当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法(学生)


高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法
高考要求 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方 程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类 问题除了考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想 方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学

们的一大 难点 重难点归纳 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化 简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等),可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个 变量为参数,建立轨迹的参数方程 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程” 是两个不同的概念 典型题例示范讲解 例 1 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆 Q B 上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 R 命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方 程 o P 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线 段 AB 中点的轨迹方程 错解分析 欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程,若学生思 考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 可先确定一个较易于求得的点的轨 迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程
y

A

x

例 2 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA ⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线 命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系 错解分析 当设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时,注意对“x1=x2” 的讨论 技巧与方法 将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这 些量,从而就建立了关于 x、y 的关系

y

A

o

N
M B

x

1

例 3 某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱,检 测一个直径为 3 cm 的圆柱, 为保证质量, 有人建议再插入两个合适的同号标准 圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? A o 命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为 数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义,求两曲线的交点 错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解 答此题的关键 技巧与方法 研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆心的轨迹方程 例 4 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线
y

y
P

B

x

Q

M(x,y)

A(-a,0)

o

B(a,0)

x

巩固练习 1 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得 |PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线

x2 y2 ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点, 9 4 则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( ) 2 2 2 x y y x2 ? ?1 ? ?1 A B 9 4 9 4 x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ?1 C D 9 4 9 4 a a 1 3 △ABC 中, A 为动点, B、 C 为定点, B(- ,0),C( ,0), 且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2 则动点 A 的轨迹方程为_________ 4 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的坐 标分别确定为 A( - 5 , 0) 、 B(5 , 0) ,则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 _________ 5 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、 C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程
2 设 A1、A2 是椭圆
E F O' D A B C

2

6 双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥ a 2 b2

A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程

7 已知双曲线

x2 y2 ? =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 m2 n2
y M A1 o A2 x P

P、Q (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和 离心率

Q

8 已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角 a 2 b2

平分线为 l,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R (1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l y=k(x+ 2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值
y P Q R

F1

o

F2

x

3

参考答案 1 解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 答案 A 2 解析 设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0) ∵A1、P1、P 共线,∴

y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3 y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3
2 2

∵A2、P2、P 共线,∴

x y 9 3y x2 y2 , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 解得 x0= , y0 ? x x 9 4 9 4 答案 C
3 解析 由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2
16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) ,故方程为 2 ? 2 4 a 3a 2

∴应为双曲线一支,且实轴长为

答案

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a
设 P(x,y),依题意有

4

解析

5 ( x ? 5) 2 ? y 2

?

3 ( x ? 5) 2 ? y 2

,化简得 P 点轨迹方程为

4x2+4y2-85x+100=0 答案 4x2+4y2-85x+100=0 5 解 设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点,两切线交于点 P 由切线的 性质知 |BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点 的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点 P 的轨迹

x2 y2 ? =1(y≠0) 81 72 6 解 设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y) ∵A1(-a,0),A2(a,0)
方程为

y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y y0 ? 0 ? y ? ? ? ?1 y ? ? ? x ? a x0 ? a
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2 即 b2(-x2)-a2(

x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y
4

化简得 Q 点的轨迹方程为 a2x2-b2y2=a4(x≠±a) 7 解 (1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-m,0),A2(m,0),则 A1P 的 方程为 y=

y1 ( x ? m) x1 ? m y1 ( x ? m) x1 ? m
2 2



A2Q 的方程为 y=-



①?②得 y2=-

y1
2

x1 ? m

(x 2 ? m2 )
2 2



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y1 n2 2 2 ? ? 1 , 即 y ? ( x1 ? m 2 ). 1 m2 n2 m2

代入③并整理得

x2 y2 ? =1 此即为 M 的轨迹方程 m2 n2

(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆 ( ⅰ ) 当 m > n 时, 焦 点坐 标 为 ( ± m2 ? n2 ,0) , 准 线 方 程为 x= ±

m2 m2 ? n2

,离心率

e=

m2 ? n2 ; m

( ⅱ ) 当 m < n 时 , 焦 点 坐 标 为 (0, ±

m2 ? n2 ), 准 线 方 程 为 y= ±

n2 n2 ? m2

,离心率

e=

n2 ? m2 n

8 解 (1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线, 故点 F1、 P、 Q 在同一直线上, 设存在 R(x0,y0) ,Q(x1,y1),F1(- c,0),F2(c,0) |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2

x ?c ? x0 ? 1 ? ? 2 又? ? y ? y1 0 ? 2 ?
得 x1=2x0-c,y1=2y0 ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2 故 R 的轨迹方程为 x2+y2=a2(y≠0) (2)如右图,∵S△AOB=

a2 1 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2
5

当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 此时弦心距|OC|=

1 2 a 2
A

y C

B

| 2ak | 1? k
2

o

x

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . 2 | OA | a 1 ? k 2 3

6


相关文章:
高中数学复习专题讲座(第22讲)曲线轨迹方程的求法
第一高级中学 王新敞 题目 高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法 高考...考查学生对圆锥曲线的定义,性 质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想...
高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法
高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求...考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想 ...
高三数学复习专题讲座: 曲线的轨迹方程的求法03001
高一上数学重要知识点归纳1/2 相关文档推荐 高中数学复习专题讲座曲线... 7页...欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨 迹方程,若学生思考不深刻,发现不了问题...
曲线轨迹方程求法(理科数学)
高中数学复习专题讲座 曲线的轨迹方程的求法 高考要求 新疆源头学子 小屋 http:...欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程,若学生思考不新疆 源头学子小屋 ...
(第22讲)高中数学复习专题讲座-曲线轨迹方程的求法
(第22讲)高中数学复习专题讲座-曲线轨迹方程的求法(第22讲)高中数学复习专题讲座...考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思 ...
2015高考数学专题复习教案:曲线轨迹方程的求法
2015高考数学专题复习教案:曲线轨迹方程的求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2015高考数学专题复习教案:曲线轨迹方程的求法_高三数学...
2009届高三数学一轮复习曲线的轨迹方程的求法
2009届高三数学一轮复习曲线的轨迹方程的求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区...错解分析:欲求 Q 的轨迹方程, 应先求 R 的轨迹方程, 若 学生思考不深刻,...
高三数学曲线的轨迹方程的求法
高三数学曲线的轨迹方程的求法_高三数学_数学_高中...应先求 R 的轨迹方 程, 若 学生思考不深刻,发现...学生巩固练习 1 已知椭圆的焦点是 F1、 F2, P ...
高中数学复习《曲线与方程》教学设计
高中数学复习《曲线与方程》教学设计_高三数学_数学_...培养学生的坐标法思想,是学生进一步明确求曲线方程的...2、能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程...
2016届复习轨迹方程的求法
2016届复习轨迹方程的求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。轨迹方程的求法 1.用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤 (1)建系设点:建立适当的直角坐标,设曲线...
更多相关标签: