X ( 0 .7 1× 0 .6 2)一 3 .55+ 3 .0 8  

考 场正 常 发 挥 的深 刻 原 因 来 自根 深 蒂 固 的 “ 应 试 教 
育” .  

③虽 然选 择题 、 填空题 微 调绝 对难 度 也是 一个 影  响 因素 , 但 无论 是得 分情 况 、 考 场感 受 , 还是 对 比别 省  试题 , 都表 明 内容难度 的微 调不 足 以构 成分 数 的大 幅 
波动.  

—6 . 6 3 ( 分) .  

同样 , 学 生做 下述例 3一 道题 与独 立做 例 4两道 
题 的得 分 也 是 不 一 样 的.  

例 3   ( 2 0 1 1年 高考 数 学  

④ 技术 上 , 解 答题 两三 问 的串联 结 构会 造成 重 复 

陕 西卷理 科 第 1 9题 ) ( 本 小 题  满分 1 2 分 )如 图 3 ,从 点 
P   ( O , 0 ) 作 z轴 的垂 线 交 曲 线 
图3  

扣分 , 创 新 措 施 比 较 集 中会 “ 适得 其反” 等。 也 值 得 
反 思.  

( 未完待续 )  

@ 

毒  , ~  

~一… 一 …  ~   一   …   一 一   . 一 …  

@ 且 且 隼 宙 鼋8  
希 望能给一 线教 学带 来帮助.  

溜 圆国 僻 溜 馨 窜   爨》  

编 者说 明 : “ 2 0 1 1 年 高考 : 数 学试题 的解 法荟 萃” 征 文 已于 6月 2 O日结 束. 至截 稿 日, 已收 到稿 件 近千 

篇, 非常感谢 各位 老 师对本栏 目的 关爱和 支持. 为 了使 更 多老 师的 试题研 究成果 得 以发表 , 我 们将 分 多期连 载 ,  
本期 刊登 的是 山东卷 、 江苏卷 、 浙江卷 、 湖 北卷 和 湖 南卷 的部 分 试题 的 解 法荟 萃. 需要 说 明 的是 , 在 解 法荟 

萃 中, 对 于选择 题和 填 空题 , 我们略 去 了某 些显而 易见的 解法 , 解答题 的 解 法为参 考答 案 以外 的解 法. 参 加本 期 
文稿选 编和 审理的 老师有 : 龚辉斌 ( 浙江 义乌 ) , 吕辉 ( 湖北 十堰 ) , 张彬 ( 山 东滕 州) , 陆 贤彬 ( 江 苏靖 江) , 张神 驹  ( 福建周 宁) , 方厚 良 、 罗灿 ( 湖 南株 洲 ) , 江战 明( 浙 江德 清) , 任 宪伟( 山 东嘉祥 ) . 对 于他 们 的辛 勤工作 , 本 刊特 袁 
感谢.  

山 东卷 
理 科 第 4题 : 不 等式 l   一5   l + I   十3   l ≥1 O 的 解 
集是 (   ) .  

( 山 东省 滨 州 市 滨 城 区第 二 中学  耿 本 春 ; 甘 肃 省 天 水 市 

第 一 中学  宫前 长 ; 山东 省 夏 津 县 第 一 中 学  李承 梅 ; 河 北 省 
河间市第一中学 王兵权 ; 江 苏 省 徐 州 市 第 一 中学  张 培 强 ;  

A. [ 一5 , 7 ]  

B . [ 一4 , 6 ]  

山东 省 阳 信 县 第 一 中 学  郑 振 华 ; 山 东 省 信 阳县 第 二 高 级 中  
学  韩 高峰 ; 上 海 市 城 市 科 技 学 校  邵 红 能)   解法 4 : 将 z一 6代 入 不 等 式 验 证 成 立 , 排 除 选 项 C; 将  z —O 代人 不等 式 验 证 不 成 立 , 排 除选 项 A, B .故 答 案 应 选 D .  

C . ( 一o o , 一5 ] U[ 7 , 十。 。 ] D . ( 一o o, 一4 ] U[ 6 , +。 。 ]  
解法1 : 当z > 5时 , 原不 等式 可化 为 2 x   2 ≥1 0 , 解 得  ≥6 ; 当一 3 ≤z ≤ 5时 , 原 不 等式 可化 为 8 ≥1 0 , 不成 立 ; 当   < 一3 时, 原不 等式 可化 为 一2 z +2 ≥l O , 解 得 ≤ 一4 . 综上 , 原 

( 山东 省 阳信 县 第 一 中 学  郑 振 华 ; 山 东 省 信 阳 县第 二 高  级中学 韩 高峰 ; 河 北 省 河 间 市 第 一 中学  王 兵 权 ; 陕西 省 西 

不 等 式 的解 集 是 ( 一。 。 , ~4 ] U[ 6 , +o 。 ] . 故答案应选 D .  

( 甘 肃 省 天 水 市 第 一 中学  宫 前 长 ; 陕 西 省 西 安 市 临 潼 区 
马 额 中学 童永奇 ; 山 东 省 滨 州 市 滨 城 区第 二 中 学  耿 本 春 ;   河 北 省 河 间 市 第 一 中 学  王 兵 权 ; 上 海 市 城 市 科 技 学 校  邵红能 ; 江 苏 省 徐 州 市 第 一 中 学  张 培 强 )   解法 2 : 设 函数 厂 ( z ) 一l z 一5   1 +I z  
r 2- - 2 x,   < 一 3,  

安 市 临 潼 区马 额 中学  童 永 奇 ; 江 苏 张 家 港 市 锦 丰 镇 第 三 职 
业高级中学 屈 奇峰 )  

理 科 第 6题 : 若 函 数 f(  ) =s i n   c c J z( ∞> 0 ) 在 区 间 

l o , 号 j 上 单 调 递 增 , 在区 间l 詈 , 号j 上 单 调递 减 , 则  
& ,= (  
1 O  

\   。   ’  B  
  ’

) .  

+3   l , 则 f(  ) 一  8 , 一3 ≤ ≤ 5 , 如 

【 2 z 一 2 ,   > 5 。  
图1 , 在同一直 角坐 标 系内作 出直线 y   一1 0与 函 数 _ 厂 (  ) 的图象 , 设 其 交 点 为 
点 A、 B .   图 1  

A . 3  

B . 2  

c . 导  

D 毒 

解法 1 : 根 据 正 弦 函 数 的 图 象 知  ( z) 一s i n   n  ( ∞> O ) 在 区 

间l   L   0 ,   ∞ J 『   上 单 调递 增, 在I L    ,  J I   上 单调 递减, 则   0   ≤吾, ‘    
且   J   ≥詈, 即≠一 - w   , 解得  一 要. 故答案应 选C .  
∞   u 

令 , (  ) :1 0可 得  A 一一4 ,  n =6 , 凭借 图形可知 J r ( z )   ≥1 O 甘z ≤ 一4或  ≥ 6 , 即所求不 等式 的解集 是 ( 一。 。 , ~4 ]   U[ 6 , 十o 。 ) . 故 答 案应 选 D .   ( 陕西省西安市I 临潼 区 马额 中 学  童 永 奇 ; 甘 肃 省 天 水 市  第一中学 宫前长 ; 山 东 省 滨 州 市 滨 城 区第 二 中 学  耿 本 春 ;  

( 山东 省 阳信 县 第 一 中 学  郑 振 华 ; 山 东 省 信 阳县 第 二 高 
级中学 韩 高峰 ; 山 东 省嘉 祥 县 第 二 中学 任 宪伟 ; 江 苏 省 徐  邵 红 能)  

州 市 第 三 十 五 中学  张 国 良 ; 上海市城市科技学校

解 法 2 : 令   z ∈ l 2 k u - 号 , 2 k  ̄ - —   j (   ∈ z ) , 可 得, (   )  

江 苏 省 徐 州 市第 一 中学  张 培 强 ; 山 东 省 阳 信 县 第 一 中 学 

郑振华 ; 山 东 省 信 阳 县 第 二 中 高 级 中学  韩 高峰 ; 上 海 市 城 市 
科 技 学校 邵 红能)  

在 『 L  一 叫   , 叫     ( c J   +  ] ( £ , J   为 增 函 数 . 同 理 , , (   ) 在   l 甜   +  , ∞    

解法 3 : 由绝对值的几何意义可知 1   5   1 +l - z +3   f 表示 
实 数 轴 上 的点 , 2 7 到 点 z一 一3与 z一5的 距 离 之 和 , 借 助 数 轴 
可 知 要使 点  到 点 z一 一3与  : 5的 距 离 之 和 等 于 1 O , 只 需 

+ 笔 f l   为 减 函 数 , 则 当 h = O 时 , 云 6 甜   = 詈 0   , 即   = 号 . 故 答 案  
应 选 C.  

( 山 东 省 嘉 祥 县第 二 中学

任 宪伟; 江 苏 省 徐 州 市 第 三 十 
邵红能)  

五 中学  张 国 良 ; 上海 市 城 市 科 技 学 校

一一4 或  一6 , 即当 z ≥6 或   ≤ 一4时, l   z 一5   l 十l  +3     l
≥1 O成 立 . 故答案应选 D .  

解 法3 : 由 题 意 知当z : 号时, , ( z ) = s i n ( c J z (   >o ) 取 得  

考 
W   W W  



zh  



2 0  
  ~ … 一 …   ~   ~   …   …   … 一 ~   ~ 一- 一   一   … 一  

最 大 值 , 则 詈   一 2 k   + 2( k E Z ) , c c , 一 6 k + 3( k E Z ) , 当   一 。   考 
时,  一  3

高 

C 的准 线 相 交 , 则 Y o 的取值范围是(  

) .  

频  道  故 答 案 应 选


A. ( o , 2 )  

B . [ O , 2 ]  

c . ( 2 , +。 。 ) D . E 2 , +C x 。 )  

c .  

解法 1 : 抛 物 线 C 的 准线 方 程 为 y 一2 , 设 圆 的半 径 为 r , 因  为 F( o , 2 ) 是 圆心 , 由圆 与 准 线 相 交 知 r >4 , 而 点 M( x o , Y o ) 为  抛 物 线 C上 一

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