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奥赛题库相对论1


奥赛题库---相对论 1 郑育坤 52001.早在 1941 年, 罗西和霍尔就观测了在大气上层产生的速度为 0.97c 左右的宇宙线中的 μ 粒子。实验测得μ 粒子的固有寿命约为 2.2×10-6s。计算在地球上观察到的μ 粒子的平均 飞行距离。

??? ? r ? 1 / 1 ? ? ? ? 4.1 ?6 ?c? 解: 先计算 , 再计算 ? 粒子的平均

寿命 ?t ? r?t ? ? 9.0 ?10 s ,
最后计算出平均距离为 2.6 ?10
3

2

m。
y

52002.如图 52-1 所示,地面上的观察者认为在地面上同时发生的两个事件 A 和 B,在相对

? ? 地面以速度 u ( u 平行于 x 轴,且与正方向同向)运动的
火箭上的观察者的判断正确的是( ) A、A 早于 B B、B 早于 A C、A、B 同时发生 D、无法判断 解: 在地面 (S 系) 上,?x ? xB 在 火 箭 (

? u
A B

O

x

? x A , ?t ? t B ? t A ? 0 ,
系 ) 中 ,

z
图 52-1

S?

ux B ? ? ux ? ? ? ?t ? ? t ? ? r? t A ? 2A ? B ? t A ? r? t B ? 2 ? c ? ? c ? ?
? r ?t B ? t A ? ?
?
因r

ux A ?x A ? xB ? c2

ux A ?x A ? x B ? c2

? 0 , u ? 0 , x A ? xB ? 0 ,故 ?t ? ? 0 。即从火箭上观察,B 事件在前,A 事件在

后,选 B。 52003.下面给出一个原子核很粗糙的模型:假定原子核是一个立方体,有 n×n×n 个核子, 每个核子被其他核子的核力所吸引(强相互作用) ,由于这种力的作用距离很小,我们假定 每个粒子只与其相邻的核子之间有相互作用, 每个核子一核子对由于这种结合而对核的总结 合能的贡献是一个常数。原子核内有核电荷 Ze,它的原子核内产生斥力。根据量纲分析, 核的总静电势能正比于 Z2/d,其中 d 为原子核的线度。并且我们假定在这个模型中,Z 正比 于原子核中的核子数 A。 已知元素周期表中元素 Fe(A=56)附近的原子核是非常稳定的, 它们 的核子具有的平均结合能最大,都约为 8.78MeV/核子。试根据上述模型和已知的事实,求 出任一原子核内核子的平均结合能 E 。 分析: 想象在一个广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着, 与一个核子在前后左右上下 相邻的核子共有 6 个,所以这个核子参与 6 个核子一核子对的强相互作用。对于题给的 n3 个核子, 我们可以想象将期置于上述的广阔空间之内则如上计算共有 6n3 个核子一核子对强 相互作用。但实际上这个“核立方体”外并无核子,这个核立方体有 6 个外侧面,每个外侧

面内有 n2 个核子,由于这个侧面以外再无核子,故对应于此侧面内的每个核子均应减去朝 外的一个核子一核子对强相互作用,即减去 n2 个,对于 6 个外侧面而言,总共应减去 6n2 个。由于计算则尚有 6n3-6n2 个核子一核子对强相互作用。又由于这种成对的作用是在两个 核子之间存在的, 上面的计算按一个一个核子独立计算后累加的, 因此上述的累加中已把每 对作用都计算了 2 次,可见核内的这种强相互作用的实际对数应为 3n3-3n2。设每个核子一 核子对强相互作用结合时释放出的能量为 a,则此核形成时,由于强相互作用应放出的总能 量为 3an
2

?n ?1? 。

Z2 另一方面, 核的总静电势能正比于 d , 而 Z 正比于核子数 A, 即正比于 n3, d 为核的线度,
显然正比于 n,由此,核的总静电势能正比于 n5。设其比例系数为 b,则核的总静电势能为 bn5。 解:此核形成时释放的总结合能

E ? 3an2 ? n ?1? ? bn5
由于每个核子的平均结合能为

E?

E ? 1? ? 3a?1 ? ? ? bn2 3 n ? n?

上式中 a、b 为与 n 无关的常数。下面我们求 a、b 之值。 根据元素 Fe 附近的原子核的核子的平均结合能差不多都相等这一事实,应有:当 n 有微小 变化 ? n 时,平均结合能之值不变,即

1 ? ? 1? ? 2 3a?1 ? ? ? bn2 ? 3a?1 ? ? ? b?n ? ?n? ? n? ? n ? ?n ?
由于 ? n 很小,故近似地有

1 1 ? ?n ? ? ? ?1 ? ? n ? ?n n ? n ?

?n 2 项可略,则有
3a ? 2bn3 ? 0
又根据元素 Fe 的核子平均结合能为 8.7MeV 这一事实,有

? 1? 3a?1 ? ? ? bn2 ? 8.7MeV ? n?
另有

n 3 ? 56
解得

a ? 4.798MeV
b ? 0.13MeV
由此得到题给模型中,核子的平均结合能是

? 1? E ? 14.394 ?1 ? ? ? 0.131n2 MeV ? n?
52004. 质量为 m 的粒子被限制在 x=-L/2 到 x=L/2 的区域内运动, 在它朝 x 轴正方向运动时, 试解下面两个问题: (1)其动量测量值的最小不确定范围 ?p ; (2) ;取Δ P 范围内的动量中 间值为动量的平均测量值,试求这一平均测量值的最小值 pmin,并计算粒子动量 pmin 时的经 典动能 EK。 解:1)由测不准原理得

?p ?

h h ? ?x L

2)粒子朝 x 轴正方向运动,

p x 最小值为零,因此

pmin ?

?p h ? 2 2L 。

动能 EK 与动量 p 之间的关系为

p2 EK ? 2m ,
故 Pmin 对应的粒子动能为

EK ?

h2 8mL2 。

52005. 一电子以 0.99c 的速率运动,问: (1)电子的总能量是多少?(2)电子的经典力学 的动能与相对论动能之比是多大?电子静止质量为 9.1×10-31 千克。 解: (1)电子的总能量是 E

? mc2 ,所以
? 9.1? 10 ?31 ? (3 ? 108 ) 2 0.02

E?

m0 c 2 1? v2 / c2

? 5.8 ?10?13 焦耳
(2)按经典力学,电子的动能为

Ek 0 ?

1 m0 v 2 2 1 ? ? 9.1 ? 10 ?31 ? (0.99 ? 3 ? 10 8 ) 2 2

? 4.01?10?14 焦耳

而按相对论,电子的动能是

Ek ? mk c 2 ? mc2 ? m0c 2
? ? 1 ?m0 c 2 ?? ? 1 ? ? 2 2 ? 1? v / c ?

? 1 ? ?? ? 1?m0 c 2 ? 0.02 ?
? 6.07 ? 9.1?10?31 ? (3 ?108 ) 2
? 4.97 ? 10?13 焦耳

所以

Ek 0 4.01? 10?14 ? ? 8.07 ? 10?2 Ek 4.97 ? 10?13

即按经典力学计算电子的动能仅仅是按相对论计算的电子动能百分之八点多。 52006.宇宙射线中快速运动的介子的能量几乎为 3000MeV,而这种介子在静止时的能量为 100MeV, 已知这种介子的本征寿命是τ 0=2×10-6s, 试问若用实验室参照系的时钟进行记录, 则该介子在它的平均寿命的时间内在大气中运动的距离为多大? 分析: 从实验参照系看快速运动系统中的时钟要变慢, 故实验室参照系中的时钟所计得的介 子寿命 ? ? 与在运动参照系中测出的介子本征寿命 ? 0 不同。 解: 按相对论理论,运动介子能量
2 E 2 ? c 2 P 2 ? E0

其中 E0 ? m0 c 为介子静止能量,而动量
2

P ? mv ?

m0 v 1? v2 / c2



2 2 v 2 E0 / c2 E0 E ? E0 ? ? 1 ? v 2c 2 1 ? v 2 / c 2 2

E 1 3000MeV ? ? ? 30 E0 100MeV 1? v2 / c2


v ? 2.998?108 m / s

?? ?


T0 v2 1? 2 c

? 30? 0

从实验室检测器中可检测到在此时间内介子所越过的距离为

? ? v? ? v ? 30? 0 ? 18000 m
52007.设法使边长为 L 的正方形环在任何情况下均以匀速度 v 沿着它的 AB 边方向运动, 在 其运动的空间区域内有一匀强电场, 场强 E 垂直于 A 环的运动速度。运动期间,环始终在同一平面上, u L E u 电场 E 相对于环平面的倾角为θ 。 设环上串有大量 小球,这些小球象珠子串在项链上那样被串在环 B u ? 上。小球的大小可忽略,各球都带有电量 q。今在 D u 相对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀 速 u 沿环边运动,各边上相邻两球的间距均为 a, ? C 且 L 远大于 a(参见图 52-2) ,环是用不导电的线 a 制作的, 在相对于环不动的参照系中它有均匀的电 荷线密度,正好把全部小球的电荷完全抵消掉。 图 52-2 考虑相对论效应, 在一个从其上看环的运动速度为 v 的惯性参照系上计算以下各量: 1、环路各边上相邻两个小球之间的距离 aAB,aBC,aCD 和 aDA; 2、环路各边净电量(各边上线电荷与小球电荷之和)QAB,QBC,QCD 和 QDA; 3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量 M; 4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能 W。 所有解答均需用题中给定的量来描述。 注意:物体的电荷量与测量参照系的选择无关。 图 52-2 只画出了各矢量之间的相对方向。 略去电磁辐射。 有关的相对论公式如下: (1) 设惯性参照系 S ? 以匀速度 v 相对另一参照系 S 运动。 两参照系对应的坐标轴彼此平行, t=0 时坐标原点重合,速度 v 沿 x 轴正方向。 若在 S ? 系测得一个质点以速度 u ? 沿 x ? 轴运动,那么在 S 系测得该质点的速度应为

u?

u? ? v u ?v 1? 2 c

其方向沿 x 轴正方向(相对论速度求和公式) 。 (2)如果一个物体的静止长度为 L0 ,当它以速度 v 沿其长度方向相对某观察者运动时,那 么该观察者测得此物体长度 L 为

L ? 1?

v2 L0 c2

解:1、令 S 为观察到环路以速度 v 运动的实验室参照系, S ? 为环路参照系( S ? 系的 x 轴 与 v 同向, y ? 沿着 DA 边的方向, z ? 轴则垂直于环路所在平面) 。S 系各轴平行于 S ? 系各

对应轴,S 与 S ? 系的坐标原点在 t=0 时重合。 (1)AB 边 建立与 AB 边上的小球一起运动的参照系 S ?? ,它的各坐标轴与 S,S ? 系的坐标轴平行。S ?? 相对 S ? 具有速度 u。 据洛仑兹收缩, S ?? 测得的 AB 边上相邻两个小球之间的距离 ar 为

ar ?

a u2 1? 2 c ,
(1)

(只要 ar 是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距,上式对任何一条边均成立。 ) 据相对论速度求和公式,S 系中的观察者认为 AB 边上诸球具有的速度为

u AB ?

u?v , uv 1? 2 c

(2)

再据洛仑兹收缩,此观察者将测得 AB 边上相邻两球的间距为

a AB ? 1 ?

2 u AB

c2

ar



(3)

将(1) , (2)式代入到(3)式,可得:

a AB

v2 c2 ? a uv 1? 2 c 。 1?

(4)

(2)CD 边 对 S 系中的观察者而言,CD 边上小球的速度为

u CD ?

v?u uv 1? 2 c ,

(5)

再据洛仑兹收缩有

aCD ? 1 ?

2 uCD

c2

ar



(6)

将(1) , (5)式代入到(6)式,便得

aCD

v2 1? 2 c ? a uv 1? 2 c

(7)

(3)DA 边

? 时刻位于 x1 ? ? y1 ? ? z1 ? ? 0 处。在同一时刻邻近的 在 S ? 系中,令 DA 边上的某一小球在 t 0

? ? 0 , y2 ? ? a , z2 ? ? 0 处。 一个小球应位于 x2
各球相对于 S 系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出

x?

1 1? v c2
2

( x ? ? vt ?)
, (8)

y ? y? , z ? z ? ,

t?

1 1? v2 c2 1 1?

(t ? ?

x ?v ) c2


据此,第一个小球在 S 系中有

x1 ?

v c2

2

? vt 0
, (9)

y1 ? 0 , z1 ? 0 ,
t1 ? 1 1? v c2
2

? t0


第二个小球则为

x2 ?

1 v2 1? 2 c

? vt 0


y2 ? a , z2 ? 0 ,
t2 ? 1 1? v c2
2

(10)

? t0


由于 t1 ?t 2 ,S 系中这两个小球之间的距离便为

aDA ? [(x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 ]1/ 2 ,
即得

(11)

a DA ? a 。
(4)BC 边 重复上述相似的讨论,可得

(12)

a BC ? a

(13)

(其实,由于 DA,BC 边与 v 垂直,无洛仑兹收缩,故 a DA ? a BC ? a 。 ) 2、在环路参照系 S ? 中,每一条边线上的电荷量为

QW ? ?

L q a

(14)

在此已考虑到 L/a 为各边上的小球数。由于电荷是运动不变量,在实验室参照系 S 中测得的 各边线电荷量也为此值。 (1)AB 边 在实验室参照系中,AB 边上各球电荷量之和为

1? Q AB .b ?

v2 L c2

a AB

q
(15)

此式系由 AB 边上小球数乘以每一小球电荷量(运动不变量)来获得。 (15)式右边第一项 中的分子为 S 系中观察者测得的运动收缩边长,分母则为相邻小球的间距。 将(4)式代入到(15)式中,可得:

Q AB .b ?

L ? uv ? ?1 ? ?q a ? c2 ?

(16)

将(14)式和(16)式相加,便得 AB 边上总电荷量

Q AB ?

L uv q a c2 。

(17)

(2)CD 边 用相同的方法可得

1? QCD.b ?

v2 L c 2 q ? L ?1 ? uv ?q ? ? aCD a ? c2 ?
L uv q a c2

(18)

将(14)和(18)式相加,可得

QCD ? ?

(19)

(3)BC 边和 DA 边 S 系中观察者测得这两条边的边长均为 L,相邻两球的间距也均为 a,因此

QBC .b ? QDA.b ?

L q a ,

(20)

将(14)和(20)式相加,可得

QBC ? 0 ,

(21.1) (21.2)
E

QDA ? 0 。
3、作用在 AB 边上的电场力为

FAB

FAB

L ? uv ? ? Q AB E ? ? 2 ?qE a ?c ? ,

C

? ?
FCD

?
L sin ?

B

(22)

作用在 CD 边上的电场力为 图 52-3 图 图 FAB 与 FCD 形成一力偶。据力偶的力矩表达式,可得(参见图 52-3) 图 图 M ? FAB L sin ? (24) 图 最后可表达成 图 图 uv L2 M? 2 q E sin ? 图 c a (25) 图 图 4、 令 U AB 和 U CD 分别为 AB 边上各点和 CD 边上各点的静电势 (指场强为 E 的外电场的电 图 势——注) ,那么有 图 图 W ? U AB QAB ? U CDQCD , (26) 图 C E 将电势零位(U=0)选在与 E 垂直的一个平面上,此平面与 AB 边 图 ? 的间距为某一任意量 R(见图 52-4) ,于是 ?图 图 W ? ?ERQAB ? E( R ? L cos?)QCD 图 B (27) 图 图 R 但 QCD ? ?QAB ,故 图 U ?图 0 W ? ELQAB c o ? s, (28) 图 将(17)式代入到(28)式,便得 图 52-4 图 图 uvL2 qE W? cos ? 图 c2a (29) 图 图 图 图 图 图 (23)

FCD ? QCD E ? ?

L ? uv ? ? ?qE a ? c2 ? ,


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