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闸北高中补习全集与补集新王牌


高中数学

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高一数学暑假第三讲
的补集,记作 CU A ,读作: “A 补” ,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

全集与补集
?

一、全集的定义:在研究集合与集合之间的关系时,这些

集合往往是某个给定集合的子集。这个确定的集合叫做全 集,常用符号 U 表示。 二、补集的定义:设 U 是全集, A 是 U 的子集。则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫作集合 A 在全集 U 中

?

三、补集的性质: ① A ? (CU A) ? U , A ? (CU A) ? ? , CU (CU A) ? A ②痧 U U ? ?, U ? ? U ③ CU ( A ? B) ? CU A ? CU B , CU ( A ? B) ? CU A ? CU B 注意: (1)全集是相对于研究的问题而言,若我们只在整数范围内研究问题,则 Z 为全集;而当问题扩展到实数 集时,则 R 为全集,这时 Z 就不是全集了。 (2) C u A 表示 U 为全集时 A 的补集,如果全集换成其他集合(如 R) ,则符号中“ U ”也必须换成相应的 集合(即 CR A ). (3)在解题时,我们要注意利用全集与其补集之间的包含关系来解决问题。 四、下图中的①~④分别表示为

①A∩ (?uB) ,

② (?uA) ∩B , ③A∩B ,

④ (痧 u A)? ( u B)

1

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五、典型例题: 例 1、已知 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CU A, A ? CU A, A ? CU A。

例 2、设全集 U ? x 0 ? x ? 2 ,集合 A ? x 0 ? x ? 1 ,则集合 CU A =____

?

?

?

?

例 3、已知全集 U ? x 1 ? x ? 5, x ? N

?

?

? ,集合 A ? ?2,3? A=,则 C

U

A =____

变式训练: (1)用 集 合 分 别 表 示 下 列 各 图 中 的 阴 影 部 分 :

(2)用 集 合 分 别 表 示 下 列 各 图 中 的 阴 影 部 分 :

( 3 ) 全 集 U 与 集 合 A、 B 、 C 如 图 所 示 , 在 图 中 用 阴 影 标 出 ( A ∩ C UB ) ∪ C

2 例 4、已知集合 M ? m , m , N ? ?1? ,若 M ? N ? ? ,则 CM N =_____

?

?

例 5、设 U 为全集,下列四个命题中,不正确的是( A.若 A∩B=?,则(?UA)∪(?UB)=U C.若 A∪B=U,则(?UA)∩(?UB)=?

).

B.若 A∩B=?,则 A=B=? D.若 A∪B=?,则 A=B=?
2

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例6、 已知全集 U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x<1},B={x|x2+x-2=0},C={x|-2≤x<1}, 则( A.C?A B.C??UA C.?UB=C D.?UA=B

).

M ? {( x, y ) | 例7、 设全集 U ? {( x, y ) | x, y ? R} ,
( A. ? ) B.{(2,3)}

y ?3 ? 1} ,N ? {( x, y) | y ? x ? 1} , 那么 (CU M ) ∩ (CU N ) = x?2
D. {( x, y ) | y ? x ? 1}

C .(2,3)

变式训练:已知 M ?

?? x, y ? x ? R, y ? R且y ? x ? 2? , N ? ?? x, y ? x ? R, y ? R且y ? ? x?

I ? ?? x, y ? x ? R, y ? R? ,则 CI ? M ? N ? =_______

例 8、在图中,U 表示全集,用 A、B 表出阴影部分,其中表示正确的是( A.A∪B B.A∩B C.CU(A∩B) D.(CUA) ∩B



例 9、图中阴影部分可用集合 M、P 表示为(

)

A.(M∩P)∪(M∪P)

B.[(?UM)∩P]∪[M∩(?UP)]

C.M∩?U(M∩P)

D.P∪?U(M∩P)

变式训练:我们知道,如果集合 A?S,那么 S 的子集 A 的补集为 CSA={x|x∈S,且 x?A}.类似地,对于集合 A、B, 我们把集合{x|x∈A,且 x?B}叫做集合 A 与 B 的差集,记作 A﹣B.据此回答下列问题: (1)若 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求 A﹣B; (2)在下列各图中用阴影表示集合 A﹣B.

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例 10、已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是________.

例 11、设集合 A={x|0≤x≤4},B={y|y=x-3,-1≤x≤3},则?R(A∩B)=________.

2 1, a ?1? ,且 CU A ? ?5? ,则 a = 例 12、设集合 U ? 1,3a ? 5, a ? 1 , A ? ?

?

?



例 13、设 U ? ?0,1, 2,3?, A ? x ?U x ? mx ? 0 ,若 CU A ? ?1,2? ,则实数 m =
2

?

?



2 2 2 例 14、设全集 U ? R ,集合 A ? x x ? ax ? 12 ? 0 , B ? x x ? bx ? b ? 28 ? 0 ,若 A ? CU B ? ?2? ,求 a , b 的

?

?

?

?

值.

例 15、已知 U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(?UA)∩B={2},(?UB)∩A={4},求 A∪B.

例 16、已知集合 A={x|2≤x≤6,x∈R},B={x|﹣1<x<5,x∈R},全集 U=R. (1)求 A∩(CUB) ; (2)若集合 C={x|x<a,x∈R},A∩C=?,求实数 a 的取值范围.

例 17、已知集合 A={x|2≤x<6},B={x|3<x<9}. (Ⅰ)分别求?R(A∩B) , (?RB)∪A; (Ⅱ)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值集合. 例 18、已知集合 P={x|﹣2≤x≤10},Q={x|1﹣m≤x≤1+m}. (1)求集合?RP; (2)若 P?Q,求实数 m 的取值范围; (3)若 P∩Q=Q,求实数 m 的取值范围.

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例 19、已知:集合 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>5}.若 A∪B=R,求 a 的取值范围.

例 20、已知 A={1,2,3} (1)若 B={1,x}且 A∪B=A,求 x 的值. (2)若 A∪B={1,2,3,4}则满足条件的集合 B 有多少个?并写出所有满足条件的集合 B.

2 2 例 21、设集合 A= ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? , B ? x | x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0 .

?

?

(1)若 A ? B ? ?2? , 求实数 a 的值; (2)若 A ? B=A,求实数 a 的取值范围; (3)若 U=R,A ? ( CU B )=A.求实数 a 的取值范围.

例 22、向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞 成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一 多 1 人。问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

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例 23、集合 U={x ? N ? |x≤10},A ={6,7,8},求集合 A 与 B。

U, B

U,且 A ? B={4,5}, (C U B) ? A={1,2,3}, (C U A) ? (C U B)

变式训练:已知全集 I={小于 10 的正整数},其子集 A,B 满足 CIA∩CIB={1,9},A∩B={2},CIA∩B={4,6,8}, 求集合 A,B.

例 24、已知集合 U ? ?1,2,3, ???, n?, n ? N ,设集合 A 同时满足下列三个条件:
?

实战演练:

1、已知 U ? ? 1,2,3,4?, A ?

1,2? A. ?

B. ? 1,2,3,4?

?1,3,4?, B ? ?2,3,4?,那么 CU ( A ? B) ? (
C. ?
2



?? D. ?

2.已知集合 M={-1,1,2},N={y|y=x ,x ? M},则 M ? N 是( ) A. {1} B. {1,4} C.{1,2,4} D. ?
2 3.全集 U ? ?x | ?2 ? x ? 1?, A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , C ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则

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( ) A. C ? A

B. C ? CU A

C. CU B ? C

D. CU A ? B )

4.集合 M ? {x | x ? 1}, P ? {x | x ? t} ,若 M ? P ? ? ,则实数 t 应该满足的条件是( A. t ? 1 B. t ? 1 C. t ? 1 D. t ? 1 )

5.已知 A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x-y=1},则 A∩B=( A.{2, 1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.(2,1)

6.设 I 为全集,S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集且 S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的 A.C ISI∩(S2∪S3)= ? B.S1 ? (C I S2∩C IS3) C.C ISI∩C IS2 ∩C IS3= ? D.S1 ? (C
I

S2∪C IS3) )

7.已知集合 M ? ?直线? , N ? ?圆? ,则 M ? N 中的元素个数为( A.0 B.0,1,2 其中之一 C.无穷 D.无法确定

8.全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5? , A ? B ? ?2? , (Cu A ) ? B ? ?4? , (Cu A )( ? Cu B) ? ?15 , ? ,则 A ? ____, B ? ____

9.已知全集 U ?

y?4 ? ?y ? 3x ? 2? , 求 ? C A? ? B 。 ? ? 3? , B ? ?? x, y ? ?? x, y ? ?? x, y ??x ? R, y ? R? , 集合 A ? ? x?2 ? ?
U

10、设 全 集 为 ∪ , 用 集 合 A 、 B 、 C 的 交 、 并 、 补 集 符 号 表 图 中 的 阴 影 部 分

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