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格子波尔兹曼方法及其应用


·4 ·

  现代机械   2003 年第 4 期  

格子波尔兹曼方法及其应用
上海交通大学动力与能源工程学院 ( 200030)   张武生   杨燕华   徐济 

摘要 : 格子波尔兹曼方法为研究非线性复杂系统提供了一种新的手段 。本文详细叙述了格子气自动机和格子波尔兹曼 方法的基本原理以及其在流体

力学中的应用 。 关健词 : 格子气   格子波尔兹曼方法   数值方法   流体力学

Theory and Application of Lattice Boltzmann Method
Zhang Wu- sheng   Yang Yan- huan  Xu Ji-Yun

cation of Lattice Gas Automata and Lattice Boltzmann Met hod in fluid flied is discussed in detail.

1  前言

展而 来 的 格 子 波 尔 兹 曼 方 法 ( Lattice Boltzmann Met hod ,
LBM) 是使用简单的微观模型来模拟流体的宏观行为的一种

新的方法 。自从 1985 年底在美国 Los Alamos 国家实验室工 并且成功的进行了首批流体力学格子气模拟以来 ,L GA 引起

作的科学家们提出 FHP ( Frisch - Hasslacher- Pomeau ) 模型 , 了物理学家 、 计算机科学家与数学家们的浓厚兴趣 , 并且取 得了很大的发展 。作为一个崭新的求解流体系统偏微分方 程的方法以及为物理现象建模的手段受到了人们的关注并 且对许多问题建立了格子模型 ,取得了意想不到的效果 。

2  波尔兹曼方法基本原理
211   格子气自动机简介

角度出发 , 假设流体连续分布于整个流场 , 诸如密度 、 速度 、 压力等物理量均是时间和空间的足够光滑的函数 。另一种 则是从微观角度 ,从非平衡统计力学的观点出发 , 假设流体 是由大量的微观粒子组成 , 这些粒子遵守力学定律 , 同时服 从统计定律 ,运用统计方法来讨论流体的宏观性质 。 然而 ,流体是由大量粒子组成的 。当我们从宏观角度研

究流体行为的时候 ,并没有涉及到单个粒子的行为 。通常我

们所感兴趣的是代表某个点 ( 包含大量粒子的微小单元 ) 的 推导出 N - S 方程 ,并且利用数字上的微积分知识来求解 ,然

宏观参量 ,如密度 、 速度 、 压力 。根据连续性假设 , 我们可以 而由于 N - S 方程是高度非线性化的偏微分方程 , 仅仅一些

   作者简介 : 张武生 ,男 (1977 - ) ,硕士 ,从事两项流动方面的研究 。 收稿日期 :2001 - 12 - 27

  Abstract :Lattice Boltzmann Met hod (LBM) provides us a new met hod to research complex non-linear system. Theory and appli2
Key words :lattice gas automata ;Lattice Boltzmann met hod ;numerical met hod ;fluid dynamics

具有简单边界或者有比较严格物理限制的现象才能够得到 对于一个包含大量粒子的系统来说 ,粒子的运动方程往往是 态以及处理这个状态的概率来解决这些困难 ,对于稀薄气体

格子气自动机 ( Lattice Gas Automata ,L GA ) 以及从它发

理论分析解 。如果从微观的角度研究单个粒子的真实行为 ,

得不到解的 。统计学可以通过考虑整个系统所有可能的状

所得到的方程就是 Boltzmann 方程 。但是得到了方程还不 够 ,我们还是借助于统计方法得到流体的宏观性质 , 这就要 积分方程 ,一般情况下严格求解也是非常困难的 。

求解 Boltzmann 方程 , 然而 Boltzmann 方程是一非线性微分 格子气方法是近些年来发展起来的模拟流体力学以及

其他系统的比较新的方法 。格子气自动机模拟流场 ,就是将 流体及其存在的时间和空间完全离散 ,给出离散的流体粒子 之间相互作用以及迁移的规则 。流体粒子存在于空间网格

一般说来 ,有两种方法研究流体的行为 。一种是从宏观

上 ,用一系列布尔变量 n i ( x , t ) ( i = 1 ,2 , …, b) 来描述在时 其中 b 表示每一个节点的速度方向的数目 。粒子在每一个 时间步长的演化包括两部分 : ( a) 迁移 ,粒子沿它的速度方向 向距离最近的节点运动 ; ( b) 碰撞 ,当不同的粒子同时到达某

刻 t , 位于 x 处的节点的每一个速度方向是否有粒子存在 ,

个节点时 ,按照一定的碰撞规则发生碰撞并改变运动方向 。 格子气模型具有两重意义 : ( a ) 尽可能建立一个简单的模型 使之能够用来模拟一个由大量粒子组成的系统 ; ( b) 反映粒 子真实碰撞的本质 ,这样经过较长时间我们可以获得流体的 宏观特性 。

粒子的演化过程能够用来模拟宏观的流体过程是基于

下列事实 ,即流体的宏观特性是系统内大量粒子整体行为的

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  设计与研究  
结果 。分子之间的相互作用可以改变流体的传输特性 ,比如 粘度 ,但是并不改变宏观方程的基本形式 。
dy , Pomeau , Pazzis 提 出 [ n i + 1 n i + 3 (1 - n i ) (1 - n i + 2 ) ]

·5 ·

或者 :
n i ( t + 1 , x + ei ) = n i ( t , x ) + Ωi ( n )

来的 , 以他们的名字命 名为 HPP 模型 。 这个模 型将平面流场划分为正 的粒子只能向四个方向 对头碰撞才有效 。由于

方形网格 , 每个节点上 之一运动 , 且只有两个

这个模型过于简单 ,没有推导出正确的 N - S 方程 ,所以不能 充分反映流体的特征 。因此 ,相当时间内没有引起人们的足 对细胞自动机理论及其应用的深入研究 ,又激发了人们对格

够重视 。直到 1985 年 ,随着计算机科学的发展以及 Wolfram 子气自动机的兴趣 。1986 年 ,由法国的 Frisch , Pomeau ,以及 美国的 Hasslacher 提出了一个对称度更高的正六边形的格子

模型 ,既 FHP 模型 。 他们用此模型成功的模拟了一些典型的 流体力学问题 ,并证明了该模型的宏观行为符合标准的 N S 方程 。 212   格子气 HPP 模型与 FHP 模型 213   格子气的微观方程

形网格 ,将流体想象成许多只有质量没有体积的微小粒子组

成 ,在同一时刻同一网格节点上 , 每一个速度方向最多允许 并且遵守下述碰撞规则 : 当且仅当只有两个粒子沿相反方向 到达某节点时 ( 对头碰撞) ,他们沿另外的两个方向离开该节 为单位长度的正三角形网格 ,并且增加了相应的碰撞规则 。

存在一个粒子 ,每个粒子可以向四个方向的其中之一运动 ,

点 ,其他情形则直接穿透 。PHP 模型则是将流场划分为间距

t ,位置 x 处的节点上第 i 个方向的粒子数 ,则整个布尔场的

更新可以写成

第一个完全离散的格子气模型是 1973 年由法国的 Har2
图 1  HPP 模型网格以及碰撞规则 图 2  FHP 模型网格以及碰撞规则

我们将上面的 Ωi ( n ) 成为碰撞因子 , 同理也可以得到
FHP 模型的类似的微观方程 。从微观方程出发 ,利用多尺度

分析及 Chapmen- Enskog 展开可以导出 N - S 方程 ( 具体推导 略) 。
214   格子波尔兹曼模型

由于格子气方法的节点用一系列的 0 或者 1 来表征每

个速度方向上是否存在粒子 ,所以对于格子气的运算只涉及 到一些布尔运算 ,然而这样存在不少的固有缺点 , 如粒子平 衡分布为 Fermi - Dirac 分布 , 从而导致非伽利略不变性 , 既
N - S 方程对流项前面有一个依赖于密度的系数 ( 应该为 1) ,
p = p (ρ, T ) ) ,随即统计噪声比较大 ( 因为变量为整形 ) , 等 。

压力依赖于宏观速度 ( 通常的压力只依赖于密度和温度 , 既 为了克服上述缺陷 , McNamara 与 Zanetti 提出直接由 Boltz2
mann 方程去替换格子气自动机 ,简单的用单粒子分布函数 f

去代替布尔变量 n ,他们求 Ωi ( f ) 的方法是根据碰撞规则表 求出 Ωi ( n ) ,然后用 f 代替 n ,这样波尔兹曼方程就变为 :
f i ( t + 1 , x + ei ) = f i ( t , x ) + Ωi ( f )

把原来的整数运算变成了实数运算 ( f 是一个 0 ~ 1 之

间的实数) ,解决了随机噪声问题 。后来 , Higuera 、 Jimenez 和

rac 分布 , 没有解决其他两个问题 。后来在 1991 ~ 1992 年

间 ,陈十一以及钱跃宏提出了基于单一松驰时间模型来简化

碰撞函数 ,提出了各向同性 , 满足伽利略不变性和使压力与
1 为 LB - B GK 模型 。即将 Ωi ( f ) 用 τ ( f i - f eq ) 代替 ,其中 f eq i i

速度无关的平衡分布 , 使问题得到解决 , 通常将这个模型称

局部平衡分布函数 ,τ称为驰豫时间 , 反映非平衡态趋向平 衡态的快慢 。于是 LB - B GK 模型为 :
f i ( t + 1 , x + ei ) = f i ( t , x ) +

HPP 将流体存在的空间划分为间距为单位长度的正方

一般 的 采 取 九 点 格 子 模型 , 其中每个节点上 在 ,加上与其相邻得有 模型 。 允许 一 个 静 止 粒 子 存
8 个 节 点 , 记 为 D2Q9

为简单起见 ,以 HPP 模型为例 。用 n i ( t , x ) 代表在时刻

? n i + 3 ) ) ∨( n i + 1 ∧n i + 3 ∧? n i ∧? n i + 2 ) 我们可以将上式写成代数形式 ,即 :

n i ( t + 1 , x + ei ) = ( n i ∧ ? ( n i ∧ n i + 2 ∧ ? n i + 1 ∧ n i ( t + 1 , x + ei ) = n i [ 1 - n i n i + 2 ( 1 - n i + 1 ) ( 1 - n i + 3 ) ]

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Succi 引用线性碰撞算子 。两者的平衡分布仍然是 Fermi-Di2 1 eq ( ) τ fi - fi ( 1)

对于两维的情况 ,

图 3   点格子模型的速度矢量 9     以及网格划分

平衡分布函数我们采取钱跃宏提出的 :
f1 =
eq eq

4 ρ(1 - 3 u 2 ) 9 2

f2- 5 = f6- 9
eq

1 ρ[ 1 + 3 ( ei · ) + 1 ( ei · ) 2 - 1 u 2 ] u u 9 9 9

=

1 ρ[ 1 + 3 ( ei · ) + 1 ( ei · ) 2 - 1 u 2 ] (2) u u 36 9 9

宏观参数为 :
f ∑
i i

ρ=

(3)

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ρm =
f ∑e
i i i

  现代机械   2003 年第 4 期  
( 4)
i

考虑位于两层平板之间且上下面各与恒温热源接触的流体 , 当两板温度相等的时候 , 流体处于平衡状态 。升高下板温 度 ,流体内部形成温度提督 ,流体处于非平衡状态 ,热量由下 板传向上板 。然而 ,只要温度差不大 ,从宏观上看 ,流体仍然 处于静止状态 。当温度超过某一阈值 ,流体的静止传热状态 就会被突然打破 ,代之以对流状态 ,既 Benard 对流 、 用格子波 尔兹曼方法模拟得到的结果与试验结果很吻合 。
313   空腔流的模拟 315   激波模拟
Flows. Flow ,1995.

3ρR T =

f ∑
i

( ei - u ) 2

(5)

统的数值计算方法对于边界的处理非常的困难 。格子波尔 兹曼方法的边界条件处理则相对简单的多 。下面给出几种 比较典型的边界问题的处理方法 。
21511   刚体固壁边界条件
-

速度都为零 , 因此我们 可以采取下面得处理方 式 : 在 t = n 时刻以速 度 u 入射进来的粒子 以 - u 的速度离开入射 如图 4 所示 。

点 ,则从平均的角度来看正好等于零 ,也符合数学上的描述 。
21512   自由滑移边界条件

腔流等 等 。在 这 类

边界情况下 , 切 向 速度为常数 , 而 法 向速度 为 零 。对 于 这样 的 边 界 条 件 ,

一般采取下面的处理方式 : 即把边界看成一个镜面 , 将入射 进来的粒子沿和入射方向相对称的方向折回 。如图 5 所示 。 这样的话 ,假设速度为 u = ( us , u v ) 的粒子入射进来 ,以
u = ( us , - u v ) 反射出去 , 则平均起来看 , 恰好有 u · s = us n

以及 u· v = 0 ,其中 us 、 v 、 s 、 v 分别为粒子切向速度 , 粒 n u n n 子法向速度 , 边界的单位切向速度 , 边界的单位法向速度 。 关于边界条件的讨论也非常丰富 ,可参阅相关文献 。
21513   格子波尔兹曼方法的计算步骤 311   用于障碍绕流尾流模拟 312  Benard 热对流现象的模拟 (a) . 由粒子分布函数 f 根据式 ( 3 ) 和 ( 4 ) 计算得到速度 ( b) . 根据式 ( 2) 计算此时刻的平衡粒子分布函数 ; (c) . 根据式 (1) 计算下一时刻的粒子分布函数 ,如此反复。

场和密度场 ;

3  格子波尔兹曼方法在各个领域的应用
自从格子气方法和格子波尔兹曼方法出现以来 ,就引起 了人们的广泛兴趣 , 在很多领域得到了应用 , 并且证明了格 子波尔兹曼方法是一种行之有效且效率比较高的数值计算 方法 。

随着雷诺数的不同板后的流动会发生不同的尾流 。生活中 很容易观察到 ,但是从理论上和数值上很难分析 , 格子波尔 兹曼方法成功的模拟了不同雷诺数下的各种尾流现象 。 此类现象由于流体热膨胀所产生的浮力效应而引起 。

215   边界条件的处理

边界问题是流体力学数值计算当中相当复杂的问题 ,传

流体流经具有开口的矩形区域时 ,在矩形区域内会产生

在粘性流体力学中 , 边界速度为零 , 即切向速度和法向

具有一定规则的漩涡流动 ,此类问题称为 Navier- Stokes 涡度 方程 。用格子波尔兹曼方法成功模拟了空腔流的形成过程 。
314   在两相流方面的应用
dos ,Phy ,Rev , E ,V48 ,19.

格子波尔兹曼方法在两相流中的应用还是比较广泛的 。

图4  刚体固壁边界碰撞图

Koji Kono 用此方法模拟了重力条件下池沸腾以及竖直管道

中沸腾流动的相转移现象 。Kevrekidis 用此方法模拟了泡状 流 ,得到的结果与传统的经验公式比较符合 。J . Bernsdorf 将 此方法用于多孔介质压降的研究 ,结果证明小雷诺数下能够 比较准确的预测多孔介质中的流动压降 。由于两相流动的 复杂性 ,一般的数值方法很难模拟 , 格子波尔兹曼方法的模 拟结果对于理论分析还是有比较大的借鉴意义 。 激波是表现可压缩气体的重要特征 。用格子波尔兹曼

流体力学中常见的一种边界条件是开口边界 ,如矩形空

方法可以很容易得到激波的形成和反射的阵面图并且和理
图5  自由滑移边界碰撞图

论分析以及其他的数值模拟计算结果相符合 ,但是计算时间 和计算量少了很多 。

4  结论

格子气自动机以及在其基础上发展起来的格子波尔兹
( a) . 边界条件易于处理 。 ( b) . 内节点的作用原则完全是一样的 ,程序的实现是很 (c) . 格子气的基本原则是物理守恒定律 ,他的基本方法 ( d) . 可以非常方便的实现可视化技术 。

曼方法相对于一般的数值计算方法来说具有以下特点 :

简单的 ,并且很适合于大规模的并行运算 。 和思想一样适用于研究其他物理现象 。 此方法不但适合于流体力学的各个方面 ,并且逐渐渗透

到物理学的其他方向 , 比如相变以及晶体增长等 , 对于研究 非线性复杂系统领域有着巨大的潜力 。 参考文献

1  Shiyi Chen &Gray D. Doolen. Lattice Boltzmann Met hod For Fluid 2  Shuling Hou. Lattice Boltzmann Met hod For Incompressible. Viscous 3  Initial and boundary conditions for t he lattice Boltzmann et hod ,Skor2

当流体与平板相遇 , 就会被平板所阻而改变速度方向 。

4  李元香 ,康立山 ,陈敏屏 . 格子气自动机 . 清华大学出版社 , 广西科

学技术出版社 ,1994.

5  孙成海 . 多组分流体质量扩散的格子 Boltzmann 方法 . 力学学报 , Vo130 ,Nol ,Jan 1998.

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