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高中数学总复习题总结(有答案)高考必备


数学总复习题总结
第一章
一、选择题
y-3 ? 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? = 1? , ?( x, y ) | ? x-2 ?

集合与函数概念

). A. ? B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)| y=x+1} 2.若 A={a,b},B ? A,

则集合 B 中元素的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.0 或 1 或 2 3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( ). A.1 B.0 C.0 或 1 D.1 或 2 4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( ). A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 3 2 5. 已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图 象如图所示,则( ). A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞) (第 5 题) ? x 2+bx+c,x ≤0 6.设函数 f(x)= ? , 若 c,x 0 ?> f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.设集合 A={x | 0≤x≤6},B={y | 0≤y≤2},下列从 A 到 B 的对应法 则 f 不是映射的是( ). A.f:x→y= x = x 8.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2 9.函数 y=x -6x+10 在区间(2,4)上是( ). A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.先递增再递减 2 10.二次函数 y=x +bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( ). A.f(1)<f(2)<f(4) B.f(2)<f(1)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 二、填空题
1 6
1 2

P={(x,y)| y≠x+1},那么 CU(M∪P)等于(

B.f:x→y= x

1 3

C.f:x→y= x

1 4

D . f:x → y

11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是 . 12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___, b=___. 13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的 造 价 每 平 方 米 分 别 为 120 元 和 80 元 , 那 么 水 池 的 最 低 总 造 价 为 元. 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)= ;f(x-2)= . 15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围 . 16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那 么当 x∈ (-∞,0]时,f(x)= . 三、解答题 2 17.已知集合 A={x∈R| ax -3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围. 18.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值. 19.证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

20.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3x4+
1 ; x2

(2)f(x)=(x-1)

1+x ; 1-x

1+ 1 -x ; (3)f(x)= x-

(4)f(x)= x 2-1 + 1-x 2 .

第一章

集合与函数概念
参考答案

一、选择题 1.B 解析: 集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2, 3)之后, 其余点组成的集合. 集 合 P 是坐标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 M ? P 就是坐标平 面上不含点(2,3)的所有点组成的集合.因此 CU(M ? P)就是点(2,3)的集合.

C (M ? P)={(2,3)}.故选 B.
U

2.D 解析:∵A 的子集有 ? ,{a},{b},{a,b}.∴集合 B 可能是 ? ,{a},{b}, {a,b}中的某一个,∴选 D. 3.C 解析:由函数的定义知,函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交 点的,如果有交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1.

5.A 解析: 要善于从函数的图象中分析出函数的 特点. 解法 1:设 f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3- 3ax2+2ax,比较系数得 b=-3a,c=2a,d= 0.由 f(x)的图象可以知道 f(3)>0,所以 (第 5 题) f(3)=3a(3-1)(3-2)=6a>0,即 a>0, 所以 b<0.所以正确答案为 A. 解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d =0,a= - b,c=- b. ∴f(x)=b(- x3+x2- x)=-
1 3

bx 3 1 [(x- )2- ] . 3 2 4 3 1 由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x- )2- ]>0, 2 4 3 1 2 4 3 2 1 x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x- ) - ]<0,∴b<0. 2 4 3 2 1 x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x- ) - ]>0,∴b<0. 2 4

2 3

1 3

2 3

∴b<0.

x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x- )2- ]>0,∴b<0.

故 b∈(-∞,0). 6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 得? ?
? b ? ?2 ,∴ ?b ? 4 . 2 ? ?c ? 2 ? ? 4 ? 2b ? c ? ?2 ?
? x 2+4 x+2, ( x 0) ≤ ( x 0) ?2, >

∴f(x)= ? 由?
? x≤0 ?

x>0 得 x=-1 或 x=-2; x=2



得 x=2. x2+4x+2=x 综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A
1 2

解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y= x 作用下应得象 3,但 3 不在集合

B= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A.
8.A 提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③正 确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所 以答案选 A. 9.C 解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2, 4)上是先递减再递增.答案选 C.

10.B 解析:∵对称轴 x=2,∴f(1)=f(3). ∵y在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴答案选B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? ?
? ? ?

x≠3, x2-2x≠3, x2-2x≠x.

解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 12.a= ,b= . 解析:由题意知,方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a,则△=(a -1)2-4b=0①,将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0 ②,由①②解得 a = ,b= . 13.1 760 元. 解析:设水池底面的长为 x m,水池的总造价为 y 元,由已知得水池底面面 积为 4 m2.,水池底面的宽为
4 m. x
1 3 1 3

1 9

1 9

池底的造价 y1=120?4=480. 池壁的造价 y2=(2?2x+2?2? )?80=(4x+ 水池的总造价为 即
4 x 16 )?80. x

y=y1+y2=480+(4x+
4 x

16 )?80, x

y=480+320(x+ )
=480+320 ?? ? x-
? ?? ??
2 ? 2 ? ? . ? +4? ? x? ?



x=

2 x

, 即x=2时,y有最小值为 480+320?4=1 760元.

14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15. 解析:令 x+1=t,则 x=t-1,因此 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, 即 f(x)=x2-4x+3.∴f(x-2)=(x-2)2-4(x-2)+3=x2-8x+15. 15.(-∞, ). 解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a< . 16.x(1-x3). 解析:任取 x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞), ∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3), ∵f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 x(1-x3). 三、解答题 17.解:①∵A 是空集, ∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根.
1 2
1 2

∴ ?≠

②∵A 中只有一个元素, ∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x= ; 当 a≠0 时,令Δ =9-8a=0,得 a= ,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实数根,即 A 中只有一个元素. 由以上可知 a=0,或 a= 时,A 中只有一个元素. ③若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由①②的结果可得 a=0,或 a≥ . 18.解:根据集合中元素的互异性,有 ?a ? 2a ?a ? b2 或 ? ? 2 ?b ? b ?b ? 2a 解得 a=0
b= 1

0, ?a      0, ??=9-8a <

解得 a> .

9 8

2 3

9 8

9 8

9 8



a=0 b=0



a= b=

1 4
1 4 1

再根据集合中元素的互异性,得

1 2 a=
0



a= b=

19.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 2 b= 3 2 f(x1)-f(x2)= x13 - x2 =(x1-x2)( x12 +x1x2+ x2 ).
3 2 1 x . 4 2 1 由 x1<x2 得 x1-x2<0,且 x1+ x2 与 x2 不会同时为 0, 2
2 又 x12 +x1x2+ x2 =(x1+ x2)2+

1 2

否则 x1=x2=0 与 x1<x2 矛盾, 2 所以 x12 +x1x2+ x2 >0. 因此 f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), f(x)=x3 在 R上是增函数. 20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R,且 x≠0},

f( - x) = 3( - x)4 +
数.

1 1 1 = 3x4 + 2 = f(x) ,∴ f(x) = 3x4 + 2 是偶函 2 x x (-x)

≥0 1+x ?(1+x)(1-x) (2)由 ≥0 ? ? 1-x ?1-x ? 0

解得-1≤x<1.
1+x 为 1-x

∴ 函数定义域为 x∈ [-1,1),不关于原点对称,∴f(x)=(x-1) 非奇非偶函数. 1+ 1 -x 定义域为 x=1, (3)f(x)= x- ∴ 函数为 f(x)=0(x=1),定义域不关于原点对称, 1+ 1 -x 为非奇非偶函数. ∴f(x)= x-

(4)f(x)= x 2-1 + 1-x 2 定义域为

x 2-1≥0 1-x 2 ≥ 0

? x∈{±1},

∴函数变形为 f(x)=0 (x=±1),∴f(x)= x 2-1 + 1-x 2 既是奇函数又是 偶函数.

高一数学必修 1
一、选择题: (每小题 5 分,共 30 分) 。 1 . 若 a ? 0 , 且 m, n 为 整 数 , 则 下 列 各 式 中 正 确 的 是 ( ) A、 a ? a ? a
m n m n

B、 a ? a ? a
m n

m?n

C、 a

? ?

m n

? a m?n
( )

D、

1 ? a n ? a 0? n
2.指数函数 y=a x 的图像经过点(2,16)则 a 的值是 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 log8 9 3.式子 的值为 ( ) log 2 3 2 3 (A) (B) (C) 2 (D) 3 3 2 4.已知 f (10x ) ? x ,则 f ?100? = ( ) 100 A、100 B、 10 C、 lg10 5.已知

D、2

0<a<1, loga m ? loga n ? 0 ,则( ) . A.1<n<m B.1<m<n C.m<n<1

D.n<m


<1
6.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 0.3 , c ? 0.3 0.2 ,则 a, b, c 三者的大小关系是( A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. c ? b ? a

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分).
7.若 logx 4 ? 2 ,则 x ? 8. lg x ? lg 4 ? lg 3, 则 x = 9.函数 f ( x ) ? lg(3x ? 2) ? 2 恒过定点
2 x ?7 x ?3

. . 。

? 2 , 则 x 的取值范围为 10.已知 2 。 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分). 11. (16 分)计算:
(1) log3 63 ? 2 log3 7 ; (2) 3 a 5 ? 3 a 7 ? a 6 ;

2 x ?3 2 3 x ?1 12. (16 分)解不等式: (1) (a ? 1) ? (a ? 1)

(a ? 0)

13. (18 分)已知函数 f ( x )= loga ( x 2 ? 2) , 若 f ( 2)=1; (1) 求 a 的值; (2)求 f (3 2 ) 的值; (3)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) . 14. (附加题)已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 2ax?b ,且 f(1)=
5 17 ,f(2)= . (1) 2 4 求 a、 b ; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)试判断函数在 (??, 0] 上的单调性, 并证明;

高一数学必修 1(B 卷)
一、选择题: (每小题 5 分,共 30 分) 。 x-2 1.函数 y=a + log a ( x ? 1) +1(a>0,a≠1)的图象必经过点( A. (0,1) B. (1,1) C. (2,1) D. (2,2)
2 ), 则 f ( 4 ) 的 值 为 2



2.已知幂函数 f ( x )过点(2, ( A、 )

1 B、 1 C、2 D、8 2 2 2 3.计算 ?lg 2? ? ?lg 5? ? 2 lg 2 ? lg 5 等于 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 4.已知 ab>0,下面的四个等式中,正确的是( ) a 1 a a A. lg(ab) ? lg a ? lg b ; B. lg ? lg a ? lg b ; C . lg( ) 2 ? lg ; 2 b b b 1 D. lg(ab) ? . log ab 10 5.已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( )

A 、 5a ? 2 B、 a ? 2 2 3a ? a ? 1 6.函数 y ? 2 ? log2 x ( x ? 1) 的值域为 A、 ? 2, ??? B、 ? ??,2?

C 、 3a ? (1 ? a)2 ( C、 ? 2, ?? ? )

D、

D、 ?3, ?? ?

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分) (x ? 0) ?log3 x, 1 7.已知函数 f ( x ) ? ? , 则f [f ( )]的值为 x ( x ? 0) 9 ? 2 , 8.计算: log4 27 ? log5 8 ? log3 25 = 9.若 loga 2 ? m, loga 3 ? n ,则 a = 10.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价 1 格 降低 ,问现 在价格 为 8100 元的 计算 机 经过 15 年 后, 价格 应降 3
3m ? n 2

为 。 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 50 分). 4 16 ? 1 6 0 3 3 ( 2 ? 3) ? ( 2 2) ? ( 4 )2 ? 4 2 ? 80.25 ? (? 2005) 11. (16 分)计算: 49

? 2? x x ? 1 1 12.设函数 f ( x) ? ? , 求满足 f ( x ) = 的 x 的值. 4 ?log4 x x ? 1

13.(18 分)已知函数 f ( x)

? loga (a x ? 1)

(1)求 f(x)的 (a ? 0且a ? 1) ,

定义域; (2)讨论函数 f(x)的增减性。 14. (附加题)已知 f ( x) ? 2x , g ( x) 是一次函数,并且点 (2, 2) 在函数 f [ g ( x)] 的 图象上,点 (2,5) 在函数 g[ f ( x)] 的图象上,求 g ( x) 的解析式.

高一数学必修 1(A 卷)参考答案
一、DDADAA 二、7.2; 8.12; 9. (1,2) ; 10.x<4
2



三、11 解: (1)原式= log 3 63 ? log 3 ( 7 ) ? log 3 63 ? log 3 7 ? log 3

63 ? log 3 9 =2 7

(2)原式= a ? a ? a ? a
6

5 3

12.解:∵ a ? 0 ,

从而有 13.解:(1) ∵ f ( 2)=1,∴ loga (2 2 ? 2) ? 1 即 loga 2 ? 1 (2 ) 由 ( 1 ) 得 函 数

1 a2 ∴ a2 ?1 ? 1 ∴ 指数函数 y=( a 2 ? 1 ) x 在 R 上为增函数。 x ? 3 ? 3x ? 1 解得 x ? 2 ∴不等式的解集为: { x | x ? 2} ? a ?2 ?

7 3

5 7 ? ?6 3 3

解锝 a=2 , 则

f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2)

f (3 2 ) = log2 [(3 2 ) 2 ? 2] ? log2 16 ? 4 (3)不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) 即为 log2 ( x 2 ? 2) ? log2 [(x ? 2) 2 ? 2] 化简不等式得 log2 ( x 2 ? 2) ? log2 ( x 2 ? 4x ? 2) ∵函数 y ? log2 x在(0,??)上为增函数,∴ x 2 ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 2 即 4 x ? ?4 解得 x ? ?1 所以不等式的解集为: (-1,+ ?) 14. (附加题)解: (1)由已知得: ?5 ? 2 ? 2a ?b ? ?a ? ?1 ?2 ,解得 ? . ? ?b ? 0 ?17 ? 4 ? 22 a ?b ? ?4
? ?x (2)由上知 f ? x ? ? 2 x ? 2? x .任取 x ? R ,则 f ? ? x ? ? 2? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ,所

以 f ? x ? 为偶函数.

(3)可知 f ? x ? 在 (??, 0] 上应为减函数.下面证明: 任取 x1、x2 ? (??,0] ,且 x1 ? x2 ,则
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? 2? x1 ? 2 x2 ? 2? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? (

?

? ?

? ?

?

?2 =

x1

? 2 x2

?? 2

x1 x2

2 ?1

2 2

x1 x2

? ,因为 x 、x ? (??,0] ,且 x ? x ,所以 0 ? 2
1 2
1 2

1 1 ? x ) x1 2 22

x1

? 2 x2 ? 1 ,

从而 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2x1 2x2 ?1 ? 0 , 2x1 2x2 ? 0 , 故 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,由此得函数 f ? x ? 在 (??, 0] 上为减函数

高一数学必修 1(B 卷)参考答案
一、 二、 DABCBC 7、9; 8、

1 4

;
1

9、 2
1 6

6 3
1

;10、2400 元;
1 4 1 3 7 ? 2 4 ? 2 4 ?1 4

三、11、解:原式= (2 3 ? 32 ) ? (2 2 ? 2 4 ) 3 ? 4 ?

=2 ?3 3 +2 —

2

7— 2— 1=100
12、解:当 x∈(﹣∞,1)时,由 2 ? x = 当 x∈(1,+∞)时,由 log4x= 综上所述,x= 2 13.解 : (1)ax ? 1 ? 0
?a x ? 1 ?当a ? 1时,函数的定义域为 {x | x ? 0} 当0 ? a ? 1时,函数的定义域为 {x | x ? 0} (2)当a ? 1 时, f ( x)在(0,??)上递增 ;
当0 ? a ? 1 时, f ( x)在(??,0)上递增 . 14. (附加题)解: g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)=kx+b (k ? 0) ∴f ? g ( x)? =2 kx ? b g ? f ( x)? =k 2 x +b
2 k ?b ? ?2 ? 2k ? b ? 1 ? k ? 2 ?2 ∴依题意得 ? 2 即? ?? ? ?k 2 ? b ? 5 ?4k ? b ? 5 ?b ? ?3

1 ,得 x=2,但 2 ? (﹣∞,1) ,舍去。 4

1 ,得 x= 2 , 2 ∈(1,+∞)。 4

∴ g ( x) ? 2 x ? 3 .

数学必修 1 第三章测试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数 y ? log x?1 (5 ? 4x ) 的定义域是( ) 。 A. (?1, 0) B. (0, log 4 5) C. (?1, log4 5) D. (?1, 0) (0, log 4 5) 2. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点( ) 。 A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1) x 3. 设 f (log2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 f (3) 的值为( ) 。 A. 128 B. 256 C. 512 D. 8 4. 化简的结果是( ) 。 2 A. –a B. a C. |a| D. a ?x 5. 函数 y ? 0.2 ? 1 的反函数是( ) 。 A. y ? log5 x ? 1 B. y ? log5 ( x ? 1) C. y ? log x 5 ? 1 D. y ? log5 x ? 1 6. 若 y ? log3a ?1 x 在(0,+∞)内为减函数,且 y ? a ? x 为增函数,则 a 的取值范
2

5

log5 ( ? a ) 2

围是( ) 。
3 3 3 6 1 , 1) ) ) B. (0, ) C. (0, D. ( , 3 3 3 3 3 7. 设 x ? 0, 且a x ? b x ? 1, a, b ? 0 ,则 a、b 的大小关系是( ) 。

A. (

A.b<a<1 B. a<b<1 C. 1<b<a 8. 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( ) 。
1

D. 1<a<b

A. y ? 2 x

B. y ? ? ? ?2?

?1?

1? x

C. y ? ( ) x ? 1 D. y ? 1 ? 2x
1 ? 2? ), b ? f ( ), c ? f (? ) 100 2 3

1 2

9. 设偶函数 f ( x) 在[0, π ]上递减, 下列三个数 a= f (lg

的关系为( )。 A. a>b>c B. b>a>c C. b>c>a D. c>a>b 10. 已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则下列不等式中成立的是(
1 1 ? loga b b 1 1 C. loga b ? loga ? logb b b

) 。

1 1 ? loga b ? loga b b 1 1 D. logb ? loga ? loga b b b ? a, ( a ? b) 11. 定义运算 a ? b 为: a ? b ? ? 如 1? 2 ? 1,则函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x 的值 b , ( a ? b ) , ?

A. loga b ? logb

B. logb

域为( ) 。 A. R B. (0,+∞) C. (0,1] D. [1,+∞) a b c 12. 设 a、b、c 都是正数,且 3 ? 4 ? 6 ,则以下正确的是( ) 。 A.
1 1 1 ? ? c a b
? 8

B.

2 2 1 ? ? c a b

C.

1 2 2 ? ? c a b

D.

2 1 2 ? ? c a b

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.
? 13 13. ? x 3 x ?2 ? ? ? 5 ? 化成分数指数幂为 。 ? ? 14. 若不等式 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立,则 x 的取值范围是

,a 的取值范围

是 。 15. 已知 log4m (9m ? 2) ? 0 ,则 m 的取值范围是 。 16. 给出下列四种说法: ⑴ 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ⑵ 函数 y ? x3与y ? 3x 的值域相同;
(1 ? 2 x ) 2 1 1 ? x 与y? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x ⑷ 函数 y ? ( x ? 1)2 与 y ? 2x ? 1在 (0, ? ?) 上都是增函数。

⑶ 函数 y ?

其中正确说法的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字的说明,证明过程或 演算步骤. 17. 已知 f ( x) ? a3 x?5 ,且 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值。 18. 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1, 7]上的最大值比最小值大 , 求 a 的值。 19. 已知指数函数 y ? ( ) x ,当 x ? (0, ? ? )时,有 y ? 1 ,解关于 x 的不等式 。 6) 20. 已知函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) (a ? 0, a ? 1) 。 ⑴ 求 f ( x) 的定义域; ⑵ 当 a>1 时,判断函数 f ( x) 的单调性,并证明你的结论。 21. 设 f ( x) ? lg
1 ? 2x ? 4x a ( a ? R ) ,若当 x ? (??, 1] 时, f ( x) 有意义,求 a 的取值 3

1 2

1 a 2 loga ( x ? 1) ? log x ( ? x? a

范围。 22. 某商品在最近 100 天内的价格 f (t ) 与时间 t 的函数关系是:
?1 t ? 22 (0 ? t ? 40, t ? N ) ? ?4 f (t ) ? ? ?? 1 t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N ), ? ? 2

1 109 销售量 g (t ) 与时间 t 的函数关系是: g(t) = - t + (0≤t≤100 , t 3 3 ∈N), 求这种商品的日销售额 S(t)的最大值。

参考答案
一、 DDBCB DBBBA
x

CB 故选 D。

?5 ? 4 ? 0 ? x ? log 4 5 ? ? 提示:1. ? x ? 1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? x ? 1 ? 1, ?x ? 0 ? ?

2. 代入验证。 3. 设 log 2 x ? 3 ,则 x ? 23 ? 8 ,代入已知等式,得 f (3) ? 28 ? 256 。 4.

5

log5 ( ? a )2

?

5

log
?x

5

( ? a )2

?

5

log

5

|a|

?| a |

5. 由 y ? 0.2? x ? 1 ,得 ? ? ? y ? 1 即 5x ? y ? 1,两边取对数,得 x ? log5 ( y ? 1) , 5

?1? ? ?

即 y ? log5 ( x ? 1) 。
?0 ? 3a 2 ? 1 ? 1 ? 6. 解不等式组 ? 1 ? ? 1, ?a

即可。

7. 由指数函数的性质,得 0<a<1,0<b<1,又由幂函数 y ? xn 的性质知, 当 n>0 时,它在第一象限内递增,故 a<b<1。
1

8. 在 y ? 2 x 中 x ? 0 ,∴

1 1 ; ? 0, y ? 1 ;在 y ? ( ) x ?1 中,值域为(-1,+∞) 2 x

而 y ? 1 ? 2x 的值域为[0,1) 。
? 2? 9. 由题意知,a ? f (?2) ? f (2), b ? f ( ), c ? f ( ) , 因为 f ( x) 在[0, π ]上递减,
2? 且0? ?2? ?? , ∴ 2 3 1 10. 取 a ? , b ? 4 。 2

?

2? f ( ) ? f (2) ? f ( ) , 即 b>a>c。 2 3
y

?

2

3

11. 由题意知, a ? b 的结果为 a 、b 中较小者,于是 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x 的图象就是 y ? 2x 与y ? 2? x 的图象的 较小的部分(如图) ,故值域为(0,1]。 a b c 12. 设 3 ? 4 ? 6 ? k ,则 k > 0 且 k ≠ 1 ,取对数得 a ? log3 k , b ? log 4 k , c ? log6 k , ∴ ∴
1 1 1 ? logk 3, ? logk 4 ? 2logk 2, ? logk 6 ? logk 2 ? log k 3 , a b c 2 2 1 ? ? 。 c a b
4 15

1 O x

1 4 4 ? ? ? 1 ?2 1? 5 二、13. x 。提示:原式= ?( x 3 ? x 3 ) 2 ? ? ( x 3 ) 5 ? x15 。 ? ? 14. x ? 2, 0 ? a ? 1 。提示:∵ x ? 3 ? x ? 2, 且 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) ,

?

8

∴ 15. ( ,

0<a<1。 由 ?

?x ? 3 ? 0 ,得 x ? 2 。 ?x ? 2 ? 0

2 1 ) 9 4

?0 ? 4m ? 1 ? 4m ? 1 1 。 或? ( , ? ?) 。提示:解不等式组 ? 3 ?0 ? 9m ? 2 ? 1 ?9m ? 2 ? 1

16. ⑴⑶。提示:⑴中两个函数的定义域都是 R;⑵中两个函数的值域分别是 R 与(0,+∞) ;⑶中两个函数均满足 f (? x) ? ? f ( x) ,是奇函数;⑷中函数 2 y ? ( x ? 1) 在 (0, ? ?) 不是增函数。 三、17. 解:因为 f (lg a) ? a3lg a?5 ? 100 ,两边取对数,得 lg a(3lg a ? 5) ? 2 , 所以 3(lg a)2 ? 5lg a ? 2 ? 0 ,解得 lg a ? ? 或 lg a ? 2 , 即 a ? 10 3 或 a ? 100 。 () o g l? ( ) 1 (x ,? ) a 1 ?a ? 18. 解: 若 a>1, 则 fx a 0
? 1

1 3

在区间[1, 7]上的最大值为 log a 8 ,

最小值为 log a 2 ,依题意,有 loga 8 ? loga 2 ? ,解得 a = 16;

1 2 若 0<a<1,则 f ( x) ? loga ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最小值为

log a 8 ,最大值为 log a 2 ,依题意,有 loga 2 ? loga 8 ?

1 1 ,解得 a = 。 16 2

综上,得 a = 16 或 a =
1 a

1 。 16

1 ? 1, 即 0 ? a ? 1 。 a 2 ? ?x ? 1 ? x ? x ? 6 2 于是由 loga ( x ? 1) ? loga ( x ? x ? 6) ,得 ? 2 , ? ?x ? x ? 6 ? 0 解得 2 ? x ? 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 5} 。 20. 解:⑴ 由 1 ? a x ? 0 ,得 a x ? 1 。 当 a>1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 ; 当 0<a<1 时,解不等式 a x ? 1 ,得 x ? 0 。 ∴ 当 a>1 时, f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ;当 0<a<1 时, f ( x) 的定义域

19. 解:∵ y ? ( ) x 在 x ? (0, ? ?) 时,有 y ? 1 , ∴

为 {x | x ? 0} 。 ⑵ 当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上是减函数,证明如下: 设 x1 , x2 是(-∞,0)内的任意两个数,且 x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) - f ( x2 ) = log a (1 ? a x1 ) ? log a (1 ? a x2 ) ? log a
1 ? a x1 , 1 ? a x2 0 ? a x1 ? a x2 ? 1 , ∴ 1 ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 0 。

∵ 从而

a>1, x1 ? x2 ? 0 , ∴
1 ? a x1 ? 1, 1 ? a x2 log a

1 ? a x1 ? 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) . 1 ? a x2

∴当 a>1 时, f ( x) 在(-∞,0)上递减。
1 ? 2x ? 4x a ? 0 , x ? (??, 1] , 3 1 ? ? 1 即 a ? ? ?( ) x ? ( ) x ? , x ? (??, 1] , 2 ? ? 4 1 1 ∵ ?( ) x 与 ? ( ) x 在 (??, 1] 上都是增函数, 4 2 1 x 1 x ∴ ?[( ) ? ( ) ] 在 (??, 1] 上也是增函数, 4 2 1 1 3 ∴ 它在 x ? 1 时取最大值为 ?( ? ) ? ? , 4 2 4 1 x? 3 ? 1 x 即 ? ?( ) ? ( ) ? ? ? , 2 ? 4 ? 4 3 ∴ a?? 。 4 22. 解:因为 S (t ) ? f (t ) ? g (t ) ,所以

21. 解:根据题意,有

⑴ 当 0 ? t ? 40时, S (t ) ? ( t ? 22)(? t ? 知当 t ? 10或11时, Smax ? 808.5 ;
1 2 1 3

1 4

1 3

109 1 从而可 ),即S (t ) ? ? (t ? 88)(t ? 109) , 3 12 109 1 当 t = 40 时, ) ? (t ? 104)(t ? 109) , 3 6

⑵ 当40 ? t ? 100时, S (t ) ? (? t ? 52)(? t ?
Smax ? 736 ? 808.5 。

综上可得, 当0 ? t ? 100时, Smax ? 808.5 。

答:在最近的 100 天内,这种商品的日销售额的最大值为 808.5。

第一章

空间几何体
).

一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个(

主视图

左视图
(第 1 题)

俯视图

A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.正八面体 2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和 上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ). A.2+ 2 B.
1+ 2 2

C.

2+ 2 2

D. 1+ 2

3.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ). A. 3 B.2 3 C.3 3 D.4 3 4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同 一球面上,则这个球的表面积是( ). A.25π B.50π C.125π D.都不对 5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ). A. 3 ∶1 B. 3 ∶2 C.2∶ 3 D. 3 ∶3 6.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC 绕直线 BC 旋 转一周,则所形成的几何体的体积是( ). A. π
9 2

B. π

7 2

C. π

5 2

D. π

3 2

7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5,它的对角线的 长分别是 9 和 15,则这个棱柱的侧面积是( ). A.130 B.140 C.150 D.160 8.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥

AB,EF= ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为(

3 2

).

(第8题)

A.

9 2

B.5

C.6

D.

15 2

9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误 的是( ..

).

A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆 10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).

(第 10 题)

二、填空题 11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点, 顶点最少的一个棱台有________条侧棱. 12 . 若 三 个 球 的 表 面 积 之 比 是 1 ∶ 2 ∶ 3 , 则 它 们 的 体 积 之 比 是 _____________. 13.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 的中心,若正方体的棱长为 a,则三棱锥 O-AB1D1 的体积为_____________. 14.如图,E,F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是___________.

(第14题)

15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,则这 个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________. 16. 一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后, 水面升高 9 厘米则此球的半径为_________厘米. 三、解答题 17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L,假如它的两底面边长分 别等于 60 cm 和 40 cm,求它的深度.

18 *.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之 比.[提示:过正方体的对角面作截面]

19.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD= 2 2 ,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

(第19题)

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用), 已建的仓库的底面直径为 12 m,高 4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以 存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不 变);二是高度增加 4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?

第一章

空间几何体

参考答案
A组 一、选择题 1.A 解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断 可能是棱台. 2.A 解析:原图形为一直角梯形,其面积 S= (1+ 2 +1)?2=2+ 2 . 3.A 解析:因为四个面是全等的正三角形,则 S 表面=4? 4.B
3 = 3. 4

1 2

解析:长方体的对角线是球的直径,

l= 32+42+52 =5 2 ,2R=5 2 ,R=

5 2 ,S=4π 2

R2=50π .

5.C 解析:正方体的对角线是外接球的直径. 6.D 解析:V=V 大-V 小= π r2(1+1.5-1)= π . 7.D 解析:设底面边长是 a,底面的两条对角线分别为 l1,l2,而 l12 =152-52,l 22 =92-52, 而 l12 + l 22 =4a2,即 152-52+92-52=4a2,a=8,S 侧面=4?8?5=160. 8.D 解析:过点 E,F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,
1 3

3 2

V=2? ? ?3?2+ ?3?2? =

1 3

3 4

1 2

3 2

15 . 2

9.B 解析:斜二测画法的规则中,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中 保持原长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.平行于 z 轴的线段 的平行性和长度都不变. 10.D 解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选 D. 二、填空题 11.参考答案:5,4,3. 解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台. 12.参考答案:1∶2 2 ∶3 3 . r1 ∶ r2 ∶ r3 = 1 ∶ 2 ∶ 3 , r13 ∶ r23 ∶ r33 = 13 ∶ ( 2 )3 ∶ ( 3 )3 = 1 ∶ 2 2 ∶ 3 3. 13.参考答案: a 3 . 解析:画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点, 三棱锥 O-AB1D1 的高 h=
3 3 3 1 1 a,V= Sh= ? ?2a2? 3 4 3 3 3

1 6

a= a3.

1 6

另法:三棱锥 O-AB1D1 也可以看成三棱锥 A-OB1D1,它的高为 AO,等腰三角 形 OB1D1 为底面. 14.参考答案:平行四边形或线段. 15.参考答案: 6 , 6 . 解析:设 ab= 2 ,bc= 3 ,ac= 6 ,则 V = abc= 6 ,c= 3 ,a= 2 , b=1, l= 3+2+1 = 6 . 16.参考答案:12. 解析:V=Sh=π r2h= π R3,R= 3 64?27 =12. 三、解答题
4 3

17.参考答案:

V= (S+ SS ′ +S)h,h=

1 3

3V

S+ SS ′ +S ′ 3 600+2 400+1 600



3?190 000

=75.

18.参考答案: 如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为 R,正方体的棱长为 a, 则 CC'=a,OC=
2 a,OC'=R. 2

A'

C'

A

O (第 18 题)

C

在 Rt△C'CO 中,由勾股定理,得 CC' 2+OC2=OC' 2, 即 a2+( ∴R=
2 a)2=R2. 2

6 6 a,∴V 半球= π a 3 ,V 正方体=a 3 . 2 2 ∴V 半球 ∶V 正方体= 6 π ∶2.

19.参考答案: S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面 =π ?52+π ?(2+5)?5+π ?2?2 2 =(60+4 2 )π . V=V 台-V 锥
1 3 148 = π. 3

= π ( r12 +r1r2+ r22 )h- π r2h1

1 3

20. 解:(1) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,则仓库的 体积

V1= Sh= ?π ?( V2= Sh= ?π ?(
1 3 1 3

1 3

1 3

16 2 256 ) ?4= π (m3). 2 3
288 12 2 ) ?8= π (m3). 2 3

如果按方案二,仓库的高变成 8 m,则仓库的体积

(2) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,半径为 8 m. 棱锥的母线长为 l= 82+42 =4 5 , 仓库的表面积 S1=π ?8?4 5 =32 5 π (m2). 如果按方案二,仓库的高变成 8 m. 棱锥的母线长为 l= 82+62 =10,

仓库的表面积 S2=π ?6?10=60π (m2). (3) 参考答案:∵V2>V1,S2<S1,∴方案二比方案一更加经济些.

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题 1.设 (

l,m 为两条不同的直线,且 l ? l∥m;②若 l⊥m

,m ? ? , 那么

). A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( ). .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° (第 2 题) 3.关于直线 m,n ①m n m∥n; ②m n m⊥n; ③m n m⊥n; ④m n m∥n. 其中真命题的序号是( ). A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( ). .

A.1 B.2 C.3 D.4 5.下列命题中正确的个数是( ). ①若直线 l l ②若直线 l l ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这 个平面平行 ④若直线 l l 公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( ). A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个 D. 只有 两个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥 体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ). A.90° B.60° C.45° D.30° 8.下列说法中不正确的 是( ). .... A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一 个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于 这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( ). A.4 B.3 C.2 D.1 10.异面直线 a,b 所成的角 60°,直线 a⊥c,则直线 b 与 c 所成的角的范 围为( ). A.[30°,90°] B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°] 二、填空题 11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面 的面积分别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为 . 12.P 是△ABC ,过 P 作 PO⊥ ,垂足是 O, 连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ABC 的 心; (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 心; (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 心; (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 点; (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 线上. 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为 各边的中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的 中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 . J

14.直线 l 与平面 30°,l = A,直线 m 则 m 与 l 所成角的取值范围 (第 13 题) 是 . 15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分 别为 d1,d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为 .

16 l A 条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? AC ? ,则∠BAC= . 三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面 角 A-BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 A-BCD 的体积最大.(不要 求证明)

(第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中 点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

19*. 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°,

SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= .
(1)求四棱锥 S—ABCD (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

1 2

(第 19 题)

20*. 斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6, 求这个棱柱的体积.(提示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂 直于这个截面.)

(第 20 题)

第二章

点、直线、平面之间的位置关系
参考答案

A组 一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面 l ? ,m ? , 且 l∥n,m⊥n,则 m⊥l,显然平面
(第 1 题)

∩平面

=直线 n,

不垂直平面

故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D 解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析: 利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确, 故选择答案 D. 5.B 解析:学会用长方体模型分析问题,A1A 有无数点在平面 ABCD 外,但 AA1 与 平面 ABCD 相交,①不正确;A1B1∥平面 ABCD,显然 A1B1 不平行于 BD,②不正确;A1B1∥AB,A1B1∥平面 ABCD,但 AB ?平面 ABCD 内,③不正确;l 与平面α 平行,则 l l 所有直线都没有公共点,④正确,应选 B. (第 5 题) 6.B 解析: 设平面 l1, 且 l2 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面 l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有 一条,即 l3 有唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析:当三棱锥 D-ABC 体积最大时,平面 DAC⊥ABC,取 AC 的中点 O,则△ DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO=45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,

因而共面;C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直 放在桌上就明确了. 9.B 解析:因为①②④正确,故选 B. 10.A 解析:异面直线 a , b 所成的角为 60°,直线 c ⊥ a ,过空间任一点 P,作 直线 a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若 a’ ,b’ ,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°,90°],所以直线 b 与 c 所成 角的范围为[30°,90°] . 二、填空题 11.
1 3

2S1S 2 S3 .

解析:设三条侧棱长为 a,b,c.
1 1 1 ab=S1, bc=S2, ca=S3 三式相乘: 2 2 2 1 2 2 2 ∴ a b c =S1S2S3, 8 ∴ abc=2 2 S1S2 S3 .



∵ 三侧棱两两垂直, ∴ V= abc? =
1 3

1 2

1 3

2S1S 2 S3 .

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分. 解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60°. 解析:将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 60°. 14.[30°,90°]. 解析: 直线 l 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m l⊥m,即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°. 15.
6 . 3 1 3 3 1 3 6 ?(d1+d2+d3+d4)= ? ?h,而 h= . 4 3 4 3

解析:作等积变换: ?

16.60°或 120°. 解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题 17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD.

(第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD D 作 DE⊥AD,垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=
3 2

BD=2 3 ,


3 DE = , 2 DO 3 故二面角 A-BC-D 的正弦值为 . 2

在 Rt△DEO 中,sin

(3)当 =90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18.证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的 中点.∴△DD1E 为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE.又 EC ? BC ? C ,∴DE⊥平面 EBC.∵平面 DEB 过 DE,∴平面 DEB ⊥平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO ⊥DC 于 O. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中, ∵面 ABCD ⊥面 D1DCC1 ,∴EO⊥面 ABCD.过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F,连结 EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为 二面角 E-DB-C 的平面角. 利用平面几何知识可 得 OF=
1 , 5
(第 18 题)

又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .
1 1+ 3 1 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= (BC+AD)? AB = 2 ?1= , 2 4 2 1 1 3 1 ∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V= ?SA?M 底面= ?1? = . 4 4 3 3

(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影, ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB= SA2+AB2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB, ∴tan∠BSC=
BC 2 = , SB 2

(第 19 题)

即所求二面角的正切值为

2 . 2

20*. 解: 如图, 设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10,A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一 点 P 作截面 PQR,使 AA1⊥截面 PQR,AA1∥CC1,∴截面 PQR⊥侧面 BB1C1C,过 P 作 PO⊥QR 于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO=6. ∴V 斜=S△PQR?AA1= ?QR?PO?AA1
(第 20 题)

1 2

1 2 1 = ?10?6 2

= ?PO?QR?BB1

=30.

第三章 直线与方程
A组
一、选择题 1.若直线 x=1 的倾斜角为 A.等于 0 B ( ).
? 2

C.等于

D.不存在 ).

2.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2

(第 2 题)

3.已知直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线 l2 经过两点(2,1)、 (x,6),且 l1∥l2,则 x=( ). A.2 B.-2 C.4 D.1 4.已知直线 l 与过点 M(- 3 , 2 ),N( 2 ,- 3 )的直线垂直,则直线 l 的倾斜角是( ). A.
? 3

B.

2? 3

C.

? 4

D.

3? 4

5.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四 象限 6.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( ). A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 7.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程 为( ).

A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y= 0 D.3x+19y=0 2 8.直线 l1:x+a y+6=0 和直线 l2 : (a-2)x+3ay+2a=0 没有公共点, 则 a 的值 是( ). A.3 B.-3 C.1 D.-1 9.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a>0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a +1 个单位得直线 l',此时直线 l' 与 l 重合,则直线 l' 的斜率为( ). A.
a a+ 1

B. -

a a+1

C.

a+ 1 a

D. -

a+1 a

10.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( ). A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8) D.(-6,-8) 二、填空题 11.已知直线 l1 的倾斜角 1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°,则直线 l2 的斜率 k2 的值为 . 12. 若三点 A(-2, 3), B(3, -2), C( , m)共线, 则 m 的值为
1 2



13.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3, 2),求第四个顶点 D 的坐标为 . 14.求直线 3x+ay=1 的斜率 . 15.已知点 A(-2,1),B(1,-2),直线 y=2 上一点 P,使|AP|=|BP|, 则 P 点坐标为 . 16.与直线 2x+3y+5=0 平行,且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程 是 . 17. 若一束光线沿着直线 x-2y+5=0 射到 x 轴上一点,经 x 轴反射后其反 射线所在直线的方程是 . 三、解答题 18. 设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R, m≠-1), 根据下列条件分别求 m 的值: ①l 在 x 轴上的截距是-3; ②斜率为 1. 19.已知△ABC 的三顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线 l 平行 于 AB,交 AC,BC 分别于 E,F,△CEF 的面积是△CAB 面积的 .求直线 l 的方 程.
1 4

(第 19 题)

20.一直线被两直线 l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中 点恰好是坐标原点,求该直线方程.

21.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之 和为 6,求直线 l 的方程.

第三章 直线与方程
参考答案
A组 一、选择题 1.C 解析:直线 x=1 垂直于 x 轴,其倾斜角为 90°. 2.D 解析:直线 l1 1 是钝角,故 k1<0;直线 l2 与 l3 ,所以 k2>k3>0,因此 k2>k3>k1,故应选 D. 3 2 3 3.A 解析:因为直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线 l1 的倾斜角为

2

? ? ,而 l1∥l2,所以,直线 l2 的倾斜角也为 ,又直线 l2 经过两点(2,1)、(x, 2 2

6),所以,x=2. 4.C 解析:因为直线 MN 的斜率为
2+ 3 - 3- 2 =-1 ,而已知直线 l 与直线 MN 垂直,

所以直线 l 的斜率为 1,故直线 l 的倾斜角是 5.C 解析:直线 Ax+By+C=0 的斜率 k= ?

? . 4

A C <0,在 y 轴上的截距 D=- >0, B B

所以,直线不通过第三象限. 6.A 解析:由已知得点 A(-1,0),P(2,3),B(5,0),可得直线 PB 的方程是 x +y-5=0. 7.D 8.D 9.B 解析: 结合图形, 若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移, 再沿 x 轴正方向平移后, 所得直线与 l 重合,这说明直线 l 和 l’ 的斜率均为负,倾斜角是钝角.设 l’ 的倾斜角为 tan
- a . a+1

10.D 解析: 这是考察两点关于直线的对称点问题. 直线 5x+4y+21=0 是点 A(4, 0)与所求点 A'(x,y)连线的中垂线,列出关于 x,y 的两个方程求解. 二、填空题 11.-1. 解析:设直线 l2 2,则由题意知:

(第 11 题)

180 2+15°=60 2=135°, ∴k2=tan = tan(180 °- 45 °)=-tan45°=-1. 2 12. . 解:∵A,B,C 三点共线, ∴kAB=kAC,
1 -2-3 m-3 = .解得 m= . 1 3+2 2 +2 2 1 2

13.(2,3). 解析:设第四个顶点 D 的坐标为(x,y), ∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD?kCD=-1,且 kAD=kBC.
y-1 y-2 y-1 ? =-1, =1. x-0 x-3 x-0 ? x=0 ? x=2 解得 ? (舍去) ? ? y=1 ? y=3



所以,第四个顶点 D 的坐标为(2,3). 14.- 或不存在. 解析:若 a=0 时,倾角 90°,无斜率.
3 1 a a 3 ∴直线的斜率为- . a

3 a

若 a≠0 时,y=- x+

15.P(2,2). 解析:设所求点 P(x,2),依题意: ( x ? 2)2 ? (2 ? 1)2 = ( x ? 1)2 ? (2 ? 2)2 ,解 得 x=2,故所求 P 点的坐标为(2,2). 16.10x+15y-36=0. 解析: 设所求的直线的方程为 2x+3y+c=0, 横截距为- , 纵截距为- , 进而得
36 . 5 17.x+2y+5=0. 解析: 反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称,故将直线方程中 的 y 换成 -y. 三、解答题
c 2 c 3

c = -

18.①m=- ;②m= . 解析:①由题意,得
2m ? 6 =-3,且 m2-2m-3≠0. m ? 2m ? 3 5 解得 m=- . 3
2

5 3

4 3

②由题意,得 解得
4 3

m 2 ? 2m ? 3 2 =-1,且 2m +m-1≠0. 2m 2 ? m ? 1

m= .

19.x-2y+5=0.
1?1 1 = . 3 ?1 2 1 因为 EF∥AB,所以直线 EF 的斜率为 . 2 1 因为△CEF 的面积是△CAB 面积的 , 所以 E 是 CA 的中点. 点 E 的坐标是(0, 4

解析:由已知,直线 AB 的斜率 k=

5 ). 2

直线 EF 的方程是 y- = x,即 x-2y+5=0. 20.x+6y=0. 解析:设所求直线与 l1,l2 的交点分别是 A,B,设 A(x0,y0),则 B 点坐标 为 (-x0,-y0). 因为 A,B 分别在 l1,l2 上, 所以 ? ?
?4 x0+y0+6=0 ? ?-3x0+5 y0-6=0
① ②

5 2

1 2

①+②得:x0+6y0=0,即点 A 在直线 x+6y=0 上,又直线 x+6y=0 过原 点,所以直线 l 的方程为 x+6y=0. 21.2x+y-4=0 和 x+y-3=0. 解析:设直线 l 的横截距为 a,由题意可得纵截距为 6-a.
y = 1. 6-a 1 2 ∵点(1, 2)在直线 l 上, ∴ + a2-5a+6=0, 解得 a1=2, a2=3. 当 = 1, a 6-a x y a=2 时,直线的方程为 ? ? 1 ,直线经过第一、二、四象限.当 a=3 时,直 2 4 x y 线的方程为 ? ? 1 ,直线经过第一、二、四象限. 3 3

∴直线 l 的方程为 +

x a

综上所述,所求直线方程为 2x+y-4=0 和 x+y-3=0.

第四章 圆与方程
一、选择题 1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半 径为( ). A. 5 B.5 C.25 D. 10 2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 ( ). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 2 2 C.(x-1) +(y-1) =4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ).

A.(x-3)2+(y+4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=19 4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ). A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 2 2 5.圆(x-1) +(y+2) =20 在 x 轴上截得的弦长是( ). A.8 B.6 C.6 2 D.4 3 2 2 2 2 6.两个圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与 C2:x +y -4x-2y+1=0 的位置关 系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 7.圆 x2+y2-2x-5=0 与圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ). A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 2 2 2 2 8.圆 x +y -2x=0 和圆 x +y +4y=0 的公切线有且仅有( ). A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( ). A.3 B.2 C.1 D.0 10. 空间直角坐标系中, 点 A(-3, 4, 0)与点 B(2, -1, 6)的距离是( ). A.2 43 B.2 21 C.9 D. 86 二、填空题 11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小 值为 . 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 2 2 2 2 14 .两圆 x + y = 1 和 (x + 4) + (y - a) = 25 相切,试确定常数 a 的 值 . 15 . 圆 心 为 C(3 , - 5) , 并 且 与 直 线 x - 7y + 2 = 0 相 切 的 圆 的 方 程 为 . 2 16.设圆 x +y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程 是 . 三、解答题 17.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的 方程. 18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0). 19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程.

20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程.

第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题 1.B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径, (2-5)2+ (-3+7)2 =5. 2.C 解析一:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A,C 满足条件,再把 A 点坐 标 (1,-1)代入圆方程.A 不满足条件. ∴选 C. 解析二:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y-2 =0 上,∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2, 解得 a=1,b=1. 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 3.B 解析:∵与 x 轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4), ∴圆方程为(x+3)2+(y-4)2=16. 4.B 解析:∵x+y+m=0 与 x2+y2=m 相切, ∴(0,0)到直线距离等于 m . ∴
m 2

= m,

∴m=2. 5.A 解析:令 y=0, ∴(x-1)2=16. ∴ x-1=±4, ∴x1=5,x2=-3. ∴弦长=|5-(-3)|=8. 6.B 解析:由两个圆的方程 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4 可求得圆心距 d= 13 ∈(0,4),r1=r2=2,且 r 1-r 2<d<r 1+r2 故两圆相交, 选 B. 7.A 解析:对已知圆的方程 x2+y2-2x-5=0,x2+y2+2x-4y-4=0,经配方, 得 (x-1)2+y2=6,(x+1)2+(y-2)2=9. 圆心分别为 C1(1,0),C2(-1,2). 直线 C1C2 的方程为 x+y-1=0. 8.C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1)2+y2=1 和 x2+(y+2)2=4,两圆圆心

分别为 O1(1,0),O2(0,-2),r1=1,r2=2,|O1O2|= 12+22 = 5 ,又 1=r2 -r1< 5 <r1+r2=3,故两圆相交,所以有两条公切线,应选 C. 9.C 解:①②③错,④对.选 C. 10.D 解析:利用空间两点间的距离公式. 二、填空题 11.2. 解析:圆心到直线的距离 d=
3+4+8 5

=3,

∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2. 12.(x-1)2+(y-1)2=1. 解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为 1. 故所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1. 13.(x+2)2+(y-3)2=4. 解析:因为圆心为(-2,3),且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2.故所求 圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 14.0 或±2 5 . 解析:当两圆相外切时,由|O1O2|=r1+r2 知 42+a 2 =6,即 a=±2 5 . 当两圆相内切时,由|O1O2|=r1-r2(r1>r2)知
42+a 2 =4,即 a=0.

∴a 的值为 0 或±2 5 . 15.(x-3)2+(y+5)2=32. 解析:圆的半径即为圆心到直线 x-7y+2=0 的距离; 16.x+y-4=0. 解析:圆 x2+y2-4x-5=0 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所 以直线 AB 与直线 CP 垂直,即 kAB?kCP=-1,解得 kAB=-1,又直线 AB 过 P(3, 1),则所求直线方程为 x+y-4=0. 三、解答题 y 17.x2+y2=36. 解析:设直线与圆交于 A,B 两点,则∠AOB=120°,设 4 所求圆方程为:x2+y2=r2,则圆心到直线距离为 ? 以 r=6,所求圆方程为 x +y =36.
2 2

r 2

15 5

,所

A -5

2 -2

O r B

5 x

-4 (第 17 题)

18.x2+y2-ax-by=0. 解析:∵圆过原点,∴设圆方程为 x2+y2+Dx+Ey=0. ∵圆过(a,0)和(0,b), ∴a2+Da=0,b2+bE=0. 又∵a≠0,b≠0, ∴D=-a,E=-b. 故所求圆方程为 x2+y2-ax-by=0. 19.x2+y2-2x-12=0.

第 17 题

解析:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A,B 两点在圆上,代入方程整理得: D-3E-F=10 ① 4D+2E+F=-20 ② 设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2.在圆的方程中,令 x=0 得 y2+Ey+F =0, ∴b1+b2=-E;令 y=0 得 x2+Dx+F=0,∴a1+a2=-D. 由已知有-D-E=2.③ ①②③联立方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 20.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 根据题意:r=
10 ? 6 =2, 2

圆心的横坐标 a=6+2=8, 所以圆的方程可化为:(x-8)2+(y-b)2=4. 又因为圆过(8,3)点,所以(8-8)2+(3-b)2=4,解得 b=5 或 b=1, 2 2 2 2 所求圆的方程为(x-8) +(y-5) =4 或(x-8) +(y-1) =4. 高一数学阶段测试题 1.下列叙述中,正确的是( ) (A)因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ? ? (B)因为 P ?? ,Q ? ? ,所以 ? ? ? =PQ (C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ??,AB ? ? ,所以 ? ? =AB 2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= ( A、 -3 B、-6 D、 a 3 棱长为 的正方体有一个内切球, 该球的表面积为
2 2
2

)

3 ? C、 2

2 3


2



A、 ? a B、2 ? a C、3 ? a D、 4? a 4. 若直线 a 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直线( ) (A)只有一条 (B)无数条 (C)是平面 ? 内的所有直线 (D)不存在 5. 倾斜角为 135 ,在 y 轴上的截距为 ?1的直线方程是( ) x ? y ? 1 ? 0 x ? y ? 1 ? 0 x ? y ? 1 ? 0 x ? y ? 1 ? 0 A. B. C. D. 6. 长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ,则长方体的体积是( ) . A. 3 2 B. 2 3 C. 6 D.6 7.已知三条不同的直线 l 、 m 、 n 与两个不同的平面 ? 、 ? ,给出下列四个 命题: ①若 m∥ l ,n∥ l ,则 m∥n ②若 m⊥ ,m∥ , 则 ⊥ ③若 m∥ ,n∥ ,则 m∥n ④若 m⊥ , ⊥ ,则 m∥ 或 m ? 其中假命题是( ) .(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ 8.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).

(第 10 题) 9. .如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰 和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ). A.2+ 2 10 以 A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线 方程是( ) A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 11 如图,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、 k3, 则必有 A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2 C. k1<k2<k3 D. k3<k2<k1 12. 如图, A — BCDE 是一个四棱锥, AB ⊥平面 BCDE ,且四边形 BCDE 为矩形,则图中互相垂直的平面共有 ( ) A.4 组 B.5 组 C.6 组 D.7 组 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 请把答案填在答题纸中的横线上) 13. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 N ① BM 与 ED 平行 ② CN 与 BE 异面 ? ③ CN 与 BM 成 60 ④ DM 与 BN 垂直 D 以上四个命题中,正确命题的序号是__________________
E A
1+ 2 B. 2 2+ 2 C. 2

D. 1+ 2

C

M

B

14 一条光线从点 P(4,3)射出,与 x 轴相交于点 Q(2,0),经 x 轴反射,则反射 F 光线的方程为___________________ . 15.已知正方方体 ABCD ? A' B1C1 D1 , 则 A1 B 和平面 CDA1 B1 所成角 的大小为__________________
D D1 A1 B1 C1

C B

A

16. 一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后, 水面升高 9 厘米则此球的半径为_________厘米 三.解答题:(本大题共 6 个题,请把解题过程填在答题纸中正确的位置上) 17.求过点 P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程.
y

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D, 求 CD 所在直线的方程.

C

B D

O

1

A

x

19. (本小题满分 12 分)如图,已知正四棱锥 V- ABCD
与 B 交于点 D ,M 是棱锥的高 V M 中 , A C , 若 AC ? 6 c m , VC ? 5cm ,求正四棱锥 V - ABCD 的体积.
V

D A M B

C

20 如图: AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是圆周上不同 于 A, B 的任意一点, (1)求证: BC ? 平面PAC (2)求二面角 P-BC-A. P

21.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

D1 A1

C O
B1

C1

A

B

E

D F B

C

22. (本小题满分 14 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中,

A

1 1 位置关系,并给 (1)作出面 A1BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与线 AC 出证明; (2)证明 B1D ⊥面 A1BC1 ;

(3)求三棱锥 B1 -A1C1B 的体积.

参考答案 一.选择题 二.填空题 三.解答题

CBABD ,CCBAB, AD 13. ③ ④ 14. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 15. 30 16. 12

17.若截距为零,则直线方程为 分 18. 解: (1)

2 x -y=0 ;
x ? y ?3 ? 0.

5分 7 2分 4分 6分 8分 10 分

若截距不为零,则直线方程为

点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,
kOC 3?0 ? ?3 1? 0 .

? OC 所在直线的斜率为 (2)在 OABC 中, AB // OC , CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为
kCD

1 ?? 3.

1 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 3 ? CD 所在直线方程为
即x ? 3 y ?10 ? 0 .

12 分 19. 解法 1: 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,
? MC ? 1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 2 2 2 (cm).

3分 . 6分 9分

1 1 S ABCD ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 2 2 且 (cm2)
VM 是棱锥的高 ,
2 2 2 2 ? Rt△VMC 中, VM ? VC ? MC ? 5 ? 3 ? 4 (cm).

1 1 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 3 ? 正四棱锥 V- ABCD 的体积为 3 (cm3) .

12 分

解法 2: 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

?


MC ?

1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 2 2 2 (cm).

AB ? BC ?

2 AC ? 3 2 2 (cm) .

2 2 ? SABCD ? AB ? (3 2) ? 18 (cm2).

VM 是棱锥的高 ,
2 2 2 2 ? Rt△VMC 中, VM ? VC ? MC ? 5 ? 3 ? 4 (cm).

1

ABCD 3 ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 3 (cm3). 22.解: (1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直线 l ,

S

1 ? VM ? ?18 ? 4 ? 24

3分
1 1 , AC ? 平面ABCD ∵ AC ∥ AC ? A1C1 平面ABCD 平面A1C1B 平面ABCD=l ? AC 1 1∥l ,

5分 1B ⊥ B 1 D ,同理可证 A 1D , 1 1 ⊥面 DBB 1D 1 ,∴ AC 1 1⊥B (2)易证 AC
1B = A 1 ,∴ B 1 D ⊥面 A 1 1 ? A 1 BC1 . 又 AC

10 分

(3) 由正方体知,A1 B1 ? 平面BB1C ,
1 ?VB1 ? A1BC ? VA1 ? BB1C ? S ?BB1C ? A1 B1 3 1 1 ? ? ? BB1 ? B1C1 ? A1 B1 3 2 a3 ? 6

高中数学必修 4 测试试卷 一.选择题: (共.40 分) ? 1. 3 的正弦值等于
1 3 (A) 2 (B) 2 2.215°是 (A)第一象限角 (C)第三象限角


1 2



(C)

?

3 2

(D)

?

( (B)第二象限角 (D)第四象限角



4.若 sin ? <0,则角 ? 的终边在 ( ) (A)第一、二象限 (B)第二、三象限 (C)第二、四象限 (D)第三、四象限 5.函数 y=cos2x 的最小正周期是 ? ? (A) ? (B) 2 (C) 4 (D) 2? ④ 0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 7.向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 (A) a ∥ b (C) a 与 b 的夹角为 60°
2 8. 化简 1 ? sin 160? 的结果是

3.角 ? 的终边过点 P(4,-3) ,则 cos? 的值为 4 3 ? (A)4 (B)-3 (C) 5 (D) 5









0  -AC ? BC ; 6. 给出下面四个命题: ① AB ? BA ?   ; ② AB ? BC ? AC ; ③ AB
( (D)4 个 ( ) )

(B) a ⊥ b (D) a 与 b 的夹角为 30° ( ) ? cos160? ( )

(A) cos160? (B) ? cos160? (C) ? cos160? 9. 函数 y ? 2 sin(2x ? ? )cos[2( x ? ? )] 是

(D)

? ? (A) 周期为 4 的奇函数 (B) 周期为 4 的偶函数 ? ? (C) 周期为 2 的奇函数 (D) 周期为 2 的偶函数 10. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下, 此函数的解析式为 ( ) 2? y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 (A) ( B ) ? y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 x ? ? y ? 2 sin( ? ) y ? 2 sin( 2 x ? ) 2 3 3 (C) (D) 二.填空题: (共 20 分,请将答案直接填在题后的横线上。 ) 11.已知点 A(2,-4) ,B(-6,2) ,则 AB 的中点 M 的坐标为
12.若 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = ; 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 2 ,则 2 sin ? ? 3 cos ? = 13.若 ; ? a ?b ? a ?b a ? 1, b ? 2 a b 14.已知 , 与 的夹角为 3 ,那么 =





2 15.函数 y ? sin x ? 2 sin x 的值域是 y ? ; 三.解答题(共.40 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 16. 用五点作图法画出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ?的简图.

(2) sin 75 ? 1 1 18. 已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? = 10 ,cos ? = 5 ,求 ? ? ? 的值. 17.求值: (1) 19.设 OA ? (3,1) , OB ? (?1,2) , OC ? OB , BC ∥ OA ,试求满足

tan( ?

23? ) 6 ;

OD ? OA ? OC 的 OD 的坐标(O 为坐标原点) 。
20.已知对任意平面向量 AB ? ? x , y ? ,把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转
? ??

? ??

角得到向量 AP ? ? x cos? ? y sin? , x sin? ? y cos? ? ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针方 向旋转 角得到点 P. (1)已知平面内点 A(2,1) ,点 B( 2 ? 4 2 ,1 ? 2 2 ).把点 B 绕点 A 沿逆

? ??

?
时针方向旋转 4 后得到点 P,求点 P 的坐标;

? (2)设平面内曲线 C 上的每一点绕坐标原点 O 沿顺时针方向旋转 4 后得到的 2 2 点的轨迹是曲线 x ? y ? 3 ,求原来曲线 C 的方程.
参考答案 一.选择题: 题 1 2 号 答 案 二.填空题: 11. (-2,-1) 12. _ -6 __ 13._ -3 ___ 三.解答题: 16.略
23? ? ? 3 ) ? tan(?4? ? ) ? tan ? 6 6 6 3 17.解: (1) (2)原式= sin(45? ? 30?) ? sin 45? cos30? ? cos45? sin 30? tan(? 2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 4 = 2

3 C

4 D

5 A

6 B

7 B

8 B

9 0 C

1 A

A

C

14.

21

15____[-1,3]

18.

解 : ? , ? 为锐角, 且 cos ? ? ? sin? ? 1 ? cos 2 ? ?

1 1 , cos ? ? 10 5

3 ; 10 2 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? . 6' 5 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? 1 1 3 2 ? ? ? ? 10 5 10 5 ?? 2 2 14 ' 12 '

9'

? ? ? ? (0, ? ) 3? ?? ? ? ? .
4

? ?OC ? OB ? 0 ?( x, y ) ? (?1.2) ? 0 ?? ? ? ?( x, y ) ? (?1,2) ? ? (3,1) BC ? ? OA 19. 解:设 OC ? ( x, y) ,由题意得: ?
?x ? 2 y ? x ? 14 ? ? ? x ? 1 ? 3? ? ? ? OC ? (14,7) y ? 7 ? ?y ? 2 ? ? ?

OD ? OC ? OA ? (11 ,6)
20. 解:(1) 设 P(x,y),
? ??

则 AP ? ? x ? 2, y ? 1? ,

? ??

AB ? 4 2 ,?2 2 , 由题意,得: ? ?? ? ? ? ?? ? AP ? ? 4 2 cos ? 2 2 sin ,4 2 sin ? 2 2 cos ? ? ?6,2? 4 4 4 4? ? ∴ x-2=6,y-1=2, ∴x=8,y=3.
(2)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点, OP 绕绕坐标原点 O 沿顺时针方向
? ??

?

?

? 旋转 4 后,点 P 的坐标为(x’ ,y’ ) ,则: ? 2 ? ? ? ?x ? y? x' ? ? x ? x ' cos ? y ' sin ? ? 2 4 4 ? ? ? ? ? y' ? 2 ? y ? x ? ? y ? x' sin ? y' cos ? 2 4 4 ? 即?
1 1 2 2 ? x ? y? ? ? y ? x? ? 3 x ' ? y ' ? 3 2 2 又因为 所以
2 2

化简得:

y?

3 2x .

高二数学必修 5 测试题
一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1. 在Δ ABC 中, 已知 a=1, b= 3 , A=30°, 则 B 等于 A、60° B、60°或 120° ( ) C、30°或 150° D、120° 1 a 2 . 等 差 数 列 {an} 中 , 已 知 1 = 3 , a 2 ? a5 = 4 , an = 33 , 则 n 为 ( ) A、50 B、49 C、48 D、47 3.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 ( ) A、15 B、17 C、19 D、21 4. 三个数 a, b, c 既是等差数列, 又是等比数列, 则 a, b, c 间的关系为 ( ) 2 A、 b ? a ? c ? b B、 b ? ac C、 a ? b ? c D、 a ? b ? c ? 0 0 2 5.在三角形 ABC 中,已知 C = 120 ,两边 a , b 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两根, 则 ( ) A、 5 c 等 于

B、 7 C、 11 D、 13 a S ? 2n ? n ? 1? 6 . 已 知 数 列 ? n? 的 前 n 项 和 n , 则 a5 的 值 为 ( ) A、80 B、40 C、20 D、10 7 . 若 实 数 a 、 b 满 足 a+b=2 , 则 3a+3b 的 最 小 值 是 ( ) 4 A、18 B、6 C、2 3 D、2 3 8. ( ) A、ac > bd -d 9.数列 {an } 满足 an?1 ? an ? n ,且 a1 ? 1 ,则 a8 ? ( ) . A.29 B.28 C.27 D.26 10.为测量一座塔的高度, 在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰 30 ? 45 角为 ,测得塔基的俯角为 ? ,那么塔的高度是( )米. 3 3 20(1 ? ) 20(1 ? ) 3 2 A. B. C. 20(1 ? 3) D. 30
2 2 2 2 s, 则 ?ABC 是 11 . 在 ?ABC 中 , 若 b s i n C? c s i n B? 2b c c o sB c o C ( ) . A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形


a b ? B、 c d

b<0<a,

d<c<0,



C、a + c > b + d

D、a-c > b

2 a 2 3, ) ,则此数列的通项公 14. 若数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn ? n ?10n (n ? 1,, 式 . 1 tan A ? 3 , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 15.在 △ ABC 中,若 . ? ABC a 、 b 、 c ? A 、 ? B 、 ? C 16. 中, 分别是 的对边,下列条件 ① b ? 26 , c ? 15, C ? 23? ; ② a ? 84 , b ? 56 , c ? 74 ;

12.等差数列 {an } 满足 7a5 ? ?5a9 ,且 a1 ? ?17 ,则使数列前 n 项和 Sn 最小的 n 等于( ) . A.5 B.6 C.7 D.8 二.填空题(共 4 题,每题 4 分) 1 13.已知 0<2a<1,若 A=1+a2, B= 1 ? a , 则 A 与 B 的大小关系是 。

③ A ? 34? , B ? 56? , c ? 68 ; ④ a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? 能唯一确定 ?ABC 的有 (写出所有正确答案的序号) . 三.解答题(共 6 题,17,18,19,20,21 每题 12 分,22 题 14 分) 17、已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为 s n , s k =2550. (1)求 a 及 k 的值;
1 1 ? ? s s 1 2 (2)求 ? 1 sn

18、设 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110 ,且 2 满足 a2 ? a1a4 . 求数列 {an } 的通项公式.

19 . 在 △ ABC 中,已知 B ? 45? , D 是 BC 上一点, AD ? 5 , AC ? 7 , DC ? 3,求 AB 的长.

A

20.在 △ ABC 中,

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5.

B

D

C

(Ⅰ)求角 C 的大小; 的边长.

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边

2 21.某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿 左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。 当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

32 22.已知等比数列{an}满足 a1+a6=11, 且 a3a4= 9 . (1) 求数列{an} 的通项 an; 2 4 a m ?1 a 2 (2)如果至少存在一个自然数 m,恰使 3 , m ,am+1+ 9 这三个数依次

成等差数列,问这样的等比数列{an}是否存在?若存在,求出通项公式;若不存 在,请说明理由. 答案 一选择题 BABDB 填空题 13. A<B

CBCAA 14.

CB 2n-11 15. ?an ? 16. ②③④. ,则 a1 ? a,a2 ? 4, a3 ? 3a ,由已知
10 2

三.解答题 17.(1)设该等差数列为 有 a ? 3a ? 2 ? 4 ,解得 a1 ? a ? 2 ,公差 d ? a2 ? a1 ? 2 ,将 s k = 2550 代入公式 k (k ? 1) sk ? ka1 ? d 2 ,得 k ? 50, k ? ?50 (舍去) ? a ? 2, k ? 50 。 (2)由 1 1 ? ? s1 s2
sn ? n a1 ?

1 1 1 1 n(n ? 1) ? ? ? d 2 ,得 sn ? n(n ? 1) , sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? sn = 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 = 1 1? = n ?1 1 1 ?( ? ) n n ?1

18. 解:设数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d , 2 2 ∵ a2 ? a1a4 ,即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,
2 2 2 整理,得 a1 ? 2a1d ? d ? a1 ? 3a1d ∴ d (a1 ? d ) ? 0 ,

又 d ? 0 ,∴ a1 ? d , 10 ? 9 S10 ? 10a1 ? d ? 55a1 ? 110 2 又 , ∴ a1 ? d ? 2 , 数列 {an } 的通项公式为: an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n . 19.解:在 ?ADC 中,由余弦定理得 ∵ ?ADC ? (0 , ? ) ,∴ ?ADC ? 120? ,
cos ?ADC ? 32 ? 52 ? 72 1 ?? 2 ? 3? 5 2,

∴ ?ADB ? 60? , 在 ?ABD 中,由正弦定理得 20.解: (Ⅰ)∵ C ? ? ? ( A ? B) ,
AB ? AD sin ?ADB 5sin 60? 5 6 ? ? sin B sin 45? 2 .

1 3 ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 1 3 1? ? 4 5 . 3 ?C ? π 4 . 又∵ 0 ? C ? π , 3 C? ? 4 , (Ⅱ)∵
? AB 边最大,即 AB ? 17

? tan A ? tan B ,A ,B ? (0 , ) ? , 又 所以 ? A 最小, BC 边为最小边.

sin A 1 ? ? , ? tan A ? cos A 4 ? ? π? ? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, A ? ? 0, ? 2?, 由? 且
17 17 . 得 AB BC AB sin A ? BC ? ? 2 sin C sin A sin C 由 得: . 所以,最小边 BC ? 2 . sin A ?

21.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,蔬菜的种植面积 S 则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808? 2(a ? 2b).
2 所以 S ? 808? 4 2ab ? 648(m ). a ? 2b,即a ? 40(m),b ? 20(m)时, S最大值 ? 648(m2 ). 当 答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最 大,最大种植面积为 648m2. 32 ? ?a1 ? a1 q 5 ? 11, 1 a1 ? , ? ? ? ? ?a1 ? , 3 或? 3 ? 2 32 ? ? 3 1 a q ? a q ? 1 ? 1 ?q ? ? q ? 2 . ? 9 ? ? 2 ? 22.解: (1)由题意得

1 32 1 n ?1 1 ( ) ? 3 ?26-n 或 an= 3 ?2n-1. ∴an= 3 2 1 (2)对 an= 3 ?2n-1,若存在题设要求的 m,则

1 1 1 2 4 2( 3 ?2m-1)2= 3 ? 3 ?2m-2+ 3 ?2m+ 9 . ∴(2m)2-7?2m+8=0. ∴2m=8,m=3. 1 对 an= 3 ?26-n,若存在题设要求的 m,同理有(26-m)2-11?26-m-8=0.

而Δ =112+16?8 不是完全平方数,故此时所需的 m 不存在. 1 综上所述,满足条件的等比数列存在,且有 an= 3 ?2n-1.


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