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江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


南通中学 2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 . ........ 1. 若角 135°的终边上有一点(一 4,a),则 a 的值是 ▲ .4 ▲ .2

?? ? 2. 若 f ( x) ? sin

? ? x ? ? 的最小正周期是 ? ,其中 ? ? 0 ,则 ? 的值是 6? ?
3. 化简: sin13? cos17? ? sin17? cos13? = ▲ .

1 2
▲ .

4. 已知向量 AB ? (14,0), AC ? ( 2, 2), 则 AB与AC 的夹角的大小为 5. 已知 sin ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是第 ▲ 象限角.二或三 ▲

? 4

6. 已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2, n ? ,若 a ? b ? a ? b ,则 n ? 7. ?1 ? tan1???1 ? tan 44?? 的值为 ▲ .2

. ?2

?? ? ? 8. 下把函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位长度得到的函数图象解析式为 f(x)= 3 6 ? ?
▲ . 3sin 2 x

9. 函数在 f ( x) ? sin x ? a , 则实数 a 的取值范围 x ?[ , ? ] 上有 2 个零点, 3 10.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1 ,满足 f ( ) ? 7 ,则 f (? ) = 3 3 11. 在 ΔABC 中,有命题: ① AB ? AC ? BC ; ② AB ? BC ? CA ? 0 ; ③若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ΔABC 为等腰三角形; ④若 ΔABC 为直角三角形,则 AC ? AB ? 0 . 上述命题正确的是 ▲ (填序号) .②③ ▲

?

▲ .-5

[ .

3 ,1) 2

?

?



x 12.已知函数 y ? tan ? 16 ? x2 ,则函数的定义域是 2

. ?x ?4 ? x ? 4且x ? ?? ? ▲ .2

13.已知 a ? 2 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 45 ? ,且 ? b ? a ? a ,则实数 ? 的值为 14.在 ΔABC 中, ?B ?
2 2

?

?

2 5 ,且 AC ? ? ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) 12

BC ? AD ? BD ? DC ? 2 AC ? CB ,则 ? A 等于





? 6

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 a=(cos? ,- 1) , b ? (2,1 ? sin ? ) ,且 a ? b ? ?1 . (1)求 tan ? 的值; (2)求

2sin ? ? 3cos ? 的值. 4sin ? ? 9cos ?

解:(1)因为 a ? b ? 2 cos? ? ?1 ? sin ? ? ? ?1 , 即 sin ? ? 2 cos ? . 显然, cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? 2 . 2 sin ? ? 3cos ? 2 tan ? ? 3 2 ? 2 ? 3 ? ? ?1 ; (2) = 4 sin ? ? 9 cos ? 4 tan ? ? 9 4 ? 2 ? 9

16. (本小题满分 14 分) 已知 a ? (1,2) , b ? (?3, 2) , 当 k 为何值时 (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 解: ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? (k ? 3,2k ? 2) ; a ? 3b ? (1,2) ? 3(?3,2) ? (10, ?4) (1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ,得
(ka ? b ) ·(a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0 , k ? 19

(1) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) , k ? ? 此时 ka ? b ? (?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反. 3 3 3

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? (1)求出函数 f ( x) 的解析式; (2)若将函数 f ( x) 的图像向右移动

?
2

)的图像如图所示

? 个单位得到函数 3

y ? g ( x) 的图像,求出函数 y ? g ( x) 的单调增区间及

对称中心.

解: (1) A ?

6 ? (?2) 6? ( ? 2) ?4 b? ?2 2 2 T 4? 2? 1 ? ? (? ) ? 2? T ? 4? ? ? 2 3 3 2 1 ? f ( x) ? 4sin( x ? ) ? 2 2 3 1 ? (2) g ( x) ? 4sin( x ? ) ? 2 2 6 ? 1 ? ? 增区间 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? k ? Z 2 2 6 2 4? 2? ? ? ? 4k ? ? x ? ? 4k ? k ? Z ; 3 3 4? 2? 增区间 [? ? 4k? , ? 4k? ] k ? Z 3 3 1 ? ? x ? ? k? k ? Z ; x ? ? ? 2k? k ? Z 2 6 3
对称中心 (?

?

3

? 2k? , 2) k ? Z

18. (本小题满分 16 分) 已知 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,且 | a ? b |?
7 . 7

?? ?? ? ? (1)求 sin ? ? ? ? cos ? 2? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? ? ? 的值; 2? ?2 ? ?
(2)若 cos? ?

1 ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,求 ? 的值. 2 7

1 1 解:(1)由条件得 | a ? b |2 ? ,即(cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ? 7 7 1 所以2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? , 7 13 故 cos(? ? ? ) ? . 14

,?? ? ? ? (0, ) 2 1 13 cos ? ? , cos(? ? ? ) ? 7 14 4 3 3 3 ? sin ? ? ,sin(? ? ? ) ? 7 14 sin ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) (2) 2 ? 4 3 13 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 14 7 14 2 2 3

0 ? ? ?? ?

?

?

? ? ? ? (0, ),? ? ? .

19. (本小题满分 16 分) 某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD,AB=50 米,BC= 25 3 米,为了便于游客休闲散 步,该农庄决定在鱼塘内建 3 条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF,考虑到整体规划, 要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且∠EOF=90°. (1)设∠BOE= ? ,试将 ?OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条走廊每米建设费用均为 4000 元,试问如何设计才能使建设总费用最低 并求出最低总费用.

解:(1)∵在 Rt△BOE 中,OB=25, ∠B=90°,∠BOE= ? ,∴OE= 在 Rt△AOF 中,OA=25, ∠A=90°,∠AFO= ? ,∴OF= 又∠EOF=90°, ∴EF= ? OE 2 ? OF 2 ? ( ∴ l ? OE ? OF ? EF ?

25 . cos ?

25 . sin ?

25 2 25 2 25 ) ?( ) = , cos ? sin ? cos? sin ?

25 25 25 , ? ? cos? sin ? cos? sin ? 25(sin ? ? cos? ? 1) 即l ? . cos? sin ? π 当点 F 在点 D 时,这时角 ? 最小,求得此时 ? = ; 6 π 当点 E 在 C 点时,这时角 ? 最大,求得此时 ? = . 3 π π 故此函数的定义域为 [ , ] . 6 3
(2)由题意知,要求建设总费用最低,只要求 ?OEF 的周长 l 的最小值即可.

25(sin ? ? cos? ? 1) π π , ? ?[ , ] cos? sin ? 6 3 2 t ?1 设 sin ? ? cos? ? t ,则 sin ? ? cos? ? , 2 25(sin ? ? cos ? ? 1) 25(t ? 1) 50 ? 2 ? ∴l ? t ?1 cos ? sin ? t ?1 2 3 ?1 3 ?1 5π π 7π ? t ? 2 ,∴ ? t ?1 ? 2 ?1 , 由, ,得 ?? ? ? 2 2 12 4 12 1 从而 2 ? 1 ? ? 3 ?1 , t ?1
由(1)得, l ?

当? ?

π ,即 BE=25 时, lmin ? 50( 2 ? 1) , 4

所以当 BE=AF=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 200000( 2 ? 1) 元. 20. (本小题满分 16 分)
2 ? 如图,已知扇形 OAB 的周长 2+ ? ,面积为 ,并且 OA ? OB ? 1 . 3 3 (1)求 ?AOB 的大小;

(2)如图所示,当点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x 、
y ? R ,求 xy 的最大值与最小值的和;

(3)若点 C、D 在以 O 为圆心的圆上,且 OC ? DO .问 BC 与 AD 的夹角 ? 取何值时,

BC ? AD 的值最大?并求出这个最大值.

解: (1)设扇形半径为 r ,圆心角 ?AOB ? ?
2 ? ? ? 2r ? ? r ? 2 ? ? r? ?r ? 1 ? ? ? ? ? 3 3 2? 或 ? ? 由 ?1 得 ?? ? ?r2 ? ? ?? ? 6 ? 3 ? ? ? 3 ? ?2 ?

又当 r ?

?
3

、? ?

6

?

时, OA ? OB ? 1 不成立;当 r ? 1、 ? ?

2? 时, OA ? OB ? 1 成立, 3

所以 ?AOB ?

2? 3

(2)如图所示,建立直角坐标系,则 A(1,0) ,B ? ? 由 OC ? xOA ? yOB, 得 cos? ? x ? 即 x ? cos ? ?
3 y y. , sin ? ? 2 2

? 1 3? ? 2, 2 ? ? ,C ? cos? ,sin ? ? . ? ?

3 2 3 sin ? , y ? sin ? . 3 3

? ?? 2 3 ? 2 3 ? 1 则 xy ? ? ? cos? ? 3 sin ? ?? ?? 3 sin ? ? ? ? 3 sin(2? ? 6 ) ? 3 ? ?? ?

? ? ? 7? ? ? 2 ? 又 ? ? ? 0, ? ? ,则 2? ? ? ? ? , ? ,故 ? xy ?max ? ? xy ?min ? 1 ? 0 ? 0 . 6 ? 6 6 ? ? 3 ?


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