当前位置:首页 >> 能源/化工 >>

格子波尔兹曼方法及其应用


·4 ·

  现代机械   2003 年第 4 期  

格子波尔兹曼方法及其应用
上海交通大学动力与能源工程学院 ( 200030)   张武生   杨燕华   徐济 

摘要 : 格子波尔兹曼方法为研究非线性复杂系统提供了一种新的手段 。本文详细叙述了格子气自动机和格子波尔兹曼 方法的基本原理以及其在流体

力学中的应用 。 关健词 : 格子气   格子波尔兹曼方法   数值方法   流体力学

Theory and Application of Lattice Boltzmann Method
Zhang Wu- sheng   Yang Yan- huan  Xu Ji-Yun

cation of Lattice Gas Automata and Lattice Boltzmann Met hod in fluid flied is discussed in detail.

1  前言

展而 来 的 格 子 波 尔 兹 曼 方 法 ( Lattice Boltzmann Met hod ,
LBM) 是使用简单的微观模型来模拟流体的宏观行为的一种

新的方法 。自从 1985 年底在美国 Los Alamos 国家实验室工 并且成功的进行了首批流体力学格子气模拟以来 ,L GA 引起

作的科学家们提出 FHP ( Frisch - Hasslacher- Pomeau ) 模型 , 了物理学家 、 计算机科学家与数学家们的浓厚兴趣 , 并且取 得了很大的发展 。作为一个崭新的求解流体系统偏微分方 程的方法以及为物理现象建模的手段受到了人们的关注并 且对许多问题建立了格子模型 ,取得了意想不到的效果 。

2  波尔兹曼方法基本原理
211   格子气自动机简介

角度出发 , 假设流体连续分布于整个流场 , 诸如密度 、 速度 、 压力等物理量均是时间和空间的足够光滑的函数 。另一种 则是从微观角度 ,从非平衡统计力学的观点出发 , 假设流体 是由大量的微观粒子组成 , 这些粒子遵守力学定律 , 同时服 从统计定律 ,运用统计方法来讨论流体的宏观性质 。 然而 ,流体是由大量粒子组成的 。当我们从宏观角度研

究流体行为的时候 ,并没有涉及到单个粒子的行为 。通常我

们所感兴趣的是代表某个点 ( 包含大量粒子的微小单元 ) 的 推导出 N - S 方程 ,并且利用数字上的微积分知识来求解 ,然

宏观参量 ,如密度 、 速度 、 压力 。根据连续性假设 , 我们可以 而由于 N - S 方程是高度非线性化的偏微分方程 , 仅仅一些

   作者简介 : 张武生 ,男 (1977 - ) ,硕士 ,从事两项流动方面的研究 。 收稿日期 :2001 - 12 - 27

  Abstract :Lattice Boltzmann Met hod (LBM) provides us a new met hod to research complex non-linear system. Theory and appli2
Key words :lattice gas automata ;Lattice Boltzmann met hod ;numerical met hod ;fluid dynamics

具有简单边界或者有比较严格物理限制的现象才能够得到 对于一个包含大量粒子的系统来说 ,粒子的运动方程往往是 态以及处理这个状态的概率来解决这些困难 ,对于稀薄气体

格子气自动机 ( Lattice Gas Automata ,L GA ) 以及从它发

理论分析解 。如果从微观的角度研究单个粒子的真实行为 ,

得不到解的 。统计学可以通过考虑整个系统所有可能的状

所得到的方程就是 Boltzmann 方程 。但是得到了方程还不 够 ,我们还是借助于统计方法得到流体的宏观性质 , 这就要 积分方程 ,一般情况下严格求解也是非常困难的 。

求解 Boltzmann 方程 , 然而 Boltzmann 方程是一非线性微分 格子气方法是近些年来发展起来的模拟流体力学以及

其他系统的比较新的方法 。格子气自动机模拟流场 ,就是将 流体及其存在的时间和空间完全离散 ,给出离散的流体粒子 之间相互作用以及迁移的规则 。流体粒子存在于空间网格

一般说来 ,有两种方法研究流体的行为 。一种是从宏观

上 ,用一系列布尔变量 n i ( x , t ) ( i = 1 ,2 , …, b) 来描述在时 其中 b 表示每一个节点的速度方向的数目 。粒子在每一个 时间步长的演化包括两部分 : ( a) 迁移 ,粒子沿它的速度方向 向距离最近的节点运动 ; ( b) 碰撞 ,当不同的粒子同时到达某

刻 t , 位于 x 处的节点的每一个速度方向是否有粒子存在 ,

个节点时 ,按照一定的碰撞规则发生碰撞并改变运动方向 。 格子气模型具有两重意义 : ( a ) 尽可能建立一个简单的模型 使之能够用来模拟一个由大量粒子组成的系统 ; ( b) 反映粒 子真实碰撞的本质 ,这样经过较长时间我们可以获得流体的 宏观特性 。

粒子的演化过程能够用来模拟宏观的流体过程是基于

下列事实 ,即流体的宏观特性是系统内大量粒子整体行为的

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

http://www.cnki.net

  设计与研究  
结果 。分子之间的相互作用可以改变流体的传输特性 ,比如 粘度 ,但是并不改变宏观方程的基本形式 。
dy , Pomeau , Pazzis 提 出 [ n i + 1 n i + 3 (1 - n i ) (1 - n i + 2 ) ]

·5 ·

或者 :
n i ( t + 1 , x + ei ) = n i ( t , x ) + Ωi ( n )

来的 , 以他们的名字命 名为 HPP 模型 。 这个模 型将平面流场划分为正 的粒子只能向四个方向 对头碰撞才有效 。由于

方形网格 , 每个节点上 之一运动 , 且只有两个

这个模型过于简单 ,没有推导出正确的 N - S 方程 ,所以不能 充分反映流体的特征 。因此 ,相当时间内没有引起人们的足 对细胞自动机理论及其应用的深入研究 ,又激发了人们对格

够重视 。直到 1985 年 ,随着计算机科学的发展以及 Wolfram 子气自动机的兴趣 。1986 年 ,由法国的 Frisch , Pomeau ,以及 美国的 Hasslacher 提出了一个对称度更高的正六边形的格子

模型 ,既 FHP 模型 。 他们用此模型成功的模拟了一些典型的 流体力学问题 ,并证明了该模型的宏观行为符合标准的 N S 方程 。 212   格子气 HPP 模型与 FHP 模型 213   格子气的微观方程

形网格 ,将流体想象成许多只有质量没有体积的微小粒子组

成 ,在同一时刻同一网格节点上 , 每一个速度方向最多允许 并且遵守下述碰撞规则 : 当且仅当只有两个粒子沿相反方向 到达某节点时 ( 对头碰撞) ,他们沿另外的两个方向离开该节 为单位长度的正三角形网格 ,并且增加了相应的碰撞规则 。

存在一个粒子 ,每个粒子可以向四个方向的其中之一运动 ,

点 ,其他情形则直接穿透 。PHP 模型则是将流场划分为间距

t ,位置 x 处的节点上第 i 个方向的粒子数 ,则整个布尔场的

更新可以写成

第一个完全离散的格子气模型是 1973 年由法国的 Har2
图 1  HPP 模型网格以及碰撞规则 图 2  FHP 模型网格以及碰撞规则

我们将上面的 Ωi ( n ) 成为碰撞因子 , 同理也可以得到
FHP 模型的类似的微观方程 。从微观方程出发 ,利用多尺度

分析及 Chapmen- Enskog 展开可以导出 N - S 方程 ( 具体推导 略) 。
214   格子波尔兹曼模型

由于格子气方法的节点用一系列的 0 或者 1 来表征每

个速度方向上是否存在粒子 ,所以对于格子气的运算只涉及 到一些布尔运算 ,然而这样存在不少的固有缺点 , 如粒子平 衡分布为 Fermi - Dirac 分布 , 从而导致非伽利略不变性 , 既
N - S 方程对流项前面有一个依赖于密度的系数 ( 应该为 1) ,
p = p (ρ, T ) ) ,随即统计噪声比较大 ( 因为变量为整形 ) , 等 。

压力依赖于宏观速度 ( 通常的压力只依赖于密度和温度 , 既 为了克服上述缺陷 , McNamara 与 Zanetti 提出直接由 Boltz2
mann 方程去替换格子气自动机 ,简单的用单粒子分布函数 f

去代替布尔变量 n ,他们求 Ωi ( f ) 的方法是根据碰撞规则表 求出 Ωi ( n ) ,然后用 f 代替 n ,这样波尔兹曼方程就变为 :
f i ( t + 1 , x + ei ) = f i ( t , x ) + Ωi ( f )

把原来的整数运算变成了实数运算 ( f 是一个 0 ~ 1 之

间的实数) ,解决了随机噪声问题 。后来 , Higuera 、 Jimenez 和

rac 分布 , 没有解决其他两个问题 。后来在 1991 ~ 1992 年

间 ,陈十一以及钱跃宏提出了基于单一松驰时间模型来简化

碰撞函数 ,提出了各向同性 , 满足伽利略不变性和使压力与
1 为 LB - B GK 模型 。即将 Ωi ( f ) 用 τ ( f i - f eq ) 代替 ,其中 f eq i i

速度无关的平衡分布 , 使问题得到解决 , 通常将这个模型称

局部平衡分布函数 ,τ称为驰豫时间 , 反映非平衡态趋向平 衡态的快慢 。于是 LB - B GK 模型为 :
f i ( t + 1 , x + ei ) = f i ( t , x ) +

HPP 将流体存在的空间划分为间距为单位长度的正方

一般 的 采 取 九 点 格 子 模型 , 其中每个节点上 在 ,加上与其相邻得有 模型 。 允许 一 个 静 止 粒 子 存
8 个 节 点 , 记 为 D2Q9

为简单起见 ,以 HPP 模型为例 。用 n i ( t , x ) 代表在时刻

? n i + 3 ) ) ∨( n i + 1 ∧n i + 3 ∧? n i ∧? n i + 2 ) 我们可以将上式写成代数形式 ,即 :

n i ( t + 1 , x + ei ) = ( n i ∧ ? ( n i ∧ n i + 2 ∧ ? n i + 1 ∧ n i ( t + 1 , x + ei ) = n i [ 1 - n i n i + 2 ( 1 - n i + 1 ) ( 1 - n i + 3 ) ]

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

Succi 引用线性碰撞算子 。两者的平衡分布仍然是 Fermi-Di2 1 eq ( ) τ fi - fi ( 1)

对于两维的情况 ,

图 3   点格子模型的速度矢量 9     以及网格划分

平衡分布函数我们采取钱跃宏提出的 :
f1 =
eq eq

4 ρ(1 - 3 u 2 ) 9 2

f2- 5 = f6- 9
eq

1 ρ[ 1 + 3 ( ei · ) + 1 ( ei · ) 2 - 1 u 2 ] u u 9 9 9

=

1 ρ[ 1 + 3 ( ei · ) + 1 ( ei · ) 2 - 1 u 2 ] (2) u u 36 9 9

宏观参数为 :
f ∑
i i

ρ=

(3)

http://www.cnki.net

·6 ·
ρm =
f ∑e
i i i

  现代机械   2003 年第 4 期  
( 4)
i

考虑位于两层平板之间且上下面各与恒温热源接触的流体 , 当两板温度相等的时候 , 流体处于平衡状态 。升高下板温 度 ,流体内部形成温度提督 ,流体处于非平衡状态 ,热量由下 板传向上板 。然而 ,只要温度差不大 ,从宏观上看 ,流体仍然 处于静止状态 。当温度超过某一阈值 ,流体的静止传热状态 就会被突然打破 ,代之以对流状态 ,既 Benard 对流 、 用格子波 尔兹曼方法模拟得到的结果与试验结果很吻合 。
313   空腔流的模拟 315   激波模拟
Flows. Flow ,1995.

3ρR T =

f ∑
i

( ei - u ) 2

(5)

统的数值计算方法对于边界的处理非常的困难 。格子波尔 兹曼方法的边界条件处理则相对简单的多 。下面给出几种 比较典型的边界问题的处理方法 。
21511   刚体固壁边界条件
-

速度都为零 , 因此我们 可以采取下面得处理方 式 : 在 t = n 时刻以速 度 u 入射进来的粒子 以 - u 的速度离开入射 如图 4 所示 。

点 ,则从平均的角度来看正好等于零 ,也符合数学上的描述 。
21512   自由滑移边界条件

腔流等 等 。在 这 类

边界情况下 , 切 向 速度为常数 , 而 法 向速度 为 零 。对 于 这样 的 边 界 条 件 ,

一般采取下面的处理方式 : 即把边界看成一个镜面 , 将入射 进来的粒子沿和入射方向相对称的方向折回 。如图 5 所示 。 这样的话 ,假设速度为 u = ( us , u v ) 的粒子入射进来 ,以
u = ( us , - u v ) 反射出去 , 则平均起来看 , 恰好有 u · s = us n

以及 u· v = 0 ,其中 us 、 v 、 s 、 v 分别为粒子切向速度 , 粒 n u n n 子法向速度 , 边界的单位切向速度 , 边界的单位法向速度 。 关于边界条件的讨论也非常丰富 ,可参阅相关文献 。
21513   格子波尔兹曼方法的计算步骤 311   用于障碍绕流尾流模拟 312  Benard 热对流现象的模拟 (a) . 由粒子分布函数 f 根据式 ( 3 ) 和 ( 4 ) 计算得到速度 ( b) . 根据式 ( 2) 计算此时刻的平衡粒子分布函数 ; (c) . 根据式 (1) 计算下一时刻的粒子分布函数 ,如此反复。

场和密度场 ;

3  格子波尔兹曼方法在各个领域的应用
自从格子气方法和格子波尔兹曼方法出现以来 ,就引起 了人们的广泛兴趣 , 在很多领域得到了应用 , 并且证明了格 子波尔兹曼方法是一种行之有效且效率比较高的数值计算 方法 。

随着雷诺数的不同板后的流动会发生不同的尾流 。生活中 很容易观察到 ,但是从理论上和数值上很难分析 , 格子波尔 兹曼方法成功的模拟了不同雷诺数下的各种尾流现象 。 此类现象由于流体热膨胀所产生的浮力效应而引起 。

215   边界条件的处理

边界问题是流体力学数值计算当中相当复杂的问题 ,传

流体流经具有开口的矩形区域时 ,在矩形区域内会产生

在粘性流体力学中 , 边界速度为零 , 即切向速度和法向

具有一定规则的漩涡流动 ,此类问题称为 Navier- Stokes 涡度 方程 。用格子波尔兹曼方法成功模拟了空腔流的形成过程 。
314   在两相流方面的应用
dos ,Phy ,Rev , E ,V48 ,19.

格子波尔兹曼方法在两相流中的应用还是比较广泛的 。

图4  刚体固壁边界碰撞图

Koji Kono 用此方法模拟了重力条件下池沸腾以及竖直管道

中沸腾流动的相转移现象 。Kevrekidis 用此方法模拟了泡状 流 ,得到的结果与传统的经验公式比较符合 。J . Bernsdorf 将 此方法用于多孔介质压降的研究 ,结果证明小雷诺数下能够 比较准确的预测多孔介质中的流动压降 。由于两相流动的 复杂性 ,一般的数值方法很难模拟 , 格子波尔兹曼方法的模 拟结果对于理论分析还是有比较大的借鉴意义 。 激波是表现可压缩气体的重要特征 。用格子波尔兹曼

流体力学中常见的一种边界条件是开口边界 ,如矩形空

方法可以很容易得到激波的形成和反射的阵面图并且和理
图5  自由滑移边界碰撞图

论分析以及其他的数值模拟计算结果相符合 ,但是计算时间 和计算量少了很多 。

4  结论

格子气自动机以及在其基础上发展起来的格子波尔兹
( a) . 边界条件易于处理 。 ( b) . 内节点的作用原则完全是一样的 ,程序的实现是很 (c) . 格子气的基本原则是物理守恒定律 ,他的基本方法 ( d) . 可以非常方便的实现可视化技术 。

曼方法相对于一般的数值计算方法来说具有以下特点 :

简单的 ,并且很适合于大规模的并行运算 。 和思想一样适用于研究其他物理现象 。 此方法不但适合于流体力学的各个方面 ,并且逐渐渗透

到物理学的其他方向 , 比如相变以及晶体增长等 , 对于研究 非线性复杂系统领域有着巨大的潜力 。 参考文献

1  Shiyi Chen &Gray D. Doolen. Lattice Boltzmann Met hod For Fluid 2  Shuling Hou. Lattice Boltzmann Met hod For Incompressible. Viscous 3  Initial and boundary conditions for t he lattice Boltzmann et hod ,Skor2

当流体与平板相遇 , 就会被平板所阻而改变速度方向 。

4  李元香 ,康立山 ,陈敏屏 . 格子气自动机 . 清华大学出版社 , 广西科

学技术出版社 ,1994.

5  孙成海 . 多组分流体质量扩散的格子 Boltzmann 方法 . 力学学报 , Vo130 ,Nol ,Jan 1998.

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

http://www.cnki.net


相关文章:
格子Boltzmann
与传统的经典 CFD 方法 相比,格子波尔兹曼算法具有很多优点。因而近年来受到国内外学者的广泛关注,并迅速在气固两相流和传 热等研究领域得到应用。 格子 Boltzmann ...
Matlab实现格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method...
Matlab实现格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method,LBM)模拟_物理_自然科学_专业资料。Matlab实现格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method,LBM)模拟Matlab...
波尔兹曼算法lbm单位换算
波尔兹曼算法lbm单位换算_物理_自然科学_专业资料。格子单位 物理单位 无量纲的...各种单位换算方法与公式 5页 免费 常用单位换算法大全 4页 免费 溶液浓度...
玻尔兹曼分布的简单推导
4] 中或多或少提及的标准方 法之一,人们期待它能加深学生对更严格的方法的理解...就是玻尔兹曼分布定律,它可以应用于任意两个能级之间,还可推广至微观粒 子简...
流体力学毕业论文题目
大型填料塔分布器内计算流体力学行为研究及优化设计 格子波尔兹曼方法在计算流体力学中的应用研究 Rushton 搅拌釜式生物反应器的γ 射线 CT 测量及流体力学模拟计算 ...
李欣100309CFD仿真实践综述报告
下面,我将简单的介绍流体计算力学新的方向以及他有哪些方面的应用价值。 随着...所有这些表明, 尽管尚待进一步 完善, 格子玻尔兹曼方法已证明是对流体力学准确...
Lattice Boltzmann方法 流体模拟 图形处理器
Matlab实现格子玻尔兹曼... 3页 免费 Lattice Boltzmann方法及... 4页 1下载券...【中文摘要】计算机自然景观模拟中诸多应用如电影特效,视频 游戏中都需要对流体...
储层实验
数字岩心的应用现状及前景展望摘要:从微观角度对低渗透岩石孔隙结构特征进行深入...由于直接 采用格子波尔兹曼方法进行渗流模拟速度较慢, 目前主要采用第二种方法进行...
Fluent经典问题及答疑4
有限差分, 有限元和有限体积法, 好像最近还有无网格法和波尔兹曼法 (格子法)...大家可以参考张涵信院士编写 《计算流体力学—差分方法的原理与应用》 里面讲的相当...
虚拟流体试验环境
4.1 公司背景 PowerFLOW?是美国 Exa 公司基于 LBM(格子-波尔兹曼方法)开发的 ...我们很高兴和Exa公司,这一领域 的领导者合作,共同研究和拓宽数字化设计的应用。...
更多相关标签:
格子波尔兹曼 | 波尔兹曼常数 | 波尔兹曼 | 波尔兹曼分布 | 波尔兹曼大脑 | 波尔兹曼常量 | 限制波尔兹曼机 | 受限波尔兹曼机简介 |