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2012年新高一数学竞赛12


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 12

── 圆幂定理
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答

回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 相交弦定理:圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点内分(分点在线段内)成的两条线段长的 乘积相等. PA ? PB ? PC ? PD . 切割线定理:圆的弦延长线相交于圆外一点,各弦被这点外分(分点在线段的延长线上)成的 两线段长的乘积相等,并且等于这点到圆的切线长的平方.
PA ? PB ? PC ? PD ? PT .
2

相交弦定理与切割线定理也可统称圆幂定理.其逆命题也成立,是证明四点共圆的方法.
C B C P D D A B P T

A

二、重要例题 例 1.如图,AB 是圆的直径,AD 为切线,FB 和 DB 是割线,分别交圆于 E、C; 求证; BE ?BF ? BC ?BD . (提示:连结 AC、 CE )
B

C

E F D

A

1

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教练员 凌彬

例 2.自圆 O 外一点 P 向圆 O 作切线 PA,切点为 A,再由 PA 的中点 M 作圆 O 的割线和圆 O 交于 B、C 两点,PB、PC 分别交圆 O 于 D 点和 E 点;求证:DE∥PA. (提示:注意共边共角相似)
A M P

B D

E

C

例 3.已知 E 为圆内两弦 AB 和 CD 的交点,直线 EF∥CB,交 AD 的延长线于 F,FG 切圆于 G; 求证:EF=FG. (提示:相似三角形与圆幂定理结合)
C

B

E F D

G A

例 4.PA、PB 切圆 O 于 A 和 B,PO 交 AB 于 M,过 M 任作一弦 CD;求证:∠APC=∠BPD.
(提示:连结 OA、 OB、 OC 、 OD )
A

C

P M O D

B

2

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教练员 凌彬

例 5.如图,三个圆两两相交,则三条公共弦所在的直线(AC,KN,BM)交于一点.
(提示:设 AC 与 KN 交于 P , BM 与 KN 交于 P ' ,证明两点重合)
P

M C N

K A B

例 6.设 AD 为△ABC 顶角 A 的平分线,求证: AD 2 ? AB ?AC ? BD ?DC .
(提示:作出 ? ABC 的外接圆)
A

1

2

D B C

E

3

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教练员 凌彬

三、巩固练习 12

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.由半圆 AB 的两端引二弦 AE、BD 交于 C;求证: AC ?AE ? BC ?BD ? AB 2 .
E D C

A

B F

2.圆内接四边形 ABCD 的一组对边 AB、CD 的延长线交于 P 点,另一组对边的延长线交于 Q 点, 从 P、Q 分别引圆的二切线,E、F 为切点;求证: PQ 2 ? PE 2 ? QF 2 .
Q

D F G C

B A E P P

4


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