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高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)8 不等式 文


各地解析分类汇编:不等式
1.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科】若 x≥0,y≥0 且 x ? 2 y =1 ,那么 2x+3y 的最小值为 A、2 【答案】B 【 B、
2

3 4

C、

2 3

D、0

1 , 所 以 2 1 2 2

1 2 x ? 3 y 2 ? 2 ? 4 y ? 3 y ?2 3( y ? ) ? 2, 因 为 0 ? y ? , 所 以 当 y ? 时 , 有 最 小 值 2 3 3 2 1 1 3 2 x ? 3 y 2 ? 2 ? 4 y ? 3 y 2 ? 2 ? 4 ? ? 3 ? ? ,选 B. 2 4 4
解 析 】 由

x ? 2 y =1



x=1 ? 2 y ? 0





0? y?

2 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试文】下列命题中,正确的是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bc C.若 【答案】C 【解析】由不等式的性质知 C 正确.故选 C. 3 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 下列三个不等式中,恒成立的个 数有 ①x? A.3 【答案】B 【解析】当 x ? 0 时,①不成立。由 a ? b ? c ? 0 ,得 立。③恒成立,所以选 B. 4.【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文) 】某企业投入 100 万元购入一套设 备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护 费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.为使该设备年平 均费用最低,该企业( )年后需要更新设备. A. 10 B. 11 C. 13 D. 21 B.若 ac ? bc ,则 a ? b D.若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d

a b ? 2 ,则 a ? b 2 c c

1 ? 2( x ? 0) x



c c ? (a ? b ? c ? 0) a b

③ C.1

a?m a ? (a, b, m ? 0, a ? b) . b?m b
D.0

B.2

1 1 c c ? , 所以 ? 成立,所以②横成 a b a b

【答案】A

【解析】由题意可知 x 年的维护费用为 2 ? 4 ? ? ? 2 x ? x( x ? 1) ,所以 x 年平均污水处理费 用 为

y?

1

0 0 x ? x 0x ?. 5 ? ( 1 ) ? x? ? 1.5 , 由 x x



1



0



0







y ? x?
A.

100 100 100 ,即 x ? 10 时取等号,所以选 ? 1.5 ? 2 x? ? 1.5 ? 21.5 ,当且仅当 x ? x x x

b2 a 2 ? 与 5.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 文】 a ? 0 , b ? 0 ,则 p ? a b
q ? a ? b 的大小关系为 (
A. p ? q 【答案】D 【解析】 p ? q ? B. p ? q ) C. p ? q D. p ? q

b2 a 2 b2 a2 b2 ? a 2 a 2 ? b2 ? ? ( a ? b) ? ? a ? ? b ? ? a b a b a b

1 1 b ? a (b ? a)2 (a ? b) 2 2 ? (b ? a )( ? ) ? (b ? a ) ? ? , 因 为 a?0 , b?0 , 所 以 a b ab ab
2 2

a ? b ? 0, ab ? 0 , (b ? a)2 ? 0 ,所以 p ? q ? 0 ,所以 p ? q ,选 D.

?x ? y ?1 ? 0 ? 6.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 ?y ? 0 ?
目标函数 z ? y ? 2 x 的最大值为( A.0 【答案】D B.1 C. ) D.2

3 2

【解析】在坐标系中做出可行域如图

,由 z ? y ? 2 x 得

y =2 x ? z ,平移直线 y =2 x ,由图象可知,当直线经过点 A(?1, 0) 时,直线的截距最大,此

时 z 也最大,最大为 z ? y ? 2 x ? 2 ,选 D. 7.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】设变量 x , y 满足约束条件

?y ? x ? ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 【答案】B B. 3 C. 4 D. 9

【解析】 做出可行域如图

x , z ? 2 ? , y ?? 2 ? z , 设 x y 即

z 平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? z 的截距最小,此时
最小。由 ? B. 8.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】实数对 ( x , y ) 满足不等式组

?x ? 1 ?y ? x ,解得 ? ,即 B(1,1) ,代入得 z ? 2 x ? y ? 3 ,所以最大值为 3,选 ?y ?1 ?x ? y ? 2

? x ? y ? 2 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0,若目标函数 z ? x ? y 的最大值与最小值之和为 ? y ? 2 ? 0, ?
A.6 【答案】C B.7 C.9 D.10

【解析】不等式组所表示的区域如图
zmax ? 6, zmin ? 3. 故选 C.

所示,



?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 9.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】设动点 P ( x, y ) 满足 ? , x?0 ? ?y ? 0 ?
则 z ? 5 x ? 2 y 的最大值是 A. 50 【答案】D B. 60 C. 70 D. 100

【解析】作出不等式组对应的可行域 得,y ? ?

,由 z ? 5 x ? 2 y

5 z 5 z 5 z x? , 平移直线 y ? ? x ? , 由图象可知当直线 y ? ? x ? 经过点 D(20, 0) 2 2 2 2 2 2 5 z 时,直线 y ? ? x ? 的截距最大,此时 z 也最大,最大为 z ? 5 x ? 2 y ? 5 ? 20 ? 100 ,选 2 2
D. 10. 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 文 】 设 a ? 0, b ? 0. 若

1 1 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值 a b 1 A. 2 B. 4
【答案】C

C. 4

D.8

【 解 析 】 由 题 意 知 3a ? 3b ? ( 3)2 , 即 3

a ?b

? 3 , 所 以 a ?b ?1 。 所 以

b a 1 1 1 a?b a?b b a b a ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? ,即 a ? b ? 时, a b 2 a b a b a b a b
取等号,所以最小值为 4,选 C.

? x ? 0, ? 11.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试 数学文】若不等式组 ? x ? y ? 2, 所表示的 ?3 x ? y ? 5 ?
平面区域被直线 y ? kx ? 2 分成面积相等的两部分,则 k 的值为 A.4 【答案】B B.1 C.2 D.3

【解析】做出不等式对应的区域如图:

,要使平面区域被直线

y ? kx ? 2 分成面积相等的两部分,则必有直线 y ? kx ? 2 过线段 BC 的中点 M,由题意可知

3 ? ?x ? 2 ? x ? y ? 2, 3 1 3 11 ? C (0,5) ,由 ? 解得 ? , B ( , ) ,所以中点 M ( , ) ,带入直线 y ? kx ? 2 , 即 2 2 4 4 ?3x ? y ? 5 ?y ? 1 ? ? 2
解得 k ? 1 。选 B. 12. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 】 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件

?y ? x ? ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 ? x ? ?2 ?
A.-2 【答案】D B.-4 C.-6 D.-8

【解析】做出可行域如图,

由 z ? x ? 3y 得

1 z 1 z 1 z y ? x ? ,平移直线 y ? x ? ,由图象可知当直线经过点 B 时,直线 y ? x ? 的截 3 3 3 3 3 3
距最大, 此时 z 最小。 ? 由 选 D.

? x ? ?2 ? x ? ?2 , ? 得 , 即点 B(?2, 2) ,代入 z ? x ? 3 y 得 z ? ?8 , ?x ? 2 y ? 2 ?y ? 2

? 2 x ? y ? 4, ? 13.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】设 x、y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
z ? x? y
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值 【答案】B B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值



【解析】 做出可行域如图

(阴影部分) 由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z , 。

做直线 y ? ? x ,平移直线 y ? ? x 由图可知当直线经过点 C(2,0)时,直线 y ? ? x ? z 的截距最小,此时 z 最小为 2,没有最大值,选 B. 14.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(文) 】如果实数 x、 y 满足条件

?x ? y ?1 ? 0 ? ? y ?1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

,那么目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为

A. 2 【答案】B

B. 1

C. ?2

D. ?3

【解析】做出满足条件的可行域如图

,平移直线 y ? 2 x ,由图

可知,当直线经过点 D(0,-1)时,直线的 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最大,所以最大 值为 1,选 B.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 15.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(文) 】若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, , ? x ? 0, ?
则z ?3
x?2 y

的值域是

.

【答案】 [1,9]

【解析】令 t ? x ? 2 y ,则 y ? ? 平移直线 y ? ?

1 t x ? ,做出可行域 2 2



1 x ,由图象知当直线经过 O 点是, t 最小,当经过点 D(0,1) 时, t 最大,所 2

x?2 y 以 0 ? t ? 2 ,所以 1 ? z ? 9 ,即 z ? 3 的值域是 [1,9] .
2 16.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科】若关于 x 的不等式 x +

1 1 x-( ) n ? 0 对 2 2


任意 n ? N 在 x ? (-?,? ] 上恒成立,则实
*

常数 ? 的取值范围是

【答案】 (??, ?1]

1 1 1 1 1 1 x ? ( ) n ? 0 得 x 2 + x ? ( ) n , 即 x 2 + x ? ( ) n max 恒 成 立 . 因 为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( ) n max ? x 则 , 即 x + x? 在 ( ? ?,? ] 恒 成 立 , 令 y ? x+ , 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 y ? x 2 + x ? x ? ) ? ,二次函数开口向上,且对称轴为 x = ? .当 x ? ? 时,函数 ( 2 4 16 4 4 1 1 1 2 单调递减,要使不等式恒成立,则有 ? + ? ? ,解得 ? ? ?1 .当 x ? ? ,左边的最小值 4 2 2 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ,不成立,综上 ? 的取值范围是 ? ? ?1 ,即 在 x = ? 处取得,此时 x + x ? 4 2 16 8 6
2 【解析】 x +

(??, ?1] .
17.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】已知 x 和 y 是实数,且满足

? x ? y ? 10 ? 约束条件 ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?2 x ? 7 ?
【答案】

.

23 2

【解析】

做出不等式对应的可行域如图,由

2 z 2 2 z ? 2 x ? 3 y 得 y ? ? x ? ,做直线 y ? ? x ,平移直线 y ? ? x ,由图象可知当直线经 3 3 3 3 2 z 7 3 过 C 点时,直线 y ? ? x ? 的截距最小,此时 z 最小,此为 C ( , ) ,代入目标函数得 3 3 2 2 7 3 23 z ? 2x ? 3 y ? 2 ? ? 3? ? 。 2 2 2 1 18.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】若不等式 | 2a ? 1|?| x ? | 对一切非零 x
实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是

【答案】 ?

1 3 ?a? 2 2

【解析】因为 x ?

1 1 ? x ? ? 2 ,当且仅当 x ? ?1 时取等号,所以要使不等式恒成立,则 x x
1 3 ?a? 。 2 2

有 | 2a ? 1 |? 2 ,成立,即 ?2 ? 2a ? 1 ? 2 ,所以解得 ?

19.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 不等式 【答案】 (?2,1)

x ?1 ? 0 的解集是 x?2

【解析】原不等式等价为 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 1 ,即原不等式的解集为 (?2,1) 。 20. 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】 已 知

x, y ? R ?,且x ? 4 y ? 1 ,则xy 的最大值为
1 【答案】 16
? 4y,则xy ? 【解析】因为 x, y ? R ,且x ? 4 y ? 1 ? 2 x?

1 16

21.. 【 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 文 】 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件

?x ? 1 ? 0 ? 2 x? y 的最小值是__. ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
【答案】

M

【解析】可行域如图,

显 然 当 直 线 u ? 2 x ? y 过 M(-2,1) 时 ,

u min ? ?3, z min ? 3 ?3 ?

1 . 27

22.【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】若 m ? n ? 1(mn ? 0) ,则 小值为 【答案】4

1 1 ? 的最 m n

【解析】

m n 1 1 1 1 m n m n ? ,即 ,当且仅当 ? ? ( ? )(m + )? 2 n ? ? ? 2 2 ? ? 4 ? n m m n m n n m n m

m2 ? n2 ,即 m ? n ?

1 时取等号,所以最小值为 4. 2

?y ?1 ? 23. 山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (文) 若实数 x, 满足 ? y ? 2 x ? 1 , 【 】 y ?x ? y ? m ?
如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?2 ,则实数 m=_________。 【答案】8

?y ?1 ? y ? 2 x ? 1的区域如图可知在三角形 ABC 区域内, z ? x ? y 得 y ? x ? z 可 【解析】 先做出 ? 由
知, 直线的截距最大时,z 取得最小值, 此时直线为 y ? x ? (?2) ? x ? 2 , 作出直线 y ? x ? 2 , 交 y ? 2 x ? 1 于 A 点,由图象可知,目标函数在该点取得最小值,所以直线 x ? y ? m 也过 A

点 , 由 ?

? y ? 2x ?1 ? x =3 ? , 得 ? , 代 入 x? y ?y ? x ? 2 ?y ? 5

m , m ? 3 ?5 ?8 如 图 得 。

24.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(文) 】已知

1 1 x ? 0, y ? 0,lg 2x ? lg8y ? lg 2 ,则 ? 的最小值是 x 3y
【答案】4 【解析】 x ? 0, y ? 0,lg 2 ? lg8 ? lg 2 , l 28 由 得g
x y x y

.

?2 l g

, 2 即

x ?3 y

? 2 ,所以 x ? 3 y ? 1 ,



3y x 3y x 3y x 1 1 1 1 ? ,即 ? ? 2?2 ? ? 4 ,当且仅当 ? ? ( ? )( x ? 3 y) ? 2 ? x 3y x 3y x 3y x 3y x 3y

x2 ? 9 y 2 ,取等号,所以最小值为 4.
25. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 】 本 小 题 满 分 12 分 ) 记 (

, f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 若 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集 为 ( 1 , 3 ) 试 解 关 于 t 的 不 等 式

f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .
【答案】由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.…………………………4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,……………………………………6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t | ?2 | t | ?6 ? 0 ……………………10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .……………………12 分 26.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试文】 (本小题满分 12 分)已知 a 是实数,试解

x 2 ? 2x ? a 关于 x 的不等式: x ? x ?1
【答案】解:原不等式同解为 ?

?( x ? a)(x ? 1) ? 0 ?x ? 1

………3 分

当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 (??,?a] ? (1,??), ………6 分

{ , 当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 x | x ? 1 x ? R}

………9 分

当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 (??,1) ? [?a,??), ………12 分


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