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1.2 第2课时 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题


第2课时 解三角形的实际应用举例

—高度、角度问题

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有
关底部不可到达的物体高度测量的问题; 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有 关计算角度的实际问题.

1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高 度呢?又怎样在水平飞行的飞

机上测量飞机下方山顶的 海拔高度呢? 2.在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题:在浩瀚 无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航 速和航向呢? 今天我们就来共同探讨这些方面的问题.

探究一、测量底部不可到达的建筑物高度 例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高

点,设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析:如图,求AB长的关 键是先求AE,在 △ACE中,

如能求出C点到建筑物顶
部A的距离CA,再测出由C 点观察A的仰角,就可以

计算出AE的长.



例2 如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 α =54°40′,在塔底C处测得A处的俯角β =50°1′ ,已 知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 分析: 根据已知条件,大家能设计出 解题方案吗?

若在ΔABD中求CD,则关键需
要求出哪条边呢? 那又如何求BD边呢?

解:在△ABC中,∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理,

把测量数据代入上式,得

177.4-27.3≈150(m)
答:山的高度约为150米.

思考:有没有别的解法呢?

先在△ABC中,根据
正弦定理求得求出AC. 再在△ACD中求CD即可.

例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向 上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向 上,仰角为8° ,求此山的高CD(精确到1 m).

解:在△ABC中,∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°. 根据正弦定理,

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答:山的高约为1047米.

探究二 、测量角度问题 例4 如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行

67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方 向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出 发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行, 需要航行的距离是 多少?(角度精确到 0.1°,距离精确到

0.01n mile)

分析:首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角
∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算 出AC边和AB边的夹角∠CAB.

解:在 △ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,

根据余弦定理,

根据正弦定理,

分析:此题即“已知△ABC中,BC=85mm,AB=340mm, ∠C=80°,求AC.” 解:(如图)在△ABC中,由正弦定 理可得:

又由正弦定理:

答:活塞移动的距离为81mm.

2.我舰在与敌岛A南偏西50°相距12海里的B处,发现敌 舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航 行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时 追上敌舰?(精确到1°) C

A

B

解:如图,在△ABC中由余弦定理得:

∴我舰的追击速度为14海里/小时.

答:我舰需以14海里/小时,沿北偏东12°方向航行才 能用2小时追上敌舰。

3.3.5m长的木棒斜靠在石堤旁,棒的一端离堤足1.2m的地 面上,另一端沿堤上2.8m的地方,求堤对地面的倾斜角.

(精确到0.01°)

答:堤对地面的倾斜角63.77°

1.利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据

题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽
取主要因素,进行适当的简化.

2.实际问题处理 实际问题 抽象概括 数学模型 推 理 实际问题的解 还原说明 演 算

示意图

数学模型的解

智者不只发现机会,更要创造机会。

——培根


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